PROGRAMMA CORSO MATEMATICA E BASI DI INFORMATICA E

PROGRAMMA CORSO MATEMATICA E BASI DI INFORMATICA E STATISTICA STB A.A 2011/2012
Prog. Giorno
Data
Argomento
Presentazione ed oganizzazione corso. Proprietà delle operazione. Insiemi ed operazioni fra insiemi: sottoinsieme, unione , intersezione,
differenza, complementazione.Prodotto cartesiano. Partizione. Leggi di de Morgan. Logica delle Proposizioni: connettivi (vel, et, non,
implicazione, coimplicazione). Tabelle di verità. Leggi di Morgan. Quantificatori e logica dei predicati.
Definizione di relazione. Relazione di equivalenza. Insieme quoziente. Esercizi su tabella di verità.Esercizi su teoria intuitiva degli
insiemi.Relazione d'ordine. Definizione di funzione: dominio, codominio, campo di esistenza , insieme delle immagini. Funzioni iniettive,
suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzione composta. Esempi di composizione di funzioni. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura algebrica
. Gruppo e gruppo abeliano. Proprietà delle operazione. Grafico di funzioni. Grafici di funzioni invertibile e grafico funzione inversa. Proprietà
funzioni: monotonia, concavità; periodicità;simmetria pari e dispari. Funzioni elementari: parte intera e mantissa, funzione lineare e funzione
quadratica (parabola), funzione omografica (iperbole), funzione modulo.
Funzioni elementari: potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente. Cenno alle funzioni inverse. Cenno alle equazioni e
disequazioni con modulo,irrazionali, esponenziali, logaritmiche, goniometricheVettori nel piano e nello spazio. Somma di vettori. Modulo del
vettore somma. Prodotto di un vettore per uno scalare. Versori canonici in R2 ed R3. Componenti cartesiane di un vettore. Calcolo analitico di
Modulo, verso e direzione di un vettore.
Prodotto scalre tra due vettori e relative proprietà. Prodotto scalare dei versori elementari. Vettori in Rn: operazioni di somma e prodotto per
uno scalare in Rn. La struttura di spazio vettoriale.Algebra delle matrici. Definizione di vettore riga e vettore colonna. Matrice quadrata. Ordine
matrice. Diagonale principale e secondaria. Uguaglianza matrice. Matrice trasposta, simmetrica, emisimmetrica, simili, triangolare. diagonale.
Somma di matrici: definizione e proprietà. Matrice 0. Matrice opposta. Prodotto matrice per uno scalare. Struttura di spazio vettoriale
nell'insieme delle metrici simili.Prodotto righe per colonne di due matrici. Matrici conformabili. Prorprietà del prodotto di matrici. Non
commutatività. Divisori dello zero. Determinante di una matrice quadrata. Regola di Laplace. Minore complementare e complemento algebrico.
Regola di Sarrus.Esempio: determinante matrice di ordine 4.
Proprietà del determinante di una matrice. Teorema di Binet. Minori e rango di una matrice. Determinazione dell'inversa di una matrice. Matrici
singolari. Matrici Invertibili. Equazioni matriciali e risoluzione mediante matrice inversa di sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Gruppo
GL(n).Matrice come trasformazioni lineari nel piano cartesiano. Trasformazioni elementari di simmetria e di rotazione nel piano. Rotazioni e
gruppi ad un parametro. Numeri complessi. Definizione di somma e prodotto in R^2. Forma algebrica di un numero complesso. Modulo ed
argomento. Dim. Prodotto moduli. Complesso coniugato. Proprietà algebriche elementari dei numeri complessi. C ed il pb dell'ordinamento.
Espressioni algebriche.
Piano di Argand-Gauss e forma polare dei numeri complessi. Luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica. Formula di
De Moivre per il prodotto e la potenza di numeri complessi. Forma esponenziale. Radici n-esime dell'unità. Radici n-esime di un numero
complesso. Teorema fondamentale dell'algebra. (esercizi esplicativi).
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Funzioni complesse (seno,coseno circolari ed iperbolici). Cenno all'insieme frattale di Mandelbrot ed all'insieme di Julia ( e di Fatou).Sottospazi
vettoriali: criterio di riconoscimento ed esempi. Sottospazi vettoriali: criterio di riconoscimento ed esempi. Combinazione lineare di vettori.
24/10/2011 Vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Criteri per la determinazione in R^n dei vettori linearmente indipendenti di un
qualsiasi insieme di vettori. Varietà lineare . Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Componeneti di un vettore. Determinazioni delle
componenti di un vettore rispetto a due basi date. Basi canoniche in Rn. Funzioni lineari tra spazi vettoriali.
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Kernel ed Immagine di una funzione lineare come sottospazi vettoriali.Cenno al teorema di rappresentazione: matrice associata ad una
applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Esercizi complementari. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi.
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Composizione di funzioni lineari. Autovalori ed autovettori, autospazio di una matrice. Polinomio caratteristico. Ricerca autovalori ed autovettori
di una matrice.Topologia di R: estremo superiore, Inferiori , Insiemi limitati superiormente, inferiormente, limitati, illimitati inferiormente e
03/11/2011 superiormente. Aritmetizzazione simbolo di infinito. Insieme R esteso.Topologia elementare di R: Intorno sferico. Intorno destro e sinistro.
Punto interno. Insieme aperto. Insieme chiuso. Punto esterno. Punto di frontiera. Frontiera. Punto di accumulazione. Insieme derivato. Punto
isolato. Cardinalità di un insieme.
Limite: definizione unitaria in R esteso. Definizioni in R per x_0 finito o infinito e valore del limite finito o infinito. Asintoti verticali ed orizzontali
07/11/2011 per grafici di funzioni. Successioni. Convergenti, divergenti, irregolari. Esempi di verifica del limite.Non esistemza del limite. Teorema di unicità
del limite (dim). Teorema della permanenza del segno (dim). Teorema del confronto (dim). Limite notevole sin(x)/x (dim).
Continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle discontinuità di una funzione. Teorema di Weierstrass.
Teorema di Darboux. Teorema degli zeri. Risoluzione approssimata di equazioni. Metodo di bisezione. Cenno al metodo del confronto grafico.
Continuità funzioni elementari. Continuità operazioni di elementari. Casi di indecisione: somma (+∞-∞), prodotto (0∞), rapporto (0/0. ∞/∞).
10/11/2011
Potenza (1^∞,0^0,∞^0). Trattazione 0^∞. Limiti di funzioni razionali fratte a zero ed all'infinito. Infiniti ed infinitesimi. Ordine di infinito ed
infinitesimo rispetto ad una funzione nota. Infiniti di ordine superiore, inferiore, stesso ordine, funzioni infinite asintotiche. Infinitesimi di ordine
superiore, inferiore, stesso ordine, funzioni infinitesime asintotiche.
PAUSA DIDATTICA
Identità esponenziale. Teoremi sul passaggio all'asintotico per limiti contenenti somma e rapporti di funzioni infinite ed infinitesime. Limiti
all'infinito ed a zero di funzioni razionali fratte. Limiti di funzioni razionali fratte per la forma di indecisione 0/0. Limiti di funzioni irrazionali.
28/11/2011
Gerarchia ordine di infiniti e infinitesimi. Asintoti obliqui. Limiti notevoli sinx/x, (1-cosx)/x^2, log(1+x)/x, (a^x-1)/x, ((1+x)^a-1)/x. Applicazioni
Limiti notevoli. Limiti risolvibili mediante identità esponenziale. Sostituzione di variabile nei limiti.
Definizione di rapporto incrementale. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Equazione della retta
tangente al grafico di una curva in un suo punto. Funzione derivata. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari ( costante , x^n, log(x), a^x,
sin(x), cos(x), tan(x)). Derivata della funzione |x|. Derivata della funzione ln(|x|). Esempi di calcolo delle derivate. Regole di derivazione:
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somma, prodotto, rapporto. Proprietà di linearità dellì'operatore derivata. Derivata della funzione composta. Continuità e derivabilità di una
funzione. Punti angolosi. Punti cuspidali. Flesso a tangente verticale. Punti di non derivabilità della funzione. Derivata delle funzioni inverse:
Applicazioni: calcolo derivata arsen(x), arccos(x), arctan(x). Significato geometrico del teorema di derivazione di funzioni inverse.
Derivate sucessive. Esercizi su richieste di continuità e derivabilità di una funzione. Definizione di massimo e minimo locale. Definizione di
punto stazionario ed estremante. Relazione tra estremanti e punti stazionari. Massimi e minimi globali. Teorema di Fermat.Ricerca estremanti
funzione continua. Ricerca estremanti funzione derivabile in [a,b]. Teorema di Rolle. Sufficienza delle condizioni in ipotesi. Teorema del valor
05/12/2011 medio di Lagrange. Significato geometrico del teorema di Lagrange. Applicazione del teorema di Lagrange, ricerca del punto a tangente
parallela alla secante. Applicazione alla funzione x^2 ed alla funzione 1/x. Derivata prima e monotonia della funzione. Segno della derivata
prima. condizione sufficiente per massimi e minimi. Flessi a tangente orizzontale. Studio del segno della derivata prima: esempio. Corollari al
teorema di Lagrange per funzioni a derivata nulla.
Cenno ai problemi di ottimo. Teorema di De l'Hospital (SD). Applicazione al calcolo dei limiti, limiti notevoli, gerarchia infiniti. Differenziale di
una funzione ed interpretazione geometrica. Linearizzazione di una funzione. Derivata seconda. Convessità e concavità per tangenti.
12/12/2011 Convessità e concavità per corde. Definizione di punto di flesso. Convessità e concavità e segno della derivata seconda. Condizione
necessaria per ricerca punti di flesso. Condizione sufficiente per ricerca punti di flesso. Flessi ascendenti e discendenti. Flessi e tangenti
inflessionali. Approssimazione polinomiale di funzioni elementari. Sviluppi di Mclaurin.
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Data
Argomento
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Sviluppi di Mclaurin per seno, coseno, tangente, e^x, ln(1+x), (1+x)^a, 1/(1-x), 1/(1+x). Calcolo limiti mediante sviluppo di McLaurin. Studio
locale ed approssimazione di funzioni mediante sviluppo di McLaurin.Sviluppo di Taylor. applicazioni dello sviluppo di taylor a funzioni
polinomiali. Condizione sufficiente per la determinazione di massimi e minimi attraverso il segno della derivata seconda e giustificazione
15/12/2011
relativa.Condizione sufficiente per la determinazione di massimi, minimi e flessi attraverso le derivate successive. Relazione tra il segno della
derivata seconda e la concavità della funzione. Integrale indefinito. Antiderivata e primitiva di una funzione. Prorpietà della funzione primitiva.
Esistenza della funzione primitiva. Primitive delle funzioni elementari dirette ed inverse. Proprietà dell'integrale indefinito (linearità).
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Antiderivate quasi immediate e regole del cambiamento di variabili nell'integrale indefinito..Integrazione funzioni razionali. Caso Δ>0 a
19/12/2011 denominatore con numeratore di gradi zero e primo. Sviluppo in frazioni parziali. Caso ∆=0 a denominatore con numeratore di gradi zero e
primo. Sviluppo in frazioni parziali. Caso ∆<0 a denominatore con numeratore di gradi zero e primo.
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Utilizzo programma GRAPH. Grafici di funzioni elementari. Grafici riconducibili. Grafici di relazioni. Grafico di funzioni. Grafici di funzioni
invertibile e grafico funzione inversa. Proprietà funzioni: monotonia, concavità; periodicità;simmetria pari e dispari. Introduzione programma
GRAPH. Utilizzo delle pricinpali voci di menù e delle principali proprietà atte alla visualizzazioni del grafico di una funzione. Le funzioni di
rounding (trunc, fract, ciel, floor, round) e la ricerca dell'espressione della funzione mantissa. Periodicità e grafici deducibili legati alla funzione
19/12/2011
seno. Prima analisi della sintassi per l'espressione analitica di una funzione. Punti salienti studio di funzioni. Domini di funzioni elementari.Seno
Iperbolico: studio funzione. Invertibilità funzione seno iperbolico: settore seno iperbolico. Derivata della funzione seno iperbolico e settore seno
iperbolico. Coseno Iperbolico: studio funzione. Invertibilità funzione coseno iperbolico: settore coseno iperbolico. Derivata della funzione
coseno iperbolico e settore coseno iperbolico. Funzioni parametriche nel piano. Cenno alla funzione Tangente Iperbolica.
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Integrazione per parti. Casi elementari.Integrazione per parti. Integrale di ln(x) , di sen(x)^2 di cos^2(x). Tipiche situazione di funzioni
integrande a cui applicare la tecnica di integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Sostituzioni per funzioni polinomiali di funzioni
irrazionali o trascendenti. Integrazione per sostituzionedi √(1-x^2) , √(1+x^2), √(x^2-1) con l'ausilio di funzioni goniometriche circolari ed
iperboliche. Integrale Definito. Partizioni di un insieme. Raffinamento di una partizione. Plurirettangolo inscritto e circoscritto.Somme inferiori e
22/12/2011
superiore. Variazioni di tali somme al variare della partizione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Teorema indefinita
ravvicinatezza tra somme inferiori e superiori. Esempio di funzione non R-integrabile. Somme di Riemann e condizione di integrabilità per
esse.Significato geometrico dell'integrale di Riemann. Teorema se f é continua --> f é R-integrabile. condizioni sufficienti (2) per la RIntegrabilità. Proprietà Integrale Definito.
VACANZE NATALE
Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema di Torricelli-Barrow. Caratteristiche funzione integrale. Teorema fondamentale
del calcolo. Integrale definito e funzioni primitive. Integrazione per parti e per sostituzione con l'integrale definito. Calcolo area cerchio. Area tra
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grafici di funzioni. Esempi di esercizi con funzioni integrali e sviluppi di Taylor..Integrali improrpi di I specie. Integrali impropri di seconda
specie. Calcolo lunghezza di curva. Calcolo volume di solidi di rotazione.
10/01/2012 Introduzione ai software di calcolo simbolico:MAXIMA. Algebra con Maxima. Risoluzione di equazioni algebriche con Maxima
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Prog. Giorno
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Statistica descrittiva. Indagine statistica: terminologia. Popolazione e campione statistco. Caratteri e modalità. Variabii e mutabili statistiche.
Dato statistico. Frequenze assolute, relative e percentuali. Frequenza cumulata. Esempi con Excel relativi e frequenze di variabili ematuabile
statistiche. Esempi con raggruppamento in classi. Le fasi della ricerca statistica. Rappresentazione grafica dei dati statistici: ortogrammi,
diagrammi a torta, coordinate polari (a radar). ideogrammi (pictogrammi), cartogrammi , diagrammi cartesiani, istogrammi , poligoni delle
12/01/2012 frequenze, rappresentazione stem- leaf (ramo-foglia), diagrammi a dispersione, stereogrammi.Esempi con excel relative alle rappresentazioni
grafici dei dati statistici. Indici di posizione:Media secondo Chisini e proprietà generali della media. Media aritmetica semplice e ponderata.
Scarti dalla media. Somma scarti. Minimalità somma quadrati scarti. Media aritmetica per distribuzione con classi. Trasformazioni variabili
statistiche: calcolo della media aX+k. Momenti di una variabile statistica. Proprietà di M2. Media Geometrica semplice e ponderata. Media
Quadratica semplice e ponderata. Media Armonica semplice e ponderata. Medie di potenza semplice e ponderata. Valori limite della media di
Maxima algebra lineare (matricie calcolo matriciale, matrice inversa, autovalori ed autofunzioni). Limiti. Derivate . Integrali indefiniti e definiti.
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.Introduzione al foglio elettronico Excel. Riferimenti assoluti e relativi. Zero macchina.
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. Box Plot. Indici di dispersione: range, distanza interquartile, differenze medie. Indici di dispersione: scarto semplice medio assoluto. Varianza
sulla popolazione e sul campione.Devianza. Deviazione Standard sulla popolazione e sul campione. Coefficiente di variabilità. Esempio Excel
16/01/2012 per calcolo indici di dispersione (semplice, con frequenze, con classi). Proprietà della varianza ed esempi con excel. Variabile standardizzata.
Calcolo del valor media e della varianza. Concentrazione , curva di concentrazione, retta di equidistribuzione, area di concentrazione ed indice
di concentrazione. Momenti di una variabile aleatoria. Indici di forma: asimmetria (skewness).Indici di forma: curtosi.
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Distribuzione Gaussiana. Cenno al significato di distribuzione per variabili continue. Proprietà della curva gaussiana. Valor medio e deviazione
standard. Interpretazione del calcolo della frequenza. Intervallo di ampiezza ±1σ, ±2σ e ±3σ attorno alla media. Distribuzione Normale
Standardizzata. Calcolo delle frequenza attraverso la distribuzione normale stardardizzata.Statistica bivariata. Tabella della
frequenze.Frequenze e distribuzioni condizionate. Frequenze e distribuzioni marginali. Valori medi condizionati e globali. Frequenze teoriche.
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Variabili aleatorie indipendenti. Contingenze. Indipendenza, perfetta indipendenza e connessione. Esempi Excel. Distribuzioni bivariate con
due mutabili: connessione (connessione negativa e positiva). Connessione e tabella delle contingenze. Proprietà delle contingenze. Indice di
contingenza : media assoluta (Mortara). Indice di contingenza quadratico medio (Pearson). definizione del chi-quadrato. Indice di Cramer.
Esempi Excel per il calcolo degl indici di contingenza (casi di perfetta indipendenza, perfetta dipendenza econnessione).
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Excel esempio di tabella completata mediante indirazzamenti relativi ed assoluti. Utilizzo per approssimazione numeri reali in rappresentazione
decimale. Excel : frattali attrattori. Excel e statistica : rappresentazione dei dati. Excel e statistica : rappresentazione dei dati. Cenno ai grafici
ottenibili con il foglio di calcolo (diagrammi, a dispersione, stereogrammi). Excel e statistica univariata: calcolo della media per distribuzioni
19/01/2012 semplici, con frequenze e con raggruppamenti (classi) con uguale e diversa ampiezza. Calcolo dello scarto semplice, della varianza e della
deviazione standard per gli stessi casi. Calcolo dei momenti di una variabile aleatoria. Calcolo della media aritmetica, della varianza e della
deviazione standard nel caso di una funzione lineare della variabile aleatoria (temperature °F-°C). Ce nno alla libreria di funzioni di Excel per le
distribuzioni normali.
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Riassunto esercizi Excel. Grafici con Excel. Excel: medie di potenza, moda e mediana (cenno ai percentili), calcolo degli indici di forma
(Asimmetria e Curtosi). Excel:Calcolo tabelle per distribuzioni normali. Esempio di utilizzo tabelle per distribuzioni normali. Cenno alla statistica
inferenziale: verifica di ipotesi con il test chi-quadrato. Excel: utilizzo di procedure per la determinazione della indipendenza e della
23/01/2012
connessione tra due mutabili statistiche. Distribuzioni bivariate tra un fenomeno qualitativo ed uno quantitativo. Medie condizionate e
Marginali. Indice eta di Pearson per indipendenza statistica e connessione tra una variabile aleatoria ed una mutabile aleatoria.Excel: utilizzo di
procedure per la determinazione della indipendenza e della connessione tra una mutabili statistiche ed una variabile statistica.
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Argomento
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Distribuzioni bivariate di due variabili aleatorie. Medie condizionate e marginali. Varianze e deviazioni standard. Connessione e indipendenza :
indici eta di pearson (Y su X e X su Y). Regressione e Correlazione. Analisi della correlazione. Codevianza. Covarianza. Proprietà della
covarianza. Covarianza per variabili aleatorie standardizzate. Indice di correlazione di Bravais-Pearson. Valori assunti dall'indice e relativa
interpretazione. Proprietà dell'indice di Bravais-Pearson. Diagramma a dispersione (scatter plot). Cenni Correlazione e tabella delle frequenze.
26/01/2012
Esempi Excel per tutti i principali concetti trattati. coefficiente di Bravais-Pearson. Regressione lineare con variabili standardizzate.
Scomposizione della varianza e grado di accostamento. Interpolazione estrapolazione , regressione. Funzioni interpolanti. Fasi della
regressione. Regressione Lineare. Metodo dei minimi quadrati per una retta. Regressione di Y su X e di X su Y. Esempio Excel. Relazione dei
coefficienti di regressione con il Esercizi con Excel su Statistica Bivariata e regressioni. .
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Esercizi con Excel su Statistica Bivariata: indipendenza e connessione. Indice di Pearson. Calcolo della Covarianza. Indice di Bravais-Pearson.
Regressioni lineari. Excel: Approssimazioni di numeri irrazionali (con cenno alla risoluzione della macchina).
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