Serie 7: Soluzioni Esercizio 3 Interferenza

FAM
Serie 7: Soluzioni
C. Ferrari
Esercizio 1 Riflessione totale
n
θ1 = arcsin n12 possibile unicamente se n2 < n1 .
Esercizio 2 Dispersione cromatica
1. Ogni colore è associato ad una data lunghezza d’onda, quindi i diversi colori
che compongono la luce bianca avranno degli angoli di rifrazione diversi.
2. θr = 22,26◦, θg = 22,08◦, θb = 21,91◦.
Esercizio 3 Interferenza
1. In nel mezzo 1 l’onda si propaga più velocemente rispetto al mezzo 2 ciò crea
uno fase temporale quando le due onde giungono all’altezza L1 . Abbiamo i
seguenti tempi di passaggio
L
∆t1 = c1 n1 = 1,87 · 10−14 s
∆t2 = 1,87 · 10−14 s
Ora, se ∆t rappresenta il tempo impiegato dall’onda passante per il mezzo 2
per percorrere la distanza L1 − L2 in aria, abbiamo
φ = 2πν∆t = 2πν
L1 − L2
= k(L1 − L2 ) = 5,24.
c
2. Nessuna interferenza particolare poiché φ non è ne un numero pari, ne dispari
volte π.
Esercizio 4 Interferenza per riflessione
1. La fase tra l’onda riflessa dal primo vetro e quella riflessa dal secondo è data
da (d è lo spessore tra i due vetri)
d
d
φ = ω∆t + π + ω∆t = 2πν · 2 + π = 4 + 1 π
c
λ
1
La 179-esima frangia chiara corrisponde al caso d = diametro del capello.
Quindi
d
2 · 179π = 4 + 1 π =⇒ d = 68,8 µm .
λ
2. La fase è data come nel punto precedente da 4 λd + 1 π e per ottenere interferenza costruttiva deve coincidere a 2mπ. Da cui la condizione
2d = (2m + 1)
λ
.
2
Troviamo r in funzione di d. Poiché vale (R − d)2 + r 2 = R2 si ottiene
2
p
√
r2
r
1
2
2
2
=⇒ 2d =
d = R− R − r = R−R 1 − (r/R) ≈ R−R 1 −
2 R2
R
q
da cui rm = (2m + 1)R λ2 .
3. La fase tra l’onda riflessa dal primo strato della lamina sottile (pellicola della
bolla di sapone) e quella riflessa dal secondo è data da (L è lo spessore della
lamina, n il suo indice di rifrazione)
(
c 2L
(2m + 1)π
interferenza distruttiva
n−π =
2π
λ c
2mπ
interferenza costruttiva
da cui
2L
n=
λ
(
m
m+
1
2
interferenza distruttiva
interferenza costruttiva
m∈N
Data una lunghezza d’onda, le due equazioni danno la serie di spessori possibili
L per i quali si ha interferenza costruttiva o distruttiva (e più in generale dato
L la serie delle lungehzze d’onda).
Nel caso specifico si sa che:
• per λ = 450 nm l’interferenza è distruttiva, da cui la sequenza: 0 nm,
169 nm, 338 nm, 507 nm, . . .
• per λ = 600 nm l’interferenza è costruttiva, da cui la sequenza: 112 nm,
338 nm, 563 nm, . . .
poiché devono valere entrambe le condizioni una soluzione è L = 338 nm,
sapendo che vi è un solo minimo d’interferenza questa soluzione è unica.
Esercizio 5 Interferometro di Michelson
1. Sia ℓ lo spessore di vetro che percorre la luce ad ogni passaggio. Per il cammino
Laser - BS - M1 - BS - D si ha una fase
φ1 = ωℓ
n
n
n
+ π + ωℓ + ωℓ + 2kLx
c
c
c
2
Per il cammino Laser - BS - M2 - BS - D si ha una fase
n
φ2 = π + π + ωℓ + 2kLy
c
la differenza di fase è quindi
n
φ = φ2 − φ1 = π − 2ωℓ + 2k(Ly − Lx )
c
e la differenza di cammino ottico φ/k è dato da
λ/2 − 2ℓ + 2(Ly − Lx ) .
2. Come figura di interferenza si ottengono una serie di cerchi, che coincidono
all’intersezione di uno dei due paraboloidi (vedi esercizio 1, serie 6) con lo
schermo.
Esercizio 7 Intensità, attenuazione e decibel
1. Segue dalla definizione di limite.
2. Utilizza
deαx
dx
= αeαx .
3. ∆Volume = 3 dB.
4. d = 123,7 m.
5. Volume = 117,3 dB e Volume = 77,3 dB.
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