Le
disequazioni
Pagina 1
Disequazioni razionali intere di primo grado ad una incognita
Una proprietà importante per tutte le disequazioni
Moltiplicando o dividendo ambedue i membri di una disequazione per uno stesso
numero negativo si ottiene una disequazione di senso contrario.
Sia data la seguente disequazione:
3 x − 5 + ( x +12 ) > − x + 23 Se moltiplico (o divido) ambo i
membri della disequazione proposta per il numero -1 ottengo la seguente disequazione equivalente:
-3x + 5- ( x +12 ) < + x - 23
Come si vede il verso della disequazione è mutato.
Sono disequazioni che possono essere ricondotte ad una delle seguenti forme:
ax > b
ax < b
Per risolvere una disequazione di primo grado ridotta a forma canonica basta dividere ambo i
membri per a, ricordando di cambiare il senso della disequazione se è
a < 0.
ax > b
⇒
x >
b
a
se a > 0
,
x <
b
a
se
a < 0
ax < b
⇒
x <
b
a
se a > 0
,
x >
b
a
se
a < 0
, 7x < − 7
;
ESEMPI
2 − x 2 + x 2x + 7 2x + 5
−
>
−
4
2
4
3
x < −1
per
6 − 3x − 12 − 6 x > 6 x + 21 − 8 x − 20
;
− 7x > 7
x < − 1
−1
x
x < −1
( x +1)
3
+ 3 x + 3 < x 3 + 3 ( x +1)( x −1)
per
x < −
7
6
x/ 3 + 3x/ 2 + 3x + 1 + 3x + 3 < x/ 3 + 3x/ 2 − 3
−
,
6x < − 7
,
7
6
x
6x < − 7
Pagina 1 di 9
x < −
7
6
Le
disequazioni
Pagina 2
Attraverso lo studio del segno di un binomio di primo grado è possibile risolvere disequazioni
di grado superiore al primo. Naturalmente il primo membro della disequazione ridotta a
forma canonica deve essere decomposto in fattori di primo grado.
IL segno del binomio di primo grado ax + b coincide col segno di a alla destra dello zero del
binomio. Questo significa che il segno del binomio di primo grado ax + b coincide col segno di a
per valori della x maggiori dello zero del binomio ax + b .
Regola sul segno del binomio di primo grado ax + b
Un binomio di primo grado ax + b si annulla per x = -
b
b
, assume lo stesso segno di a per x > - e
a
a
b
segno contrario per x < - .
a
(x
− 6 x3 + x 2 + 57 x − 70 > 0
− 2)( − 3x + 5)( 2 x + 7) > 0 per x < −
7 5
e < x < 2
2 3
Si calcolano gli zeri dei tre fattori di primo grado e si compila il seguente prospetto .
x − 2 = 0
x = 2 ,
⇒
−
− 3x + 5 = 0 ⇒
7
2
5
3
_
_
+
_
+
_
− 3x + 5
+
O
− 2 x3 + 3 x 2 + 29 x + 30 < 0
per
2 x 3 − 3x 2 − 29 x − 30 > 0
(x
_
_
O
_
_
−
O
3
2
+
_
_
+
+
_
+
O
−2
O
x
x−2
+
_
O
+
O
_
O
2x + 7
O
(x
−2 < x < −
3
, x > 5
2
− 2)( − 3x + 5)( 2 x + 7)
+ 2)( x − 5)( 2 x + 3) > 0
5
+
_
O
5
7
, 2x + 7 = 0 ⇒ x = −
3
2
2
_
+
x =
+
_
O
O
+
+
+
+
Pagina 2 di 9
x
x+2
x −5
2x + 3
(x
+ 2)( x − 5)( 2 x + 3)
Le
disequazioni
Pagina 3
Segno di un trinomio di secondo grado ad una incognita
T ( x ) = ax 2 + bx + c
Consideriamo un trinomio di secondo grado nella variabile x:
[5]
con a, b, c numeri reali relativi costanti (cioè numeri dati indipendenti da x) ed a ≠ 0 .
Col simbolo T (α ) intendiamo il numero che si ottiene quando nella [5] al posto della x poniamo
α , cioè il valore numerico che assume il trinomio per x = α .
ax 2 + bx + c = 0
Se poniamo:
[6]
otteniamo una equazione di secondo grado in x (detta equazione associata al trinomio)
le cui radici x1 ed x2 si chiamano zeri del trinomio. Per convenzione poniamo x1 < x2 .
∆ = b2 − 4ac = delta del trinomio
[7]
01) ∆ > 0 : il trinomio ammette due zeri reali e distinti
x1 =
−b − ∆
−b + ∆
, x2 =
se a > 0
2a
2a
x1 =
−b + ∆
2a
x1 =
−b − ∆
se a < 0
2a
02) ∆ = 0 : il trinomio ammette due zeri reali e coincidenti
x1 = x2 = −
b
2a
03) ∆ < 0 : il trinomio ammette due zeri complessi e coniugati, il trinomio non
si annulla mai ∀ x ∈ R .
L’intervallo limitato ed aperto
]x1 , x2 [
intervallo delle radici.
è detto
Se x ∈ ] − ∞, x1[ ]x2 ,+∞[ diciamo che la variabile x assume valori esterni all’intervallo
T ( x ) =a ( x − x1 )( x − x2 )
delle radici. Dall’algebra sappiamo che:
[8]
Studiare il segno del trinomio significa stabilire per quali valori della variabile x esso
assume valori positivi, negativi, nulli. Dobbiamo distinguere tre casi:
01) ∆ > 0
Il trinomio assume lo stesso segno di a per valori della x esterni
all’intervallo
delle radici, segno opposto
ad a
per
valori
all’intervallo delle radici.
Sinteticamente possiamo scrivere:
x1
+
_
x2
_
O
O
+
O
+
_
O
Pagina 3 di 9
x
T(x) ; a > 0
T(x)
; a<0
della
x interni
Le
disequazioni
Pagina 4
T ( x ) = − 32 x 2 + 4 x + 1
Studiare il segno del trinomio
L’equazione associata al trinomio è: 32 x 2 − 4 x − 1 = 0 , x1 = −
−
1
1
, x2 =
(zeri del trinomio)
8
4
1
4
1
8
_
x
_
+
O
− 32 x 2 + 4 x + 1 ; a = - 32 < 0
O
T ( x) > 0
1 1
∀ x ∈ − ,
8 4
T ( x) < 0
1
1
∀ x ∈ −∞ , − , + ∞
8
4
T ( x) = 0
per
x = −
( cioè per −
1
8
ed
x =
( cioè per x < −
1
1
]
< x <
8
4
1
1
ed x >
]
8
4
1
4
02) ∆ = 0 : il trinomio assume sempre lo stesso segno di a e si annulla per x1 = x2 = −
b
2a
Quindi il segno di T(x) coincide col segno di a , tranne che per x = x1 in corrispondenza del quale
il trinomio si annulla .
x1 = x2
+
_
x
T(x) ; a>0
+
_
O
T(x) ; a<0
O
T ( x ) = − 4 x 2 + 12 x − 9 = 0
Studiare il segno del trinomio
3
2
∆ = 0 , a = − 4 < 0 , x1 = x2 =
T ( x) > 0
03) ∆ < 0
∀ x ∈∅
,
T ( x) < 0
∀x≠
3
2
T ( x) = 0
,
Il trinomio assume sempre lo stesso segno di a.
x
T(x) a>0
+
_
T(x) a<0
Studiare il segno del trinomio
∆ < 0
,
per x =
a > 0
,
T ( x) > 0
T ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 1
∀ x ∈R
,
T ( x) ≤ 0
Pagina 4 di 9
∀ x ∈∅
3
2
Le
disequazioni
Pagina 5
Inequazioni razionali intere di secondo grado
Sono inequazioni riconducibili ad una delle due seguenti forme:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c < 0
Per risolvere una inequazione di secondo grado ad una incognita ridotta a forma canonica basta
ricordare le proprietà del segno del trinomio .
− 3x 2 + 7 x + 6 > 0
2
2
∀ x ∈ − , 3 ( − < x < 3 )
3
3
3x 2 − 7 x − 6 = 0 , x1 = −
−
2
, x2 = 3
3
2
3
_
O
3
+
_
O
x
− 3x 2 + 7 x + 6
a = -3 < 0
Sistemi di inequazioni in una incognita
Dicesi sistema di inequazioni in una incognita l’insieme di due o più incognite di cui
vogliamo trovare, quando esistono, le soluzioni comuni. Un sistema di disequazioni dicesi
possibile se ammette soluzioni, impossibile se non ammette soluzioni. In quest’ultimo caso
le disequazioni che compongono il sistema sono fra loro incompatibili.
Per risolvere un sistema di disequazioni si procede come segue:
• si trovano le soluzioni di tutte le disequazioni che compongono il sistema. Come sappiamo tali
soluzioni sono intervalli numerici
• L‘intervallo o gli intervalli numerici comuni a tutti gli intervalli precedentemente trovati sono le
soluzioni del sistema.
1
1
2
125x − 20 x − 1 > 0 per x < − 25 e x > 5
x 2 + 2 x − 8 < 0 per
−4 < x < 2
4
− 3x 2 + 5x + 12 > 0 per
− < x < 3
3
Pagina 5 di 9
Le
-4
−
4
3
−
1
25
1
5
disequazioni
2
Pagina 6
3
x
125x 2 − 20 x − 1 > 0
x2 + 2 x − 8 < 0
− 3x 2 + 5x + 12 > 0
Il sistema dato è verificato per −
1
4
1
e
< x < 2 cioè
< x < −
5
3
25
4 1 1
∀ x ∈ − ,− ,2
3 25 5
I segmenti colorati dell’asse x ci danno le soluzioni del sistema proposto; gli altri segmenti colorati
ci danno le soluzioni della disequazione indicata a fianco
Inequazioni razionali fratte ad una incognita
Sono disequazioni che possono essere ricondotte ad una delle due seguenti forme:
A( x)
< 0
B ( x)
A( x)
> 0
B ( x)
[1]
[2]
con A( x ) e B( x ) polinomi in x.
Per risolvere queste disequazioni bisogna scartare i valori della x che annullano il denominatore
B( x ) , cioè bisogna porre:
B( x ) ≠ 0
Le soluzioni dell’disequazione
A( x )
> 0
B( x )
.
coincidono con le soluzioni dei due seguenti sistemi:
A( x ) > 0
B( x ) > 0
Le soluzioni della disequazione
A( x ) > 0
B( x ) < 0
sistemi:
A( x ) < 0
B( x ) < 0
A( x )
< 0
B( x )
coincidono con le soluzioni dei due seguenti
A( x ) < 0
B( x ) > 0
Nella pratica, però, conviene risolvere una disequazione frazionaria attraverso lo studio del segno
dei fattori di primo e di secondo grado in cui possono essere decomposti i polinomi
A(x) e B(x). I seguenti esempi serviranno a chiarire quanto detto.
(
2 ( 7 − x ) 3 x 2 + 4 x − 15
(
3 − 2 x + 3x + 2
2
)
)
> 0
per − 3 < x < −
1
2
,
5
< x<2 , x > 7
3
Pagina 6 di 9
Le
disequazioni
Pagina 7
7 − x = 0 ⇒ x = 7 , 3x 2 + 4 x − 15 = 0 ⇒ x = − 3
− 2 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇒
−
-3
+
+
_
+
_
1
2
O
5
3
+
_
+
+
O
1
,
2
+
+
+
+
x
_
O
7 − x
+
_
+
_
∞
3x 2 + 4 x − 15
_
− 2 x 2 + 3x + 2
_
+
∞
O
x = 2
7
O
O
_
2
O
_
x = −
5
3
x =
+
(
)
2(7 − x ) 3x 2 + 4 x − 15
O
(
3 − 2 x 2 + 3x + 2
)
Risolvere le seguenti inequazioni razionali intere
01) x 2 + 28 − 2 x ≤ 3 ( x − 4 )
2
x ≤1 ∨ x ≥10
02) x 2 + 3 x ( 2 x + 3) − 4 x + 2 > 6 x 2 + 2
03)
( 4 − 3x )
2
x<−5 ∨ x>0
6
− < x<2
5
+ 20 x < 4 x 2 + 28
04) 4 ( 2 x − 5 ) + 3 ( 4 − x ) −1 > 12 − 2 x
x >3
05)
x + 3 x − 3 x +1 2 ( x −1)
+
≥
+
2
4
4
3
06)
3 x −14 11 − 6 x 9
+
< x
3
4
2
07)
13 3 x + 2 5 x − 4 2 x + 4 21x −1
+
−
<
+
4
7
8
3
42
08)
( x − 2)
09)
3 ( 2 x − 9 ) 1 3x − 7 x +1 3
x−2
−
− x<
+ 2−
2
4 2
4
3
6
10)
1 2 ( x − 7 ) 5 − x x − 9 7 x −1
⋅
−
< +
+
8 5
4
2
8
4
2
(1− 3x )
−
3
2
−
x ≤3
x>−
1
< 2 (1+ x )(1− x ) + x
15
Pagina 7 di 9
23
60
x>2
x>
8
15
x<5
x <17
Le
disequazioni
11)
( x +1)( x −1) + ( x +1)
12)
6 x + 1 15 x +1 9 x + 1
12 x + 1 3 x + 1
+
+
<15 x −
−
3
6
4
5
2
13)
x 2 − 7 x +10 x 2 + 2 x − 8
−
+ ( x − 2 )( x − 7 ) > 0
3
6
14)
( x − 3)( x + 3) + 2 x −1 < ( x − 2 )( x + 2 )
15)
( x − 3) + ( x + 2 ) + ( x + 3)( x − 2 ) > 2 ( x 2 + 2 ) + 9
2
3
5
2
3 ( x +1) 11 + 9 x − 2 x 2
>
+
2
3
2
3
2
Pagina 8
x < −1
x>
1
3
x < 2 ∨ x >8
−7 < x < 2
15
2
x< − 2 ∨ x >3
Risolvere i seguenti sistemi di inequazioni:
2
( x − 4) + 2( x − 3) < 5
01) 6( x − 2) > 4(2 x + 1) − 22
4
7
5 2
x2 − 3 +
<
x − 1
6
6
3
(
)
(
( x − 3)( x + 3) x − 6
−
> 0
3
2
x ( x + 4 ) x 2 − 7 x − 30
02)
+
>0
10
5
x −1 x + 1 ( x + 1)2
−
<
3
6
2
x2 − 6x + 5 > 0
6 − 2 x > 0
x2 − 4 < 0
)
2 x − 3x > 0
2
3 x + x − 30 > 0
− x 2 − x − 6 < 0
2
4 x( x − 5)
2
(2 x − 3) < 9 +
3
2
03) 3( x + 1) > ( 9 x − 1)( x − 3)
2x − 3
2 x − 1 17
−
<
− 2x
10
10
5
[ −
[ B.L. 1 < x < 2 ]
3
x < 0∨ x > 2
10
10 ∨ x > 3 ] Carmine
x < − ∨ x > 0 [ x < −
3
3
∀ x∈ R
x2 − 2x < 0
2
3 x −17 x < 0
x − 1 < 0
( x + 4)( x − 3) + ( x − 1)( x − 2) < 14
2
2
2
(4 x − 1) + ( 3x − 2) + 25x > 35
04) 2 x − 7 8 x − 4 > 0
(
)(
)
23
2
x − 4 x < 18
1< x < 5
x < 3
−2 < x < 2
Carmine
x − x − 12 < 0
2
5 x − 2 x − 3 > 0
2
4 x −16 x + 7 > 0
4 x 2 − 23 x − 72 < 0
2
9
3
7
< x < 4 ]
< x < − ∨
4
5
2
Pagina 8 di 9
[ B.L. 0 < x < 1 ]
−3 < x < 4
x < − 3 ∨ x > 1
5
1
7
x < 2 ∨ x > 2
− 9 < x < 8
4
Le
x 2 − 5x + 6 > 0
09) 2 x > x + 1
3x − 2 x + 1 > 2
(
)
x 2 −10 x + 21< 0
54)
x − 4 > 0
x2 − 5x + 6 > 0
74) x 2 − 6 x < 0
x + 1 > 0
disequazioni
Pagina 9
[ x > 4 ]
[ 4< x<7 ]
[ 0 < x < 2 ∨ 3< x < 6 ]
x2 − 1 < 0
76) x 2 − 5 x < 0
x 2 + 7 x +12 > 0
[ 0 < x <1 ]
Carmine
Carmine
Risolvere le seguenti disequazioni razionali fratte:
5x − 7
> 0
( x − 2)( x − 3)
06)
x + 1
x + 5
<
x − 2
x −3
09)
x 2 + 3x + 4 x 2 − 2
6
> 2
− 2
x ( x + 3)
x − 9 x − 3x
20)
21)
22)
23)
24)
[
[
3( x + 2)
>0
x( x 2 − 9)
7
< x < 2,
5
x > 3]
x < −3 , −2 < x < 0 , x > 3 ]
2
8
x
− x2 + x + 6
[
+ 2 >
> 0 , −2 < x < −1 , 1< x< 3 ]
x +1 x −1 x −1
x2 − 1
5
2
3
− 2
> 2
x + 5x + 6
x −4
x − 9
[ x<− 3 ∨ − 2< x<2 ∨
2
12 − 5 x
> 0
( x − 4)( x 2 − 9)
2
3x 2 − 5 x − 2
>0
2 x 2 − 3x + 1
4 x2 − 4 x − 3
<0
x 2 − 3x + 2
,
x < −3 , −2 < x < 2 ,
[ x<−
12
< x<3 ]
5
12
< x < 3
5
1
1
< x <1 ∨ x > 2 ]
∨
2
3
[ −
1
3
< x <1 ∨
<x<2 ]
2
2
Pagina 9 di 9
