Semiconduttori Concentrazione dei portatori Drogaggio

Semiconduttori
Concentrazione dei portatori
Drogaggio
Ele-A-1
Elettronica I - A.A. 2009/20010
CONCETTO DI BARRIERA DI ENERGIA POTENZIALE
Una carica unitaria q in un campo elettrico E è soggetta ad una forza f = q E .
Si definisce potenziale V (Volt) del punto x rispetto al punto xo il lavoro
eseguito, contro il campo elettrico E, per spostare una carica positiva unitaria
da xo a x. In un sistema monodimensionale:
x
E
x
dV
V    f dx    1 E dx  E  
dx
xo
xo
xo
x
V ( x)  V ( xo )
Si definisce energia potenziale U (Joule) il prodotto fra il potenziale e la
carica q presa in considerazione: U= q V.
Se la carica è un elettrone, si ottiene U= -q V
Inoltre l’energia totale di un elettrone libero è
costante e pari alla somma dell’energia
potenziale e dell’energia cinetica:
Ele-A-2
1 2
W  U  mv
2
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Nella fisica dei dispositivi a semiconduttore si preferisce usare come
unità di grandezza dell’energia l’elettronvolt (eV):
1 eV  1.6 10 19 J
Se un elettrone subisce una riduzione di potenziale pari ad 1 V, la sua energia
cinetica aumenta di q ·V = 1.6·10-19 [C]·1 [V] = 1.6·10-19 [J] = 1 [eV].
In altri termini, se fra due punti esiste una differenza di potenziale di 1 V,
per un elettrone essa corrisponde all’esistenza di una barriera di energia
potenziale pari ad 1 eV.
Ele-A-3
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S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-4
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SiGe
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-5
Elettronica I - A.A. 2009/20010
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-6
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Ele-A-7
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Elettronica I - A.A. 2009/20010
Si chiama energy gap (Eg [eV]), detta anche gap di banda, l’energia
minima necessaria che occorre ad un elettrone di valenza per
sfuggire al legame in cui è coinvolto e diventare un elettrone libero
Per il silicio Eg  1.12 eV a 300 K
Per l’arseniuro di gallio (GaAs) Eg  1.42 eV a 300 K
Ele-A-8
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DROGAGGIO CON ATOMI DONORI
(drogaggio di tipo n)
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Si drogato con As
Ele-A-9
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DROGAGGIO CON ATOMI ACCETTORI
(drogaggio di tipo p)
+q
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Si drogato con B
Ele-A-10
Elettronica I - A.A. 2009/20010
In un semiconduttore (intrinseco o drogato) che si trova in equilibrio
termodinamico vale la legge d’azione di massa:
n p  n
2
i
ni è detta concentrazione intrinseca ed è fortemente dipendente dalla
temperatura.
A 300 K per il silicio si ha
ni = 1.6×1010 cm-3
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-11
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In un semiconduttore intrinseco:
n  p  ni
In un semiconduttore drogato con atomi donori (tipo n):
n  ND
p
2
i
n
ND
con ND concentrazione di atomi donori
In un semiconduttore drogato con atomi accettori (tipo p):
p  NA
Ele-A-12
n
ni2
NA
con NA concentrazione di atomi accettori
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Leggi del trasporto
di elettroni e lacune nei semiconduttori
Ele-A-13
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In assenza di campo elettrico l’energia
cinetica degli elettroni di conduzione in
un conduttore (o in un semiconduttore)
è:
1
3
2
mn vth  k T
2
2
Malgrado vth  0, data la casualità del moto lo spostamento netto è
nullo.
In presenza di un campo elettrico E, l’elettrone è soggetto ad una
forza -q E che determina uno spostamento netto non nullo.
vE
 [cm2/V·s] è la mobilità
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-14
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La corrente che attraversa il conduttore è:
qN qNv
I

T
L
dove: T = tempo di attraversamento del
tratto L, v = velocità media (o di deriva)
La densità di corrente vale:
Poiché:
N
 n [cm-3]
LA
q Nv
J
LA
[A/cm2]
è la densità di elettroni, si ottiene:
J  qnv  qn E  E
dove
Ele-A-15
 [-1 cm-1] è la conducibilità
Elettronica I - A.A. 2009/20010
Data la contemporanea presenza di elettroni (e) e lacune (h), in un
semiconduttore si ha:
J  q ( n n   p p) E
   1  q (  n n   p p )
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Ele-A-16
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FOTOCONDUCIBILITA’
La conducibilità di un semiconduttore può essere modificata
dall’esposizione ad una radiazione luminosa composta da fotoni che
rispettano la relazione:
E fotone  E g
dove
h (costante di Plank) = 6.63×10-34 J·s
E fotone  h  h
c

 = frequenza del fotone in Hz
J. Millman - C.C. Halkias “Microelettronica” Ed. Boringhieri
Ele-A-17
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GENERAZIONE E RICOMBINAZIONE DEI PORTATORI
La concentrazione dei portatori è il risultato di un delicato equilibrio fra due
processi opposti: la ricombinazione e la generazione.
R [cm-3s-1] velocità di ricombinazione
G [cm-3s-1] velocità di generazione
U [cm-3s-1] = R - G è detta velocità netta di ricombinazione
All’equilibrio si ha: U = 0
In presenza di portatori minoritari in eccesso (p. es. lacune), si ha U>0. In particolare in
caso di generazione-ricombinazione diretta
U
Ele-A-18
pn  pno
p
p
vita media delle lacune
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CORRENTI DI DIFFUSIONE
dn
J n  q Dn
dx
l = cammino libero medio
kT
n
Dn  vth l 
q
(relazione di Einstein)
dp
J p  q D p
dx
kT
p
D p  vth l 
q
kT
T
 VT 
q
11600
Ele-A-19
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
Elettronica I - A.A. 2009/20010
EQUAZIONI DELLA CORRENTE
dn
J n  q n n E  q Dn
dx
dp
J p  q p p E  q D p
dx
JT  J n  J p
Ele-A-20
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EQUAZIONE DI CONTINUITA’
R
Jn(x)
x
Jn(x+dx)
A
G
x+dx
 J n ( x) A J n ( x  dx) A 
n
A dx  

 Gn  Rn A dx

t
q
 q

Ponendo:
Jn
Jn (x  dx)  Jn (x)  dx
x
n 1 J n

 Gn  Rn 
t q x
Ele-A-21
si ottiene
eq. di continuità per gli elettroni
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Il funzionamento di qualsiasi dispositivo a semiconduttore è descritto
dal sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite n, p, V:
n 1 J n
 Gn  Rn 

t q x
dn 


 J n  q n n E  q Dn
dx 

p
1 J p

 G p  R p 
t
q x
dp 

J
q
p
E
q
D



 p

p
p
dx


dE  s

dx  s
 d 2V
s



2
dx
s




a cui vanno aggiunte le opportune condizioni al contorno.
Ele-A-22
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INIEZIONE DI PORTATORI MINORITARI
po = ni2/ND
no = ND
n’ = n-no
p’ = p-po
Ovviamente n’ = p’ (e- ed h+ sono
generati a coppie).
Se: n’ << ND e p’ >> po si dice che
siamo in ipotesi di bassi livelli di
iniezione, ovvero si continua ad
avere dovunque p << n
Calcoliamo la corrente di diffusione
delle lacune:
d px 
J p  q D p
dx
J. Millman - C.C. Halkias “Microelettronica” Ed. Boringhieri
Ele-A-23
Elettronica I - A.A. 2009/20010
Per ricavare p(x) si risolve l’eq. di continuità per le lacune:
con
p
1 J p

 G p  R p 
t
q x
p  po ed E = 0 , l’eq. di cont. diventa:
G  R  U  
p
d 2 p p  pno

2
2
dx
Lp
con:
Lp  Dp  p
da risolvere con la condizione al contorno:
(lunghezza di
diffusione
delle lacune)
p( )  pno
p ' ( x)  p x   pno   p (0)  pno  e
Ele-A-24

x
Lp
Elettronica I - A.A. 2009/20010
Sostituendo nell’espressione della corrente di diffusione delle lacune:
Jp  q
Dp
Lp
p ' (0) e
x

Lp
da cui si ricava che la corrente di lacune è massima all’ascissa x=0,
ovvero in superficie, dove vale :
J p 0   q
Dp
Lp
p ' (0)
Con considerazioni analoghe si ricava la corrente di elettroni.
Si noti che le due correnti hanno verso opposto e che la corrente totale
è nulla.
Ele-A-25
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VARIAZIONE DEL POTENZIALE IN UN
SEMICONDUTTORE A DROGAGGIO NON UNIFORME
Semiconduttore all’equilibrio (assenza
di campo elettrico o illuminazione
applicati dall’esterno)
p1
p2
In ogni punto di ha: Jp = Jn = 0
Dall’eq. della corrente delle lacune:
x1
x2
NA
ND
x1
Ele-A-26
x2
dp
q p p E  q D p
dx
da cui:
Vt dp
dV
E
p dx
dx
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dp
dV  VT
p
p1
 V21  V2  V1  VT ln
p2
Nel caso di una giunzione p/n si ottiene:
V21  VT ln
p po
pno
N A ND
 VT ln
 Vo
2
ni
detto potenziale di built-in.
Ele-A-27
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