VERIFICHE QUARTA C – 2012/2013
[ x < 1 ∨ x >log23 ]
1
1) Risolvere la disequazione:
x
1
4
3·2
2) Ricavare il dominio della funzione di equazione: y =
log
8
2x
1 [ x ≥ - 3]
3 [- 1 < x < 0 ]
3) Risolvere la disequazione:
2log
4) Risolvere la disequazione:
log22(1-x)+ 2log4(1-x) > 2 [ x < - 1 ∨ < x < 1 ]
5)
log
7 log
7) log
4
2
8
10) 2
≤9
⁄
[0<x≤
∨ x ≥ √2 ]
[-4<x< 2
log
log 6
√3 ∨ 2
√3 < x < 0 ]
[1≤x≤2]
2
9) 2
∨0<x<
[
]
[0<x<1∨x>2]
[x<0∨x≥
]
[ √2 < x < √2 ]
11)
12)
3
13)
1
14
0
0
6)
8) log
2
⁄
log
/
5
9 [ x < log3 4
∨x>2]
[x ≤ 0 ∨ x > 1 ]
3·5
1) Esercizio non assegnato 2
2 [ log53 < x < log54 ]
≤5
[x≤
∨x>0 ]
Funzioni
15) In figura sono rappresentate le funzioni
2 / e y = - x2 + 4. Servendoti del grafico
rappresentato risolvi:
a) L’equazione
2 /
4. Per ciascuna delle due radici determina un intervallo di
ampiezza 0.1 a cui è interna la radice.
b) la disequazione
2 / <4
16) Rappresenta la funzione f(x) = ex – 1 . A partire dal grafico ottenuto rappresenta:
a(x) = | f(x) | b(x) = a(x) – 1
c(x) = | b(x) | .
Per ciascuno dei grafici scrivi a(x) , b(x) , c(x) spiega con quali considerazioni lo hai
ottenuto da quello precedentemente disegnato, calcola le sue intersezioni con gli assi
cartesiani e scrivi l’equazione dell’asintoto.
17) La funzione y = k 4
esprime, in funzione del tempo, la quantità di una sostanza
espressa in grammi. Determina per quale valore di k all’istante t = 0 ci sono 8g di quella
sostanza. In corrispondenza del valore di k determinato:
• ricava in quale istante ne sono rimasti solo 5g
• rappresenta come varia nel tempo la quantità di sostanza. ( Spiega come ottieni il
grafico che rappresenti)
TRIGONOMETRIA
Risolvere le equazioni
+ 2kπ ∨ x = (2k+1)π]
1) cosx + 3senx + 1 = 0
[ x = 2artg
2) sen3x + sen5x + √5
= 0 [ x = (2k + 1) ]
3) 1
[ x = π/3 + kπ ]
2√3
2
Risolvere le disequazioni
1) 2cos2x – 9senx – 6 ≤ 0 [ - π/6 + 2kπ < x < (7/6)π + 2kπ ]
2) √2
√2 0 [ (5/4)π + 2kπ < x < (7/4)π + 2kπ ]
0 [ - π/4 + 2kπ < x < (3/4)π + 2kπ ]
3)
≥ cos2x
5)
6)
[- 3π/4 + 2kπ < x < π/4 + 2kπ ]
0
4)
2
2
4
[
2
>0
2
]
[
∨ artg3 + kπ < x <
Esercizi vari
1) Riconduci a funzioni dell’angolo α la seguente espressione
cos
[1 + sen2α ]
]
2) Scrivi tre angoli congruenti a
, uno dei quali sia negativo. Spiega come li hai ottenuti.
3) Sapendo che α è un angolo acuto e senα =
√
, calcola (indica anche i procedimenti seguiti):
a) la tangente del supplementare di α
b) il coseno dell’angolo che differisce da α di un angolo piatto
c) il seno dell’angolo che differisce da α di un angolo piatto
[ a)
√
, b)
, c)
√
]
4) Un angolo α ha misura in radianti . Per ciascuna delle affermazioni che seguono decidi se
è vera o falsa e motiva la risposta che hai dato.
a) Se α è l’angolo al centro di una circonferenza sottende una corda che è metà del raggio
b) Se α è l’angolo al centro di una circonferenza sottende un arco che è metà del raggio
c) cosα = 0
d) indicata con α° la sua misura in gradi, vale la limitazione 0 < α° < 30°
2
5) Calcolare il valore della somma:
6) Calcolare l’angolo formato dalle rette r :
gradi e primi sessagesimali.
√
2
√
[ ]
1 e s : y = 2x – 4 . Esprimere in valore in
[ α = artg ≈ 36° 52’ ]
7) Sono assegnate le funzioni
2,
Calcolare il dominio delle seguenti funzioni
a)
b)
2
c)
d)
[ a) ∅ ; b), d) D ≡ R; c) x ≠
kπ ]
8) Calcolare le equazioni delle rette che passano per A( - 1; 0) e formano un angolo di 45° con
. [ y = 3x – 3 ,
]
la retta di equazione
9) Individuare quali tra i grafici che seguono rappresentano in
,
le soluzioni della
| > √3 , motivare la risposta data e scrivere, in tale intervallo, le soluzioni
disequazione |
della disequazione.
A)
B)
C)
D)
E)
[ C), D) ]
Problemi
1) Sia ABC un triangolo inscritto in una semicirconferenza di diametro AB = 2r. Costruire sul
lato AC, esternamente al triangolo dato, il triangolo isoscele ACD che ha per base il lato di
AC e altezza DH uguale a metà base, costruire sul lato CB, esternamente al triangolo dato, il
triangolo isoscele CBE che ha base CB e altezza congruente a DH. Esprimere, in funzione di
uno degli angoli acuti di ABC la somma delle aree dei triangoli ACD e CBE. Rappresentare
la funzione ottenuta in [0, 2π ] e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.
]
[ CAB = x , y = cos2x + senx cosx , 0
2) Data una circonferenza di raggio r tracciare una corda AB = r√3 . Preso un punto C sul
maggiore dei due archi che sottendono la corda AB, indicare con D il punto medio dell’arco
BC. Esprimere, al variare della posizione di C, la somma dei lati CD e BD e del doppio della
diagonale AD del quadrilatero ACDB. Rappresentare la funzione ottenuta in [-π, π ] e
mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [
= 2x ),
4
4
, 0
]
3) Dato un quadrante di cerchio di centro O e raggi OA = OB = r, tracciare sul prolungamento
di OA, dalla parte di A, il segmento AC ≅ OA.
a) Indicato con D il punto dell’arco AB tale che
=
, calcolare il perimetro e
l’area del triangolo DAC.
b) Indicato con P un punto dell’arco AB, esprimere l’area S1 del quadrato di lato PC e
l’area S2 del triangolo POC; calcolare la somma S1 + 4S2, rappresentare in [ - π, π ] la
funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.
[ 2p =
1
√
√
√
, area =
; b) POC = x , y = 5 – 4r2cosx + 4r2senx , 0 ≤ x ≤
]
Geometria dello spazio
Problema 1
È dato un rettangolo ABCD di lati AB = 4 a e AD = 3 a.
1) Sulla perpendicolare al piano del rettangolo condotta per il punto medio del lato AD
determinare il punto V in corrispondenza del quale la piramide di vertice V e base ABCD ha
la faccia laterale VBC che forma un angolo di 60° con il piano di base. Motivare la
soluzione.
2) Sia P il punto della perpendicolare al piano del rettangolo condotta per A in corrispondenza
del quale vale AP = 4 a. Quali tra le facce laterali della piramide PABCD sono triangoli
rettangoli? Perché? ( Se hai applicato dei teoremi spiega perché sono soddisfatte le ipotesi).
Condotto un piano π, parallelo al piano del rettangolo, a distanza x dal vertice P siano A’,
B’, C’, D’ i vertici del poligono staccato da π sulla piramide; Determinare per quale
posizione di π la superficie totale del prisma che ha per basi A’B’C’D’ e la sua proiezione
sul piano di base della piramide ha superficie totale a2.
[ 1) il punto V ha distanza 4 √3 dal piano del rettangolo; 2) x =
]
Problema 2
Sono assegnate due rette sghembe r, s. Dimostra che esistono rette sghembe.
Per ciascuna delle proposizioni che seguono decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta.
a) Da ogni punto di s è possibile condurre una retta perpendicolare a r .
b) Due rette r’, s’ parallele, rispettivamente, a r, s possono essere incidenti.
c) Esiste una retta che è parallela sia a r sia a s.
Problema 3
È data una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato 6 a e ha altezza 3 a .
1) Definisci un tetraedro regolare. La piramide assegnata è un tetraedro regolare? Perché?
2) Calcolare la superficie totale della piramide e l’angolo α che ciascuno degli spigoli laterali
forma con il piano di base.
[ 2) 27√3
,α=
√
]
Problema 4
1) Dimostra che le diagonali di un parallelepipedo passano tutte per uno stesso punto.
2) Se un parallelepipedo ha le dimensioni AB = 8 a, BC = 6 a quanto deve valere la terza
dimensione affinché la diagonale BD’ formi un angolo di 45° con il piano di ABCD?
Giustifica la risposta data.
3) Nella figura a lato sono rappresentati un parallelepipedo e un prisma i cui vertici sono i
centri della facce laterali del parallelepipedo e le loro proiezioni
sul piano della base ABCD. Spiega perché i centri delle facce
laterali del parallelepipedo sono complanari. Descrivi le
caratteristiche del prisma e giustificale (forma dei poligoni di
base, forma delle facce laterali). Se il rettangolo ABCD è un
quadrato di quali ulteriori proprietà gode il prisma? Se il
parallelepipedo è un cubo di quali ulteriori proprietà gode il
prisma? Giustifica le risposte che hai dato.
[ la terza dimensione deve avere misura 10 a ]
