Operatori in Spazi di Hilbert e Struttura Matematica della Meccanica

Operatori in Spazi di Hilbert e Struttura Matematica
della Meccanica Quantistica: un’Introduzione
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Facoltà di Scienze M.F.N
Università di Trento
1
Prefazione.
Una parte di questo libro è stata in realtà scritta, in forma preiminare, quando ero studente del
corso di laurea in Fisica all’Università degli Studi di Genova. Il corso obbligatorio di Istituzioni
di Fisica Teorica, al terzo anno, era il secondo scoglio insormontabile per molti studenti (il primo
era il famigerato corso di Fisica II che includeva la termodinamica insieme all’elettrodinamica
classica).
La Meccanica Quantistica necessita un modo di pensare nuovo e difficile e lo sforzo era davvero
notevole per noi volenterosi studenti: ci si muoveva per molti mesi in un contesto nebbioso
ed insicuro, senza capire cosa fosse davvero importante nelle nozioni fisiche che cercavamo di
imparare – con molta difficoltà – insieme ad un formalismo del tutto nuovo: quello della teoria spettrale degli operatori lineari su spazi di Hilbert. In realtà all’epoca non comprendevamo
ancora che stavamo lavorando con tale teoria matematica, e per molti dei miei colleghi la cosa
era, forse a ragione, del tutto irrilevante; i vettori bra di Dirac erano vettori bra di Dirac e basta
e non gli elementi del duale dello spazio di Hilbert. La nozione di spazio di Hilbert e di spazio duale non aveva ancora diritto di cittadinanza nella classe degli strumenti matematici della
quasi totalità dei miei colleghi, anche se sarebbe entrata a breve dal corso di Metodi Matematici
della Fisica. La matematica, la formalizzazione matematica della fisica, era sempre stato il mio
cavallo di battaglia per superare tutte le difficoltà insite nello studio della fisica, tanto che alla
fine (ma dopo avere preso anche un dottorato in fisica teorica) sono istituzionalmente diventato
un matematico. Armato delle mie nozioni di matematica, imparate in un percorso extracurriculare che coltivavo parallelamente agli studi di fisica da sempre, cercai di formalizzare anche
le interessanti nozioni nelle quale mi stavo imbattendo, con questo nuovo ed interessantissimo
corso di fisica. In parallelo portavo avanti una analogo progetto riguardante la formalizzazione
matematica della teoria della Relatività Generale, non sapendo ancora che lo sforzo dedicato
alla Meccanica Quantistica sarebbe stato incommensurabilmente superiore.
La formulazione del teorema spettrale più o meno come è presentata nel capitolo 9 di questo
libro è la stessa con la quale arrivai a sostenere l’esame del corso di Istituzioni di Fisica Teorica
che fu, di conseguenza, un po’ un discorso tra sordi.
Successivamente i miei interessi si spostarono verso la teoria quantisica dei campi, argomento di
cui, dal punto di vista matematico, mi occupo ancora oggi nel contesto un po’ più generale della
teoria quantistica dei campi su spaziotempo curvo. Tuttavia il mio interesse per la formulazione
elementare della MQ non è andato scemando negli anni e, di tanto in tanto, ho continuato ad
aggiungere qualche altro capitolo all’opera iniziata da studente. L’occasione di insegnare queste
2
cose in vari corsi per matematici e per fisici, nelle lauree specialistiche e nei dottorati, infliggendo
ai miei poveri studenti i risultati dei miei sforzi di sintesi, si è rivelata fondamentale per per migliorare l’opera, trascrivendo il testo in LaTeX, ma anche corregendola in vari punti accogliendo
le numerose osservazioni che mi sono giunte da varie persone. Vorrei a tal proposito ringraziare
vari studenti e colleghi, che hanno contribuito a migliorare le diverse versioni preliminari di
questo trattato: P. Armani, G. Bramanti, M. Dalla Brida, L. Di Persio, C. Fontanari, A. Franceschetti, A. Giacomini, V. Marini, G. Tessaro, A. Pugliese, G. Ziglio. Ringrazio in particolare
R. Aramini e D. Cadamuro che mi hanno segnalato errori di vario genere. Sono grato ai miei
amici e collaboratori R. Brunetti e N. Pinamonti per varie discussioni su molti degli argomenti
trattati e per avermi segnalato importanti riferimenti bibliografici.
Sarò grato a chiunque voglia scrivermi per segnalarmi le (sicuramente numerose) imprecisioni,
mancanze e gli errori che quest’opera possiede ancora. A parte le evidenti limitazioni nel contenuto: non sono trattati gli aspetti matematici di importantissimi argomenti di fisica, primo
fra tutti la teoria della diffusione quantistica. Inoltre – per ironia della sorte, dato che la mia
attività di ricerca concerne le teorie relativistiche – tutta la trattazione si sviluppa ad un livello non realtivistico e la trattazione quantistica della simmetria di Poincaré rimane del tutto
trascurata. D’altra parte alcuni argomenti chiave per la fisica, quali la nozione di simmetria
(anche in relazione al problema della dinamica) oppure le proprietà delle funzioni di operatori
autoaggiunti, sono affrontati con una certa profondità ed ampiezza.
Ottobre 2009
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Facoltà di Scienze MFN
Università di Trento
[email protected]
3
Indice
1 Introduzione
1.1 Scopi, struttura del libro e prerequisiti. . .
1.2 La MQ come teoria matematica. . . . . .
1.3 La MQ nel panorama della Fisica attuale.
1.4 Convenzioni generali. . . . . . . . . . . . .
I
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Elementi di teoria degli operatori su spazi di Hilbert
9
9
11
13
15
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2 Alcune nozioni e teoremi generali nella teoria degli spazi normati e di Banach.
2.1 Spazi normati, di Banach e algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Operatori, spazi di operatori, norme di operatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 I teoremi fondamentali negli spazi di Banach e le topologie deboli. . . . . . . . .
2.3.1 Il teorema di Hahn-Banach e le sue conseguenze elementari. . . . . . . . .
2.3.2 Il teorema di Banach-Steinhaus e topologie operatoriali. . . . . . . . . . .
2.3.3 Il teorema dell’applicazione aperta e dell’operatore inverso continuo dal
Teorema di Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Proiettori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Norme equivalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
18
23
30
30
34
3 Spazi di Hilbert ed operatori limitati.
3.1 Nozioni elementari, teorema di Riesz e riflessività. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Basi hilbertiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Nozione di aggiunto e applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 L’operazione di coniugazione hermitiana o aggiunzione. . . . . . . . . . .
3.3.2 ∗ -algebre e C ∗ -algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Operatori normali, autoaggiunti, isometrici, unitari, operatori positivi. . .
3.4 Proiettori ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Radici quadrate di operatori positivi e decomposizione polare di operatori limitati.
3.6 La trasformata di Fourier-Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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49
57
69
69
72
74
78
81
89
4
39
43
45
4 Proprietà elementari degli operatori compatti, di Hilbert-Schmidt e di classe
traccia.
101
4.1 Generalità sugli operatori compatti in spazi normati, di Banach e Hilbert. . . . . 102
4.2 Operatori compatti in spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Operatori di Hilbert-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Operatori di classe traccia (o nucleari). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Operatori non limitati con domini densi in spazi di Hilbert.
5.1 Operatori non limitati con dominio non massimale. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Operatori non limitati con dominio non massimale in spazi normati e di
Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 La definizione generale di operatore aggiunto in spazi di Hilbert. . . . . .
5.2 Operatori hermitiani, simmetrici, autoaggiunti ed essenzialmente autoaggiunti. .
5.3 Alcune importanti applicazioni: operatore posizione e operatore impulso. . . . . .
5.3.1 L’operatore posizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 L’operatore impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Criteri di esistenza ed unicità per le estensioni autoaggiunte. . . . . . . . . . . . .
5.4.1 La trasformata di Cayley e gli indici di difetto. . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Criteri di Von Neumann e di Nelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
135
II
164
Il formalismo della Meccanica Quantistica e la Teoria Spettrale
135
137
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144
144
146
151
151
155
6 Brevi cenni di fenomenologia dei sistemi quantistici e di Meccanica Ondulatoria.
165
6.1 Generalità sui sistemi quantistici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Alcune proprietà particellari delle onde elettromagnetiche. . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.1 Effetto Fotoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.2 Effetto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Cenni di Meccanica ondulatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.1 Onde di de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.2 Funzione d’onda di Schrödinger e interpretazione probabilistica di Born. . 171
6.4 Principio di indeterminazione di Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5 Le grandezze compatibili ed incompatibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 Il formalismo matematico di base della MQ: proposizioni, stati quantistici e
osservabili.
177
7.1 Le idee che stanno alla base dell’interpretazione standard della fenomenologia
quantistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2 Stati classici come misure di probabilità sulla σ-algebra delle proposizioni elementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2.1 Stati come misure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.3
7.4
7.5
Proposizioni e insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretazione insiemistica dei connettivi logici. . . . . . . . . . . . . . .
Proposizioni “infinite” e grandezze fisiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il reticolo distributivo, limitato, ortocomplementato e σ-completo delle
proposizioni elementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le proposizioni relative a sistemi quantistici come insiemi di proiettori ortogonali.
7.3.1 Reticoli di proiettori ortogonali su spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . .
Le proposizioni e gli stati relativi a sistemi quantistici. . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Proposizioni e stati di sistemi quantistici: il teorema di Gleason. . . . . .
7.4.2 Stati puri, stati misti, ampiezze di transizione. . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Stati successivi ai processi di misura e preparazione degli stati. . . . . . .
7.4.4 Regole di superselezione e settori coerenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le osservabili come Misure a Valori di Proiezione (PVM) su R. . . . . . . . . . .
7.5.1 La nozione di osservabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Operatori autoaggiunti associati ad osservabili: esempi elementari. . . . .
7.5.3 Misure di probabilità associate a coppie stato - osservabile. . . . . . . . .
7.5.4 Un accenno alle osservabili generalizzate in termini di “POVM”. . . . . .
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198
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225
8 Teoria Spettrale su spazi di Hilbert I: generalità ed operatori normali limitati.227
8.1 Spettro, risolvente, operatore risolvente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.1 Nozioni fondamentali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.2 Il raggio spettrale e la formula di Gelfand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.3 Spettri di operatori autoaggiunti, unitari e normali in spazi di Hilbert. . . 235
8.2 ∗-omomorfismi continui di C ∗ -algebre di funzioni indotti da operatori limitati
autoaggiunti in spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3 Misure a valori di proiezione e teorema spettrale per operatori limitati normali. . 247
8.3.1 Misure a valori di proiezione (PVM) dette anche misure spettrali. . . . . . 247
8.3.2 Proprietà degli operatori ottenuti integrando funzioni limitate rispetto a
PVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.3.3 Teorema di decomposizione spettrale per operatori limitati normali. . . . 262
9 Teoria Spettrale su spazi di Hilbert II: operatori autoaggiunti non limitati ed
applicazioni.
280
9.1 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati. . . . . . . . . . . . . . 281
9.1.1 Integrazione di funzioni non limitate rispetto a misure spettrali. . . . . . 281
9.1.2 Teorema di decomposizione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.293
9.1.3 Un esempio a spettro puntuale: l’hamiltoniano dell’oscillatore armonico . 302
9.1.4 Un esempio a spettro continuo: gli operatori posizione ed impulso. . . . . 306
9.1.5 Teorema di rappresentazione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.2 Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui. . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6
9.2.1
9.3
9.4
9.5
9.6
Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui, teorema di von
Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.2.2 Gruppi unitari ad un parametro generati da operatori autoaggiunti e
Teorema di Stone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.2.3 Condizioni per la commutatività di misure spettrali. . . . . . . . . . . . . 319
Prodotto tensoriale hilbertiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3.1 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3.2 Prodotto tensoriale di operatori (generalmente non limitati) e loro proprietà spettrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.3.3 Un esempio: il momento angolare orbitale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Esponenziale di operatori non limitati: vettori analitici. . . . . . . . . . . . . . . 335
Teorema di decomposizione polare per operatori non limitati. . . . . . . . . . . . 339
9.5.1 Proprietà degli operatori A∗ A, radici quadrate di operatori autoaggiunti
positivi non limitati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.5.2 Teorema di decomposizione polare per operatori chiusi e densamente definiti.344
I teoremi di Kato-Rellich e di Kato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.6.1 Il teorema di Kato-Rellich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.6.2 Un esempio: l’operatore −∆ + V ed il teorema di Kato. . . . . . . . . . . 348
10 La formulazione matematica della Meccanica Quantistica non relativistica. 355
10.1 Sistemi elementari non relativistici: particella a spin 0. . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.1.1 le Relazioni di Commutazione Canonica (CCR) e non implementabilità con
operatori limitati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.1.2 Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg come teorema. . . . . . . . 363
10.2 Le relazioni di Weyl, il teorema di Stone-von Neumann ed il teorema di Mackey. 364
10.2.1 Famiglie irriducibili di operatori e lemma di Schur. . . . . . . . . . . . . . 364
10.2.2 Le relazioni di Weyl dalle CCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.2.3 Il teorema di Stone-von Neumann ed il teorema di Mackey. . . . . . . . . 375
10.2.4 La ∗-algebra di Weyl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2.5 Dimostrazione dei teoremi di Stone-von Neumann e di Mackey. . . . . . . 381
10.2.6 Commenti finali sul teorema di Stone-von Neumann: il gruppo di Heisenberg.387
10.3 Il principio di corrispondenza di Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
11 Introduzione alle Simmetrie Quantistiche.
11.1 Nozione e caratterizzazione di simmetrie quantistiche. .
11.1.1 Qualche esempio. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Simmetrie in presenza di regole di superselezione.
11.1.3 Simmetrie nel senso di Kadison. . . . . . . . . .
11.1.4 Simmetrie nel senso di Wigner. . . . . . . . . . .
11.1.5 Teoremi di Wigner, di Kadison. . . . . . . . . . .
11.1.6 Azione duale delle simmetrie sulle osservabili. . .
11.2 Introduzione ai gruppi di simmetria. . . . . . . . . . . .
7
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393
393
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396
397
400
402
414
421
11.2.1
11.2.2
11.2.3
11.2.4
11.2.5
11.2.6
11.2.7
11.2.8
Rappresentazioni proiettive, unitarie proiettive, estensioni centrali. . . . .
Gruppi di simmetria topologici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazioni unitarie proiettive fortemente continue. . . . . . . . . .
Il caso notevole del gruppo topologico R. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Richiami sui gruppi ed algebre di Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppi di simmetria di Lie, teoremi di Bargmann, Gårding, Nelson, FS3 .
Un esempio: il gruppo di simmetria SO(3) e lo spin . . . . . . . . . . . .
Il gruppo di Galileo e la regola di Bargmann di superselezione della massa
421
430
433
436
443
453
464
468
12 Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Quantistica.
12.1 L’assioma di evoluzione temporale e le simmetrie dinamiche. . . . . . . . . . . . .
12.1.1 L’equazione di Schrödinger e gli stati stazionari. . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 L’azione del gruppo di Galileo in rappresentazione posizione. . . . . . . .
12.1.3 L’evolutore temporale in assenza di omogeneità temporale e la serie di
Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.4 Inversione del tempo antiunitaria. Teorema di Pauli. . . . . . . . . . . . .
12.2 Relazione tra simmetrie dinamiche e costanti del moto. . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 La rappresentazione di Heinsenberg e le costanti del moto. . . . . . . . . .
12.2.2 Un accenno al teorema di Ehrenfest ed ai problemi matematici ad esso
connessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Costanti del moto associate a gruppi di Lie di simmetria ed il caso del
gruppo di Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Sistemi composti: sistemi con struttura interna e sistemi a più particelle. . . . .
12.3.1 Stati entangled ed il cosiddetto “paradosso EPR”. . . . . . . . . . . . . .
12.3.2 Impossibilità di trasmettere informazione tramite le correlazioni EPR. . .
12.3.3 Sistemi di particelle identiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
479
480
486
493
A Relazioni d’ordine, topologia, gruppi.
A.1 Relazioni d’ordine, insiemi parzialmente ordinati, lemma di Zorn. . . . . . . . . .
A.2 Richiami di topologia generale elementare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Richiami di teoria dei gruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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528
529
532
B Elementi di geometria differenziale.
B.1 Varietà differenziabili, varietà differenziabili prodotto, funzioni differenziabili. .
B.2 Spazio tangente e cotangente. Campi vettoriali covarianti e controvarianti. . . .
B.3 Differenziali, curve e vettori tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Pushforward e pullback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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536
536
541
544
545
C Teoria della misura, integrale di funzioni a valori spazi di Banach.
C.1 Richiami di teoria della misura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Derivazione sotto il segno di integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Integrale di funzioni a valori spazi di Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
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