Primo Appello - Dipartimento di Fisica
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Fisica II – Primo Appello - 14/1/2008 Chi recupera il primo compitino fa i primi due esercizi in due ore. Chi recupera il secondo compitino fa gli ultimi due esercizi in due ore. Chi non recupera fa tre esercizi a scelta in tre ore. Problema I Si consideri una sfera conduttrice di raggio a ricoperta da una corona sferica di raggio interno a e raggio esterno b, fatta di materiale isolante dotato di una polarizzazione uniforme P. 1) Cercando soluzioni della forma: campo uniforme più campo di dipolo, trovare il campo elettrico in tutto lo spazio. 2) Calcolare la densità di carica σl indotta sulla superficie del conduttore. Problema II Una sferetta dielettrica di costante dielettrica ε e raggio a si trova a distanza d ≫ a da un filo infinito carico con una densità di carica uniforme λ per unità di lunghezza. 1) Calcolare la forza sulla sferetta dielettrica. 2) Calcolare il lavoro necessario per portare la sferetta a distanza infinita. Problema III Sono dati due solenoidi di lunghezza ℓ e resistenze trascurabili, fatti di N spire ciascuno, di raggi praticamente uguali, di valore a. All’inizio un solenoide è completamente inserito nell’altro. Il solenoide interno può traslare lungo il suo asse, mentre il solenoide esterno è fisso. 1) Supponendo che nei solenoidi circolino correnti I, mantenute costanti da generatori, calcolare il lavoro necessario per estrarre il solenoide interno di un intervallo x tale che x ≫ a e ℓ − x ≫ a. 2) Quando i solenoidi si trovano nella nuova posizione i generatori vengono scollegati e il solenoide interno viene estratto completamente. Calcolare le correnti finali I ′ che circolano nei solenoidi. Problema IV All’interno di un solenoide di lunghezza ℓ, fatto di N spire percorse da corrente I0 e raggio a ≪ ℓ è inserito un parallelepipedo a base quadrata di lato a e altezza ℓ, fatto di materiale paramagnetico di permeabilità µ. Il solenoide e il parallelepipedo sono coassiali e il parallelepipedo è inserito per un intervallo x ≫ a tale che ℓ − x ≪ a. 1) Calcolare il campo magnetico all’interno del solenoide. [Suggerimento: partire dalla soluzione senza parallelepipedo e cercare una maniera semplice di soddisfare le condizioni al contorno anche a parallelepipedo inserito] 2) Calcolare la forza sul parallelepipedo nell’ipotesi che la corrente I0 sia mantenuta costante da un generatore. 3) Il generatore viene scollegato. Se il solenoide ha resistenza R trovare la velocità (costante) con cui occorre muovere il parallelepipedo affinché la corrente continui a rimanere costante. 1 Soluzioni Problema I 1) All’interno del conduttore il campo è nullo. Chiamiamo I la zona esterna al sistema e II la zona occupata dalla corona sferica. Cerchiamo una soluzione della forma EI = 1 3(p·br)br − p , 4πε0 r3 EII = 1 3(p′ ·br)br − p′ + E0 , 4πε0 r3 con E0 uniforme ed E0 , p, p′ paralleli a P. I vettori induzione sono DI = 1 3(p·br)br − p , 4π r3 DII = 1 3(p′ ·br)br − p′ + ε0 E0 + P. 4π r3 La condizione al contorno sulla superficie del conduttore è che la componente tangenziale del campo elettrico sia nulla, per cui 0= Essa è risolta da 1 −p′ + E0 ∧ br. 4πε0 a3 1 p′ . 4πε0 a3 Le condizioni al contorno sulla superficie di raggio b sono la continuità della componente normale del vettore induzione e la continuità della componente tangenziale del campo elettrico, che danno E0 = 0 = br · p − p′ − ε0 E0 − P , 2πb3 0 = br ∧ rispettivamente, da cui −p + p′ − E0 , 4πε0 b3 p − p′ = 2πb3 (ε0 E0 + P) = −4πε0 b3 E0 . Risolvendo otteniamo E0 = − P , 3ε0 p′ = − 4πa3 P , 3 p= 4π(b3 − a3 )P . 3 2) La densità di carica libera indotta sulla superficie del conduttore è data dal salto della componente normale del vettore induzione per r = a. Abbiamo σl = 2P P p′ + ε0 E0 + P ·br = − − + P ·br = 0, 3 2πa 3 3 quindi è come se il conduttore non ci fosse. Problema II 1) Il filo infinito genera un campo elettrico E= b λρ , 2πε0 ρ 2 dove ρ è la distanza dal filo. Sulla sfera dielettirca viene indotto un momento di dipolo elettrico p = 4πε0 a3 La forza è b εr − 1 ρ εr − 1 E =2a3 λ . εr + 2 εr + 2 ρ F = −∇Ue , dove 1 εr − 1 λ2 a3 Ue = − p · E = − . 2 εr + 2 2πε0 ρ2 Pertanto F=− εr − 1 λ2 a3 b. ρ εr + 2 πε0 ρ3 2) Il lavoro necessario per portare la sferetta all’infinito è precisamente −Ue . Problema III 1) L’energia magnetostatica è 1 Um (x) = Ii Lij Ij 2 e la forza a correnti costanti è F = dUm , dx per cui il lavoro richiesto risulta L=− Z x F dx = Um (0) − Um (x). 0 Si trova facilmente la seguente matrice dei coefficienti di auto e mutua induzione in funzione di x: ! 1 1 − xℓ N2 2 . (0.1) πa µ0 L(x) = ℓ 1 1 − xℓ Con le approssimazioni del problema, tale formula vale tanto per la posizione iniziale quanto per quella finale (anche se non è corretta per tutte le posizioni intermedie), ciò che basta per ricavare il risultato. Abbiamo ! 0 1 N2 2 L(x) − L(0) = − 2 πa µ0 x , ℓ 1 0 per cui N2 2 πa µ0 xI02 . ℓ2 2) Nella nuova situazione i flussi sono uguali a L= Φ= x N 2 I0 2 πa µ0 2 − ℓ ℓ 3 e si mantengono costanti. Alla fine i due solenoidi sono esterni uno all’altro. Abbiamo dunque x N 2 I0 2 N2 µ0 I ′ πa2 = πa µ0 2 − Φ= , ℓ ℓ ℓ da cui ′ I = I0 x 2− . ℓ Problema IV 1) Il campo H non si accorge della presenza del materiale. Infatti, senza materiale abbiamo H= N I0 ℓ parallelo all’asse del solenoide. Col materiale inserito H non cambia, perché le condizioni al contorno sulle superfici laterali del materiale sono soddisfatte. Abbiamo dunque B=µ N I0 ℓ e B = µ0 N I0 ℓ dentro a fuori il pateriale paramegnetico, rispettivamente (dentro il solenoide). 2) Il flusso del campo magnetico è Φ = µ0 I0 a2 2 N2 2N [ℓ − x + xµ ] + µ I (π − 1)a . r 0 0 ℓ2 ℓ per cui il coefficiente di autoinduttanza del solenoide è L = µ0 a2 L’energia magnetostatica è N2 [ℓπ + x(µr − 1)] . ℓ2 1 Um = I02 L 2 e la forza risulta F = 1 N2 dUm = I02 µ0 a2 2 (µr − 1) . dx 2 ℓ 3) L’equazione del circuito è 0 = RI + L dI dL +I . dt dt Volendo corrente costante abbiamo R=− dL N2 = −vµ0 a2 2 (µr − 1), dt ℓ dove v è la velocità, per cui v= Rℓ2 . µ0 a2 N 2 (1 − µr ) 4
