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Indice
Introduzione
1
2
Spazio affine e vettori applicati
1.1 Spazi vettoriali su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Trasformazioni di basi ortonormali . . . . . . . . . . .
1.4 Spazio affine e coordinate curvilinee . . . . . . . . . .
1.5 Prodotto vettoriale e sistemi di vettori applicati . . . .
1.5.1 Il prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Vettori applicati e momento rispetto ad un polo
1.5.3 Sistemi equivalenti di vettori applicati . . . . .
1.5.4 Sistemi di vettori paralleli . . . . . . . . . . .
1
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Equazioni differenziali
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Equazioni autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Equazioni reversibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Equazioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Equazioni del primo ordine in forma normale . . . . . . . . . . . . .
2.5 Equazioni del secondo ordine in forma normale del tipo q̈ = f (q̇) . .
2.6 Equazioni del secondo ordine del tipo q̈ = f (q): caso conservativo . .
2.6.1 Analisi qualitativa nel caso conservativo . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Periodo delle oscillazioni in vicinanza di punti di equilibrio
stabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Generalizzazione del caso conservativo . . . . . . . . . . . .
2.7 Il piano delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Punti di equilibrio, stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Il criterio di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Asintotica stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Punti di equilibrio per sistemi conservativi: il criterio di Dirichlet
2.9 I potenziali isocroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Sistemi lineari bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Moto armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Moto armonico smorzato con forzante esterna . . . . . . . . . . . . .
3
3
7
14
16
21
21
24
27
29
31
31
32
34
35
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37
37
39
41
43
54
55
56
58
59
60
62
63
67
78
80
Riccardo Ricci (a cura di), Lezioni di Sistemi Dinamici, a cura di Luigi Barletti, Angiolo Farina, Lorenzo Fusi,
v
Federico Talamucci ISBN xxx (print), ISBN 978-88-6453-400-8
(print) ISBN 978-88-6453-401-5 (online)
© 2016 Firenze University Press
2
VIII
LEZIONI DI SISTEMI DINAMICI
capitolo
2.13 6Sistemi
degli Appunti.
lineari n−dimensionali
Nello specifico è. stata
. . . aggiunta
. . . . . tutta
. . .la. sezione
. . . . dedicata
. . . . alla
83
Geometria delle masse (argomento che veniva trattato in dettaglio nelle esercitazioni
3 Equazioni
Lagrange
87
del
corso). Neldicapitolo
dedicato ai Principi Variazionali è stata aggiunta la sezione
Cinematica
delIlpunto
. . .di. minima
. . . . azione
. . . . è. stato
. . . riscritto.
. . . . . .Il .capitolo
. . . 987è
8.3 3.1
mentre
il paragrafo
principio
3.2 essenzialmente
Forze conservative
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
rimasto
invariato.
3.2.1desiderano
Campi scalari
e gradiente
. . .Annick
. . . . Magnier
. . . . .per
. . aver
. . .messo
. . . a dis92
I curatori
ringraziare
la Prof.ssa
Campi
e campi
. . . . . . . . . .senza
. . . il. quale
94
posizione3.2.2
il materiale
delvettoriali
Prof. Ricci
e pergardiente
il costante. incoraggiamento
3.2.3si sarebbe
Forza posizionale
e forza
. . di
. .quest’opera.
. . . . . . . Un
. . parti97
difficilmente
potuti giungere
al conservativa
completamento
3.3 ringraziamento
Equazioni di Lagrange
un punto Anichini,
materiale Direttore
. . . . . del
. . .Dipartimento
. . . . . 102
colare
va al Prof.perGiuseppe
di
3.3.1
Conservazione
dell’energia,
di ed
Routh103
Matematica
ed Informatica
“U. Dini”,
che ha variabili
accolto ilcicliche
progettoe funzione
con favore
al Prof.
3.4 IlGentili
moto centrale
. . . . suggerimenti.
. . . . . . . . Si. .desidera
. . . . .infine
. . . ringraziare
. . . . . . Il. Dott.
108
Graziano
per i numerosi
3.4.1 Direttore
L’equazione
per r . della
. . . Florence
. . . . . University
. . . . . . .Press,
. . . per
. . il. .prezioso
. 112
Fulvio Guatelli,
editoriale
3.4.2la fase
Il problema
aiuto durante
editoriale.di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.3 L’orbita del problema di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.4 La terza legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4
Sistemi vincolati e coordinate lagrangiane
123
4.1 Sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.1 Spostamenti virtuali in funzione delle coordinate lagrangiane . 133
4.1.2 Velocità ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.3 Punto vincolato sulla superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5
Le equazioni di moto per sistemi vincolati
5.1 Dinamica di un punto vincolato sulla superficie. . . . . . . . . . . . .
5.2 L’equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Le equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Equazioni di Lagrange e statica del punto materiale sulla superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Equazioni di Lagrange di prima specie . . . . . . . . . . . . .
5.4 Risolubilità delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Invarianza delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Coordinate cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 La funzione Hamiltoniana e la conservazione dell’energia . . . . . . .
5.8 Il teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Piccole Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Sistemi con un solo grado di libertà . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2 Sistemi con l gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3 Esempio: la catena di oscillatori . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Cinematica dei Sistemi Rigidi
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Primo caso: Ω ≡ O . . . . . . . .
6.2.2 Secondo caso: Ω �= O . . . . . .
6.2.3 Gradi di libertà di un corpo rigido
6.3 Formula fondamentale del moto rigido . .
vi
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151
152
155
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162
172
174
175
178
182
190
195
198
199
200
201
211
215
. 215
. 215
. 217
. 224
. 224
. 227
SOMMARIO
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7
8
IX
Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . .
Asse istantaneo di moto, rigate del moto . . . . .
Cinematica relativa: composizione delle velocità
Formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .
Composizione di moti rigidi . . . . . . . . . . .
Cinematica relativa: l’accelerazione . . . . . . .
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. 238
. 242
. 247
. 249
. 251
. 253
Dinamica Sistemi Rigidi
7.1 Il centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Omografia d’inerzia, matrice d’inerzia e terna principale d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Ellissoide d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Determinazione della terna principale d’inerzia nel caso di sistemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Esempi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Le equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Le equazioni cardinali sono sufficienti per determinare il moto dei rigidi
7.6 Momento angolare, energia cinetica e seconda equazione cardinale per
i sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Momento angolare per un sistema rigido . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Seconda equazione cardinale per i sistemi rigidi . . . . . . . .
7.6.3 Reazioni vincolari applicate all’asse di rotazione . . . . . . .
7.6.4 L’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Le precessioni per inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Le equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Risoluzione dell’equazione di Eulero nel caso di precessioni
per inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Il moto à la Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Lagrangiana del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Il giroscopio pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principi variazionali
8.1 La brachistocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 La trattazione moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 L’equazione di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Un integrale primo e ritorno alla brachistocrona . . . . . .
8.3 Funzionali dipendenti da l funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Massimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Il principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Sistemi vincolati ed equazioni di Lagrange di prima specie
8.5 Il principio di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Coordinate cicliche nell’ambito del principio di Hamilton
8.5.2 Il tempo come variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Formulazione del principio di Jacobi . . . . . . . . . . . .
vii
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255
256
259
259
260
263
269
270
274
283
286
289
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297
301
306
307
308
313
314
318
325
. 326
. 328
. 329
. 334
. 339
. 341
. 346
. 349
. 351
. 351
. 354
. 356
2
X
LEZIONI DI SISTEMI DINAMICI
9 Il Sistema
capitolo
6 degliCanonico
Appunti. Nello specifico è stata aggiunta tutta la sezione dedicata 361
alla
Geometria
9.1 Il delle
Teorema
masse
di Liouville
(argomento. .che
. .veniva
. . . .trattato
. . . .in. dettaglio
. . . . . nelle
. . . esercitazioni
. . . . 363
del 9.2
corso).
LeNel
parentesi
capitolo
di Poisson
dedicato .ai. Principi
. . . . . Variazionali
. . . . . . .è .stata
. . .aggiunta
. . . . .la. sezione
. 366
8.3 9.3
mentre
Derivazione
il paragrafo
variazionale
Il principiodelle
di minima
equazioni
azione
di Hamilton
è stato riscritto.
. . . . .Il .capitolo
. . . 368
9è
rimasto essenzialmente invariato.
I curatori desiderano ringraziare la Prof.ssa Annick Magnier per aver messo a disposizione il materiale del Prof. Ricci e per il costante incoraggiamento senza il quale
difficilmente si sarebbe potuti giungere al completamento di quest’opera. Un particolare ringraziamento va al Prof. Giuseppe Anichini, Direttore del Dipartimento di
Matematica ed Informatica “U. Dini”, che ha accolto il progetto con favore ed al Prof.
Graziano Gentili per i numerosi suggerimenti. Si desidera infine ringraziare Il Dott.
Fulvio Guatelli, Direttore editoriale della Florence University Press, per il prezioso
aiuto durante la fase editoriale.
viii