Interferenza
O"ca Fisica Ottica geometrica: nel discutere di lenti, specchi e strumenti
ottici abbiamo utilizzato il modello dell’ottica geometrica. La luce
è rappresentata da raggi.
Ma la luce è un onda!
Ottica Fisica: Se due o piò onde luminose della stessa frequenza
si sovrappongono in un punto, l’effetto dipende dalla loro fase ed
ampiezza!
I profili di intensità che si ottengono dipendono dalla natura
ondulatoria della luce.
Sorgenti coerenti
Interferenza
Due sorgenti puntiformi di onde sferiche
E0
E1 (x, t ) =
sen (kr1 − ωt + φ1 )
r1
E0
E2 ( x , t ) =
sen (kr2 − ωt + φ2 )
r2
Nel punto P la differenza di fase fra le onde è
δ = k ( r2 − r1 ) + (φ2 − φ1 )
Se la differenza di fase è costante nel tempo in ogni
punto P, le sorgenti si dicono coerenti
Interferenza costruttiva e distruttiva
Si ha interferenza costruttiva
quando la differenza di cammino
delle due sorgenti è un multiplo
intero della lunghezza d’onda
r2 − r1 = mλ
m = 0, ±1, ±2...
Si ha interferenza distruttiva
quando la differenza di cammino
delle due sorgenti è un multiplo
semi-intero della lunghezza d’onda
r2 − r1 = (m +1 / 2)λ
m = 0, ±1, ±2...
Sorgenti coerenti
Interferenza
Per il principio di Huygens-Fresnel S1 ed S2 hanno la stessa
fase iniziale perché appartengono allo stesso fronte d’onda.
Nel punto P la differenza di fase fra le onde è
δ = k ( r2 − r1 )
Le sorgenti ordinarie emettono in genere onde
luminose non coerenti. Le sorgenti di luce ordinaria
(termiche oppure a fluorescenza) sono costituite da
un numero molto grande di sorgenti elementari,
atomi eccitati, ognuno dei quali, nella transizione di
un elettrone da uno stato di energia maggiore ad uno
di energia minore, emette radiazione
elettromagnetica per un periodo di tempo breve Δt ≈
10-8 s e in maniera del tutto scorrelata tra loro
Doppia fenditura
Interferenza
Costruzione di Huygens-Fresnel per
due fenditure
DISPOSITIVO DI YOUNG:
Usando una sorgente di luce incoerente, realizza
due sorgenti coerenti con il metodo di divisione
del fronte d’onda.
Le sorgenti S1 ed S2 hanno la stessa fase iniziale
perché appartengono allo stesso fronte d’onda.
Doppia fenditura
Interferenza
Formazione sullo schermo di frange
chiare
(interferenza costruttiva) alternate a frange scure
(interferenza distruttiva)
E1 (x, t ) =
E0
sen (kr1 − ωt )
r1
E0
E2 ( x , t ) =
sen (kr2 − ωt )
r2
Doppia fenditura
Interferenza
Differenza di lunghezza di cammino ottico:
δ = k ( r2 − r1 )
se r >> d i raggi possono essere considerati //
⇒ r2 - r1 = d senϑ
δ = kd senθ =
2π
λ
d senθ
Doppia fenditura
Interferenza
Si avrà un massimo quando la
differenza di percorso è un multiplo
intero della lunghezza d’onda
Si avrà un minimo quando la
differenza di percorso è un multiplo
semi intero della lunghezza d’onda
δ = 2 mπ
d senθ = mλ
m = 0,±1,±2,...
δ = (2m + 1)π
d senθ = (2m + 1)λ
m = 0,±1,±2,...
2
Doppia fenditura
Interferenza
se L >> d
θ (rad) = mλ / d
x = mλ L / d
x
⇒ senθ = tgθ =
L
m = 0,±1,±2,... Massimo
Minimo
θ = (2m + 1)λ / 2d
x = (2m + 1)λL / 2d
m = 0,±1,±2,...
Doppia fenditura
Interferenza
La frangia centrale è quella
corrispondente ad m=0
Si definisce passo dei massimi la distanza misurata sullo schermo
tra i centri di due frange chiare
Nel caso le onde viaggiano in un mezzo con indice di
rifrazione n, va considerato il percorso ottico
Massimi
θ = mλ / nd
x = mλL / nd
m = 0,±1,±2,...
Δx =
λL
d
n d senθ
Minimi
θ = (2m + 1)λ / 2nd
x = (2m + 1)λL / 2nd
I fasori
Metodo dei fasori
Interferenza
E1 (r, t ) ≈
E2 (r, t ) ≈
EP (x, t ) = E1 + E2
E0
sen (kr − ωt )
r
δ=
E0
sen (kr − ωt + δ )
r
2
2π
λ
2
d senθ
2
⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞
⎛ E ⎞
EP2 = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ + 2⎜ 0 ⎟ cos δ
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
⎝ r ⎠
2
! E0 $
2
EP = 2 # & (1+ cos δ ) =
" r %
2
! E0 $
= 4 # & cos2 δ / 2
" r %
Metodo dei fasori
Interferenza
I ∝ 〈 E 02 〉
2
I P = I 0 + I 0 + 2 I 0 I 0 cos δ
2
2
⎛ E0 ⎞ ⎛ E0 ⎞
⎛ E0 ⎞
2
EP = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ cos δ
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
⎝ r ⎠
I P = 2 I 0 (1 + cos δ )
2
I P = 4I 0 cos δ / 2
Interferenza
Metodo dei fasori
I max = I 0 + I 0 + 2 I 0 I 0 = 4 I 0
Si avrà interferenza costruttiva in corrispondenza di
differenza di cammini multipli interi della lunghezza
d’onda
I min = I 0 + I 0 − 2 I 0 I 0 = 0
Si avrà interferenza distruttiva in corrispondenza
di differenza di cammini multipli semi interi della
lunghezza d’onda
Intensità
Interferenza
δ=
2π
λ
d senθ
senϑ ≈ tgϑ =
x
L
Si avrà interferenza
costruttiva (massimi) per
πd senθ
2 πd x
I P = 4 I 0 cos
= 4 I 0 cos
λ
λL
2
πd x
cos
=1
λL
2
πd x
= mπ
λL
mλL
x=
d
Si avrà interferenza distruttiva
(minimi) per
πd x
cos
=0
λL
2
πd x
π
= (2m + 1)
λL
2
(2m + 1)λL
x=
2d
Intensità
Interferenza
δ=
2π
λ
d senθ
x
senϑ ≈ tgϑ =
L
πd x
I P = 4 I 0 cos
λL
2
Per sorgenti incoerenti
πd x
1
I P = 4 I 0 < cos
>= 4 I 0 = 2 I 0
λL
2
2
Interferenza
Bolla di sapone
Sorgenti
coerenti
Lamine sottili
Macchia di olio
Differenza di fase dovuto al cammino
ottico
δ = k (r2 − r1 )
δ = 2n k d cos θ r
