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Prof. Enzo Baccarelli, Dipartimento di Scienza e
Tecnica dell’Informazione e della Comunicazione
(INFO-COM)
Università “La Sapienza”
Organizzazione della
Presentazione
•
•
•
•
•
Perché la Teoria dei Giochi
Cosa è un Gioco
I Giochi Strategici e Non-cooperativi
Equilibrio in regime di competizione: l’equilibrio di Nash
Classificazione dei punti di equilibrio di Nash: Dominanza
di Pareto
• Sistemi Auto-Configuranti e Teoria dei Giochi
• Evoluzione dello stato di un sistema Auto-Configurante
verso l’equilibrio di Nash
• Esempio di una rete di nodi interagenti
Perché la Teoria dei Giochi - Un
esempio celebre (1/6)
•
“…supponiamo che due cacciatori si appostino per cacciare
un cervo e che entrambi siano consapevoli di dover rimanere
al loro posto al fine del buon esito della caccia. Comunque,
se dovesse accadere che una lepre transiti improvvisamente
vicino a uno dei due cacciatori, è verosimile ritenere che il
cacciatore che avvista la lepre abbandoni la sua postazione e
si metta ad inseguirla. E’ altresì ragionevole ritenere che una
volta che abbia catturato la lepre, egli non si curi del fatto
che la sua azione possa aver lasciato l’altro cacciatore privo
di alcuna preda…”
Rousseau, dal “Discorso sull’Origine e la base della uguaglianza tra gli uomini”
Perché la Teoria dei Giochiil Gioco dei cacciatori (2/6)
Riassumendo,
•
Due cacciatori devono decidere simultaneamente se
cacciare un cervo o una lepre.
•
Se decidono entrambi per la lepre, ciascuno porterà a
casa una lepre. In ogni caso ogni cacciatore preferirebbe
portare a casa mezzo cervo.
•
Se uno dei due decide per la lepre mentre l’altro opta per
il cervo, chi avrà deciso per la lepre la porterà a casa,
mentre chi ha optato per il cervo non porterà a casa
nulla.
Perché la Teoria dei GiochiRappresentazione schematica del
il Gioco dei Cacciatori (3/6)
Cacciatore 2
Cervo
Lepre
Cervo
(10,10)
(0,5)
Lepre
(5,0)
(5,5)
Cacciatore 1
•
•
I numeri in ciascuna casella misurano il grado di
soddisfazione (o profitto) acquisito dai due cacciatori
Le soluzioni del gioco che sembrerebbero più
ragionevoli sono (cervo, cervo) e (lepre, lepre)
Perché la Teoria dei GiochiGli ingredienti del
Gioco dei cacciatori (4/6)
Gli ingredienti di base del gioco di Rosseau sono tre
1.
2.
3.
I due cacciatori (i giocatori del gioco)
Le azioni che i cacciatori possono intraprendere
(cacciare il cervo o cacciare la lepre)
Le misure del grado di soddisfazione acquisito da
ciascun cacciatore in corrispondenza di ciascuna delle
quattro possibili conclusioni del gioco.
Perché la Teoria dei Giochi (5/6)
•
•
1.
2.
La Teoria dei Giochi è un insieme di modelli analitici
sviluppato allo scopo di aiutarci a descrivere e
comprendere i fenomeni che osserviamo quando più
Decisori (giocatori) interagiscono (liberamente o
forzatamente) fra di loro al fine di conseguire ciascuno
un proprio specifico obiettivo.
Due sono le assunzioni di base circa il comportamento
individuale dei giocatori:
Ciascun giocatore agisce in modo da conseguire un suo ben definitivo
obiettivo (ciascun giocatore agisce in maniera razionale)
Nel prendere una decisione al fine di conseguire l’obiettivo prefissato,
ciascun giocatore tiene conto delle decisioni che gli altri giocatori hanno già
preso o che è verosimile che prendano in futuro (ciascun giocatore
interagisce con tutti gli altri giocatori e agisce in maniera strategica al fine
di conseguire il proprio obiettivo)
Perché la Teoria dei Giochi (6/6)
I modelli analitici della Teoria dei Giochi costituiscono
rappresentazioni formali di situazioni reali in cui più decisori (giocatori)
interagiscono e competono al fine di conseguire obiettivi contrastanti o più
semplicemente differenti.
Possibili campi di applicazioni della Teoria dei Giochi sono:
1.Le scienze sociali (descrizioni di competizioni politiche)
2.Le scienze economiche (descrizione di oligopoli e di competizioni economiche)
3.Le scienze ingegneristiche (condivisione ottima di una risorsa a disposizione di più
richiedenti; gestioni di reti su larga scala)
4.Le scienze demografiche e naturali (descrizioni di eco-sistemi in cui più specie
coesistono e competono per la sopravvivenza)
5.Le scienze mediche (interazione tra cellule, organizzazione di dati genomici)
6.Le scienze fisiche (transizioni di fase nella fisica statica e nella meccanica statistica)
7.Le scienze biologiche (auto-organizzazione ed evoluzione dei sistemi biologici complessi,
come le colonne di formiche)
Che cosa è un Gioco Le Regole del Gioco (1/8)
•
•
•
1.
2.
3.
•
•
Il Gioco è una descrizione dei meccanismi che regolano
l’interazione tra più giocatori.
Un Gioco non specifica le azione che, di volta in volta, i giocatori
intraprenderanno effettivamente ma solo l’insieme delle possibili
azioni.
La descrizione dei meccanismi di interazione (regole del gioco)
comprende:
La specificazione dell’obiettivo che ciascun giocatore si prefigge di conseguire
La specificazione dei vincoli sulle azioni (decisioni) che ciascun giocatore può
prendere
La specificazione degli effetti dell’azione di ciascun giocatore sul
comportamento di tutti gli altri giocatori.
Un gioco si considera assegnato quando sono specificate le sue regole
Tutti i giocatori che prendono parte al Gioco conoscono le regole del gioco
Che cosa è un GiocoSoluzioni e Stati Stabili (2/8)
•
•
•
•
Una soluzione del Gioco è la descrizione sistematica di un insieme
di azioni che i giocatori partecipanti al Gioco possono prendere.
Non tutte le soluzioni ammissibili “a priori” per un gioco rendono
“soddisfatti” tutti i giocatori.
Quando esiste, uno stato-stabile del gioco è una particolare
soluzione che soddisfa tutti i Giocatori.
Supposto che la soluzione raggiunta dal gioco sia uno stato-stabile,
nessun giocatore ha interesse a perturbare il Gioco così da
abbandonare lo stato-stabile.
Che cosa è un GiocoPunto di equilibrio di un gioco (3/8)
•
•
Uno stato stabile rappresenta sempre un punto di equilibrio del
gioco.
Lo scopo principale della Teoria dei Giochi è quello di individuare
l’insieme dei punti di equilibrio di un gioco.
Che cosa è un GiocoClassificazione (4/8)
Tipi di Giochi
Strategici
Oppure
Estensivi
Cooperativi
Oppure
Non
cooperativi
Con
Informazione
perfetta
Oppure
Con
Informatione
imperfetta
Che cosa è un GiocoClassificazione (5/8)
•
•
Un Gioco è strategico (ovvero, senza memoria) quando
ciascun giocatore sceglie l’azione corrente sulla sola
base delle azioni correntemente scelte dagli altri
giocatori
Un Gioco è estensivo (ovvero, con memoria) quando
ciascun giocatore sceglie l’azione corrente sulla base
delle proprie azioni passate e sulla base delle azioni
passate e correnti di tutti gli altri giocatori.
Che cosa è un GiocoClassificazione (6/8)
•
•
Un Gioco è non-cooperativo quando ciascun giocatore
sceglie la propria azione tenendo conto di quelle degli
altri Giocatori ma al solo scopo di massimizzare il
proprio profitto individuale.
In un Gioco cooperativo, l’insieme dei giocatori è
suddiviso in sotto-insiemi, noti come coalizioni. Ciascun
giocatore sceglie la propria azione tenendo conto di
quelle degli altri Giocatori ma allo scopo di
massimizzare il profitto della coalizione alla quale
appartiene.
Che cosa è un GiocoClassificazione (7/8)
•
•
Un Gioco è detto con informazione perfetta quando, ad
ogni istante t0, ciascun giocatore conosce esattamente le
azioni intraprese da tutti gli altri Giocatori sino
all’istante t0.
Un Gioco è detto con informazione imperfetta quando
almeno un giocatore non conosce con esattezza le azioni
già intraprese dagli altri giocatori.
Che cosa è un GiocoClasse dei Giochi di Interesse (8/8)
•
•
Nel seguito della presentazione ci occuperemo della
descrizione formale e delle proprietà evolutive di una
particolare classe di Giochi, ossia dei Giochi strategici,
non cooperativi e con perfetta informazione.
I Giochi strategici, non-cooperativi e con perfetta
informazione sono quelli che meglio descrivono il
comportamento della maggior parte dei sistemi autoconfiguranti.
Giochi strategici e non cooperativiDefinizione formale (1/8)
•
1.
2.
3.
Un Gioco strategico, non cooperativo e con perfetta
informazione è un modello per la descrizione
dell’interazione tra più giocatori in cui:
Le azioni intraprese dai giocatori in ciascuna ripetizione
del Gioco non dipendono dalle azioni prese nelle
ripetizioni precedenti (Gioco strategico)
Ogni giocatore sceglie l’azione che massimizza la
propria utilità, ossia l’azione che gli è più conveniente
(non cooperativo)
Ogni giocatore conosce gli insiemi della azioni a
disposizione di tutti gli altri giocatori (perfetta
informazione)
Definizione formale (2/8)
Formalmente, un Gioco
def
G = < N ; Ag , g ∈ N ; u g (.), g ∈ N >
strategico, non-cooperativo con perfetta informazione è definito da
1.
2.
3.
def
Un insieme finito N = {0,1,..., N } che rappresenta l’insieme degli
(N+1) giocatori che partecipano al gioco;
Per ciascun giocatore g∈N , un insieme Ag (spazio delle azioni
g-esime) di elementi ciascuno dei quali ag ∈ Ag rappresenta una
azione che può prendere il giocatore g-esimo. Ag è l’insieme
delle azioni ammissibili per il giocatore g-esimo.
Per ciascun giocatore g∈N , una funzione reale e scalare
u g : A0 × ... × Ag × ... × AN ⎯⎯
→ℜ
che costituisce la funzione di utilità del giocatore g-esimo.
Significato della Funzione di Utilità
(3/8)
• Indichiamo con
def
A = A0 × A1 × ... × Ag × ... × AN
lo spazio delle azioni di tutti i giocatori;
def
• Indichiamo con
a = (a0 , a1 ,..., ag ,...aN ) ∈ A
un profilo di azione, ossia una (N+1)-pla ordinata di azioni degli N+1 giocatori.
¾ Allora, il valore
u g ( a0 , a1 ,..., ag ,...aN ) = u g ( a )
della funzione di utilità del giocatore g-esimo in corrispondenza del profilo d’azione a
costituisce la misura del profitto (o del guadagno) che il giocatore g-esimo consegue
quando il giocatore 0-esimo sceglie l’azione a0 , il giocatore g-esimo sceglie l’azione
ag, …, e il giocatore N-esimo sceglie l’azione aN.
• Il valore assunto da u g (.) dipende non solo dall’azione agscelta dal giocatore g-esimo
ma anche dalle azioni a0 ...aN scelte da tutti gli altri giocatori che partecipano al gioco.
Comportamento Razionale dei
Giocatori (4/8)
E’ assunto che ciascun giocatore scelga l’azione da compiere in modo razionale, ossia
in modo da massimizzare il valore assunto dalla propria funzione di utilità.
Indichiamo con
def
A− g = A0 × ... × Ag −1 × Ag +1 × ... × AN
lo spazio delle azioni di tutti i giocatori escluso il g-esimo.
Indichiamo con
def
a − g = (a0 ,..., ag −1 , ag +1 ,..., aN ) ∈ A− g
uno dei profili d’azione di tutti i giocatori escluso il g-esimo.
Comportamento Razionale dei
Giocatori (5/8)
Definizione
Per definizione, il giocatore g-esimo si comporta in maniera razionale
se, in corrispondenza ad ogni prefissato profilo di azione a − g dei
•
restanti giocatori, il giocatore g-esimo sceglie l’azione a g ∈ Ag
che massimizza la propria funzione di utilità, ossia l’azione ag•
che soddisfa alla seguente relazione:
•
g
u g (a , a − g ) ≥ u g (ag , a − g ), per ogni ag ∈ Ag
Comportamento Razionale: Significato
(6/8)
• Assumere che il giocatore g-esimo si comporta razionalmente significa assumere
che, in corrispondenza ad ogni fissato insieme di azioni a − g scelte dai restanti
•
giocatori, il giocatore g-esimo sceglie l’azione ag che massimizza la sua funzione di
utilità, ossia che massimizza il profitto acquisito.
• Quindi ag• rappresenta la miglior risposta che il giocatore g-esimo può dare in
corrispondenza al profilo d’azione a − g scelto da tutti gli altri giocatori.
•
• Poiché per ogni fissato a − g potrebbero esistere più azioni a g ∈ Ag che
massimizzano l’utilità del g-esimo giocatore, indicheremo con
def
Bg = {ag• ∈ Ag : u g (ag• , a − g ) ≥ u g (ag′ , a − g ), ∀ag′ ∈ Ag }
l’insieme delle migliori risposte del giocatore g-esimo al profilo d’azione a − g dei
restanti giocatori. Ovviamente, Bg = Bg (a − g ) varia al variare di a − g .
Giochi strategici e non cooperativiRappresentazione in forma Tabellare
(7/8)
• Consideriamo un gioco strategico e non cooperativo costituito da due
giocatori (N ={0,1}) ciascuno dei quali può espletare solo due azioni,
ossia
def
A0 = spazio delle azioni del giocatore 0-esimo = {destra, sinistra}={D, S}
def
A0 = spazio delle azioni del giocatore 1-esimo = {testa, croce}={T, C}
• Indichiamo
con
u0 (T , D) = w0 ; u0 (T , S ) = x0 ; u0 (C , D) = y0 ; u0 (C , S ) = z0 ;
u1 (T , D) = w1 ; u1 (T , S ) = x1 ; u1 (C , D) = y1 ; u1 (C , S ) = z1 ;
i valori assunti dalle funzioni di utilità dei due giocatori
Giochi strategici e non cooperativiRappresentazione in forma Tabellare
(8/8)
• Il suddetto Gioco può essere compiutamente rappresentato mediante la
seguente tabella
• Le azioni del giocatore 0-esimo (1esimo) sono identificate con le righe
(colonne) della matrice
• La coppia di numeri all’incrocio
della riga r-esima e della colonna cesima rappresentano i valori (u0,u1)
assunti dalle funzioni di utilità dei
due giocatori quando il giocatoreriga sceglie l’azione r e il giocatorecolonna sceglie l’azione c, con le
prima componente della coppia
rappresentate il valore della
funzione di utilità del giocatore riga.
a1
D
S
T
w0,w1
x0,x1
C
y0,y1
z0,z1
a0
L’equilibrio di Nash: Definizione
(1/12)
Come già anticipato, non tutte le soluzioni di un Gioco soddisfano tutti i
giocatori che partecipano al gioco.
• In maniera
informale, possiamo dire che un punto di equilibrio di
def
*
Nash a = (a0* ...a*N ) di un gioco G è una soluzione del Gioco che rende
soddisfatti tutti i giocatori che partecipano al Gioco.
• Formalmente, vale la seguente definizione:
DEFINIZIONE DI EQUILIBRIO DI NASH
Assegnato un gioco G strategico, non cooperativo
e con perfetta
def
informazione, un equilibrio di Nash a* = (a0* ...a*N ) del suddetto Gioco è
un profilo d’azione che per ogni giocatore soddisfa alla seguente
relazione:
*
−g
*
−g
u g (a , a ) ≥ u g (ag , a ), per tutte le ag ∈ Ag
*
g
L’equilibrio di Nash: Significato (2/12)
*
def
*
*
• Un equilibrio Nash a = (a0 ...aN ) di G è un insieme di (N+1) azioni (una
per giocatore) tale che nessun giocatore può incrementare il valore
della propria funzione di utilità deviando da a*g quando
tutti i restanti
def
*
giocatori perseverano nelle azioni di equilibrio a − g = (a0* ,..., a*g −1 , a*g +1 ,..., a*N ) .
• Ciò implica che quando la soluzione del Gioco G è un punto di
*
equilibrio Nash a = (a0* ...a*N ) allora tutti i giocatori sono soddisfatti dai
valori {u g (a ), g ∈ N } assunti dalle proprie funzioni di utilità.
• A sua volta, ciò implica che nessun giocatore ha interesse a
perturbare lo stato (soluzione) del Gioco quando esso è un punto di
equilibrio Nash.
• Ciò significa che un punto di equilibrio Nash rappresenta sempre uno
stato stazionario del gioco.
Condizioni di esistenza (3/12)
Non tutti i Giochi ammettono l’esistenza di almeno un punto di
equilibrio Nash.
Proprietà1 (Condizione di Esistenza)
Un gioco ammette almeno un punto a* = (a0* ...a*N ) di equilibrio Nash se
sono soddisfatte le seguenti tre condizioni:
1. Lo spazio delle azioni Ag di ogni giocatore è un insieme chiuso e
limitato.
2. Ciascuna funzione di utilità ug ( a0 , a1 ,..., ag ,...aN ) = ug ( a ) è continua nei
suoi argomenti.
3. Ciascuna funzione di utilità ug ( a0 , a1 ,..., ag ,...aN ) = ug ( a ) è funzione
concava nella variabile ag per ogni assegnato a − g .
Esempio di funzione di utilità concava
(4/12)
Consideriamo un gioco G costituito da due giocatori (N ={0,1}) con
spazio delle azioni A0=A1=[-1,1]
Assumiamo che la funzione di utilità del giocatore 0-esimo sia pari a
u0 (a0 , a1 ) = −a02 + a12 , a0 ∈ [−1,1]
u0 (a0 , a1 )
a12
-1
1
a0
La funzione u (a , a ) è concava in a0 per ogni assegnato a1
0
0
1
L’equilibrio di Nash Calcolo dei punti di equilibrio (5/12)
• Assegnato un gioco G, ricordiamo che l’insieme
Bg = {ag• ∈ Ag : u g (ag• , a − g ) ≥ u g (ag′ , a − g ), ∀ag′ ∈ Ag }
costituisce l’insieme delle migliori azioni che può esercitare il giocatore
g-esimo in risposta la profilo d’azione a − g = (a0 ,..., ag −1 , ag +1 ,..., aN ) ∈ A− g scelto
da tutti i restanti giocatori.
Proprietà 2 (Proprietà caratterizzante un equilibrio Nash)
Assegnato un Gioco G, un profilo d’azione a* = (a0* ...a*N ) è un punto di
equilibrio Nash del Gioco se e solo se per ogni giocatore soddisfa alla
seguente relazione:
*
a*g ∈ Bg (a − g ), per ogni g ∈ N
L’equilibrio di Nash
Calcolo dei punti di equilibrio (6/12)
• Implicazione:
Assegnato un gioco G, è possibile calcolare tutti i suoi punti di equilibrio Nash come
segue:
1. Per ogni giocatore, si calcola il corrispondente insieme Bg (a − g )
2. Si risolve il sistema costituito costituito dalle N+1 equazioni
*
a*g = Bg (a − g ), per ogni g ∈ N
rispetto alle (N+1) incognite (a0* ,..., a*g ,..., a*N )
Esempio di calcolo (7/12)
• Consideriamo un Gioco G con due giocatori (N ={0,1}) e
supponiamo che
A0=A1=[0,1] (spazio delle azioni dei due giocatori)
B0 (a1 ) = a12 , 0 ≤ a1 ≤ 1, (miglior risposta del 0-esimo giocatore all'azione dell' 1-esimo giocatore)
B1 (a0 ) = a0 , 0 ≤ a0 ≤ 1, (miglior risposta del 1-esimo giocatore all'azione dello 0-esimo giocatore)
• In virtù della Proprietà 2, un profilo d’azionea* = (a0* ...a*N ) è un punto di
equilibrio Nash se e solo se soddisfa al seguente sistema di due
equazioni in due incognite
Il sistema ammette come soluzioni
⎧⎪a = (a )
⎨ *
⎪⎩ a0 = a
*
0
* 2
1
*
1
a0* = a1* = 0, e a0* = a1* = 1
Quindi il gioco ammette come
punti di equilibrio Nash: (0,0)
(1,1)
L’equilibrio di Nash: Unicità (8/12)
Come visto precedentemente, un Gioco G può avere più punti di equilibrio.
Quando il Gioco ammette un solo punto di equilibrio Nash?
• Indichiamo con
⎡ B0 (a −0 ) ⎤
def
B (a ) = ⎢⎢ ... ⎥⎥ , a ∈ A
⎢⎣ BN (a − N ) ⎥⎦
il vettore (N+1)-dimensionale delle migliori risposte dei giocatori.
Definizione (Funzione Vettoriale Standard)
La funzione vettoriale B(a) definita precedentemente è detta standard se sono
soddisfatte le seguenti tre proprietà
1) B (a) > 0, per ogni a ∈ A
2) B(a ′) ≥ B(a ′′) quando a ′ > a ′′
3) B(ca ) < cB(a ), per ogni c>1
(positività)
(monotonicità)
(scalabilità)
L’equilibrio di Nash
Condizioni di Unicità (9/12)
• Assegnato un Gioco G, supponiamo che ammetta almeno un punto di
equilibrio Nash
Proprietà 3 (Condizioni di Unicità)
Il punto di equilibrio Nash è l’unico punto di equilibrio del Gioco se il
vettore delle migliori risposte è una funzione standard.
Condizioni per la raggiungibilità
dell’equilibrio (10/12)
Assegnato un gioco G strategico e non cooperativo, supponiamo che
1. Ammetta almeno un punto di equilibrio Nash;
2. Il gioco G viene giocato (ossia ripetuto) più volte dai giocatori che ne fanno parte;
3. Tutti i giocatori si comportano sempre in maniera razionale (cioè scelgono l’azione
che massimizza la propria funzione di utilità)
¾ Il problema della raggiungibilità
def
Indicato con
*
*
*
a (k ) = (a0 (k ),..., aN (k )), k = 0,1, 2,....
il profilo d’azione scelto dai giocatori nella k-esima ripetizione del
gioco, sotto quali condizioni {a* (k )}tende al punto di equilibrio Nash per
k → ∞?
Condizioni per la raggiungibilità
dell’equilibrio (11/12)
Proprietà 4 (Condizione di Raggiungibilità dell’equilibrio Nash)
*
Condizione sufficiente affinché la sequenza dei profili a (k ), k = 0,1, 2,....
converga per k → ∞ al punto di equilibrio Nash a partire da un
qualsivoglia profilo iniziale a* (0) è che il vettore delle migliori risposte
B (a ) sia una funzione standard.
L’equilibrio di Nash: Conclusioni
(12/12)
Quando le funzioni di utilità sono concave e il vettore delle migliori
risposte è una funzione standard, allora:
Il gioco ammette uno ed un solo equilibrio di Nash.
Quando il gioco è giocato in maniera razionale e ripetuto più
volte, la sequenza delle soluzioni generate dalle ripetizioni del gioco
converge sempre all’equilibrio di Nash.
Classificazione dei punti di equilibrio
Nash – Dominanza di Pareto (1/1)
Supponiamo che un Gioco G abbia P≥2 punti di equilibrio Nash. Quale tra questi
punti di equilibrio è il migliore?
Definizione (Dominanza di Pareto)
*
Assegnato un Gioco G, un suo punto a di equilibrio Nash è detto essere Pareto
*
dominante se non esiste alcun altro punto di equilibrio Nash b che soddisfa alle
seguente relazione
*
*
u g (b ) > u g (a ), per ogni g ∈ N
Significato – Quando esiste, un punto di equilibrio Pareto-dominante massimizza la
funzione di utilità di ciascuno dei giocatori rispetto a tutti gli altri punti di equilibrio
del gioco. In questo senso, un punto di equilibrio Pareto-dominante può essere
considerato il miglior punto di equilibrio del gioco.
◊
Alcuni esempi di Giochi Strategici
(1/5)
• Nelle prossime slides presenteremo alcuni esempi classici di Giochi Strategici e non
cooperativi.
• I Giochi considerati sono molto semplici: ciascun Gioco è composto da due giocatori
e ciascun giocatore ha solo due possibili azioni. Quindi, ciascun Gioco verrà
rappresentato tramite una tabella con due righe e due colonne.
• Comunque, pur nella loro semplicità, i Giochi presentati catturano l’essenza di un
tipo di interazione strategica che è tipica di sistemi (Giochi) più complessi.
La Battaglia dei Sessi (2/5)
• Renzo e Lucia vogliono uscire insieme per andare o allo stadio o a teatro.
• Il loro interesse principale è uscire insieme, ma Renzo preferirebbe andare allo Stadio, mentre Lucia
preferirebbe andare a Teatro.
Dopo aver stabilito i valori della funzione di utilità, il Gioco può essere così descritto
Lucia
Stadio
Teatro
Stadio
(2,1)
(0,0)
Teatro
(0,0)
(1,2)
Renzo
9Il Gioco modella una situazione in cui i giocatori vogliono coordinare le loro azioni ma hanno interessi
contrastanti
9Il Gioco ha due equilibri Nash: (Stadio, Stadio) e (Teatro Teatro)
9Nessuno dei due è Pareto-Dominante
La Tregua dei Sessi (3/5)
• Renzo e Lucia vogliono uscire insieme per andare o al cinema o al circo.
• Il loro interesse principale è uscire insieme.
• In questo caso le preferenze non sono contrastanti perché entrambi hanno come maggior interesse andare
al cinema. Quindi, dopo aver stabilito i valori della funzione di utilità il gioco può essere così descritto
Lucia
Cinema
Circo
Cinema
(3,3)
(0,0)
Circo
(0,0)
(1,1)
Renzo
9Il Gioco modella una situazione in cui i giocatori vogliono coordinare le loro azioni e non hanno interessi
contrastanti
9Il gioco ha due equilibri Nash: (Cinema, Cinema) e (Circo, Circo).
9Solo l’equilibrio (Cinema, Cinema) è Pareto-Dominante
Il Dilemma del Prigioniero (4/5)
• Alice e Bob sono sospettati di omicidio e sono messi in celle separate.
• Se ognuno accusa l’altro, entrambi riceveranno una condanna di soli 3 anni.
• Se solo uno dei due accusa, l’accusatore uscirà di prigione e l’accusato riceverà 8 anni di condanna.
• Se nessuno dei due accusa, entrambi riceveranno 1 anno di condanna.
• La tabella riporta le funzioni di utilità
Alice
Non accusa
Accusa
Non accusa
(30,30)
(0,40)
Accusa
(40,0)
(10,10)
Bob
9Questo è un gioco in cui la cooperazione arreca guadagno ad entrambi i giocatori ma ciascun giocatore ha
anche un incentivo ad agire come “battitore” libero.
9L’unico equilibrio di Nash è (accusa, accusa)
Il Gioco delle Scelte congruenti (5/5)
• Alice e Bob possono scegliere Testa o Croce stando in due stanze separate.
• Se le loro scelte differiscono Alice paga a Bob 100 $
• Se le scelte concordano, Bob paga ad Alice 100 $
• La funzione di utilità è proporzionale al denaro che ciascuno riceve
Alice
Testa
Croce
Testa
(1,-1)
(-1,1)
Croce
(-1,1)
(1,-1)
Bob
9Un gioco come questo dove le funzioni di utilità (gli interessi) dei giocatori assumono valori opposti è
detto “strettamente competitivo” o a “somma zero”.
9Il Gioco non ammette equilibrio di Nash
Sistemi Auto-Configuranti (1/4)
Un sistema Auto-Configurante S è costituito da un insieme di elementi (i nodi del
sistema) che:
• Interagiscono tra di loro – ciascun nodo misura localmente le azioni che gli altri nodi
stanno esercitando su di esso e reagisce in modo da conseguire un ben specifico
obiettivo.
• Sono privi di un controllore centrale – non v’è alcuna autorità centrale che possa
imporre la propria volontà. Tutti gli elementi agiscono in regime ugualitario. In
questo senso il sistema è di tipo “distribuito”.
• Mediante interazione reciproca, fanno evolvere autonomamente lo stato del sistema
verso un punto di equilibrio stabile che rappresenta la configurazione di regime del
sistema.
Sistemi Auto-ConfigurantiCosa sono? (1/2)
Proprietà Fondamentale di un sistema Auto-Configurante
• Un sistema Auto-Configurante è in grado di evolvere verso uno
stato (ossia una configurazione) stabile in maniera autonoma (ossia,
senza l’intervento di un controllore centrale esterno).
Sistemi Auto-Configuranti (2/2)
4
2
1
3
Conclusioni
La Teoria dei Giochi fornisce un modello per descrivere le
interazioni in sistemi costituiti da più decisori.
L’equilibrio Nash (quando esiste) costituisce lo stato stabile al
quale tende il gioco.
I sistemi auto-configuranti sono costituiti da elementi che
interagiscono in regime di uguaglianza.
I sistemi auto-configuranti sono modellabili come giochi che
evolvono autonomamente verso lo stato di equilibrio Nash.
Riferimenti
1.
M.J.Osborne, A.Rubinstein, A course in Game Theory, MIT Press, 2002.
2.
D.Fudenberg, J.Tirole, Game Theory, MIT PRESS, 1991.
3.
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4.
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