Fluidi ideali
Per fluido ideale si intende un fluido in cui si trascurino tutti gli effetti dissipativi (viscosita’,
attriti vari ecc). Ricaveremo le equazioni :
di continuità,
del moto
dell’ energia associate
ad un elemento fluido, che sono equivalenti alle equazioni di conservazione dell’ impulso
e dell’ energia per un corpo solido
Come anticipato, nel trattare la dinamica dei fluidi è necessario tenere in conto due
differenze fondamentali rispetto ai corpi rigidi::
a)
Manca il vincolo di rigidità, e quindi bisogna lavorare sempre con elementi di fluido
infinitesimi (nel senso discusso).
b)
Bisogna tenere conto delle forze (esterne) di superficie oltre che a quelle di
volume.
Equazione di continuità
dρ
L’ equazione
dt
=
∂ρ
∂t
δS
+ u ⋅ ∇ρ = 0
3.1)
eguagliata a zero e’ nota come equazione di continuità
δV
Si consideri un volumε δV dello spazio avente come contorno la
superficie orientata δSn e sia n la normale uscente in ogni punto
•
Massa del fluido nel volume δV
δm = ρdV
3.2)
•
Massa per unità di tempo uscente dalla superficie dS
∫δ ρu ⋅ dS
3.3)
S
∂
• Diminuzione della massa nel volume per unità di tempo
−
ρdV
∂
t
La massa totale che esce dal volume δV. nell’ unità di tempo e’
δV
pari alla diminuzione della massa nel volume per unità di tempo.
∫
Pertanto
−
∂
ρdV = ∫ ρu ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ ( ρu)dV
∂t δ∫V
δS
δV
3.4)
3.5)
e dato che e’ il volume e’ arbitrario e’ vera anche la :
equazione di continuità della massa
3.6)
l’ equazione di continuità e’ stata dedotta con considerazioni di tipo euleriano..
La corrispondente forma lagrangiana si ottiene dalla identità vettoriale :
Ossia introducendo la derivata totale:
dρ
dt
=
∂ρ
∂t
+ u ⋅ ∇ρ = 0
equazione di continuità in
forma lagrangiana
Equazione del moto
Consideriamo ora l’ equazione del moto di un elemento di fluido di
volume δV e massa δ m = ρ δV . La sua accelerazione è data dalla
derivata lagrangiana della velocità du/dt, e quindi la legge di Newton
si scrive nella forma (lagrangiana)
3.7)
dove le forze agenti sull’elemento sono divise in forze di volume e
forze di superficie.
δfvol= ρ δV g
Forze di volume
Forze di volume : agiscono su tutto il corpo dell’elemento fluido (ad
esempio la gravità o forze inerziali) :
3.8)
dove f è la forza per unità di massa.
Forze di superficie agiscono solo sulla superficie di contatto tra
l’elemento considerato e il resto del fluido e può quindi essere
considerata proporzionale all’area; in generale tale forza avrà sia
componente normale alla superficie (sforzo normale o pressione) sia
tangenziale (sforzi trasversi).
.
δfsup
δS
δfsup= ρ δS
Forze di superficie
Indicando con δfsup la forza elementare agente sulla superficie δS (normale uscente)
e trattando forza e superficie ambedue come vettori, occorre introdurre un tensore P
come fattore di proporzionalità:
ovvero
3.9)
Dove, come è dimostrato nell’ Appendice 1, Pij = p δij+ ρ uiuj rappresenta la
componente dell’ impulso per unità di volume dell’ elemento fluido in direzione i che
viene trasferito in direzione j .
La forza totale agente sull’intera superficie è pertanto:
3.10)
S
che può essere trasformata con il teorema di Gauss in un integrale di volume
3.11)
V
Pertanto la forza elementare può essere riscritta come:
3.12)
L’equazione del moto dell’elemento fluido e’ pertanto
variazione di quantità di moto
per unità di volume dovuta a
migrazione di particelle
attraverso la superficie S
forza per unità di volume
3.13)
A differenza di quanto avviene per la densità di particelle (equazione 3.6)), la “densità di
quantità di moto” ρ u può variare per due cause:
• migrazione di particelle che muovendosi trasportano la loro quantità di moto
• effetto delle forze che agiscono sulle particelle e ne variano localmente i parametri di
moto
Si dimostra sperimentalmente che, a differenza di un corpo solido, affinché un fluido sia
in equilibrio. la forza di superficie deve essere perpendicolare ad una qualunque
superficie immersa del corpo. e: si producono moti quando sono applicati sforzi trasversi
(o shears).
Pertanto in un fluido in equilibrio possiamo scrivere P = pn, dove n è il tensore unitario
normale alla superficie, e quindi:
3.14)
dove p è la pressione, forza per unità di superficie.
Questa espressione per la forza di superficie non si applica in generale al caso di fluidi
in movimento. Infatti strati fluidi in moto a differenti velocità possono scambiare momento
nel senso che gli strati che si muovono più rapidamente vengono frenati e perdono
momento a favore di quelli più lenti (effetti di viscosità).
Se l’effetto degli sforzi trasversi e’ trascurabile in presenza di moto, il fluido è detto ideale,
e l’equazione del moto è l’equazione del momento o di Eulero (1755):
3.15)
Per
esempio del campo gravitazionale terrestre, l’ equazione di Eulero è:
.
g
g : accelerazione di gravità:
Appendice A1
Utilizzando e l’ equazione di continuità
dρ
In notazione tensoriale
dt
=
∂ρ
∂t
+ u ⋅ ∇ρ = 0
A1-1)
∂ ( ρu k )
∂
∂u
∂ρ
∂u
( ρui ) = ρ i + ui
= ρ i − ui
∂t
∂t
∂t
∂t
∂xk
Utilizzando l’ equazione di Eulero
si ottiene:
A1-2)
nella forma :
∂ui
∂u
1 ∂p
= −u k i − f i −
∂t
∂xk
ρ ∂xi
A1-3)
∂ ( ρuk )
∂
∂u
∂p
∂p ∂ ( ρui uk )
( ρui ) = − ρuk i − f i −
− ui
= − fi −
−
∂t
∂xk
∂xi
∂xk
∂xi
∂xk
A1-4)
∂p
∂p
= δ ik
∂xi
∂xk
A1-5)
Scrivendo
l’ equazione di Eulero diventa
con
∂P
∂
( ρui ) = f i − ik
∂t
∂xk
o in forma vettoriale
Pik = pδ ik + ρui uk
Come si voleva dimostrare
∂
( ρu) = ρf − ∇ ⋅ P
∂t
A1-6)
A1-7)
Equazione dell’ energia
Per un sistema fluido in equilibrio termodinamico (ossia in equilibrio termico e meccanico)
e quindi tale che la sua entropia S = cost, la legge di conservazione dell’ energia è
rappresentata dal primo principio della termodinamica:
d
3.16)
dove dQ = quantità di calore scambiata con l’ambiente,
dU = energia interna (legata alla temperatura del corpo)
pdV = lavoro meccanico fatto dal sistema.
Se all’interno del fluido sono però presenti dei moti, il sistema non sarà globalmente in
equilibrio termodinamico, e la condizione di equilibrio potrà essere applicata solo
localmente, ad una tipica massa δm.
3.17)
δm
1
= δm d
dV = d
ρ
ρ
d
Utilizzando l’equazione di continuità,
ppdV
dV =
3.18)
ossia derivando la (3.16) applicata alla massa δm:
3.19)
si ottiene:
3.20)
dove L = ρ (dq/dt) è il tasso di perdita di calore del sistema per unità di volume.
In un fluido questo e’ proporzionale al flusso di calore per conducibilità termica nella
direzione di temperatura decrescente:
3.21)
dove K è il coefficiente di conducilbilità termica. La perdita di calore da un elemento
fluido è data dal flusso attraverso la sua superficie:
quindi la perdita di energia per unità di volume risulta:
.
3.22)
Con questa espressione ottiene quindi l’equazione dell’energia (2.23) per fluidi a
bassa densità nel limite di viscosità trascurabile
3.23)
Leggi di conservazione
L’equazione di continuità
quantità
fisica
quantità
3.24)
fisica
indica che la variazione di densità in un fluido è possibile solo attraverso un flusso di
materia per unità di volume in entrata o uscita dalla regione considerata: In questa
forma l’equazione indica una legge di conservazione della materia.
.
Anche le altre equazioni fluide possono essere scritte sotto forma di leggi di conservazione con opportune definizioni delle quantità che si conservano
L’equazione del moto, con trasformazioni vettoriali riportate in Appendice A1 e
utilizzando l’equazione di continuità, diventa la legge di conservazione del momento per
unita’ di volume::
3.25)
con il flusso di momento per unità di volume dato da:
3.26)
in quanto
2.27)
Infine, utilizzando l’espressione per l’energia per unità di volume ρε+ρu2/2, somma
dell’energia interna ε e cinetica, si può scrivere l’equazione dell’energia nella forma
3.28)
dove T è la temperatura e w l’entalpia per unità di massa
.
3.29)
Che e’ la legge di conservazione del flusso di energia per unità di volume
La dimostrazione della 3.28) e’ riportata nell’ Appendice A2
Leggi di conservazione simili sono applicabili ad altri parametri fisici scalari e vettoriali
come per esempio l’ entropia.
.
dS
+ ∇ ⋅ ( Su ) = 0
dt
Nelle leggi di conservazione per momento ed energia non sono prese in considerazione
le forze esterne né forze di attrito, o a scambi di calore tra differenti parti del fluido e/o
corpi esterni (ossia il moto del fluido si considera adiabatico).
Leggi di conservazione
Appendice A2
Si consideri un volume elementare fisso all’ interno di un fluido in assenza di forze esterne.
L’ energia totale contenuta nell’’ unita’ di volume (entalpia) e’ w = ρε +ρu2/2, dove il I°
termine e’ l’ energia interna (quantità dei calore) e il secondo l’ energia cinetica.
La variazione dell’ energia totale per unita’ di tempo e’ ∂ (ρε +ρu2/2)/∂ t .
∂ 1 2
1 ∂ρ
∂u
( ρu ) = u 2
+ ρu ⋅
∂t 2
2
∂t
∂t
A2
Utilizzando l’equazione di continuità
A 2-2)
e l’ equazione di Eulero
∂ 1 2
1
( ρu ) = − u 2 ρ∇ ⋅ u − ρu ⋅ ( u ⋅ ∇ ) u − u ⋅ ∇p
A 2-3)
∂t 2
2
1
2
Utilizziamo l’ identita’ (u ⋅ ∇)u = (u ⋅ ∇)u e le equazioni termodinamiche:
2
dw = TdS+Vdp = TdS+ dp/ρ
e
dε = TdS – pdV = TdS + (p/ρ2)dAρ2-4)
dove S e’ l’ entropia per unita’ di massa, da cui
∇p = ρ∇ε − ρT∇S
Si ottiene:
A 2-5)
∂ 1 2
1
1
( ρu ) = − u 2 ρ∇ ⋅ u − ρu ⋅ (u ⋅ ∇)(u 2 + w) + ρTu ⋅ ∇S
∂t 2
2
2
D’ altra parte dato che
w = ε + p/ρ
d ( ρε ) = εdρ + ρdε = εdρ + ρTdS + ( p ρ 2 )dρ ) = wdρ + ρTdS
A 2-6)
Pertanto utilizzando ancora l’ equazione di continuità per u e S:
∂ ( ρε )
= − w(∇ ⋅ ρu) − ρTu ⋅ ∇S
∂t
A 2-7)
Sommando membro a membro le A2-2) e A 2-7) e sostituendo le A 2-4) e A 2-6)
∂ 1 2
1
1
( ρu + ρε ) = − u 2 ρ + w ∇ ⋅ u − ρu∇ ⋅ u 2 + w
∂t 2
2
2
A 2-8)
Che dimostra la legge di conservazione del flusso di energia totale in assenza di
forze esterne:
∂ 1 2
( ρu + ρε ) = −∇
∂t 2
1
⋅ ρu u 2 + w
2
A 2-9)
Equazioni Idrostatiche
La più semplice applicazione delle equazioni idrodinamiche ideali è il caso idrostatico,
u=0
:
d/dt ≡ 0;
Le le equazioni del moto e dell’ energia sono:
3.30)
3.31)
mentre l’equazione di continuità è un’identità.
0=0
Consideriamo il semplice caso del calcolo del profilo di pressione in un liquido
incompressibile, considerando quindi la forza esterna gravitazionale costante, f = − ρgz,
dove z è il versore normale alla superficie orientata verso l’ alto.
Nel caso di un fluido incompressibile, l’equazione dell’energia è ridondante e la
soluzione dell’equazione del moto ∇ p = 0 , risulta:
3.32)
ove p0 è la pressione alla superficie del fluido.
La 3.32) e’ nota come Legge di Stevino
Nel caso di fluido compressibile, quale l’aria, interviene invece l’equazione dell’energia.
Per semplicità consideriamo il caso di un gas ideale isotermo. Dalle relazioni ρ = nm
e pV = nkBT il gas ideale
(3.33)
Dall’ equazione di Eulero si ottiene per T = costante (atmosfera isoterma):
(3.34)
la cui soluzione è
;
(3.35)
Che è la formula ipsometrica applicabile all’ atmosfera terrestre con.
z0 = (kBT/ mgz) = 7.1 km
Equazioni Idrodinamiche
Consideriamo un esempio di idrodinamica, e precisamente la dinamica dei fluidi in
condizioni stazionarie, cioè indipendenti dal tempo ∂/∂t ≡ 0. Per un fluido in queste
condizioni è utile definire il concetto di linea di corrente (o streamline), cioè una linea
tale che in ogni suo punto la velocità del fluido u sia ad essa tangente (il concetto è
analogo a quello di linea di forza in un campodi forze).
La linea di corrente risulta pertanto essere la traiettoria descritta da un elemento fluido
nel tempo e pertanto la sua equazione in coordinate cartesiane e’:
dx dy dz
+ +
=0
ux u y uz
3.36)
.
Supponendo che le forze esterne agenti sul fluido siano conservative (ad esempio
la gravità) si pone
3.37)
E utilizzando l’ identità
diventa
l’equazione di Eulero
3.39)
Si prenda ora un integrale di linea lungo una linea di corrente ove sia dl l’elemento
di linea:
3.40)
Poiché dl è parallelo per definizione a u, dl · u × (∇ × u) ≡ 0, e quindi lungo
una linea di corrente dovrà essere:
(3.41)
che rappresenta il teorema di Bernoulli per un fluido ideale (1783).
In particolare per il caso di un fluido incompressibile e nel campo gravitazionale alla
superficie terrestre (Φ = gh) , si ha la forma ricavata euristicamente nei corsi di fisica
elementare:
ossia
1 2
ρu + p + ρgh = C
2
Energia cinetica per
unità di volume
pressione
Energia potenziale
per unità di volume
(3.42)
Paradosso di D’ Alambert
Il paradosso di D’ Alambert mette in luce che un fluido ideale non esiste e pertanto la
necessità dell’introduzione di un termine dissipativo nell’equazione di Eulero dei fluidi ideali.
e conduce ad una equazione più generale (di Navier-Stokes).
Si consideri un corpo di forma arbitraria simmetrico rispetto
all’asse z, ed immerso in un fluido ideale ed incompressibile
che si muove con velocità u uniforme e costante lontano dal
corpo.
Vicino al corpo, il campo di velocità avrà una forma più
complessa ma simmetrica rispetto all’asse z (Figura 5.3).
Vale l’equazione di Bernoulli
1 2
ρu + p + ρgh = C
2
lungo una qualsiasi linea di flusso. che
3.4t)
Figura 5.3: Geometria per il principio
di d’Alembert.
definisce P in un punto, nota la u e la z in quel punto, e nota la costante (che si può
calcolare dando le tre variabili P0, u0 e z0 in un qualsiasi altro punto del fluido).
L’ equazione dipende da u2 e non da u, ed `e quindi invariante per una riflessione u → - u.
Questo significa che se invertissimo la direzione delle velocità otterremmo esattamente la
stessa equazione.
In assenza di attrito, la superficie del corpo `è essa stessa una linea di flusso. Infatti,
se così non fosse, ci sarebbe una componente della velocità perpendicolare al corpo e
quindi ci sarebbe attrito. Quindi la pressione esercitata dal fluido sul corpo può essere
calcolata dalla (5.6), ed avrà quindi la forma generale
P = P (u; z; u0; z0; P0) = P(u)
(3.44)
dove la dipendenza da u indica che stiamo considerando il flusso da sinistra verso
destra in Figura. La pressione in un punto R del campo di velocità sarà data da una
equazione del tipo (5.22) e quindi PR = PR(u).
Se ora si considera di avere lo stesso corpo immerso in un fluido in cui tutte le velocità
siano rovesciate -u. la geometria delle linee di flusso sarebbe lo stesso ma diretto
verso sinistra anzichè verso destra. Anche in questo caso, ovviamente, varrebbe la
(5.22) e cioè
P = P (-u; z; v0; z0; P0) = P(-u)
(3.45)
Poiché la pressione dipende solo dal quadrato della velocità, in un punto L speculare a
R, la pressione per il flusso -u`e identica alla pressione in R per il flusso u ossia:
PR(u) = PL(-u)
(3.46)
Ma essendo R e L del tutto arbitrari (purchè simmetrici rispetto all’asse z), il discorso
vale per tutti i punti della superficie del corpo e pertanto.
Ftot = 0
in disaccordo con l’esperienza
