Esercizi e quesiti sui vettori

CORSO DI LAUREA IN DISEGNO INDUSTRIALE
METODI NUMERICI PER IL DESIGN
ESERCIZI E QUESITI SUI VETTORI
Assegnati i punti P(-2, -1, 2) e Q(2, -9, 6), i vettori geometrici applicati in O e con secondo estremo
.....
 
in P ed in Q corrispondono ai vettori algebrici: u = .....
 
.....
.....
 
e v = .....
 
.....
La forma cartesiana del vettore v è: ……………………… ;
i coseni direttori di u sono: cos α = ……… ; cos β = ……… ; cos γ = ……… .
il coseno dell’angolo θ formato dai due vettori, cos θ = .................. ;
l’area del triangolo OPQ è: …………………. ;
la proiezione del vettore v sul vettore u è: …………… ;
la forma cartesiana del vettore proiezione di v su u è: ……………………… .
Assegnati i punti P(6, 2, -9) e Q(0, 4, -3), i vettori geometrici applicati in O e con secondo estremo
.....
 
in P ed in Q corrispondono ai vettori algebrici: u = .....
 
.....
.....
 
e v = .....
 
.....
La forma cartesiana del vettore v è: ……………………… ;
coseni direttori di u sono: cos α = ……… ; cos β = ……… ; cos γ = ……… .
il coseno dell’angolo θ formato dai due vettori, cos θ = .................. ;
l’area del triangolo OPQ è: …………………. ;
la proiezione del vettore v sul vettore u è: …………… ;
la forma cartesiana del vettore proiezione di v su u è: ……………………… .
Assegnati i punti P(-2, 3, -6) e Q(-4, 0, -3), i vettori geometrici applicati in O e con secondo estremo
.....
 
in P ed in Q corrispondono ai vettori algebrici: u = .....
 
.....
.....
 
e v = .....
 
.....
La forma cartesiana del vettore v è: ……………………… ;
parametri direttori di u sono: a = ……… ; b = ……… ; c = ……… .
il coseno dell’angolo θ formato dai due vettori, cos θ = .................. ;
l’area del triangolo OPQ è: …………………. , il perimetro è: ………………………….. .
il vettore PQ, lato del triangolo OPQ ha forma cartesiana: ……………………… ;
il vettore OM, mediana del triangolo OPQ ha forma cartesiana: ……………………… ;
il quarto vertice R del parallelogrammo OPRQ ha coordinate: (……… , ……… , ………) .
Assegnati i punti P(4, -4, -2) e Q(6, -2, 3), i vettori geometrici applicati in O e con secondo estremo
.....
 
in P ed in Q corrispondono ai vettori algebrici: u = .....
 
.....
.....
 
e v = .....
 
.....
La forma cartesiana del vettore v è: ……………………… ;
parametri direttori di u sono: a = ……… ; b = ……… ; c = ……… .
il coseno dell’angolo θ formato dai due vettori, cos θ = .................. ;
l’area del triangolo OPQ è: …………………. , il perimetro è: ………………………….. .
il vettore PQ, lato del triangolo OPQ ha forma cartesiana: ……………………… ;
il vettore OM, mediana del triangolo OPQ ha forma cartesiana: ……………………… ;
il quarto vertice R del parallelogrammo OPRQ ha coordinate: (……… , ……… , ………) .
Considerati i punti A(0, 2, -1) B(-2, 1, 2) C(0, 0, 1) D(-2, -1, 1) i vettori
rispettivamente componenti
..............
..............


..............
,
..............
..............


..............
e
AB , AC ed
AD hanno
..............
..............


..............
Il prodotto misto fra i vettori AB , AC ed AD è: …………………………;
la distanza fra il piano contenente i punti A, B, C ed il punto D è : ………………… ;
il volume del parallelepipedo avente per lati i vettori
AB , AC ed
AD è: ……………………. .
AB , AC ed
..............
..............


..............
Considerati i punti A(-1, 0, 0) B(0, 1, -2) C(2, -2, -1) D(1, 2, -1) i vettori
rispettivamente componenti
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..............

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..............
,
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..............


..............
e
AD hanno
Il prodotto misto fra i vettori AB , AC ed AD è: …………………………;
la distanza fra il piano contenente i punti A, B, C ed il punto D è : ………………… ;
il volume del parallelepipedo avente per lati i vettori
AB , AC ed
AD è: ……………………. .
Considerati i punti A(-1, -1, 0) B(1, -2, -1) C(0, 0, -2) D(-2, 1, 2) i vettori
rispettivamente componenti
..............
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
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,
..............
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

..............
e
AB , AC ed
AD hanno
..............
..............


..............
Il prodotto misto fra i vettori AB , AC ed AD è: …………………………;
la distanza fra il piano contenente i punti A, B, C ed il punto D è : ………………… ;
il volume del parallelepipedo avente per lati i vettori
AB , AC ed
AD è: ……………………. .
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
i ∧ j = 0.
I coseni direttori del vettore 2v sono il doppio dei coseni direttori di v.
Se v ⊥ u allora v • u = 0.
|v ∧ u| rappresenta l’area del triangolo avente per lati v ed u.
Se v ed u hanno lo stesso modulo allora coincidono.
v • u = u • v.
La somma di vettori algebrici si esegue con la regola del parallelogramma.
|v • u| rappresenta l’area del triangolo avente per lati v ed u.
Il modulo di un vettore è la somma dei quadrati delle sue componenti.
i • i = 0.
Il vettore nv ed il vettore v hanno sempre la stessa direzione.
Se v • u = 0 allora v // u.
Se v // u allora i coseni direttori dei due vettori coincidono. .
|v ∧ u| = |v| |u| cosθ. .
Il vettore v ∧ u è parallelo ai due vettori v e u.
La somma dei parametri direttori di un vettore è 1.
Se v // u allora v ∧ u = 0.
Se v ⊥ u allora i parametri direttori dei due vettori coincidono. .
|v ∧ u| = |v| |u| sinθ.
i ∧ k = j.
Se v // u allora i parametri direttori dei due vettori coincidono.
v • u = |v| |u| sinθ.
La somma dei quadrati dei parametri direttori di un vettore è 1.
Il vettore v ∧ u è perpendicolare ai due vettori v e u.
i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0.
v • u = |v| |u| cosθ.
Se v ⊥ u allora v ∧ u = 0 .
I coseni direttori di un vettore sono anche parametri direttori del vettore.
Se v • u = 0 allora v ⊥ u.
I parametri direttori di un vettore sono rappresentati da un'unica terna (a, b, c).
Se v ∧ u = 0 allora v // u.
La somma dei coseni direttori di un vettore è 1.
i•j=k.
v ∧ u = u ∧ v.
Se v , u e t sono complanari allora (v ∧ u) • t = 0
i • k = 0.
Se v ∧ u = 0 allora v ⊥ u.
Il vettore nv ed il vettore v hanno sempre lo stesso verso.
Se v // u allora i parametri direttori dei due vettori sono proporzionali.
I parametri direttori di un vettore sono anche coseni direttori del vettore.
Se v • u = v • t. allora t = u
Il modulo di un vettore è la radice quadrata della somma delle sue componenti.
La somma dei quadrati dei coseni direttori di un vettore è 1.
Se v // u allora v • u = 0.
Il prodotto misto fra tre vettori è (v • u) ∧ t
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
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