ESERCIZI DI PROBABILITA’
1)
Siano A, B e C eventi di
e siano
Calcolare
a)
b)
c)
Figure 1.4: rappresentazione grafica qualitativa
relativa all'esercizio 1.
Soluzione:
a)
;
b)
perché
Poiché
.
si ottiene
c)
.
2)
Si ritiene
la probabilità di vincere ad un certo gioco di carte,
la probabilità di vincere ad un secondo
gioco di carte e la probabilità di vincerli entrambi. È giusta tale supposizione?
Soluzione: sia A l'evento di vincere il primo gioco e B l'evento di vincere il secondo gioco: allora
,
e
. Ora
è l'evento di vincere almeno uno dei due giochi. Calcolando esplicitamente si ha:
e se ne conclude che la supposizione è errata.
, poiché
3)
Si lanci una moneta 3 volte e si conti quante volte è uscito testa. Scrivere uno spazio campione
tale esperimento e descriverlo.
Soluzione:
4)
per
. Esso è discreto (finito).
In quali dei seguenti casi A e B sono mutuamente esclusivi?
a) Si lanci una moneta due volte e si definiscano gli eventi A di ottenere testa al primo lancio e B di
ottenere
testa al secondo lancio.
b) Si lancino due dadi e si definiscano gli eventi A di ottenere per somma 7 e B di ottenere una coppia di
numeri uguali.
Soluzione:
a)
, dato che può accadere che esca testa in entrambi i lanci, e dunque gli eventi non sono
mutuamente esclusivi.
b)
caso gli
perché 7 è dispari e dunque non può essere il doppio di un altro intero: quindi in questo
eventi sono mutuamente esclusivi.
5)
Nel gettare 2 dadi (nell'ordine, il primo rosso ed il secondo verde) si supponga che i 36 risultati siano
equiprobabili. Siano: A l'evento di ottenere per somma 7, B l'evento di ottenere 2 numeri uguali e C
l'evento di ottenere due 1.
Calcolare P(A),
e
.
Soluzione: N=36: è NA=6 perché
. Ne segue che
dove l'ultima segue dal fatto che
.
6)
Qual è la probabilità di estrarre un asso o una figura da un mazzo di 40 carte?
Soluzione: si ha N=40. Se A è l'evento di estrarre un asso allora NA=4; se B è l'evento di estrarre una
figura allora NB=12. L'evento di estrarre un asso o una figura è
scrivere
7)
si può
Ai 5 migliori studenti di una scuola vengono assegnati 3 premi di diverso valore, per sorteggio. In quanti
modi possibili possono venire distribuiti i 3 premi?
Soluzione: sia
semplici di 3 elementi di A:
8)
ed essendo
, allora n=5 e k=3. La soluzione corrisponde al numero di disposizioni
In quanti modi diversi un rappresentante può far visita a 5 ditte con recapito in 5 quartieri diversi di una
città.
Soluzione: sia
, allora n=5 e la soluzione è il numero di permutazioni: P5=5!=120.
9)
Quante cinquine si possono formare con i 90 numeri del lotto?
Soluzione:
10) Una società (100 soci) deve nominare nell'ordine un presidente, un vicepresidente, un segretario e un
tesoriere.
a) Quante scelte ci sono dell'ufficio di presidenza se ogni socio è ugualmente eleggibile?
b) Se gli incarichi fossero decisi a caso, quale sarebbe la probabilità che i sigg. Rossi (R), Bianchi (B),
Verdi
(V) e Neri (N), nell'ordine, siano eletti rispettivamente presidente, vice presidente, segretario,
tesoriere?
c) Qual è, infine, la probabilità che questi 4 soci abbiano tutti e 4 un'incarico?
Soluzione:
a)
Siano
, n=100,
possibili persone prese 4 alla volta
disposizioni semplici
di 100 elementi presi 4 alla volta . Allora
b) Sia H l'evento di scegliere (R, B, V, N) nell'ordine, allora
:
c) Sia C l'evento che accada (R, B, V, N), o (B,R,V,N), eccetera e sia NC la cardinalità di C, allora NC=4! e
11) In un'urna ci sono 15 palline bianche (B), 4 rosse (R) e 8 nere (N), uguali per forma, peso e dimensione.
Qual è la probabilità che, estraendo 2 palline, siano entrambe rosse?
Soluzione: sia
palline ,
. Poiché le palline vengono estratte a coppie, indichiamo con
l'insieme delle combinazioni semplici di 27 oggetti presi due alla volta: allora
Sia A l'evento di estrarre 2 palline rosse: si ha
da cui si ricava
12) In quanti modi si possono dividere 100 studenti in 4 gruppi affinché nel primo ce ne siano 30, nel
secondo
20, nel terzo 35 e nel quarto 15?
Soluzione:
13)
Una scatola contiene 10 palline, 6 verdi (V) e 4 bianche (B), tali che: 4 palline verdi sono lisce e le altre 2
verdi sono ruvide (R), 1 pallina bianca è liscia e le altre 3 bianche sono ruvide (R). Supposto lo spazio
campionario equiprobabile ed estratta a caso una pallina, si chiede di calcolare:
a)
b)
a)
P(B|R).
b)
.
14) Si consideri l'esperimento del lancio di una moneta non truccata 2 volte. Si descriva
A1 l'evento di avere testa (T) al primo lancio,
A2 l'evento di avere T al secondo lancio,
A3 l'evento di avere T una e una sola volta.
Si dica se A1, A2 e A3 sono indipendenti.
Soluzione: indicato con C il caso in cui esce croce si ha (figura 3.4):
e si considerino:
Verifichiamo ora se A1,e A3 sono indipendenti:
Figure 3.4: albero dell'esperimento di due lanci
consecutivi di una moneta non truccata.
15)
Si estraggano 5 carte da un mazzo di 52 carte. Se le carte sono rosse, qual è la probabilità che siano 5
cuori?
Soluzione: Risolviamo questo esercizio in due modi differenti.
Primo modo. Sia A l'evento di estrarre 5 cuori fra i 13 presenti nel mazzo e sia B l'evento di estrarre
5 carte rosse fra le 26 presenti nel mazzo. La cardinalità dell'evento B, che indichiamo con NB, è il
numero di combinazioni semplici di 5 elementi di un insieme formato da 26 elementi, ovvero
La cardinalità
dell'evento
è invece il numero di combinazioni semplici di 5 elementi di
un insieme formato da 13 elementi, ovvero
Ciò a cui siamo interessati è la probabilità dell'evento A|B, ossia dell'evento di aver estratto cinque cuori
sapendo che le carte estratte sono rosse. Dunque, dalla definizione di probabilità condizionata si ha
Secondo modo. Possiamo considerare l'esperimento come costituito da cinque passi successivi, in
ognuno dei quali viene estratta una carta che non viene piú reinserita nel mazzo: in questo modo
possiamo affrontare il problema costruendo l'albero degli eventi di figura 3.5, in cui si è indicato con C
l'evento di estrarre una carta di cuori e con N quello di estrarre una carta che non sia cuori. Per
comodità, nella figura sviluppiamo l'albero solo lungo i rami che interessano.
Figure 3.5: albero dell'esperimento di estrarre cinque carte
di cuori da un mazzo da poker.
Ora facendo uso del teorema della moltiplicazione si trova che la probabilità cercata è:
16)
In un ufficio il lavoro viene svolto nelle seguenti percentuali: il 30% dal sig. Rossi, il 25% dal sig.
Verdi ed il 45% dal sig. Bianchi. Si sa che le pratiche preparate dai sigg. Rossi, Verdi e Bianchi
contengono rispettivamente lo 0.01%, lo 0.005% e lo 0.003% di errori e che ogni pratica è evasa da un
solo impiegato. Se una pratica presenta errori, qual è la probabilità che sia stata preparata dal sig. Rossi?
Soluzione: Siano A l'evento che vi siano errori nella pratica e BR, BV, BB gli eventi che la pratica sia
stata preparata rispettivamente dal sig. Rossi, dal sig. Verdi e dal sig. Bianchi. Allora
da cui si ha
17)
In quanti modi si può formare una giuria di 4 persone fra 9 persone?
18)
Una gara con 50 concorrenti si svolge in 2 manche. Quante sono le diverse classifiche dei primi 3 di
ciascuna manche?
Il numero delle classifiche dei primi 3 concorrenti nella prima manche è dato dal numero dei
sottoinsiemi ordinati di 3 elementi da un insieme di 50 elementi:
D50, 3 = 50 ⋅ 49 ⋅ 48 .
Poiché il numero delle classifiche dei primi 3 nella seconda manche è ancora dato da:
D50, 3 = 50 ⋅ 49 ⋅ 48
il numero cercato è dato dal prodotto dei due ( 50 ⋅ 49 ⋅ 48)
in quanto per ogni terna di classificati nella prima manche abbiamo 50 ⋅ 49 ⋅ 48 modi per “scegliere” i
classificati nella seconda manche.
2
19)
Un sacchetto contiene 8 palline rosse (R) e 5 palline verdi (V). Si effettuino 3 estrazioni successive
senza reinbussolamento (ossia senza reintrodurre la pallina estratta nel sacchetto).
a) Qual è la probabilità che la prima e la terza pallina estratta siano entrambe rosse?
b) Qual è la probabilità che tutte le tre palline estratte siano rosse?
Figure 3.9: albero relativo all'esperimento dell'estrazione di tre
palline senza reinbussolamento.
Soluzione: possiamo anche in questo caso affrontare la soluzione seguendo due strade.
Primo modo: Mediante gli alberi, seguendo la figura 3.9, dobbiamo calcolare la probabilità degli
eventi RRR ed RVR, per la prima domanda, e la probabilità del solo evento RRR per la seconda
domanda. Si ha:
Come è evidenziato in figura 3.9, in questo caso la richiesta che la prima pallina sia rossa consente di
escludere a priori un'intera metà dell'albero (quella evidenziata).
Secondo modo: Siano R1, R2, R3 gli eventi di estrarre una pallina rossa alla prima, seconda e terza
estrazione, rispettivamente. In modo analogo siano V1, V2 e V3 gli eventi di estrarre una pallina verde
alla prima, seconda e terza estrazione, rispettivamente.
a) Sia A l'evento che le palline estratte alla prima e alla terza estrazione siano entrambe rosse, allora
Osserviamo che gli eventi R1, R2, V2 ed R3 non sono indipendenti, poiché il numero totale di palline ad
ogni estrazione diminuisce e dunque cambia anche la probabilità di estrarre una pallina di un certo
colore. Usando il Teorema della moltiplicazione possiamo scrivere:
I due eventi
e
sono invece disgiunti, in quanto alla seconda
estrazione o si estrae una pallina rossa (R2), oppure se ne estrae una verde (V2). Quindi possiamo
scrivere
che coincide con il risultato trovato nel primo modo. Per verificare il fatto che gli eventi non sono
indipendenti, calcoliamo separatamente P(R1) e P(R3): per le ipotesi è P(R1)=8/13, mentre, con
riferimento alla figura 3.9, osserviamo che
dove i quattro eventi RRR, RVR, VRR e VVR sono mutuamente incompatibili.
Dunque la probabilità di estrarre una pallina rossa alla terza estrazione è data da
Allora si ha
che per definizione conferma la non indipendenza degli eventi R1 ed R3.
b) Come già osservato nel punto a), la probabilità di estrarre tre palline rosse è data da
Osservazione: Perché in b) non possiamo considerare 1/8 la probabilità di estrarre tutte palline rosse?
Il motivo sta nel fatto che gli eventi possibili nelle successive estrazioni non sono equiprobabili, come
si vede facilmente anche dai diversi valori dei rami dell'albero di figura 3.9.
Come cambierebbero i risultati e le conclusioni se ci fosse reinbussolamento?
20)
Ad una gara prendono parte 100 concorrenti. In quanti modi si possono classificare i primi 6?
Il numero cercato non è altro che il numero di sottoinsiemi ordinati (è importante l’ordine di arrivo
nello stilare le classifiche) formati da 6 elementi a partire dall’insieme dei 100 concorrenti:
D100, 6 = 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 ⋅ 95
21) Ad una gara prendono parte 4 squadre formate da 5 concorrenti ciascuna. Quante sono le classifiche dei
primi 4 concorrenti se si vuole:
a) che siano di 4 squadre diverse,
b) che siano della stessa squadra.
a) In 4 modi si può scegliere la squadra del primo classificato e in 5 modi si sceglie un concorrente in
questa squadra; per il secondo classificato ci sono 3 possibilità di scelta della squadra e sempre 5
possibilità di scelta del concorrente, e così via. Il numero cercato è allora:
( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 3 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ⋅ (1 ⋅ 5)
b) In questo caso si deve scegliere la squadra, con 4 possibilità di scelta, quindi contare le classifiche
dei primi 4 concorrenti appartenenti a tale squadra:
4 ⋅ ( 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2)
22) Sia E = {1, 2, 3, K , 30} . Quanti sono i sottoinsiemi di E formati da 4 elementi, due divisibili per 3 o per
7 mentre non lo è alcuno degli altri due?
Chiamiamo A ⊂ E l’insieme dei numeri divisibili per 3 e B ⊂ E l’insieme dei numeri divisibili per 7.
A = {3, 6, 9, K , 30} ha 10 elementi
B = {7, 14, 21, 28}
ha 4 elementi.
Poiché siamo interessati ai sottoinsiemi nei quali due elementi sono divisibili per 3 oppure per 7 questi
elementi vanno allora scelti dall’insieme A ∪ B . Quanti sono gli elementi di A ∪ B ? Sono 13 in
quanto il numero 21 appartiene ad entrambi.
Riassumendo, dei 30 elementi di E, 13 sono divisibili per 3 o per 7, i rimanenti 17 non sono allora
divisibili per questi due numeri.
13 17 13 ⋅ 12 17 ⋅ 16
Il numero cercato è allora:
⋅
= 13 ⋅ 3 ⋅ 17 ⋅ 16 = 10.608
=
2!
2!
2 2
23) 14 studenti devono sostenere un esame e compilano una lista per stabilire l’ordine
dell’interrogazione. Quante sono le possibili liste?
Si devono ordinare totalmente i 14 studenti ed i modi possibili sono:
P14 = 14 !
24) Quanti sono i possibili anagrammi della parola FOGLIA che non cominciano per A.
Nella parola FOGLIA ci sono 6 lettere e il numero dei suoi anagrammi è 6! Di questi, 5! sono quelli
che cominciano per A. Il numero cercato è allora:
6!-5!=6.5!-5!=5.5!
Lo si poteva calcolare direttamente: in 5 modi si sceglie il posto dove inserire la lettera A ed in 5! modi
si ordinano le lettere rimanenti.
25) In quanti modi si possono scegliere 5 numeri diversi da 1 a 10 in modo che la loro somma sia pari
(quando non si tenga conto dell’ordine)?
Elenchiamo quali sono le possibilità di scelta, per ottenere come somma di 5 numeri un numero pari:
5 numeri pari (scelti in 1 modo soltanto, essendo 5 i numeri pari da 1 a 10);
5 5
3 numeri pari e 2 numeri dispari (scelti in ⋅ modi);
3 2
5 5
1 numero pari e 4 numeri dispari (scelti in ⋅ modi).
1 4
Il numero cercato è allora:
5 5 5 5 13 ⋅ 12 17 ⋅ 16
1 + + =
⋅
= 13 ⋅ 3 ⋅ 17 ⋅ 16 = 10.608
2!
2!
3 2 1 4
26) 10 impiegati vanno in ferie in 3 turni distinti: 3 nel primo turno, 4 nel secondo e 3 nel terzo. Quante
sono le possibili assegnazioni degli impiegati ai tre turni?
Incominciamo a contare a partire dal primo turno:
10
in modi si possono scegliere, tra i 10 impiegati, quelli che fanno il primo turno;
3
per scegliere i 4 impiegati del secondo turno, la scelta va fatta tra i 7 rimanenti, quindi:
7
in modi si possono scegliere, tra 7 impiegati, quelli del secondo turno;
4
infine rimangono 3 impiegati che vengono assegnati al terzo turno, quindi:
3
in = 1 modo.
3
Il numero cercato è allora:
10 7 3 10 ⋅ 9 ⋅ 8 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
10 ⋅ 9 ⋅ 8 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 10 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 4
1=
=
= 4.200
=
3!
4!
3⋅ 2
4 ⋅ 3⋅ 2
1
3 4 3
ESERCIZI DA SVOLGERE
Sia A un insieme con 5 elementi e B uno con 9 elementi, quali di questi numeri può essere la
cardinalità dell'unione: 1, 4, 7, 9, 14, 21, 23?
Dei numeri di quattro cifre formati con le nove cifre 1, 2, …, 9 si trovi:
1. quanti hanno le cifre tutte distinte,
2. quanti hanno le cifre in ordine crescente,
3. quanti hanno due cifre pari e due cifre dispari.
Quanti sono i numeri di quattro cifre tutte distinte che non iniziano con 0?
In quanti modo otto rematori possono disporsi in un canotto, con la limitazione che i due più deboli non
vadano né al primo né all'ultimo posto?
In quanti modi si possono ordinare (linearmente) n oggetti, di cui m1 sono uguali tra loro, m2 uguali fra
loro (e diversi dai precedenti), ..., mr uguali tra loro (e diversi da tutti i precedenti)? (m1 + m2+ ….. + mr
= n)
In quanti modi diversi si possono disporre n persone attorno a un tavolo rotondo? (Si pensa che due
disposizioni coincidono se ciascuno dei presenti ha le stesse due persone accanto).
Usando le 16 consonanti e le 5 vocali dell'alfabeto italiano, quante parole (non necessariamente di senso
compiuto) di 3 lettere si possono formare? Quante parole di tre lettere soddisfano la condizione di
contenere almeno una vocale?
Ho quattro libri, uno rosso, uno giallo, uno verde e uno blu. In quanti modi posso disporli sullo scaffale
in modo che quello blu e quello verde non siano vicini?
Un maestro di musica deve costituire un coro, formato da 8 soprani, 7 tenori e 6 baritoni. Può scegliere
tra 30 candidati, 10 per ogni categoria. Quanti cori diversi può formare?
Quante sono le parole (anche senza significato) di 3 lettere distinte che si possono ottenere utilizzando
quelle della parola ALBERO?
In una gara vengono premiati rispettivamente con medaglie d’oro, d’argento e di bronzo i primi 3
classificati in ciascuna delle tre categorie di partecipanti: allievi, ragazzi e juniores. Sapendo che ci sono
15 concorrenti nella categoria “allievi”, 10 concorrenti nella categoria “ragazzi” e 13 nella categoria
“juniores” dire quante sono le possibili assegnazioni delle medaglie.
In una gara con 30 partecipanti vengono premiati i primi 7. Quante sono le possibili assegnazioni dei
premi se il concorrente Tizio si è classificato tra i premiati? Quante invece se Tizio è arrivato quinto?
Quante se Tizio è arrivato primo?
Quanti sono i numeri formati da 5 cifre dispari distinte? E quanti quelli formati da 5 cifre dispari
distinte seguite da 2 cifre pari uguali?
Ad una gara partecipano 9 concorrenti, 5 della squadra A e 4 della squadra B. Quante sono le
classifiche generali con ai primi 3 posti i concorrenti di una stessa squadra?
Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. In quanti modi si possono ottenere 2 assi, la donna di cuori
ed altre 2 figure?
In quanti modi si possono ripartire 7 oggetti in 2 classi (entrambe non vuote) in modo che nella prima
classe ci siano almeno 5 oggetti?
