Prova del 11/09/2012 con soluzione
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Prova scritta del 11 Settembre 2012 ESERCIZIO 1 Per la rete mostrata in figura, si determini l’energia assorbita dal resistore . nell’intervallo j(t) iL(t) L i(t) R + vC(t) C – La rete è a riposo per Svolgimento Per calcolare l’energia assorbita dal resistore nell’intervallo . risolvere la rete soltanto per Per t < 0 la rete è a riposo. Si ha Per t > 0 le LK impongono che Eliminando la corrente del resistore , è sufficiente il precedente sistema si riduce alle due equazioni che seguono Per determinare le condizioni iniziali, occorre passare al limite per t adoperare le condizioni di raccordo 0+ ed In tal modo, si ha Inoltre, derivando la prima equazione del sistema si ottiene l’espressione della derivata di . Sostituendo quest’ultima nella seconda equazione, ed aggiungendo le condizioni iniziali, si ottenere il seguente problema di Cauchy per la corrente circolante nell’induttore Il polinomio caratteristico dell’omogenea associata è Le cui radici, essendo nullo il discriminante dell’equazione caratteristica sono reali e coincidenti: L’integrale generale dell’omogenea associata assume la forma L’integrale particolare dell’equazione completa può essere trovato risolvendo la rete nel dominio dei fasori. Osservando che, a regime, l’induttore e il condensatore sono in risonanza serie, si ricava subito che L’integrale generale dell’equazione completa è, quindi Forzando le condizioni iniziali, si ottiene Per dunque, si ha L’energia assorbita dal resistore nell’intervallo di tempo Osservando che si ottiene come , si può scrivere ESERCIZIO 2 Per la rete trifase mostrata in figura, scegliere il tipo di rifasamento (terna di condensatori collegati a stella o a triangolo), motivando la scelta e rifasare a 1 2 3 R XL R XL R XL La terna di alimentazione è simmetrica. Svolgimento Ricordando che, a parità di potenza reattiva assorbita, il costo di un condensatore cresce al diminuire della caduta di tensione ai suoi capi e al crescere della capacità, conviene rifasare collegando i condensatori a triangolo, come mostrato nella figura seguente 1 2 3 C R XL R XL R XL C C Prima dell’inserimento della batteria di condensatori, l’angolo di fase del carico equilibrato è pari a e si può scrivere che . Dopo l’inserimento della batteria di condensatori, si ha Poiché si vuole rifasare completamente il carico, bisogna imporre Quindi, si può scrivere , cioè . Poiché il valore della capacità da utilizzare per rifasare il circuito si ottiene da dove V rappresenta il modulo della tensione che cade ai capi di ciascun condensatore, che nel nostro caso è pari al modulo delle tensioni concatenate Il valore di P si ottiene ricordando che, nel caso di carico equilibrato, si ha in cui I è il modulo delle correnti di linea. Poiché si ha Quindi Noto il valore di I, possiamo calcolare la potenza attiva P Infine, possiamo calcolare il valore della capacità che consente di rifasare completamente il carico:
