Modello classico: Drude e Lorentz, 1905
il problema: la legge di Ohm
V=RI
suggerisce una proporzionalità tra forza (campo
elettrico) e velocità (intensità di corrente)
moto “viscoso”
conduzione elettrica
nei metalli
l
I
V
il modello:
• gli elettroni in un conduttore si comportano come un “gas” di particelle
quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione
termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann
(velocità termica vt )
• in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in
direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in
questa direzione (velocità di deriva vd )
• negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono l’energia in più
acquistata nell’accelerazione e ripartono con l’energia termica media
(il che spiega l’effetto Joule)
• la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto
l’azione del campo elettrico nel tempo medio τ fra un urto e il successivo
(tempo di rilassamento)
S
legge di Ohm
resistività
V=RI
r
r
l r
l r
El = ρ SJ ; El = ρ SJ
S
S
r
r
r
2 τ r
J = nevd = neaτ = ne
E
m
ne2τ
=σ =
m
ρ
1
; ρ=
quanto vale τ?
m
l
I
S
V
cammino libero medio
fra urti successivi
ne2τ
l urti
τ=
vt
conduzione elettrica
nei metalli
2 Et
3k BT
; vt =
=
m
m
Nell’urto si ristabilisce l’equilibrio energetico, quindi in media l’elettrone cede
all’atomo l’energia acquistata a spese del campo elettrico (effetto Joule)
ρ=
3mk BT
ne2l urti
inoltre:
r
r
eτ r
vd =
E = µE
m
σ = neµ
eτ
µ=
m
mobilità
35
Il modello di Drude
30
però:
• non spiega l’effetto forte della
presenza di impurezze
• non riproduce la corretta
dipendenza dalla temperatura (ad
alta temperatura è lineare in T e
non in √ T, a bassa temperatura è
lineare in T5)
• non è compatibile con il
comportamento quantistico
dell’elettrone nel solido
25
100*R/R(290)
• spiega perché si genera il moto
viscoso e quindi la velocità limite di
deriva
• spiega perché la resistività
aumenta con la temperatura
• fornisce valori ragionevoli della
resistività a temperatura ambiente
20
15
secondo il
modello di
Drude
10
5
0
0
5
10
15
temperatura
20
R/R290
dati di misura
25
30
un calcolo di resistività secondo il modello di Drude
lurti ≈ 1 nm ; n ≈ 1029 m-3
ρ=
≈
≈
3mc 2 k BT
ne 2l urti c
3 ⋅ 0,5 ⋅106 eV ⋅ 0,03 eV
10 29 m −3e ⋅1,6 ⋅10 −19 C ⋅10 −9 m ⋅ 3 ⋅108 ms −1
0,2 ⋅103 eV
5 ⋅109 eCm −1s −1
≈ 4 ⋅10 −8 VA −1m ≈ 4 ⋅10 −8 Ωm
