MAT5-unità01-FUNZIONI ELEMENTARI

FUNZIONI ELEMENTARI
RISOLUZIONE DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ELEMENTARI CON IL
METODO GTRAFICO
APPROFONDIMENTO SULLE DISEQUAZIONI
FUNZIONE POTENZA N-SIMA
y=xn
N PARI
N DISPARI
Esempio y=x2
Esempio y=x3
x
y
x
y
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
1
-1
-1
2
4
2
8
-2
4
-2
-8
OSSERVAZIONI
1)La funzione y=x2 è pari, cioè a valori della x opposti
corrispondono valori della y uguali.
2) Se x=0 allora x2=0
viceversa
3)se x<0 v x>0 allora x2>0 viceversa
x2<0 MAI
1) La funzione y=x3 è dispari, cioè a valori della x opposti
corrispondono valori della y opposti.
x2=0 se x=0
2)Se x=0 allora x3=0
viceversa
x3=0 se x=0
x2>0 se xǂ0
3) Se x<0 allora x3<0
viceversa
x3<0 se x<0
Se x>0 allora x3>0
viceversa
x3>0 se x>0
ESEMPI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
1) (x – 3)2 =0 ⇔x-3=0⇔x=3
1) (x – 3)3 =0 ⇔x-3=0⇔x=3
2) (x – 3)2 >0 ⇔x-3<0 v x-3>0 ⇔ x<3 v x>3
2) (x – 3)3 >0 ⇔x-3>0⇔x>3
3) (x – 3)2 <0 MAI
3) (x – 3)3 <0 ⇔x-3<0⇔x<3
ESEMPI
1) x2+1=0 ⇔ x2= -1 non ammette soluzioni poiché nessun numero al quadrato può essere uguale ad un numero negativo
2) x2+1>0 ⇔ x2> -1 ammette come soluzione tutti i numeri reali poiché tutti i numeri al quadrato sono maggiori di un numero negativo
3) x2+1<0 ⇔ x2< -1 non ammette soluzioni poiché nessun numero al quadrato può essere minore di un numero negativo
4) x2-1=0 ⇔ x2= 1 ⇔ x= ± 1
5) x2-1>0 ⇔ x2> 1 ⇔ |𝑥| >1 (cioè x >1 v x < -1 )
6) x2-1<0 ⇔ x2< 1
⇔ |𝑥| <1 (cioè -1< x < 1 )
FUNZIONE RADICE N-SIMA
𝒏
y= √𝒙
N PARI
N DISPARI
3
2
Esempio y= √𝑥
Esempio y= √𝑥
x
y
x
y
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
∄
-1
-1
2
4
8
2
-2
∄
-8
-2
OSSERVAZIONI
2
1)La funzione y= √𝑥 esiste solo se la x assume valori positivi
o nulli
3
1) La funzione y= √𝑥 è dispari, cioè a valori della x opposti
corrispondono valori della y opposti.
2
3
viceversa
3
3
viceversa
3
3
viceversa
3
viceversa
2
√𝑥=0 se x=0
2)Se x=0 allora √𝑥=0
3)se x>0 allora √𝑥>0 viceversa
2
3) Se x<0 allora √𝑥<0
2) Se x=0 allora √𝑥=0
2
Se x<0
2
allora √𝑥 non esiste
√𝑥>0 se x>0
Se x>0 allora √𝑥>0
√𝑥=0 se x=0
√𝑥<0 se x<0
√𝑥>0 se x>0
FUNZIONE ESPONENZIALE
y=𝒂𝒙 con 𝑎 >0
0< 𝒂 <1
𝒂 >1
1 𝑥
Esempio y=2𝑥
Esempio y=(2)
x
y
x
0
1
1
1/2
-1
2
2
1/4
2
-2
4
-2
1
y
0
1
1
2
-1
1/2
4
1/4
1
1
OSSERVAZIONI
1) LA FUNZIONE È DEFINITA PER OGNI X ∈ 𝑹 ED ASSUME SEMPRE VALORI POSITIVI:
𝐱
2) 𝐚 =0 mai
e
𝐚 <0 mai
1 𝑥
viceversa
1 𝑥
4) Se x > 0 allora (2) < 1
1 𝑥
allora (2) > 1
viceversa
viceversa
1 𝑥
(2) = 1 se x=0
1 𝑥
(2) < 1 se x=0
1 𝑥
(2) > 1 se x<0
1 𝑥1
6) La funzione è decrescente: se x1 < x2 allora(2)
1 𝑥
7)
(2) > 0
8)
(2) < 0
9)
1 𝑥
1 𝑥
(2) = 0
per ogni x∈ 𝑹
𝐱
3) Se x=0 allora (2) = 1
5) Se x< 0
𝒂𝒙 > 𝟎
1 𝑥2
> (2)
3) Se x=0 allora (2)𝑥 = 1
viceversa
(2)𝑥 > 1 se x>0
5) Se x < 0 allora (2)𝑥 < 1
viceversa
(2)𝑥 < 1 se x<0
6) La funzione è crescente: se x1 < x2 allora(2)𝑥1 < (2)𝑥2
per ogni
MAI
8) (2)𝑥 < 0
MAI
MAI
9) (2)𝑥 = 0
MAI
x∈R
(2)𝑥 = 1 se x=0
4) Se x >0 allora (2)𝑥 > 1
7) (2)𝑥 > 0
per ogni
viceversa
x∈R
FUNZIONE LOGARITMO
y=loga x
0< 𝒂 <1
𝒂 >1
Esempio y= log 1/2 x
Esempio y= log2 x
x
y
x
0
∄
0
∄
1
0
1
0
-1
∄
-1
∄
2
-1
2
1
1
1/2 1
y
1
1/2 -1
OSSERVAZIONI
1)La funzione y=loga x esiste solo se la x assume valori positivi
2) Se x=0 o x < 0
allora loga x non esiste
3)Se 0<x<1 allora log1/2 x >0 viceversa log1/2 x >0 se 0<x<1
3) se 0<x<1 allora log 2 x<0 viceversa log 2 x <0 se 0<x<1
4) Se x>1 allora log1/2 x <0 viceversa log1/2 x<0 se x>1
4) se x>1 allora log 2 x>0 viceversa log 2 x >0 se x>1