Interpolazione polinomiale (o di Lagrange) - Digilander

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Interpolazione polinomiale (o di Lagrange)
Date n+1 coppie di punti distinti ed una funzione approssimante g(x) diremo
che g interpola i punti dati se g(xi ) = yi per i = 0, . . . , n, cioè se il grafico
di g passa per i punti dati. Se la funzione g è un polinomio parleremo
di interpolazione polinomiale o Lagrangiana, se g è una funzione razionale
parleremo di interpolazione razionale, se g è una funzione trigonometrica
parleremo di interpolazione trigonometrica etc.
Vediamo alcuni esempi:
Supponiamo di avere due punti (xo , y0 ) e (x1 , y1 ) e di voler determinare
la retta che passa per essi; per fare ciò basterà risolvere il seguente sistema
P1 (xo ) = ax0 + b = y0
P1 (x1 ) = ax1 + b = y1
Analogamente, dati 3 punti, è
essi risolvendo il sistema:

 P2 (xo )
P2 (x1 )

P2 (x2 )
possibile costruire la parabola che passa per
= ax20 + bx0 + c0 = y0
= ax21 + bx1 + c1 = y1
= ax22 + bx2 + c2 = y2
Più in generale, date n + 1 coppie distinte di punti (xo , y0 ),(x1 , y1 ),
. . . (xn , yn ) è possibile costruire il polinomio che passa per essi trovando
la soluzione del sistema

Pn (xo ) = a0 + a1 x0 + a2 x20 + a3 x30 + . . . + an xn0 = y0



 Pn (x1 ) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = y1
1
1
1
..

.



Pn (xn ) = a0 + a1 xn + a2 x2n + a3 x3n + . . . + an xnn = yn
Si dimostra che se i nodi di interpolazione sono distinti, il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da 0 (metodo dei coefficenti indeterminati) e il sistema ammette un’unica soluzione (quindi il polinomio
interpolante di Lagrange è unico).
La matrice dei coefficienti associata a questo sistema però


1 x0 x20 . . . xn0
 1 x1 x21 . . . xn1 


 1 ... ... ... ... 


 1 ... ... ... ... 
1 xn x2n . . . xnn
è una matrice di Van der Monde, ed è una matrice particolare in quanto
fortemente malcondizionata: per valori di n molto grandi la risoluzione del
sistema porta a risultati poco affidabili e quindi si preferisce utilizzare altri
metodi per determinare il polinomio interpolante.
1
Polinomi fondamentali di Lagrange
Una possibile soluzione al problema è quella di scrivere il polinomio mediante
interpolante mediante i polinomi di Lagrange:
n
X
Ln (x) =
ln,k (x)yk
k=0
dove
n
Y
(x − x0 ) . . . (x − xk−1 )(x − xk+1 ) . . . (x − xn )
x − xi
=
ln,k (x) =
xk − xi
(xk − x0 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn )
i=0
i6=k
Da notare che per come sono definiti questi polinomi si ha che:
1 se j = k
ln,k (xj ) =
0 se j 6= k
Questa rappresentazione è soggetta al fenomeno della cancellazione numerica e quindi è instabile in quanto per valori di xk e xj molto vicini tra
loro si ottengono divisioni per numeri prossimi allo zero.
Rappresentazione di Newton (o metodo delle differenze divise)
In questo metodo il polinomio interpolante è dato dalla seguente formula
Ln (x) = y0 +[x0 , x1 ](x−x0 )+[x0 , x1 , x2 ](x−x0 )(x−x1 )+. . .+[x0 , x1 , . . . , xn ](x−x0 ) . . . (x−xn−1 )
dove ciascuna delle espressioni tra parentesi quadre è la differenza divisa sui
punti x0 ,. . . ,xn . In particolare:
f (b) − f (a)
b−a
è chiamata differenza divisa del primo ordine su due punti.In alcuni testi
tale espressione viene scritta nella forma [a, b; f ].
Analogamente la differenza divisa di ordine 2 su tre punti è data da
[a, b] =
[a, b, c] =
[b, c] − [a, b]
c−a
Quella di ordine 3 su quattro punti
[a, b, c, d] =
[b, c, d] − [a, b, c]
d−a
è cosı̀ via.
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Vantaggi
La definizione di differenza divisa [a, b], per valori di b molto vicini ad a,
concide con la definizione di limite del rapporto incrementale ovvero:
f (b) − f (a)
= f 0 (a)
b−a
Analogamente, in presenza di valori vicini tra loro, si ha che:
[a, b, c] =
[a, b, c, d] =
f 00 (a)
2
f 000 (a)
3!
Stima dell’errore (Resto dell’interpolazione)
Data una successione di punti, vogliamo stabilire quanto la funzione interpolante si discosta dalla
funzione di partenza, cioè:
|f (x) − Ln (x)| = Rn (f, x)
L’espressione Rn (f, x) viene chiamata resto o errore dell’interpolazione Lagrangiana. Tale quantità può essere ancora
rappresentata nella forma
Rn (f, x) = [x, x0 , . . . , xn ](x − x0 ) . . . (x − xn )
Dall’analisi sappiamo che per questa espressione esiste un punto ξ tale che
Rn (f, x) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 ) . . . (x − xn )
(n + 1)!
Sappiamo dell’esistenza del punto ξ, ma non siamo in grado di stabilire chi
sia; benché questo risultato sia puramente teorico, e quindi di fatto inutilizzabile dal punto di vista applicativo, ci permette di esplorare il seguente caso
particolare: supponendo infatti che f ∈ Pn (insieme di polinomi di grado al
più n), allora la sua derivata n + 1-esima sarà pari a zero e di conseguenza
anche Rn (f, x) = 0, cioè l’interpolante andrà a coincidere con la funzione f .
Analizziamo ora il comportamento dell’interpolante al crescere dei punti
di interpolazione.
Convergenza dell’interpolazione
Si dimostra che:
|Rn (f, x)| ≤ cEn (f )(1 + λn ) ,
3
c∈<
dove
En (f ) =
min
P ∈Pn [x0 ,xn ]
max |f (x) − P (x)|
è l’errore di migliore approssimazione uniforme (cioè scelgo fra tutti i polinomi in Pn quello che si discosta meno da f ) e
λn = max
[x0 ,xn ]
n
X
|ln,k (x)|
k=0
è l’n-esima costante di Lebesgue.
Tanto più la funzione f è regolare e tanto più convergerà rapidamente
a 0. In particolare se f ∈ C 0 ⇒ En (f ) converge a 0, se f ∈ C 1 ⇒ En (f )
converge a 0 come n1 , se invece f ∈ C 2 ⇒ En (f ) converge a 0 come n12 etc. .
Le quantità λn invece tendono ad infinito al crescere di n ed in particolare
si ha che λn ≥ c log n.
Per poter bilanciare il buon comportamento di En (f ) rispetto al cattivo comportamento di λn affinché Rn (f ) tenda a 0, bisogna operare delle
opportune scelte per i punti xi del polinomio interpolante. In particolare:
• se xi = zeri di Cebicev ⇒ λn ∼
= log n (scelta ottimale).
• se xi = zeri di polinomi ortogonali ⇒ λn ∼
= nα .
• se xi equidistanti ⇒ λn ∼
= en (scelta peggiore).
Consideriamo, ad esempio, la funzione
f (x) = |x| e studiamo la convergenza dell’interpolante di Lagrange scegliendo punti
di interpolazione equidistanti. La funzione
f (x) ∈ C 0 poiché presenta una discontinuità
in 0; inoltre dato che i punti scelti sono equidistanti, i λn ∼
= en e quindi l’interpolante
presenterà numerose oscillazioni (fenomeni
di overflow e underflow) ed En (f ) tenderà a zero molto lentamente.
Fenomeno di Runge
Esaminiamo la funzione
f (x) =
1
1 + x2
in [-5,5]
Nonostante la funzione f ammetta infinite derivate, l’interpolante di Lagrange non converge in tutto l’intervallo: estendendo infatti la funzione al
campo dei complessi, si può facilmente verificare che il denominatore si annulla per x = ±i dato che i2 = −1. Quindi se i punti di interpolazione
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vengono scelti all’interno del piano complesso (raggio < 1) l’interpolante
converge sicuramente, mentre diverge estendendo l’intervallo a cerchi più
grandi che includono i punti di singolarità.
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