magneti

Lezione 5: descrizione qualitativa e quantitativa
dei fenomeni magnetici
Fenomeni magnetici
VII secolo: magnetite (FeO.Fe2O3)
attira limatura di ferro:
áproprietà non uniforme nel materiale;
ási manifesta in determinate parti.
campioni cilindrici (magneti)
nei quali tale proprietà
si manifesta ai poli.
XVI secolo: W. Gilbert
áindagine sistematica dei fenomeni magnetici;
ádifferenze elettrostatica e magnetismo.
Osservazioni Sperimentali
⇓
Nuova Forza (magnetica)
áforza gravitazionale e’ attrattiva ed agisce su ogni massa
áforza elettrica e’ attrattiva o repulsiva ed agisce sulle cariche
forza magnetica agisce su
ámagneti
ácorrenti
ácariche in moto
♠ sia attrattiva che repulsiva
♠ attrattiva
un metallo (magnetite)
attira limatura di ferro,
acciaio e di altri metalli
gli estremi di due pezzi di
magnetite si attraggono o
si respingono
♠ può indurre un momento di rotazione
elemento di magnetite fa cambiare
orientamento a sottile lamina di
magnetite in equilibrio su una punta o
sospesa con un filo
esistenza di un campo magnetico naturale
♠ non è possibile ottenere un
polo magnetico isolato (monopolo)
tagliando a metà una
calamita compaiono
sempre due poli
elementi costitutivi dei magneti sono i dipoli magnetici
1800 Oersted-Ampere:
legame fra fenomeni elettrici e magnetici
filo percorso da
corrente fa cambiare
orientamento ad ago
magnetico
magnete fa cambiare
orientamento ad un
circuito percorso di
corrente
fili percorsi da corrente si
attraggono o respingono a
seconda della direzione
della corrente
le azioni magnetiche sono la manifestazione di
interazioni tra cariche elettriche in movimento
Il Campo Magnetico
un sistema di cariche in moto genera
un campo magnetico B
definisco
direzione e verso
del campo B utilizzando
come sonda un ago
magnetico
(in elettrostatica: carica q)
disegno le
linee del campo
magnetico ponendo la
sonda in “tutti” i punti
dello spazio attorno alla
sorgente di campo
con l’ago magnetico trovo direzione e verso del
campo vettoriale, ma non il modulo
Campi Magnetici
ricostruiti con un ago magnetico
magnete permanente
magnete permanente
curvato ad U
circuito
percorso da corrente
filo rettilineo
percorso da corrente
Principio di sovrapposizione:
il campo B è dato dalla somma dei campi
prodotti dalle singole sorgenti.
Limatura sparsa sopra un foglio di carta
attraversato da un cavo percorso da corrente.
La distribuzione della limatura suggerisce la forma
delle linee di campo magnetico.
Origine del campo
magnetico
oggetti estremamente diversi come
ála magnetite
ácerti metalli
áfili percorsi da corrente
sono tutti soggetti alla forza magnetica
♠ filo percorso da corrente ⇒ Cariche elettriche in movimento
♠ materia ⇒ sistema costituita da cariche in moto
campo magnetico ⇒ generato da cariche in moto
cariche in moto ⇒ soggette a forze magnetiche
magnete permanente: Σ (correnti atomiche) = 0
viene generato un campo magnetico
Teorema di Gauss per B
Linee di campo: curve
r
B
che hanno in ogni punto per
tangente la direzione del
campo
in natura non esistono cariche magnetiche isolate
⇓
non esistono sorgenti di campo magnetico
(punti ove le linee di B irradiano a convergono)
il flusso di B attraverso
una superficie chiusa e‘
nullo sempre
V
r
divB = 0
→
Φ = ∫ B⋅ ∆Σ = 0
r →
r
∫ B ⋅ ∆Σ = ∫ divBdV = 0
S
→
S
In elettrostatica:
→ →
q
Φ = ∫ E⋅ ∆Σ =
S
r ρ
divE =
ε0
ε0
Flusso e Divergenza
r
r
1 r r
∇ ⋅ H = divH = lim ∫ H ⋅dΣ
def V → 0 V
S
scalare
In coordinate cartesiane:
r  ∂H x ∂H y ∂H z 

divH = 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
Significato fisico della divergenza:
r
r →
Φ H = ∫ H ⋅ ∆Σ = ∫ (∇ ⋅ H )dV
( )
S
V
teorema della
divergenza
r
H
r
Φ ( H ) < 0 pozzo
r
Φ ( H ) = 0 vuoto
r
Φ ( H ) > 0 sorgente
Intensità del campo
magnetico
strumento di misura: magnetometro
filo percorso da corrente in presenza di
campo magnetico B subisce una forza
collego il filo percorso da corrente ad un
dinamometro (molla tarata):
allungamento/compressione
della molla misura la
forza magnetica
r r r
F = il × B
F = i l B⊥
non è sufficiente una sola operazione
di misura per determinare B
equazione
vettoriale
r r r
F = A× B
A e F noti
r r
r
r F×A
B = r r + cA
A⋅ A
c scalare arbitrario
r r r
r r r r r r
( A × B) × C = ( A ⋅ C ) B − ( B ⋅ C ) A
nel caso del campo B:
r r
r r
ámisuro F1 , F2 con l1 ⊥ l 2
r r
r
r 1 F1 × l1
B=
+ c1i l1
2
i l1
r r
r
r 1 F2 × l 2
B=
+ c2 i l 2
2
i l2
r
ámoltiplico scalarmente
r r per
r i l1
1 ( F2 × l 2 ) ⋅ l1
c1il =
l 22
i
r r
r r r
r 1 F1 × l1 1 ( F2 × l 2 ) ⋅ l1 r
l1
+ 2
B=
2
2 2
l 1l 2
i l1
i
2
1
Unità di misura
r r r
F = il × B
[
[
F]
mlt −2 ]
[B ] = −1 = −1
[qt ][l] [qt ][l]
Newton ⋅ sec
=
= Tesla
Coulomb ⋅ m
1 Tesla = 1 Weber/m2
1 Gauss = 10-4 Tesla
Campi Magnetici in Natura
á Sulla superficie di un nucleo ...............................................1012 T
á Sulla superficie di una Pulsar ............................................ 108 T
á In un Laboratorio Scientifico (per tempi brevi) ..............… 103 T
á In un Laboratorio Scientifico (costante) ..........................… 30 T
á In una macchia solare ............................................................2 T
á In prossimità di un magnete ............................................2 10-2 T
á In prossimità dell’impianto elettrico di casa ......................10-4 T
á Sulla Terra ..........................................................................10-5 T
á Nello spazio intergalattico ..................................................10-10 T
á In una camera antimagnetica schermata .............................10-14 T
Forza magnetica
su carica in moto
áparticella di carica q, massa m
ávelocità v costante
áregione di spazio con B costante
Se la particella subisce una forza osserverò:
(dalle leggi di Newton)
ávariazione della velocità
(cioè accelerazione o decelerazione)
ávariazione della direzione di moto
(una deflessione)
r
F
Forza di Lorentz
r r r
F = qv × B
r r
F⊥v
r →
F⊥ds
r
B
r
v
q
f →
→
W = ∫ F ⋅ ds = 0
i
La forza magnetica non compie lavoro
Moto in un campo B
uniforme e ⊥ a v
B
v
FLorentz
v
F
B
v
F
F
v2
FM = qvB Fc = m
r
FM = Fc
r=
mv
qB
v
B
la forza di Lorentz
induce una
traiettoria circolare
B entrante
B uscente
la frequenza f (frequenza di ciclotrone) non
dipende dalla velocità:
áparticelle veloci si muovono in orbite larghe
ω
qB á le particelle lente in orbite strette
f =
=
2π 2πm
stesso periodo di rotazione
il raggio dell’orbita dipende solo da
ámassa della particella
áintensità del campo magnetico
traiettoria di una
particella carica in
una camera a bolle in
un campo magnetico
traiettoria di un
fascio di elettroni in un
campo magnetico
Se la velocità della particella carica non è ortogonale al
campo magnetico la sua traiettoria è elicoidale con
velocità di traslazione pari alla proiezione della velocità
lungo il vettore B.
Forza di Lorentz in un filo
percorso da corrente
filo percorso da corrente:
insieme di cariche (elettroni) in moto con
velocita‘ v lungo il filo.
Forza di Lorentz di un elettrone:
Forza totale sul filo: Ftot =
Fe = qv × B
Fe = q v B
∑F
i =1, N
e
Ftot = NFe = N ⋅ q ⋅ B ⋅ v = n( Al ) ⋅ q ⋅ B ⋅ v
n = # elettroni per unita‘ di volume
A= sezione del filo
l = lunghezza del
carica totale presente nel filo:
Q = n( Al )q
Ftot =
∑F
i =1, N
e
Ftot = NFe = N ⋅ q ⋅ B ⋅ v = n( Al ) ⋅ q ⋅ B ⋅ v
tempo impiegato dagli
elettroni a percorrere il filo l
t (l ) =
Q
n ⋅ ( Al ) ⋅ q
=
v
t
l
i = n Aq v
i=
corrente elettrica nel filo:
Tipici valori:
n = 8.4 1028 elettroni/m3
v = 3.6 10-4 m/sec
spazio percorso l
=
Velocità
v
non è la velocità con cui il
campo elettrico si muove
lungo il filo
 i 
 = iBl
Ftot = nAl ⋅ q ⋅ B ⋅ 
 nAq 
r r
r
Ftot = il × B
r r
r
dFtot = idl × B
a partire dalla forza di Lorentz
si ricava la
II legge di Laplace
Invarianza della carica elettrica
nei discorsi precedenti si e‘ assunto che:
q = q0
q = q0
r
v =0
r
v ≠0
La carica elettrica e‘ invariante rispetto al passaggio da
un sistema di riferimento S ad un sistema di riferimento
in moto rispetto ad S con velocita‘ v.
La massa non gode
di questa proprieta‘:
m=
m0
v2
1− 2
c
Prove sperimentali della invarianza relativistica della carica:
ágli atomi e le molecole sono neutri, infatti:
fascio di molecole attraverso un campo elettrico intenso:
se le molecole fossero cariche si osserverebbe deflessione
nel Cs:
qCs< 10-16 qe
áEnergie di protoni ed elettroni: Ep ≈ MeV (vp≈10%c)
Ee ≈ eV
qe = qp anche a velocita‘ molto diverse !!!!