Semiconduttori Concentrazione dei portatori Drogaggio Ele-A-1 Elettronica I - A.A. 2009/20010 CONCETTO DI BARRIERA DI ENERGIA POTENZIALE Una carica unitaria q in un campo elettrico E è soggetta ad una forza f = q E . Si definisce potenziale V (Volt) del punto x rispetto al punto xo il lavoro eseguito, contro il campo elettrico E, per spostare una carica positiva unitaria da xo a x. In un sistema monodimensionale: x E x dV V f dx 1 E dx E dx xo xo xo x V ( x) V ( xo ) Si definisce energia potenziale U (Joule) il prodotto fra il potenziale e la carica q presa in considerazione: U= q V. Se la carica è un elettrone, si ottiene U= -q V Inoltre l’energia totale di un elettrone libero è costante e pari alla somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica: Ele-A-2 1 2 W U mv 2 Elettronica I - A.A. 2009/20010 Nella fisica dei dispositivi a semiconduttore si preferisce usare come unità di grandezza dell’energia l’elettronvolt (eV): 1 eV 1.6 10 19 J Se un elettrone subisce una riduzione di potenziale pari ad 1 V, la sua energia cinetica aumenta di q ·V = 1.6·10-19 [C]·1 [V] = 1.6·10-19 [J] = 1 [eV]. In altri termini, se fra due punti esiste una differenza di potenziale di 1 V, per un elettrone essa corrisponde all’esistenza di una barriera di energia potenziale pari ad 1 eV. Ele-A-3 Elettronica I - A.A. 2009/20010 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-4 Elettronica I - A.A. 2009/20010 SiGe S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-5 Elettronica I - A.A. 2009/20010 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-6 Elettronica I - A.A. 2009/20010 Ele-A-7 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Elettronica I - A.A. 2009/20010 Si chiama energy gap (Eg [eV]), detta anche gap di banda, l’energia minima necessaria che occorre ad un elettrone di valenza per sfuggire al legame in cui è coinvolto e diventare un elettrone libero Per il silicio Eg 1.12 eV a 300 K Per l’arseniuro di gallio (GaAs) Eg 1.42 eV a 300 K Ele-A-8 Elettronica I - A.A. 2009/20010 DROGAGGIO CON ATOMI DONORI (drogaggio di tipo n) S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Si drogato con As Ele-A-9 Elettronica I - A.A. 2009/20010 DROGAGGIO CON ATOMI ACCETTORI (drogaggio di tipo p) +q S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Si drogato con B Ele-A-10 Elettronica I - A.A. 2009/20010 In un semiconduttore (intrinseco o drogato) che si trova in equilibrio termodinamico vale la legge d’azione di massa: n p n 2 i ni è detta concentrazione intrinseca ed è fortemente dipendente dalla temperatura. A 300 K per il silicio si ha ni = 1.6×1010 cm-3 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-11 Elettronica I - A.A. 2009/20010 In un semiconduttore intrinseco: n p ni In un semiconduttore drogato con atomi donori (tipo n): n ND p 2 i n ND con ND concentrazione di atomi donori In un semiconduttore drogato con atomi accettori (tipo p): p NA Ele-A-12 n ni2 NA con NA concentrazione di atomi accettori Elettronica I - A.A. 2009/20010 Leggi del trasporto di elettroni e lacune nei semiconduttori Ele-A-13 Elettronica I - A.A. 2009/20010 In assenza di campo elettrico l’energia cinetica degli elettroni di conduzione in un conduttore (o in un semiconduttore) è: 1 3 2 mn vth k T 2 2 Malgrado vth 0, data la casualità del moto lo spostamento netto è nullo. In presenza di un campo elettrico E, l’elettrone è soggetto ad una forza -q E che determina uno spostamento netto non nullo. vE [cm2/V·s] è la mobilità S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-14 Elettronica I - A.A. 2009/20010 La corrente che attraversa il conduttore è: qN qNv I T L dove: T = tempo di attraversamento del tratto L, v = velocità media (o di deriva) La densità di corrente vale: Poiché: N n [cm-3] LA q Nv J LA [A/cm2] è la densità di elettroni, si ottiene: J qnv qn E E dove Ele-A-15 [-1 cm-1] è la conducibilità Elettronica I - A.A. 2009/20010 Data la contemporanea presenza di elettroni (e) e lacune (h), in un semiconduttore si ha: J q ( n n p p) E 1 q ( n n p p ) S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Ele-A-16 Elettronica I - A.A. 2009/20010 FOTOCONDUCIBILITA’ La conducibilità di un semiconduttore può essere modificata dall’esposizione ad una radiazione luminosa composta da fotoni che rispettano la relazione: E fotone E g dove h (costante di Plank) = 6.63×10-34 J·s E fotone h h c = frequenza del fotone in Hz J. Millman - C.C. Halkias “Microelettronica” Ed. Boringhieri Ele-A-17 Elettronica I - A.A. 2009/20010 GENERAZIONE E RICOMBINAZIONE DEI PORTATORI La concentrazione dei portatori è il risultato di un delicato equilibrio fra due processi opposti: la ricombinazione e la generazione. R [cm-3s-1] velocità di ricombinazione G [cm-3s-1] velocità di generazione U [cm-3s-1] = R - G è detta velocità netta di ricombinazione All’equilibrio si ha: U = 0 In presenza di portatori minoritari in eccesso (p. es. lacune), si ha U>0. In particolare in caso di generazione-ricombinazione diretta U Ele-A-18 pn pno p p vita media delle lacune Elettronica I - A.A. 2009/20010 CORRENTI DI DIFFUSIONE dn J n q Dn dx l = cammino libero medio kT n Dn vth l q (relazione di Einstein) dp J p q D p dx kT p D p vth l q kT T VT q 11600 Ele-A-19 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli Elettronica I - A.A. 2009/20010 EQUAZIONI DELLA CORRENTE dn J n q n n E q Dn dx dp J p q p p E q D p dx JT J n J p Ele-A-20 Elettronica I - A.A. 2009/20010 EQUAZIONE DI CONTINUITA’ R Jn(x) x Jn(x+dx) A G x+dx J n ( x) A J n ( x dx) A n A dx Gn Rn A dx t q q Ponendo: Jn Jn (x dx) Jn (x) dx x n 1 J n Gn Rn t q x Ele-A-21 si ottiene eq. di continuità per gli elettroni Elettronica I - A.A. 2009/20010 Il funzionamento di qualsiasi dispositivo a semiconduttore è descritto dal sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite n, p, V: n 1 J n Gn Rn t q x dn J n q n n E q Dn dx p 1 J p G p R p t q x dp J q p E q D p p p dx dE s dx s d 2V s 2 dx s a cui vanno aggiunte le opportune condizioni al contorno. Ele-A-22 Elettronica I - A.A. 2009/20010 INIEZIONE DI PORTATORI MINORITARI po = ni2/ND no = ND n’ = n-no p’ = p-po Ovviamente n’ = p’ (e- ed h+ sono generati a coppie). Se: n’ << ND e p’ >> po si dice che siamo in ipotesi di bassi livelli di iniezione, ovvero si continua ad avere dovunque p << n Calcoliamo la corrente di diffusione delle lacune: d px J p q D p dx J. Millman - C.C. Halkias “Microelettronica” Ed. Boringhieri Ele-A-23 Elettronica I - A.A. 2009/20010 Per ricavare p(x) si risolve l’eq. di continuità per le lacune: con p 1 J p G p R p t q x p po ed E = 0 , l’eq. di cont. diventa: G R U p d 2 p p pno 2 2 dx Lp con: Lp Dp p da risolvere con la condizione al contorno: (lunghezza di diffusione delle lacune) p( ) pno p ' ( x) p x pno p (0) pno e Ele-A-24 x Lp Elettronica I - A.A. 2009/20010 Sostituendo nell’espressione della corrente di diffusione delle lacune: Jp q Dp Lp p ' (0) e x Lp da cui si ricava che la corrente di lacune è massima all’ascissa x=0, ovvero in superficie, dove vale : J p 0 q Dp Lp p ' (0) Con considerazioni analoghe si ricava la corrente di elettroni. Si noti che le due correnti hanno verso opposto e che la corrente totale è nulla. Ele-A-25 Elettronica I - A.A. 2009/20010 VARIAZIONE DEL POTENZIALE IN UN SEMICONDUTTORE A DROGAGGIO NON UNIFORME Semiconduttore all’equilibrio (assenza di campo elettrico o illuminazione applicati dall’esterno) p1 p2 In ogni punto di ha: Jp = Jn = 0 Dall’eq. della corrente delle lacune: x1 x2 NA ND x1 Ele-A-26 x2 dp q p p E q D p dx da cui: Vt dp dV E p dx dx Elettronica I - A.A. 2009/20010 dp dV VT p p1 V21 V2 V1 VT ln p2 Nel caso di una giunzione p/n si ottiene: V21 VT ln p po pno N A ND VT ln Vo 2 ni detto potenziale di built-in. Ele-A-27 Elettronica I - A.A. 2009/20010