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CORSO MONOGRAFICO
sulle
ANTENNE AD APERTURA
Anna Vaccarelli
MAGGIO 1990
TEOREMA DI EQUIV ALENZA ......................................................................................... 1
ApPROSSIMAZIONI DI KIRCHHOFF E DI BETHE ......................................................... 3
ANTENNE AD APERTURA .......
..5
.. ................. 5
1 Introduzione .............. .
2 I Campi come sorgenti di Irradiazione ...
...................6
2.1 Aperture Uniformi Rettangolari.. .................................. ..
.. ......... 6
2.2 Aperture circolari con distribuzione uniforme
................ 11
2.3 Direttività delle aperture con distribuzione uniforme
...... 13
3. Antenne a Tromba .................................................................................................. 15
3.1 Tipi di antenne a tromba e loro uso ...................................................... 15
3.2 Guida d'onda rettangolare open-ended ............................................... 17
3.3 Antenne a tromba settoriali sul Piano E. ............................................. .20
3.4 Antenne a Tromba Settoriali sul Piano H ........................................... 25
3.5 Antenne a Tromba Piramidali.. .............................................................. 28
4 Antenne a Fessura (a Slot) ...................................................................................... 29
4.1 Slot su un piano di massa grande .......................................................... 29
4.2 Slot sulle pareti della Guida d'onda ...................................................... 33
5 Antenne a Riflettore Parabolico ............................................................................ 35
5.1 Introduzione ............................................................................................... 35
5.2 Relazioni geometriche, campo di apertura, diagramma di
irradiazione e direttività ................................................................................. 35
5.2.1 Direttività ed efficienza di apertura ....................................... .40
5.3 Illuminatori per riflettori parabolici ................................................. .42
5.3.1 Illuminatori a Radiatore ........................................................... 42
5.3.2 Supporti per il Feeder nei sistemi Prime-Focus .................. .42
5.3.3 Illuminatore Cassegrain ........................................................... .44
5.3.4 Altre Antenne a Riflettore ....................................................... .48
5.4 Parzializzazione dell'apertura ................................................................ 52
5.5 Orientazione del fascio con "feed offset" ............................................. .52
5.6 Requisiti di precisione sulla superficie del riflettore ......................... 53
LA TRASFORMATA DI FOURTER ApPLICATA ALLE ANTENNE ................................... 55
1 In trod uzione ..............................................................................................................55
2 Aperture Monodimesionali ................................................................................... .55
3 Analogia con i Segnali .............................................................................................57
5'3
4 Larghezza del fascio e larghezza dell'apertura
5 Spostamento del Fascio ........................................................................................... 61
6 Array di Array ............................................................................................................ 61
7 In terferometri ............................................................................................................ 62
8 Aspetti Fisici dello Spettro Angolare .................................................................... 63
9 Teoria Bidimensionale ............................................................................................ 64
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................ 67
1
TEOREMA DI EQUIVALENZA
O
,
,
Teorema di Love
Si considerino le sorgenti J e Jm interne ad un volume V limitato da
una superficie S, che è una superficie geometrica ideale, che ha lo scopo di
separare il volume V dallo spazio esterno (Fig. 1). Le sorgenti producono i
campi E ed H in tutto lo spazio; si indichino con Es e H s i loro valori sulla
superficie S. Si considerino ora i campi El e Hl tali che:
= Hl = O
in V
fuori di V
El = E e Hl = H
in presenza di correnti su S che hanno densità lineare:
El
{
= n/\ x H s
/\
Jms = - n x Es
Js
(1)
ed in assenza delle sorgenti originarie ], Jm. Bisogna verificare se questi
campi soddisfano alle equazioni di Maxwell e se si possono considerare generati dalle correnti superficiali. espresse dall'equazione. (1).
s
h'
Fig.1: Separazione dello spazio mediante una superficie chiusa che contiene le sorgenti.
All'esterno del volume V i campi El. ed Hl coincidono con i campi E
ed H, che sono certamente soluzione per le equazioni di Maxwell; poiché
in V non ci sono sorgenti, i campi El e H 1 nulli sono ancora soluzione
delle equazioni di Maxwell. Attraversando la superficie S i campi sono discontinui, come deve essere in presenza di distribuzioni di correnti
elettriche e magnetiche superficiali. Si può quindi concludere che El e Hl
sono soluzioni delle equazioni di MaxweU e, perii teorema di unicità,
sono anche l'unica soluzione.' Da queste considerazioni scaturisce,
dunque, l'enunciato del teorema di equivalenza:
2
Il campo elettrqmagnetico, all'esterno di una superficie chiusa S, è
esprimibile in termini di sorgenti equivalenti Js, Jms, che possono
essere determinate a partire dalla conoscenza, su essa, delle
componenti tangenziali dei campi.
Il teorema di equivalenza è una formulazione più rigorosa del principio di
Huyghens, che stabilisce che ogni punto del fronte d'onda può essere
considerato come sorgente di un'onda sferica secondaria e che un fronte
d'onda secondario può essere ricostruito come inviluppo di queste onde
sferiche.
L'importanza del teorema di equivalenza sta nel fatto che, in molte
applicazioni, la distribuzione del campo prodotto su S dalle sorgenti
assegnate può essere ragionevolmente approssimata con una scelta
opportuna della superficie; ciò consente di calcolare, in modo spesso
abbastanza semplice, le sorgenti equivalenti ed i campi all'esterno di S.
Formulazione alternativa
Si considerino ancora, in tutto lo spazio, i campi E ed H prodotti dalle
sorgenti J e J m, tali che soddisfino le condizioni di radiazione all'infinito.
Sia S una superficie chiusa, geometrica, che racchiude le sorgenti in un
volume V e siano Es e H s i campi sulla superficie S. Si consideri, poi, un
volume identico al precedente, racchiuso dalla stessa superficie S, ma
contenente un materiale perfettamente conduttore (Fig. 2 a e b); su essa
sono presenti delle correnti magnetiche superficiali impresse, di densità
lineare:
Jms=-h'xEs
mentre mancano le sorgenti originali
(2)
J, Jm' Siano El e Hl i campi generati
dalle correnti espresse dalla (2), tali che soddisfano le condizioni di
radiazione all'infinito. Si può dimostrare che i campi El e H l sono
soluzione delle equazioni di Maxwell e' coincidono con i campi E e H
all'esterno di S; questo vuoI dire che, per il teorema di unicità, i campi
devono avere anche la stessa componente tangenziale del campo elettrico
sulla superficie S. Infatti il campo elettrico El è nullo in V ed ha
componente tangenziale discontinua attraversando la superficie S, a causa
della presenza della corrente Jm e pari a {( x Es sulla faccia esterna della
superficie.
3
h
s
s
v
(a)
(bI
Fig.2: (a) Volume V che racchiude le sorgenti J e Jm; (b) volume V riempito di materiale
conduttore in presenza delle sole correnti magnetiche di superficie.
Questa formulazione del teorema di equiva.1enza consente di calcolare
i campi all'esterno di S in funzionè della sola distribuzione della corrente
magnetica superficiale. Questa differenza dipende dal fatto che i campi El e
1 vengono considerati estesi a tutto lo spazio, mentre nella formulazione
classica essi sono considerati non nulli solo fuori del volume V; in questo
caso, invece, la condizione che siano nulli dentro il volume V è verificata
automaticamente dalla presenza del materiale conduttore. Inoltre, le
condizioni su S sono condizioni al contorno: se non venisse impressa
alcuna corrente allora, automaticamente, si avrebbe la componente
tangenziale del campo magnetico discontinua e quella del campo elettrico
nulla; imponendo che ci sia una corrente superficiale magnetica Jm, viene
forzata la condizione di componente tangenziale del campo elettrico
discon
e del campo magnetico nulla.
Nella prima formulazione le correnti impresse irradiano nello spazio
libero, mentre nell' altro caso irradiano in presenza di una massa
metallica. Se i campi Es e H s sono esatti, le due formulazioni portano agli
stessi risultati, diversamente, la differenza tra le due soluzioni può dare
un'idea della validità delle approssimazioni usate.
ApPROSSIMAZIONI DI KIRCHHOFF E DI BETHE
Si consideri una superficie, per esempio un schermo conduttore, in
cui si praticata un'apertura; essa viene .investita da un campo
elettromagnetico generato al di là dello schermo (Fig.3).· Nella maggior
parte dei casi la distribuzione dei campi sull'apertura non è nota, ma
4
viene stimata facendo delle approssimazioni, tra cui le più usate sono
quelle di Kirchhoff e di Bethe.
to/Ho
v
.............
./~--'-----"'"
~\. ..
---''-
_.'-....--
Fig.3: Apertura praticata in uno schermo metallico e illuminala da un campo Eo, Ho.
Nell/approssimazione di Kirchhoff si suppone che il campo
sull'apertura sia quello imperturbato, cioè è quello che ci sarebbe se le
sorgenti irradiassero in assenza dello schermo. Poiché lo schermo è
perfettamente conduttore, la componente tangente al del campo elettrico è
nulla; si suppone nulla anche la componente tangente del campo
magnetico. L'approssimazione di Kirchhoff equivale a trascurare gli effetti
dei bordi dell'apertura e quello delle correnti elettriche di superficie sullo
schermo. Tale approssimazione è accettabile per aperture grandi (qualche
decina di lunghezze d'onda), infatti gli effetti dalla perturbazione del
campo sull'apertura e delle correnti superficiali, in prossimità del bordo,
sono apprezzabili fino ad una distanza pari circa ad una lunghezza d'onda.
Si suppone inoltre che il campo irradiato sia intenso, in modo che non si
cancellino, per interferenza, gli effetti delle onde emesse da ogni elemento
dell/apertura.
L'approssimazione di Bethe, invece, ha validità solo per aperture
piccole rispetto alla lunghezza d'onda. Essa consiste nel trascurare le
perturbazioni introdotte dall'apertura praticata nello schermo,
assumendo, quindi, che esso sia continuo.
5
ANTENNE AD APERTURA
1 INTRODUZIONE
Tra le cosiddette "antenne ad apertura", le più diffuse sono quelle "a
tromba", quelle "a fessura" e quelle a riflettore parabolico (Fig. 1.1). Per tut-
te queste anlenne è molto difficile calcolare le distribuzioni di corrente sulle parti metalliche che costituiscono la struttura e, anche se fossero note, la
loro complessità renderebbe impossibile il calcolo dei campi irradiati. Il
problema può essere affrontalo e risolto, con buona approssimazione, se si
suppone di suddividere lo spazio in due porzioni, una delle quali contenga tutte le sorgenti e sia delimitala da un piano infinito ed una semisfera
di raggio infinito (vedi Fig. 1.2). In genere il piano infinito è scelto in modo da contenere l'apertura perd6 è detto anche piano di apertura. Si può
supporre che i campi sulla semi sfera siano nulli perché a distanza infinita.
L'irradiazione nel semispazio a destra è calcolato con una soddisfacente accuratezza supponendo che i campi siano nulli fuori dell'apertura.
Parabolic refleclor
Lorge conduc1ing sheel
r-------" /
A'"
I.
,
\/
Feed ontenno
I
=
'.
Feed line
(b)
(o)
(c)
Fig. 1.1 Alcuni tipi di antenne ad apertura: (a) antenna a tromba; (b) antenna a fessura; (c)
antenna a riflettore parabolico
.
/'
/'
/'
/
I
1
·1
Aperture
:/Plane
/
I
I
I
~'
\
\
\
j,
Closed surfoce ",encloslng sources
Fig. 1.2: Divisione dello spazio in due regioni per mezzo di una superficie chiusa che
comprende le sorgenti.
6
2 I CAMPI COME SORGENTI DI IRRADIAZIONE
2.1 Aperture Uniformi Rettangolari
Si consideri un'apertura rettangolare, di lati a e b, che giace nel piano
x-y (Fig. 2.1). Una sorgente lontana posta sull'asse z produce sull'apertura
una distribuzione di campo della forma:
1\
Eo=Eoy
(2.1)
(2.2)
1\
Ho == (Eo/Tl)x
y
)(
p(r,e,rpl
\k:C'
)
/
•
.l
~b/2
,,/
Fig.2.1: Calcolo del campo lontano per una apertura rettangolare.
Per semplicità si supponga che il piano x-y sia di materiale perfettamente
assorbente e che il campo elettromagnetico su di esso sia nullo. Si assume
che il campo sull'apertura abbia una distribuzione del tipo ad onda
localmente piana. Questo è generalmente vero perché la sorgente (per
esempio un illuminatore primario a tromba o a dipolo per ant~nne a
riflettore) è a grande distanza dall'apertura (la distanza è » della lunghezza
d'onda). L'onda piana sull'apertura viene considerata polarizzata
linearmente e diretta lungo y (eq.(2.1». Se le dimensioni a e b sono tali che
a » À e b » À, si può supporre che la distribuzione di campo sull'apertura
sia quella imperturbata; inoltre si possono trascurare le corienti sulla parte
esterna dello schermo (approssimazione di Kirchhoff).
Si consideri un elemento superficiale dxdy. Per il teorema di
equivalenza, sull'areola vanno considerate le correnti superficiali:
1\
1\
1-10 = - BoY
1\
1\
=Eoxz=Eox
Js == z x
n campo
(2.3)
(2.4)
irradiato dall'elemento di superikie può essere calcolato come
7
quello prodotto da una coppia di dipoli: uno magnetico polarizzato
secondo Q di corrente magnetica tota}e:
1m = Jms dy = Body
(2.5)
ed uno elettrico, polarizzato secondo
I = -fIo dx
9, di corrente elettrica totale:
= - -Bo dx
(2.6)
11
y
y
Fig.2.2: Dipolo elettrico e magnetico.
Due
disposti come in Fig. 2.2 e tali che il rapporto tra i loro momenti sia pari all'impedenza caratteristica del mezzo, costituiscono una
sorgente di Huyghens.
n campo elettrico irradiato a grande distanza dal dipolo magnetico è
dato da (AS = dxdy):
. kEo L'lS e-jkr (Q
Em = -J 4rcr
x~)
(2.7)
Il campo magnetico irradiato a grande distanza dal dipolo elettrico è:
He
. kEo L'lS e-jkr(y
= - J 114rcr
x~)
(2.8)
dove c'è il segno meno perché la corrente è negativa (il dipolo è diretto se-
8
condo -
y). n campo elettrico totale irradiato dalla coppia di dipoli è:
E == Em + Ee == Em + llHe x
== - j
A
I
kEo ÒS . A A A
e-Jkr [x x I - (Y
411:r
=
6,
A
XI) X IJ
(2.9)
Q= 'i sinO sin<j> + 8' cosO cos<j>- $ sin<j>
(2.10)
y == 'i sinO sin<p - 8' cosO sin<p + $ cos<p
(2.11)
Poiché è:
sostituendo nella (2.9) si ottiene:
E =-j
== - j
== j
kEoÒS.
~
~
e-Jkr [- ijj cosOcos<p - \1 sin<p - (+
411:r
kEoÒS.
~
e-Jkr [- <j> cosOcos<p 411:r
A.
\1
sin <p -
A.
\1
!).
\jJ
cosOsin<p +
cosOsin<p -
kEoÒS .
A.
f.
e-Jkr (1 + cosO) (ti sin<p + \jJ cos<P)
411:r
Se il campo elettrico è polarizzato secondo
Qe
f.
\jJ
~
\1
A
cos<P) x Il ==
cos<PJ ==
(2.12)
quello magnetico lungo
9, si
ottiene:
EoÒS 'k
E == j - - e-J r (1 + cosO)
2Àr
A.
(\1
t:...)
(2.13)
cos<p - (j> sm<p
Si noti che la sorgente di Huyghens non irradia posteriormente (O
= 180°);
il suo diagramma di irradiazione, detto "a cardioide" è mostrato nella
Fig.2.3.
Il campo irradiato dall'apertura a grande distanza può essere calcolato
integrando i contributi di areole elementari sulla superficie di apertura.
Si consideri un punto P a grande distanza (Fig.2.1) ed una areola
elementare posta nel punto Q; si utilizza l'approssimazione a raggi
paralleli, pertanto la distanza r viene approssimata con
I,
così che tutte le
grandezze vengono riferite al centro di fase dell'antenna, che si suppone
coincida con il centro dell'apertura.
9
z
Fig.2.3: Diagramma di irradiazione "a cardioide" della sorgente di Huyghens.
Il contributo dell'areola in Q può essere espresso come:
kEodxdy
dE = j
4rrr
'k
f:.
I},)
e-J I (1 + cos8) (~ cos</> + ti sm</>
(2,14)
~ xdE
dH=-TJ
Integrando si ottiene:
-
b:'\E
e-jkr
E(r) = j
..-Q (1 + cos8) [~ sin</> + $ cos</>] --r- dxdy::.
-a 2-b 2 4rr
a/2
J J _.
kEo .
::. j e-Jkr (1 + cos8) [~ sin</> +
4rrr
-il
= j kEo
- e-J'kr Cl
ff
Jf
a/2 b/2 ,
$ cos</>1
+ cos8) [1:1I} sin</> + ~f:. cos</>J
4rrr
,
e-Jkr.t dxdy =
2-b 2
a/2 b/2
1\ dxdy (2.15 )
e-J'k'
T eT
-a 2-b 2
Poiché è
A
1\
= X'X +y'y
A
A
A
A,
r = X sin8 COS</> + Y sin8 sin</> + z cos8
r'
(2,16)
(2.17)
si ha:
r' e
f' = x'sin8cos</> + y'sin9sin</>
(2.18)
Sostituendo la (2.18) nella (2.15) si ottiene:
E(r)
= j kEo
- (1
4rrr
I}
1.\
•
'k
+ cos8)[tI sin</> + il> cos</>] e-J
r
10
a/2 b/2
JJ
e-jkx sin9cos<\l e-jky sin9sin<\l dxdy
(2.19)
-a 2-b 2
Si noti che l'integrale doppio può essere facilmente separato in due
integrali semplici.
a/2
ejkx sinOcos<Pdx
=
2sin[~asin8cos<j>]
J
-a 2
2sin[~kbsin8sin<j>]
b/2
ejky sin9sin<Pd
.
Y = _ _=-. _ _ _~rJ
ksm8sin<j>
-b 2
J
(2.20)
ksin8cos<j>
(2.21)
Di conseguenza, la (2.19) diventa:
jke-jkr
= ~-- Eoab
E(r)
4nr
sin(~kacosx) sin(~kbcosX')
1
1
(:2kacosx)
(1 + c058)[& sin<j> +
(:2kbcosX')
$ cos<j>J
(2.22)
dove:
/\
/\
= x er = sin8 cos<j>
,/\/\
'e'sIn'l'th
cosX = Y $t = SIn
cosX
(2.23)
(2.24)
Nei oiani y-z ( piano E, <j> = 90°) e x-z (Piano H, <j> = 0°), la (2.22) diventa:
Eyz
=
jke-jkr
sin(~kbsin8)
4
Eoab(1 + cos8) 1
(f
nr
(:2kbsin8)
sin(~kasin8)
jke-jkr
Exz =
4'nr
Eo ab(1 + cose)
1
'
(:2kasin8)
(2.25)
$
(2.26)
Dalle (2.22)-(2.26) è chiaro che la direzione di massima irradiazione è 8=0°.
Per aperture grandi (ka » 1 e kb » 1), il fascio pricipale si restringe, come è
.
mostrato nella Fig.2.4, dove è rappresentata la funzione
sin(~kasin8)
1
in
(:2kasin8)
funzione
8, per ka
= 20n,
che corrisponde ad a pari a 10 lunghezze
11
d'onda. Nel caso in esame la larghezza del fascio principale nel piano x-z è
circa 11°.
1.0
~I:
'" .-
0.8
~
"'<
~ J;
0.6
o'-
l''
.S .S
o;
~
~
0.4
~ ~ 0.2
-tt".I_~
.~
-15
-10
20
-5
e (deg)
Fig.2.4: Le funzioni sin<1kasinO)/<1kaSin9), a tratto continuo, e Jl(kasinO)/(kasin9), a linea
tratteggiata, in funzione di
e pe~ ka=20
Ponendo nella (2.25) e (2.26) cose -::::. 1, si può dimostrare che la
larghezza del fascio a metà potenza è:
(HPBW)yz = 0.886À/b
(HPBW)xz = 0.886À/ a
(2.27)
(2.28)
cose::::. l, la (2.22) mostra che la polarizzazione del campo di
irradiazione è data da G' sin<j> + $ cos<j>. Poiché è
y = f' sinesin<j> + G' cos8sin<j> + $ cos<j>:::: (j sin<j> +$ cos<j>
si deduce che la polarizzazione è lungo
elettrico sull'apertura.
2.2 Aperture
y,
cioè è la stessa del campo
circolari con distribuzione 1Jniforme
Si consideri una apertura circolare di raggio a nel piano x-y, come
mostrato nella Fig.2.5. L'apertura è illuminata da una sorgente distante
tale che i campi elettromagnetici sull'apertura sono uniformi sia in
ampiezza che in fase e sono espressi dalle (2.1) e (2.2). Il campo elettrico in
zona lontana nel semispazio a destra dell'apertura (z>O) è dato da:
12
'k -jkr
E(r)
=) e
e-jkr[& sin</> + $ cos</>] (1 + cose)
y
JJ
21t a
ejkr'.r r'dr'd</>' (2.29)
;r
P(r;8.1>J
)V'I
"
I
Fig.2.5: Calcolo dci campo lontano per un'apertura circolare.
L'esponenziale nella (2.29) può essere espresso come:
e jkr''':? = jk(x'sin9 cos</> + y'sin9 sin</> )
= jk(r'sin</>'sin9
cos<l> + r'sin<l>'sin9 sin</»
= jkr'sin9 cos(</> - <1>')
(2.30)
Utilizzando nell'integrale (2.29) le funzioni di Bessel definite come segue:
Jo(x)
J
1 21t
ejxcosa da
2rc
=-
(2.31')
f xJo(x) dx = xJI (x)
(2.32)
si ha:
E(r)
=
i!s.. e-Jkr
. E
2rc
o Crca 2)
Il (ka sine)
.
ka sme
A
•
[ti sm<!>(1 + cose) +
+ $ cos</>(1 + cose)]
(2.33)
Nei piani y-z e x-z, la (2.33) si riduce a :
Eyz
. E Crca 2) JJ(ka
sine)
.
= i!s. e-Jkr
o
Exz =
2rc.
ka sin9
(1 + cos9)
é'
.
JJ(ka sin e)
~
e-Jkr Eo(rca 2)
•
(1 + cose)<p
2rc
ka smB
jk
-
(2.34)
(2.35)
13
Dalle equazioni (2.33)-(2.35) si deduce che la direzione di massimo
irraggiamento è nella direzione EI=O°. Per aperture grandi (ka» 1), il lobo
principale diventa stretto, come si deduce facilmente osservando la Fig.2.4,
nel quale è rappresentata la funzione Jt (ka sinEl) / (ka sinEl) in funzione di
El, per ka = 207(. Nel caso in esame,per cui il diametro di apertura è circa lO
lunghezze d'onda, la larghezza del fascio, sia nel piano x-z che y-z è di 14°
CIrca.
Nel caso generale, si supponga che il primo zero si verifichi per El = 8 0;
allora è:
k(~ D) sin8 0 = 3.83
(D
= 2a)
'~' /".~
oppure:
~,.
Elo
'.
='sin: 1(1.22ìdD)
. (2.36)
Per aperture grandi si ha:
80 ::::: 70/(0/À) deg
(2.37)
L'ampiezza del fascio principale è:
2E10 = 140/(0/À) deg
Per cos8 ::::: l, l'angolo a metà potenza 8HP si verifica per
(2.38)
k(~ O) sin8HP = 1.6
e quindi la larghezza del fascio a metà potenza è:
HPBW
= 28 r:IP = 2sin-1(3.2/kD) :::::58.44(À/D) deg
(2.39)
La differenza tra il primo lobo laterale e quello principale è -17. dB. Come
nel caso dell'apertura rettangolare, la polarizzazione del campo elettrico in
zona lontana per aperture circolari grandi illuminate uniformemente è
identica a quella del campo elettrico sull'apertura.
2.3 Direttività delle aperture con distribuzione uniforme
La direttività di un'antenna è espressa in termini di massima intensità
di irradiazione UM e di potenza irradiata W:
0= 41tUM/W
(2.40)
14
dove:
UM
r2
= - ( I Ee 12 +
2TJ
w = f JU
2
I E<j> 12)M
sinS dS d<j>
(2.41)
(2.42)
circolari e rettangolari illuminate da campi uniformi sia in
ampiezza che in fase, le (2.22) e (2.33) mostrano che UM si verifica nella
direzione ortogonale' ed è data da:
k2E~a2b2
(U M)rcc
=
(2.43)
8 V\:
r
2 4
k 2 Eoa
(UM)cir = 8TJ
(2.44)
La (2.44) è stata ricavata utilizzando l'approssimazione:
h(x) -t x/2
per x -t O
(2.45)
La potenza irradiata può essere ottenuta risolvendo l'integrale nella (2.42),
oppure osservando che tutta la potenza associata al campo deve aver
attraversato l'apertura, pertanto, poiché la densità di potenza sull'apertura
è E~/2TJ, si ha:
1
W =2n
ff E
2
O
2
dG =
Eo Sa
-
(2.46)
2TJ
dove Sa è l'area dell'apertura ed è pari ad ab per l'apertura rettangolare e a
na 2 per quella circolare. Sostituendo la (2.43) , (2.44) e (2.46) nella (2.40) si
ottiene:
4n
(2.47)
Drcc = ì.) (ab)
4n
Ddr :::: À2 (na 2)
(2.48)
Confrontando queste espressioni con qtteUa generale della direttività in
funzione dell'area efficace di un'antenna p = (4n/À)A e, si può immediatamente osservare che che nelle antenne cor apertura uniforme circolare o
rettangolare, l'area effettiva è uguale aU~area fisica. Questo risultato si
15
riottiene per un'apertura di forma arbitraria purché i campi abbiano una
distribuzione uniforme sia in ampiezza che in fase. Se questa condizione
non è verificata, allora l'area efficace Ae risulta minore di quella fisica Ap.
La relazione che lega le due aree può essere espressa come segue:
Ae
= fap Ap
o ~ fap ~ 1
(2.49)
dove Eap è detta efficienza di antenna ed è una misura di quanto viene
utilizzata l'area fisica dell'apertura dell'antenna. In genere l'intervallo in
cui varia €ap per le antenne ad apertura è circa 30%-90%. Le antenne a
tromba progettate per avere un guadagno ottimo hanno una efficienza di
apertura pari circa al 50%. Il valore tipico per i riflettori parabolici circolari
è 55%.
3.1 ANTENNE A TROMBA
3.1 Tipi di antenne a tromba e loro uso
Per le antenne a tromba, di grande intéresse pratico, l'irradiazione può
essere calcolata a partire dalla distribuzione dei campi elettromagnetici
sull'apertura. Le antenne a tromba possono essere di molti tipi, a seconda
dell'uso cui sono destinate; nel seguito verranno descritte quelle
rettangolari settoriali e quelle piramidali sia perché sÌ incontrano più
frequentemente sia perché meglio si prestano ad illustrare i principi
generali di funzionamento delle antenne a tromba.
Si consideri una guida d'onda rettangolare, progettata per lavorare in
modo TElOf e si supponga di eccitarla con una sorgente posta in una delle
aperture, lasciando l'altra aperta. L'irradiazione si manifesterà s411a
terminazione aperta, che, quindi, costituisce il più semplice tipo di
antenna a tromba. Tuttavia questo tipo di antenna, benchè di facile
realizzazione, non viene mai usata per due ragioni: la prima è che
l'impedenza dello spazio libero è diversa dall'impedenza d'onda del
modo dominante e, quindi, sulla terminazione della guida d'onda una
parte dell'energia incidente viene riflessa indietro verso la sorgente; la
seconda ragione è che, come è noto, per avere fasci stretti bisogna che la
sezione della guida sia molto grande, ma ciò causerebbe inevitabilmente la
nascita di modi di propagazione di ordine più alto non desiderati, che
rendono difficile il calcolo del diagramma di irradiazione. Per ovviare a
questi inconvenienti si "raccorda" la guiqa allo spazio libero, svasanuione
16
la
le pareti, cosi da rendere graduale
transizione tra i due mezzi. In questo
modo si nota che la riflessione è ridotta al minimo e i modi di ordine
superiore vengono molto attenuati percorrendo la zona della guida che si
allarga, fino a scomparire del tutto sull'apertura. L'allargamento
dell'apertura, inoltre, consente di ottenere fasci più stretti e maggiore
direttività.
Un'antenna tromba si dice settoriale se dei due lati della guida uno si
allarga e l'altro mantiene inalterate le dimensioni (Fig.3.1a e b). In una
guida progettata perché si propaghi il modo TElO, se il lato della guida che
si allarga è quello maggiore (Fig.3.1a), l'antenna viene detta settoriale a
tromba sul piano E perché la svasatura è nella direzione del campo elettrico. Se, invece, si allarga il lato minore della guida (Fig.3.1b) allora
l'antenna viene detta settoriale a tromba sul piano H perché la svasatura è
nel piano che contiene il campo magnetico. L'antenna a tromba si dice
piramidale quando entrambi i lati della guida d'onda vengono svasati
(Fig.3.1c).
rQ
( b)
(o)
(c)
Fig.3.1: Alcuni tipi di alltcnne a tromba: (a) seUoriale sul piano E; (b) settoriale sul piano
~
H; (c) piramidale.
Le antenne a tromba vengono usate sia come radiatori sia come illuminatori della antenne paraboliche, prevalentemente in una gamma di
frequenze intorno ad 1 GHz. Esse sono, in generale, robuste, facili da
costruire, hanno un guadagno relativamente alto ed un'ampiezza di
banda estesa; le antenne settoriali possono essere progettate per avere fasci
a ventaglio sul piano della svasatura, mentre nell'altro piano hanno un
fascio largo, all'incirca come quello di una guida d'onda aperta. Le antenne
piramidali consentono di ottenere fasci di larghezza diversa e indipendente nei due piani principali e, se sono costruite con precisione, permet-
17
tono di calcolare il guadagno con una precisione di un decimo di decibeL
3.2 Guida d'onda rettangolare open-ended
L'analisi delle antenne costituite da una terminazione aperta (openended) è utile per la comprensione e lo studio delle antenne a tromba vere
e proprie. Si consideri il sistema mostrato nella Fig.3.2 e si. assuma che le
dimensioni a e b della guida siano tali che si propaghi solo il modo TElO.
La distribuzione di corrente si ha sulla sonda all'ingresso della guida
d'onda e sulle pareti della guida stessa. I campi irradiati dalla
terminazione aperta potrebbero essere calcolati, almeno in teoria, in
funzione delle correnti; però il calcolo è piuttosto difficile, pertanto si
preferisce seguire una strada che utilizzi i campi stessi come sorgenti di radiazione.
Si supponga di racchiudere 'le correnti dentro una superficie S,
costituita da un piano che contenga l'apertura della guida e da una
semi sfera si raggjo infinito (Fig.3.2). I campi sulla semisfera sono nulli
perché essa è posta all'infinito; sul piano si può ragionevolmente
supporre che essi siano diversi da zero solo sull'apertura. Detti Et e Ht
rispettivamente il campo elettrico e magnetico sull'apertura, il campo
irradiato in zona lontana a destra della superficie S può essere espresso
COll1e:
'k'k
E(r) = J e-J
4rrr
r
JJ
b/2 a/2
... da
r x
[zt\ x Et -llrt\ x (zt\ x Ht)J eJ'k r ' -.c]
-b 2-a/2
t\
(3.1)
Il campo elettrico e magnetico tangenti sono campi totali, cioè
comprendono sia il campo incidente che quella riflesso, tanto del modo
TElO che di altri modi di ordine più elevato, che vengono eventualmente
eccitati dalle discontinuità. Per il modo TElO si ha:
Eti
Hli
= Ei cos(rrx' / a) e-jklOz 9
(3.2)
Ei
= - -z
cos(1tx'/a) e-J'k lOz Xt\
(3.3)
lO
Etr = rEi cos(rrx' / a) e-j klOz y
=r
dove
ZlOl
kJO e
r
Ei
. . t\
-Z cos(1tX' / a) e-JkJoZ x
10
(3.4)
(3.5)
sono, rispettivamente, l'impedenza d'onda, la costante di
propagazione ed il coefficiente del modo di propagazione TElO. Le quantità
ZlO e klO sono dale dati:
18
/'
.....
I
~x-y plone
/
/
I
/
/
l .. _
_,
y
I Woveguide
I moulh
l
----,L
I
L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ '
I
\
--x
I
f-o-;
Re<:1on gul<Jr
~gu,dc
\
Fronl view
\
\
I
,
"
Source-eodosiong
surfoce. S
I
"-
I
I
",,'-
I
I
--
Fig.3.2: Guida d'onda rettangolare open-ended
= 11[1 - (À/2a)2]-1/2
klO = k[l - (À/2a)2J1/2
(3.6)
ZlO
(3.7)
Il valore tipico di r è 0.3 e corrisponde ad un rapporto d'onda stazionaria
(VSWR) di circa 1.5.
Assumendo che i modi incidenti e riflessi TElO siano preponderanti
nella distribuzione dei campi sull'apertura, ponendo z=O si ha:
= EiO + n
Eo
= - -Z
~1
1\
1\
cos(rex'/a) y = Eo cos(rex'/a) y
1\
(3.8)
(3.9)
cos(rex' / a) x
dove:
Z1
1+
r)
(3.10)
= ZlO ( 1- r
Utilizzando le (3.8) e (3.9) e notando che:
8/2
a/2
f cos(rex'/a) ejkx'cosx dx' = i f (ej1tx'/a + e-j1tx'/a) ejkx'cosXdx'
-a/2
-a/2
1
(2a/re) cos(2 ka cosx)
- (k 2a 2/re 2) cos2x)
(3.11)
,
\
b/2
f
-b/2
eJ'k'
Y cosX d y'
19
sin(! kb COSX')
2 ---= b --1
"2 kb cost
(3.12)
Q= ~ sinO cos<j> + é' cosO cos<j> - $ sin<j>
(3.13)
si ha:
b/2 a/2
f' x J
f. (~ x Et) ejkr'e:t dO' = - Eo(cose cos<j> $ + sin<j> ~)F
(3.14)
-b 2-a/2
b/2 a/2
f' x
J J [- Tlf' x (~ x Ht)] ejkr'e:t dO' = - Tl~(cose sin<j> ~ + cos<j> $)
-b 2-a/2
(3.15)
dove F è:
1
.
cos(~ ka cosX) sin("2 kb
F = 2abrc (rc 2 _ k 2a 2 cos 2x)
Ci;'
c
Cb
1.0
":s
0.8
'"
'Vi "':;
0.6
("'.....
0.4
" '"
.::1"'<::>
0.2
~
~I
o
U
1
("2 kb
COSX')
(3.16)
COSX')
I
/t\
o
N
" -0.2
l
-6 -5 -4 -3 -2 -1
I
o
(0/),) sin
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
8
( o)
1.0
'"
0.8
c
Cl>
.
'Vi
Vi
-<
.....
~
c
Vi
c
..<
-...
~
•
0.6
0.4
0.2
O
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
O
1
(bi),) sin 8
( b)
Fig.3.3: Grafici dei due principali fattori nel piano principale per una guida d'onda
open-ended
Sostituendo la (3.14) e l a(3.15) nella (3.1) si ottiene:
\
E(r)
20
il ) [
il]}
jke-jkr EoF { é' sin<l> ( 1 + cose Zl + $ cose cos<l> + Zl cos<l> (3.17)
=.
I piani E ed H corrispondono, rispettivamente, ai piani y-z (<I>
(<I> = 0°), su cui la (3.17) si riduce a:
il);;'
il]
Eyz =
jke-jkr
sin[(rrb/À.) sinel (
Eoab
1 + cose 2
2rr r
(rrb/À.) sine
Zl
Exz =
cos(rra/À.) sineJ [
jke-jkr
2
Eoab 2
cose + -Z
r
rr - (4rr2a 2 /À.2) sin2e
1
= 90°) e x-z
(3.18)
ti
f:.
\jJ
(3.19)
I diagrammi di irradiazione nel piano H e nel piano E, dipendono
sin[(rrb/À.) sine].
.
.
.
cos(rra/À.) sineJ
nspettle
prevalentemente dal fatton 2
22 2
2
rr - (4rr a /À. ) sin e
(rrb/À.) sine
vamente. I grafici di queste due funzioni sono mostrati nella Fig.3.3. Per
una guida rettangolare con a=2b, il criterio per operare con un solo modo
di propagazione è scegliere a <À <2a, per cui a e b sono frazioni della
lunghezza d'onda ed il diagramma risulta molto allargato.
La direttività può essere ottenuta in base a quanto descritto nel
paragrafo 2.4:
il J
8Z1 ( 1 +D=-1tTjÀ.2
Zl
ab
(3.20)
3.3 Antenne a tromba seftoriali sul Piano E
Una guida rettangolare, progett:'lta perché si propaghi il modo TElO e
svasata sul lato maggiore diventa un'antenna a tromba settoriale sul
piano
Le relazioni geometriche sono mostrate nella Fig.3.4.
La bocca dell' an tenna ha dimensioni a x B, dove B può essere anche
diverse lunghezze d'onda. Il fascio che si ottiene è stretto, a ventaglio, sul
piano che contiene la svasatura e allargato sull'altro piano principale.
Il calcolo dei campi può essere fatto supponendo, come nel caso della
guida aperta, che i campi fuori dell'apertura siano trascurabili. Risolvendo
le equazioni di Maxwell sull'apertura, con le condizioni al contorno sulle
pareti di campo elettrico tangente nullo e campo magnetico ortogonale.
Anche nelle antenne a tromba settoriali si possono propagare infiniti
modi oltre a quello fondamentale. Si può far vedere che lo smorzamento
sull'apertura di modi superiori al TElO dipende dalla dimensione minore b
21
'.
\
della guida. In particolare, se la guida è progettata per il modo TElO allora il
valore di b è tale che nella tromba si propaga solo quel modo.
y
t/"
\
'
t' /R/':\
..... _
I
b '4 ;:':':- -- p -- -'.
Y
__. ----R-----~
1
,,
"
~
T
-1 -
Z
I
I
l-R
"
B
'-~
E----J
Fig.3.4: Relazioni geometriche per un'antenna settoriale sul piano E
Le superfici a fase costante di questo modo sono descritte
dall'equazione p = cost, dove p è la distanza misurata dal punto di
intersezione del prolungamento ideale delle pareti svasate. I campi
sull'apertura sono espressi come:
= Eo cos(n:x' 1a)e-jf(y') Y
Et
(3.21)
Ht = - (Eo/Tj) cos(n:x' 1a) e-jf(y') Q
(3.22)
dove f(y') rappresenta la variazione di fase dovuta alla curvatura del
fronte. Ponendo la fase pari a zero al centro dell'apertura, si ha:
e-jf(y')
= ejk(R - R1) = e-jkR 1(R/Rl -1)
(3.23)
Utilizzando le relazioni geometriche evidenti dalla Fig.3.4, si può scrivere:
2
= CRI + y'2)1/2 = Rl [1 + (y'/Rl)2]1/2
R
::: R 1 [1 +
~y'/Rl)2J
per B/2« Rl
Quindi:
e-jf(y') ::: e-j(ky'2/2R 1)
e
Et
per
B/2« R1
= Eo cos(n:x' 1a)e-j(ky,2/2R1) y
= - (Eo/Tj) cos(n:x' 1a) e-j(ky'2/2R1) Q
(3.24)
(3.25)
(3.26)
"
,
22
I
Le espressioni (3.25) el (3.26) significano che la distribuzione dei campi
sull'apertura può essere considerata ad onda piana, a meno di un errore di
fase quadratico.
Il diagramma di campo in zona lontana generato dai campi
sull'apertura può essere trovato utilizzando le (3.25) e (3.26) nella (3.1),
dove al posto di b bisogna sostituire B. Il campo elettrico sull'asse z, dove
T'ero f' : : : O, si ottiene abbastanza facilmente:
a/2
B/2
f f
B/2 a/2
f f
(~x Et) ejkr'·f' da =
-B/2-a/2
(~x Et) da:::::
-B/2-a/2
B/2
f e-jky'2/2R
= - QEo
1 dy'
-B/2
B/2
4aEo
= - xA --;-
x
a/2
cos(rex' / a) dx'
f
=
-a/2
dr e-J'kY'2/2R 1 dy'
(3.27)
Ponendo
u 2 = ky'2/Rlre
(3.28)
si ha:
dy' :::::
"-IO. Rtf2)
(3.29)
du
e
f f
B/2 a/2
A
(z x Et) da
• A
= -x
4aE"
re
~ ÀRr
2
r(B/2),I ÀR r/2e-pru2/2dU
JO
(3.30)
-B/2-a/2
Analogamente, per punti sull'asse z si ha:
B/2 a/2
B/2 a/2
- f f llf' x (~ x Ht)Ejkr'ef' da::::: - J Jllf' x (~ x H
-B/2-a12
_QE 4a ~ ÀRr
ore
t)
da:::::
-B/2-a/2
2
fB/2--J2/'A.R1 e-j.!.1tU2 du
O
2
(3.31)
Sostituendo le (3.30) e (3.31) nella (3.1) si ottiene l'espressione del campo
elettrico sull'asse z:
Easse --
kE
2jre 2roa
e-jkrÀR~,J2[C(v) - jS(v)Jv=(B/2)"'(2/~
A
y
(3.32)
23
\
dove CCv) e S(v) sono gli integrali di Fresnel, definiti come segue:
J
v
CCv)
= cos(~ TCU 2 ) du
Jsin(~
(3.33)
v
S(v) =
TCU 2 )
(3.34)
du
La direttività dell'antenna settoriale sul piano E si ottiene secondo la
falsariga di quanto descritto nel paragrafo 2.4:
;,
DE -- 64aRl
TCAB [C2(v) + S2(v)Jv=(B/2)-J(2/À.~
(3.35)
Una famiglia di curve universali di direttività per le antenne settoriali
a tromba sul piano è mostrata nella Fig.3.5; i grafici riportano i valori della
funzione DEA/a in funzione di B/À, con RdÀ a parametro. Il luogo dei valori di B, per cui si verificano i massimi delle curve mostrate in figura, in
funzione di Rl è una curva che segue la legge:
(3.36)
, B = "" 2ARl
120
100
80
c:;,"
~
-<
60
40
20
le
2
!
2.5 3
)"
4
'\.
5
6
\,
\.
\.
"
7 8 9 10
!
15
\
"
20 25 30
BI>,
Fig.3.5: Curve universali di direttività per antenne settoriali sul piano E
\
24
Se non ci fosse un errore di fase quadratico, la direttività crescerebbe
proporzionalmente a B, in quanto aumenterebbe in tal modo l'area di
apertura. Il massimo si verifica per un certo valore di B in corrispondenza
di un valore ottimo dello sfasamento e del parametro s; oltre questo
valore di B, dato un certo Rl' la deviazione di fase aumenta con B e porta
ad una cancellazione di termini in campo lontano, cos1 che la direttività
decresce.
L'integrale (3.1) può essere scritto anche per punti che non giacciono
sull'asse z nella forma seguente:
E(r)
.
~Rl
ae-jkr
= JkEo
-2 - 2
.1
,
eJ(;kR1)cos2x
rr r
1
x (é'
1 + cose
2: ka cosx
sin<j) + $ cos<j)
2
.1- [(ka/rr)2 cos
x [C(V2) - jS(V2) -C(V1) + jS(Vl)]
(3.37)
dove:
Vl
= ~ ,,~, (- ~ B - R,
cos x,)
V2
= ~ ,,~, ( + ~ B - R, COS x,)
(3.38)
I diagrammi normalizzati nei piani H (<j) = 0°) ed E (<j) = 90°) sono dati
da:
1 + cose
FHee) =. 2
cos(~ ka sine)
(3.39)
1
1 - (2: kasine)2
IFE(e) I = 1 + cose {[C(V4) - C(V3)]2 + [S(V4) - S(V3)]2}1/2
2
4[C2(2.ys) +S2(2.ys)
(3.40)
dove:
V3
=
2-{S[- 1 _l4s B Sine]
À
B2
s = 8ÀR I
V4 =
2-{S[+ 1 _l4s BSine]
À
1 (B)2 À
= 8"
À
(3.41)
(3.42)
Rl
La quantità 2rrs è la massima deviazione di fase sull'apertura, come si vede
esaminando la (3.24) in cui la distribuzione di fase è ()
=
(k/2Rl) y'2; il
25
massÌm,o errore di fase si verifica per y'
= ± B/2 che dà omax = 21tB2/(8ÀR 1).
Usando la (3.36), si trova che il valore ottimo per
s = 1/4
è:
5
(3.43)
ottimo
La famiglia di diagrammi universali nel piano K è mostrata nella Fig.3.6, a
meno del fattore ~(1 + cos8), del quale è possibile tenere conto aggiungendo al valore delle curve 20 log [~(1 + cos8)]. Questa quantità, di solito, è
trascurabile. Le curve della Fig.3.6 non sono normalizzate a OdB nel punto
di massimo, ma vengono riferite al caso di errore di fase nullo (s=O). Per
un'antenna a tromba progettata per ottenere le prestazioni ottime, la
larghezza del fascio a metà potenza nel piano E può essere ottenuta dalla
curva s = ~ nella Fig.3.6. Il punto a - 3 dB si verifica per (BO.) sin8 = 0.47 e
quindi:
(I-IPBW)E
0.47À)
À
À
= 2 sin-1 ( -B::: 0.94 B = 54 B deg per B» À
o "'\:-,
r ____
~,
- - E-piane
- - - H - piane
-5
s=~
3
s= -
-10
8 s=
(3.44)
j
I
,
4'
(optimum)
C
'O
c
-15
<;
o
a. -20
'">
o
,
,,
~ -25
!
"II,
,
I
-30
,
i
I
,
I
-35
-40
I
O
!h
0,5
1.0
1.5
'ti
!I!
2,0 2.5
(al>') sin
(BI>') sin
e
e
,
\I
I.
3.0 3.5
I
4,0
(H-piane)
(E-piane)
Fig.3.6: Diagrammi di irradiazione nel piano prinòpaIe per antenne settoriali sul piano E.
Il fattore (1 + cos9)/2 è stato trascurato
3.4
Antenne a Tromba Settoriali sul Piano H
Le antenne a tromba settoriali sul piano H si ottengono svasando il lato corto di una guida rettangolare progettata per la propagazione del solo
modo fondamentale. La geometria di 1Jn'antenna di questo tipo è mostrata
26\
I
d~ve
in Fig.3.7. Le dimensioni dell'apertura sono A x b,
A può essere diverse lunghezze d'onda. Il fascio che si ottiene è a ventaglio ed è stretto
nel piano che contiene la svasatura e allargato in quello ortogonale.
~
)
[H
/'11i
~,x
_R
---/ --- .J..
~ \:'~"---R,--/...
Z
~RH-1
Fig.3.7: Relazioni geometriche di un'antenna settoriale sul piano H
Come nel caso delle antenne settoriali sul piano E, anche in questo
caso i campi sull'apertura si possono calcolare a partire dalle equazioni di
Maxwell applicate alla tromba, imponendo, come condizioni al contorno,
che il campo elettrico tangenziale e quello magnetico normale alle pareti
siano nulli. L'unico modo che si propaga in una tromba alimentata da una
guida d'onda rettangolare TEIO è il modo di ordine più basso, pertanto si
trova che i campi sull'apertura sono dati, approssimativamente da:
Et
Se A/2
«
= Eo cos(rex' / A) e-jk(R -R2) y
= - (Eohl) cos(rex' / A) e-jk(R - R2) Q
(3.45)
(3.46)
R2 allora è (R - R2) :: ~ x'2 R2 e:
Et = Eo cos(rex' / A) e-jkx'2/2R2
Ht
y
= - CEo/T]) cos(1tX' / A) e-jkx'2/ 2R2 ~
(3.47)
(3.48)
I diagrammi di campo in zona lontana si ottengono sostituendo le (3.47) e
(3.48) nella (3.1) dove A va usato al posto di a. Lo sviluppo dei conti per la
soluzione di queste equazioni risulta abbastanza più complicato rispetto al
caso delle antenne settoriali sul piano E, pertanto non viene riportato. Le
curve universali di direttività e i diagrammi sui piani principali sono
mostrati nelle Figg.3.8 e 3.9, rispettivamente. Nelle curve di Fig.3.8 fissato
,
\
27
I
R2, si trova un valore di A in co+spondenza del massimo. I valori di AlÀ
che rendono massime le curve, rappresentati in funzione di R 2 / À,
seguono la legge:
A
= ~3ÀR2
ottimo
(3.49)
Come nel caso delle antenne settori ali sul piano E, i diagrammi di
irradiazione sul piano H sono tracciati, in Fig.3.9, a meno del fattore
+ cos8)/2. Il massimo errore di fase t, normalizzato rispetto a 21t, è dato
da:
A2
t
1 (Ay
À
(3.50)
= 8Àl<'2 = "8 i) R2
.Sostituendo il valore di A ottimo, dato dalla (3.49), nella (3.50) si ottiene:
t=3/8
(3.51)
140
120
100
~:::.
80
....<::>
-<
60
40
2.5 3
4
5
6
7 '8 9 10
15
20 25 30
AlÀ
Fig.3.8 Curve universali di direttività per un'antenna settoriale sul piano H.
La larghezza del fascio a metà potenza può essere ricavata dalla curva
corrispondente a t=3/8 nella Fig.3.9. Per A » À esso è dato da:
(HPBW)H ::: 78(À/ A) deg
(3.52)
,
,
i
28
3.5 An len ne a Tromba
~ira,"idali
Una guida rettangolare che sia svasata su entrambi i lati costituisce
un'antenna a tromba piramidale, la cui· geometria è mostrata nella
Fig.3.10. L'apertura ha dimensioni A x B, dove A e B possono essere anche
parecchie lunghezze d'onda. Questa antenna genera un fascio stretto su
entrambi i piani, detto "a matita" per la sua caratteristica forma.
Le equazioni associate alla geometria della tromba piramidale non
sono risolubili in forma esatta. Di solito, si assume che la distribuzione
nella direzione y sia la stessa di un'antenna settoriale sul piano E e quella
nella direzione x sia identica alla distribuzione di campo di un'antenna
settoriale sul piano
[1 (;'2 L:)~ 1\
rex')
Et=Eo cos( A exp -j2 k \.R2 +Rl UY
(3.53)
'2 v'2 ~ Q
= - E....2.cos(rex')
exp [ - j~k ~+
11
A
2
L-)
Rl
\.R2
(3.54)
Naturalmente, i diagrammi calcolati utilizzando queste equazioni sono gli
stessi ottenuti nei casi delle due antenne settori ali studiate (vedi F,igg.3.6 e
3.9).
o
-5
~
\
\
1
\.
-10
-H-piane
- - -- E: -piane
t; 2
-15
CJ
u
!: -20
'"
Cio.
\li
.2:
-25
\/~\~\:\
I
,/\
Ci
a;
o:: -30
-35
-40'
O
hl
0.5
1.0
W
h!
1.1
1.5 2.0 2.5
1M
!l.ll
i'
3.0 3.5 4.0
(AIÀ)sin 8 (H- piane)
(bi À) sin 8
(E:- piane)
Fig.3.9: Diagrammi di irradiazione nel piano principale di un'antenna settoriale sul piano
H. n fattore (1 + cosO) è stato trascurato.
29\
x
1
{~Aì
A_I
01
l
(
bI,~l_,
1
RE
Fig.3.10: Relazioni geometriche di un'antenna a tromba piramidale.
La direttività di una tromba piramidale è data da:
1 ÀDE ÀDH
D p =32 A
-B-
(3.55)
Gli ultimi due fattori della eq. (3.55) possono essere ottenuti dalle curve
delle Fig.3.5 e 3.8, in cui le ordinate vanno interpretate come ÀDE/ A e
ÀDl-dB, rispettivamente.
4. ANTENNE A FESSURA (A SLOT)
4.1 Slot su un piano di massa grande
Le antenne a siot sono molto usate, per esempio, sugli aerei, perché
non sporgono dalla sagoma dell'aereo stesso. Il tipo più semplice di
antenna a siot si può ottenere praticando una fessura stretta in un piano
conduttore grande rispetto alla fessura ed alimentando l'apertura con un
generatore, tramite una linea di trasmissione su due punti opposti,
giacenti sulla mediana dell'apertura, come è mostrato nella FigA.la. La
larghezza w è molto minore della lunghezza d'onda e la lunghezza L è
circa metà della lunghezza d'onda.
Per stimare il campo sull'apertura, si consideri una linea di trasmissione
costituita da due semipiani conduttori, che giacciono sul piano x-z e
distano tra loro w, come mostrato nella FigA.lb. Se la linea viene alimentata da una sorgente posta in z = O, "l~ora l'onda elettromagnetica, che si
genera a causa della tensione sulla line" si propaga nelle direzioni di z po-
,
\
30
?
L/
•
Large conductinq
piane
f
/
L
Vii
y
------y
"""v
)(
x
( b ')
( o)
FigA.l: (a) antenna a slot su un piano di massa grande alimentata al centro; (b) linea di
trasmissione.costituita da due semi piani conduttori.
sitivo e negativo, perché la linea è infinitamente lunga. Si supponga ora di
avere un cortocircuito sulla linea in corrispondenza di z = ± L/2 e di circondare i cortocircuiti con del metallo, ottenendo l'antenna mostrata in
Fig.4.la. In questo caso la distribuzione di tensione e la propagazione dei
campi elettromagnetici saranno quelle caratteristiche di una linea di trasmissione corta, cioè un'onda stazionaria della forma:
m
E = x1\ Vw sin [k(2:l L - I z' I )]
(4.1)
sin[k(2:1 L - I z' I )]
(4.2)
1\ V
H =Y
-
m
W11
dove Vm è la tensione di picco.
Se il generatore e la linea di trasmissione sono nel semispazio y < O, i
campi nel semispazio y> O si calcolano supponendo che il piano di massa
sia infinito; quindi si considera una superficie chiusa S che è costituita da
un parallelepipedo retto di sezione w x L posto in corrispondenza
dell'apertura (SI), da un piano infinito che coincide con il piano di massa
(S2) e da un semisfera di raggio infinito nel semi spazio y < O. L'unica
componente di campo non nulla sulla superficie S1 è la componente
tangenziale del campo elettrico, data da:
1\
1\
Vm .
n x Es = y x Es = w
SIn
1
I
l
1\
1\
[k(ì L - z', )]y x x
1
I I 1\
.
= - Vwm SIn
[k(i L - z' )] z
(4.3)
\
31
I campi
y > O possono essere calcolati a partire dal campo
In
sorgente (l~ x Es) su S1 e dalle correnti indotte sul piano di massa oppure si
può calcolare tenendo conto del piano di massa per mezzo di una sorgente
immagine, Questo è possibile perché i campi dentro la superficie S (y < O)
sono nulli, pertanto l'apertura può essere chiusa con un 'Conduttore cos1
che il piano di massa diventa un piano infinito senza "buchi", In queste
ipotesi, i campi in y > O possono essere calcolati da
(ti
x Es) su SI più la sua
immagine, che, come è noto, ha la stessa direzione campo sorgente,
Riducendo il parallelepipedo che costituisce la superficie SI in modo che
sia infinitamente vicino alla superficie del piano di massa, il campo
sorgente e la sua immagine arrivano a "sovrapporsi" e quindi si
sommano.
Un approccio diverso si può fare consideràndo la formulazione
alternativa del teorema di equivalenza, Il fatto che sull'apertura esista solo
la componente di campo .elettrico, vuoI dire che nel semispazio y> O
esistono delle correnti magnetiche di superficie Jms' Questa situazione è
quella che si verifica nella formulazione alternativa del teorema di
equivalenza, in cui si metallizza la superficie S; di conseguenza si può
pensare che lo schermo n~n sia interrotto dall'apertura, In queste
condizioni allora, il calcolo dei campi può avvenire ricorrendo al teorema
delle immagini, in modo da definire una corrente magnetica 2Jms che
irradia in spazio libero, cioè in assenza dello schermo,
definitiva il campo in ,zona lontana in y > O può essere espresso
come:
E(r)
=-
jke-jkr
4n:r
,
f' x f f(2ft x Es) ejkr'·t da
.
L/2 w/2
II
I 'kr' /;.)
= Jke-Jkr -V m rA x zA x f f
2sin[k(2:
L - z' )] eJ 8:r dx'dz'
4n:r W
-L/2-w /2
"kr
w/2
L/2
= Jke-J -V m rA x z eJ'kx'cosXdx'x eJ'kz' cose'
sm[k(2:1 L - I z' I )] dz'
2n:r w
-w/2
-L/2
f
f
(4.4)
Poiché è:
w/2
feikx'COsx dx'
-w/2
.
1
= 2sm(2: kw COSx)
k cosx
=: w
per
w(À«
1
32
';
f' x Q= f' x (f' cose - é' sine) = sine $
L/2
!
ejkz'cose
-L
si ha:
sin[k(~ L _ I z' I)] dz' =3. (COs(~ kLcose) - cos(~ kL)J
k ·
SUl e
~
?
(cos(~ kLcose) - COS(-2 kL»)' /.\
r
. e
<p
SIn
1
- jV m
'k
r =---' e-J
E()
W
(4.5)
In campo lontano il campo magnetico è dato da:
=He8'
dove:
_
1-J~e
~
--
11
.V
= J - e-J
m
1trTl
1
1
COS(2 kLcos9) - cos(-2
'k
r
(
kL»)
(4.6)
sine
Osservando le eq. (4.5) e (4.6) si nota che il diagramma di irradiazione di
uno slot di lunghezza L è lo stesso che si ottiene per un dipolo di
lunghezza L, tranne che il ruolo dei campi è invertito.
il dipolo e lo slot costituiscono una coppia di antenne complementari,
che in genere si ottengono l'una dall'altra sostituendo al metallo l'aria e
viceversa. si può dimostrare c,he le impedenze di antenne complementari
sono legate dalla seguente relazione:
ZariaZmet = 11 /4 = 35.476 ohm 2
(4.7)
Supponendo che !'impedenza di un dipolo in À/2 sia Zd = 73 + j45.5 ohm,
si trova che l'impedenza Zs dello slot complementare in À/2 è :
zsd À) = 363 - j211 ohm.
Un'antenna a slot, costituita da una fessura su un piano di massa
grande, può essere alimentata anche da una guida d'onda o da una cavità,
come è mostrato nella Fig.4.2. Se nella guida d'onda si propaga solo il
modo dominante TElO e la cavità è eccitata da una sonda e cavo coassiale
con il suo modo fondamentale, le distribuzioni di campo sull'apertura
sono ancora espresse dalla (4.1); hanno il massimo verso il centro e
decrescono fino a zero sui lati. Nel caso dello siot alimentato dalla cavità si
può notare che il primo
cortocircuit~
si verifica a À /4 del modo TE 1 0
\
33
misurato a partire dall'apertura, pertanto l'apertura stessa è approssimativamente un circuito aperto. La resistenza di radiazione in questo caso è la
metà di quella che si verifica in assenza del piano di massa, perché si ha
irradiazione solo da un lato del piano stesso.
4.2 Slot sulle pareti della Guida d'onda
Se l'apertura è ricavata sulle pareti di una guida d'onda in maniera
opportuna, si ottiene un'antenna a slot che irradia in una sola direzione.
L'efficienza di questa antenna è soddisfacente se esiste un campo elettrico
tangenziale apprezzabile sulle pareti della guida; esso si genera se le linee
di flusso della corrente sulla guida vengono interrotte. Un tale campo elettrico ha le caratteristiche di una corrente di spostamento che si sostituisce
alle correnti di conduzione interrotte, per opporsi all'interruzione imposta. L'andamento delle correnti in una guida rettangolare dove si propaghi
Conducting
plone
woveguide}
Conducting
piane
':<.
'-
..... ,
~...-/.,.:I
.... ( /
"I
,
I
/
.,-
:;.--,
'" 1
'-
....
q
.....
/2 '.o",
I
x/
~I"--;'~J
I
'I
..... -
....
I /
......- 510t
.... .,- 510t
(o)
( bl
FigA.2: antenna a sIot alimentata da una guida d'onda (a) o da una cavità risonante (b).
FigA.3: Diagrammi di flusso della corrente del modo TElO.
il modo TElO è mostrato in FigA.3; da esso è possibile dedurre se l'antenna
è più o meno efficiente. Delle aperture praticate in una guida rettangolare
mostrate nella Fig.4.4, solo alcune di esse irradiano in maniera
apprezzabile e sono quelle che interrompono le linee di flusso della
34
corrente: più brusca è l'interruzione e maggiore è l'irradiazione. Le
aperture che sono praticate nella direzione della corrente non irradiano
quasi per niente, essendo trascurabile il campo tangenziale.
Disponendo opportunamente un array di slot sulle pareti di una guida
d'onda è possibile avere antenne direttive. Un esempio abbastanza tipico è
mostrato nella Fig.4.5, dove una guida d'onda rettangolare, in cui si
propaga il modo TE1O, viene terminata su un carico resistivo, in modo da
minimizzare le riflessioni e le onde stazionarie. Le aperture, lunghe Àg/2,
dove Àg è la lunghezza d'onda della guida, sono praticate sul lato maggio-
t
Non - radialing
slols
, Radiating
slots
Fig.4.4: Esempi di fessure radianti e non in una guida d'onda rettangolare in cui si propaga il
modo TE10.
re, parallelamente all'asse mediano. Ciascuno slot irradia in maniera
proporzionale alla quantità di linee di corrente interrotte, quantità che
aumenta allontanandosi dalla linea mediana. Variando, quindi, la
pos~zione degli slot rispetto al centro è possibile controllare l'ampiezza
della distribuzione dell'array. Assumendo che la riflessione del modo TE10
sia trascurabile grazie alla presenza del carico resistivo, le correnti sulle
pareti si invertono ogni Àg/2, per cui, volendo un fascio diretto
ortogonalmente alla parete su cui sono praticate le aperture, bisogna che
gli slot su lati opposti rispetto alla mediana siano intervallati di Àg /2 ed
equidistanti dalla mediana stessa: questa disposizione genera dei campi
che si sommano in fase. La polarizzazione che si ottiene è perpendicolare
all'asse dello slot.
3S
),,12
- -~t
=~'='= =:=' ==;=>
' Slots
i:s~
~
...::.'0
'I...
I
7
Resistive
terminotion
f\:?
Y
Fig.4.5: Array di fessure in guida d'onda.
\
5 ANTENNE A RIFLEITORE P ARABOLICO
5.1
troduzione
molte applicazioni nel campo delle comunicazioni, dei radar e della
radioastronomia vengono richieste antenne ad altissimo guadagno che lavorino nella banda delle microonde ed UHF. Ottenere queste prestazioni
da antenne filari (tipo Yagi o altro), da array o da antenne a tromba diventa
proibitivo in termini di costi e/odi ingombro. Le antenne a riflettore paraboli co risolvono molti di questi problemi. La loro principale caratteristica è
di convertire l'onda incidente sferica, prodotta da un illuminatore, in
un'onda piana, grazie alla particolare geometria. In questo caso, vale la relazione D=4n:A/À.2, che lega la direttività di un'antenna ad apertura all'area di apertura ed alla lunghezza d'onda; per esempio, una direttività
D=1000 può essere ottenuta con un antenna di diametro lOÀ.: se si lavora a
3GHz (À. = 10 cm) il diametro dell'antenna è appena l metro.
Queste antenne possono generare un fascio del tipo "a matita", che
può essere ottenuto anche utilizzando un array bidimensionale, che richiede un impegno costruttivo molto maggiore; l'uso degli array viene infatti limitato ai casi in cui sono necessari più fasci separati che non possono essere ottenuti spostando un riflettore parabolico, per problemi di velocità di scansione.
5.2 Relazioni geometriche, campo di apertura, diagramma di irradiazione
e direttività.
geometria del riflettore paraboUco è mostrata nella Fig. S.la; la intersezione tra il paraboloide ed un plano che ne contenga l'asse di rivoluzione (asse z) è una parabola, mentr~ l'intersezione con un piano ad esso
ortogonale è una circonferenza
(seziQ.~
ortogonale).
36 \
!
Si consideri un punto P sulla superficie che ha una di1tanza r dall'asse z e
p dal fuoco F della parabola; sia e l'angolo formato dall'asse z e dalla
direzione F-P congiungente il fuoco con il punto P ed f la distanza tra il
fuoco ed il vertice della parabola. La parabola è, per definizione, il luogo
geometrico dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice (Fig. 5.1 b).
Applicando la definizione si trova immediatamente l'equazione della
parabola:
p = f + f - pcose
(5.1)
p=
(5.2)
da cui
2f
= f sec2(e /2)
(1 + cose)
In coordinate cartesiane, l'equazione della parabola può essere scritta
come:
r2
= 4f(f - z)
(5.3)
dove r 2 = x2 + y2.
Si può facilmente dimostrare che se la sorgente viene posta nel fuoco
della parabola, un raggio incidente sulla superficie della parabola in un
)(
ì
z """--- d
y
r--
rtff~F
z_
Apex
Z
I
F (focal pointl
f--1
I
I
: ;Aperture piane
(a
l
I
I
( bl
Fig.5.1: (a) geometria del riflettore pa,abolico; (b) sezione del riflettore.
\
I
punto P viene riflesso parallelamente all'asselz ed inoltre tutti i raggi "arrivano" contemporaneamente sul piano focal , che è la sezione ortogonale che contiene il fuoco (e naturalmente su tutti i piani paralleli ad esso).
Per dimostrare queste proprietà basta dimostrare che se PQ è una linea
retta parallela all'asse z e PN è perpendicolare alla tangente alla parabola
nel punto P è LQPN = 8/2:
dr
dr
2f
2f
2
tan(LTPQ) = - dz = ~ = = p sinO = sinO sec2(0/2)
4f dr
= cot(8/2) = tan(90° - 0/2)
r
=
dove, per ricavare l'espressione del differenziale dz è stata usata la (5.2).
E' immediato ricavare che l'angolo Q~N. è proprio 8/2.
La seconda proprietà si dimostra immediatamente osservando che:
FP + PQ = p + P cos8
= 2f
(5.4)
dove f è costante.
L'angolo sotteso dal riflettore è indicato con 28 0 in Fig.5.1 ed è legato ai
parametri geometrici della parabola dalla seguente relazione:
1
cot(2: 80 )
= 4f/ d
(5.5)
dove d è il diametro del paràboloide. Utilizzando la espressione (5.5) si
può ottenere la tabella 1.
Un riflettore parabolico viene, di solito, illuminato da un'antenna posta nel fuoco. L'irradiazione dell'illuminatore (feeder o antenna prhnaria)
colpisce la superficie riflettente parabolica, che si comporta essa stessa come un'altra sorgente. L'irradiazione in campo lontano è dovuta ai contributi sia del riflettore che dell'antenna primaria; essi danno luogo, rispettivamente, ai diagrammi di irradazione secondario e primario. Normalmente, l'antenna primaria è progettata per irradiare solo verso il riflettore,
pertanto il suo contributo all'irradiazione in campo lontano può· essere
trascurato. Il diagramma secondario potrebbe essere, quindi, calcolato in
termini dei soli contributi delle correnti indotte sul riflettore, ma questo
richiederebbe l'integrazione di queste correnti sulla superficie del paraboloide. Un metodo più semplice è qu~lto di stimare i campi sul piano di apertura e di calcolare il diagramma
funzione di questi campi. Un'ulteriore semplificazione può essere fatt~ r;e si può supporre che sul piano su
ro
37
,
\
38
cui vengono stimati i campi I si può considerare trascurabile l'irradiazione
dovuta al feeder. Questa approssimazione è valida se, anziché considerare
il piano di apertura, si considera il piano focale.
f/d
28 0 (deg)
0.25
0.35
0.50
0.75
1.00
180
142
106
74
56
Tabella 1: Valori numerici di alcuni parametri del riflettore parabolico
Per stimare il campo sul piano focale si fanno le seguenti ipotesi:
-) si considera che la superficie del riflettore sia in campo lontano
rispetto all'illuminatore; questo implica che, se L è la dimensione
dominante del feeder, sia p > 2L2 lÀ. (zona di Fraunhofer). In queste
condizioni si può considerare l'onda incidente localmente piana con
fronte d'onda sferico.
- ) Si suppone che l'onda che colpisce il punto P della superficie venga riflessa come se avesse colpito il piano infinito tangente in P; questa approssimazione è vera se i~ raggio di curvatura in P è molto mélggiore
della lunghezza d'onda.
- ) Si assume che il raggio si rifletta da P ad un punto Q sul piano focale
secondo le leggi dell'ottica geometrica, cioè senza subire diffrazioni;
questo implica che il campo in Q ha la stessa polarizzazione ed ampiezza che aveva in P e fase ritardata di un angolo proporzionale a PQ.
Oltre il piano focale, invece, il raggio può subire diffrazioni. li piano
focale, quindi, si comporta come il piano di apertura, per quanto
concerne le proprietà dei campi, pertanto esso può essere considerato
come la proiezione del piano di apertura del riflettore.
Per esempio, nella Fig.5.2, è riportato il diagramma di irradiazione nel
piano E di un'antenna a riflettore parabolico con illuminatore nel fuoco,
usata come stazione ricevente di comunicazioni via satellite, le cui
caratteristiche sono riassunte nella tabella 2. Il riflettore è costruito in fibra
di vetro epossidica rivestita di met'lllo. il feeder è un'antenna a tromba a
sezione circolare "corrugata".
~\
39
l
'.- /lr"
= 0,605"
-IO
co
E
~
8'.. -+--20
-ni.5dB
-'--30
-2'
0°
2°
Fig.5.2: Diagramma di irradiazione nel piano E misurato (linea continua) e calcolato (linea
tratteggiata) per un'antenna a riflettore parabolico a fuoco primario, con un diametro di
1.22m e frequenza di lavoro 28.56 GHz.
2B.56 GHz
Fn:qllcllcy
1\t:l1cclor characlcristics:
Dialllctcr, tl .
Focal kllglh/dial11eler,jM
SUI r"ct:; lolerance (rl1ls)
Feed characlcrislics:
E-piane IIP
E-piane H)-dI! bcamwiJth
H-planc IIP
lI-planc IO-dn beamwidlh
1.2 19 m (" fl)
0.50
0.2 mm (O.OO!! in.)
56·
104"
59"
112"
Sysll:rn chnraclerislics:
E-plnlle HP
E pialle slde lobe level
il-plllllO III'
il-pinne side lobe levd
nnin
Tabella 2: Parametri caratteristici di
ul.\l~fl.tenna
0.605·
-2U dll
0.5 56"
-11.5 dn
47.6 dO
a riflettore parabolico a 28Ghz.
40
5.2.1 Direttività ed efficienza di apertura
direttività di un'antenna a riflettore parabolico si calcola
utilizzando la formula:
41t
(5.6)
0= À2 Ae
dove l'area efficace Ae è legata all'area effettiva dalla relazione (2.49), che
richiamiamo qui per comodità:
Ae
= EapAf
(2.49)
Per antenne molto direttive vale anche la formula approssimata:
41t
0::::------
(5.7)
(28HP)E (28HP)H
oppure, esprimendo gli angoli in gradi:
D::::
41259
o
o
(5.8)
(28HP)E (28HP)H
Il guadagno viene di solito calcolato utilizzando la seguente formula
empirica:
G::::
26000
o
o
(5.9)
(28HP)E (28 H P)H
L'efficienza di apertura Eap è influenzata da vari fattori, del cui
contributo si tiene conto mediante dei coefficienti di efficienza Ei come
mostrato dalla seguente espressione generale
Eap
= eEtEl E2 ....
(5.10)
L'efficienza di irradiazione "e" rappresenta, per le antenne a riflettore, le
perdite ohmiche, che sono realmente basse, pertanto viene posto e:::: 1.
L'efficienza di sagoma tura dell'apertura Et è la perdita di guadagno dovuta
all'illumimazione dell'apertura sagomata rispetto a quella uniforme, cui è
associato il massimo guadagno. I re~~nti fattori di efficienza, detti fattori
di rendimento, tengono conto d~l)Q scostamento della distribuzione
effettiva sull'apertura da quella teori~. Il fattore di efficienza di spillover
\
41
incide\più degli altri; esso viene definito come la frazione della potenza
irradiata, dal feeder che viene intercettata dal riflettore, nelle antenne ad
illuminazione focale, o dal subriflettore nelle antenne Cassegrain. Se la
sagomatura dell'apertura cresce, il fenomeno dello spillover diminuisce,
ma si riduce anche l'efficienza della sagoma di apertura. Il valore di Et ed El
che rende massima l'efficienza di apertura si può trovare considerando
come fattore di efficienza il prodotto EtCI.
II fattore di errore casuale di superficie C2 tiene conto delle perdite di
efficienza dovute alle cancellazioni in campo lontano che derivano dagli
errori di fase sull'apertura. Per piccoli errori di fase si può esprimere E2
come c2 = e-(21to!À)2 dove 8 è lo scostamento quadratico medio del fronte
El
d'onda sull'apertura rispetto all'onda piana. Nel caso delle antenne a
riflettore 8.è sostituito da 28' dove ù' è la deviazione quadratica media
della superficie da quella di un paraboloide; il fattore 2 deriva dal doppio
cammino percorso dai raggi, che raddoppia l'errore di fase. In definitiva il
fattore di efficienza di superficie si può esprimere come:
C2 = e-(41tO'!À)2
(5.11)
In molti casi C2 è circa uno. La (5.11) è esatta per f/d = 00; C2 cresce al
descrescere di f/ d, cioè il valore calcolato con la (5.11) corrisponde al caso
peggiore. Il valore Ù' viene calcolato con una semplice formula che tiene
conto della accuratezza attualmente raggiungibile nella realizzazione di
superfici:
ù'
= 3 x 10-2 d mm
(5.12)
dove il diametro d è espresso in metri.
La riduzione di efficienza dovuta alla presenza del feeder o del
subriflettore davanti al paraboloide è tenuta in conto dal fattore C3
(efficienza di parzializzazione dell'apertura). I valori di C3 vengono
calcolati in funzione del rapporto tra il diametro del corpo che blocca le
radiazioni vicino al punto focale ed il diametro del riflettore principale.
Il fattore di efficienza c4 tiene conto della riduzione di efficienza
dovuta alI presenza dei supporti del feeder o del subriflettore davanti
all'apertura del paraboloide. Il fattore cs detto di "strabismo" (squint factor)
tiene conto dello scostamento del fascio dagli assi principali del riflettore;
il fattore di astigmatismo
rappresenta lo spostamento assiale del feeder
ed è funzione della frequenza e di f I d" Per esempio per uno scostamento
E6
,,:'.v.'t"l'
,
\
assiale di O.lÀ e per un rapporto f/ d pari a 1/2, 1/3 ed 1/4, c6 è,
rispettivamente, 0.996, 0.98 e 0.93.
Il fattore di efficienza associato alle perdite per dispersione C7 entra in
gioco quando la superficie del riflettore è a reticolo, anziché essere
metallica continua, ma vale circa 1 (è E7:::' 0.99 quand9 il reticolo ha
parecchie celle per lunghezza d'onda). Le· perdite dovute alla
depolarizzazione (la potenza, generata con una certa polarizzazione, ne
assume, invece, una ortogonale) sono considerate tramite il fattore di
efficienza di depolarizzazione E8, che è generalmente maggiore di 0.98.
L'efficienza di apertura globale è mostrata nel grafico di Fig.5.3, dove
ad ogni curva (n costante) corrisponde un certo diagramma di irradiazione
primario. Dall'osservazione della figura si nota che
- ) per ogni curva, c'è un solo riflettore, corrispondente ad un certo
rapporto f / d o ad un certo angolo 90 per cui si ha la massima efficienza
di apertura;
- ) il massimo valore che può raggiungere Eap è 82-83% ed è uguale per
tutte le curve;
- ) Quando il feeder diventa più direttivo (n cresce), il valore di 90 , che
rende massima l'efficienza, decresce.
5.3 Illuminatori per riflettori parabolici.
5.3.1 Illuminatori a Radiatore
Per lunghezze d'onda dell'ordine del metro, il feeder può essere costituito da un dipolo. Poiché esso' irradia in due direzioni, l'irradiazione nella direzione non desiderata viene eliminata mediante un riflettore parassita, cioè completamente assorbente. Per lunghezze d'onda più piccole si
usa un'antenna a tromba o una guida d'onda aperta.
5.3.2 S14pporti per il Feeder nei sistemi Prime-Focus
Sono dette Prime-Focus (o fuoco primario) le antenne in cui il feeder è
posto nel fuoco della parabola. Se il riflettore è orientabile, il feeder deve
essere disposto in modo tale da rimanere nel fuoco del paraboloide quando l'antenna si sposta. Se il riflettore è abbastanza piccolo e la distanza focale ridotta, allora il feeder può essere sostenuto dalla linea di trasmissione
o dalla guida d'onda (Fig.5.4a,b). Per riflettori grandi è necessaria una
struttura formata da bracci saldamente fissati al riflettore (Fig.5.4c) che
sostengono il feeder e la guida d'ond .... !Iii alimentazione.
42
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43
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20
30
40
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50
60
70
80
90
0.04
O
Angular aperture /J o(degrees)
I
I
0.69
0.30
0.14
Focal/diameter ratio
U/d)
Fig. 5.3: Efficienza di apertura eap in funzione dell'angolo di apertura (o di f/ d) e per vari
diagrammi di irradiazione primari.
Se il riflettore è fisso il problema è molto ridotto perché i supporti del
feeder possono poggiare direttamente al suolo, senza dare problemi di peso. Questa situazione è abbastanza frequente nelle comunicazioni troposferiche punto-punto a frequenze VHF e l,JHF.
supportinq slrul
Feed line
(J
(wo . . eQuide runs
down strull
( 01
( b)
( cl
fig.5.4: Alcuni esempi di Sllpporto per feeder d'antenna
44
5.3.3 Illuminatore Cassegrain
Nei sistemi Prime-Focus spesso il percorso tra il trasmettitore (o il ricevitore) ed il feeder è troppo lungo ed è causa di perdite, attenuazione e
fonte di rumore; pertanto può essere necessario disporre il trasmettitore
(ricevitore) nelle immediate vicinanze del feeder. Se il femer è nel fuoco,
questa soluzione è impraticabile sia per problemi di ingombro che di peso.
Parobolic
main reflector
Feed
antenna
\
Hyperbolic
subreflector
Fig.5.5: Antenna Cassegrain
Si ricorre allora alla disposizione detta "Cassegrain", in cui il feeder è posto
nel vertice del paraboloide e irradia verso un riflettore secondario (subriflettore), che ha il profilo di un iperboloide iperbolico ed è posto tra il vertice ed il fuoco della parabola (Fig.5.5). Se il feeder si trova in uno dei
fuochi dell'iperboloide,.allora tutto funziona come se il feeder stesso fosse
nel fuoco, cioè sull'apertura d~ll'antenna arriva un'onda piana. L'antenna
Cassegrain è molto diffusa, infatti essa presenta molti vantaggi:
-) vengono evitate le linee di trasmissione lunghe fino al feeder e conseguenti degradazioni del segnale;
-) il trasmettitore (o il ricevitore) sono facilmente accessibili per la manutenzione ed eventuali regolazioni, inoltre non creano problemi nè
dal punto di vista del peso, perché poggiano al suolo, nè dell'ingombro, dato che non attraversano il cammino dei raggi;
-) ne ne stazioni terminali riceventi a Terra, un'antenna Prime-Focus
tradizionale ha il feeder puntato verso il suolo, che è sorgente di rumore, mentre nella configurazione Cassegrain è diretto verso il cielo,
pertanto, in generale, il contributo di rumore dovuto all'ambiente è ridotto (spillover ridotto);
-) rispetto ad un riflettore parabolico Prime-Focus, che abbia la stessa distribuzione di campo sull'apert\,Jrfl, l'antenna Cassegrain ha un rap-
,
\
45
porto f/ d minore, il che implica anche una riduzione della
componente a polarizzazione incrociata.
Un riflettore parabolico equivalente prime-focus, che abbia le stesse
prestazioni dell'antenna Cassegrain, risulta avere un maggiore rapporto
f/ d. Il profilo della parabola equivalente, mostrato in Fig.5.6 b, è definito
come il luogo dei punti di intersezione tra i raggi paralleli che partono dal
riflettore reale ed il prolungamento di ogni raggio corrispondente riflesso
dal subriflettore e convergente nel fuoco equivalente.
Una tecnica per valutare le caratteristiche di un'antenna Cassegrain è
quella di riportarsi ad una configurazione a fuoco primario, supponendo
di eliminare il subriflettore e porre un feeder virtuale nel fuoco della
parabola (Fig. S.6a). Questa approssimazione è lecita e porta a risultati
accettabili solo se le dimensioni del feeder reale e virtuale sono grandi
rispetto a alla lunghezza d'onda.
Nella Fig. 5.7 è mostrata una tabella esemplificativa delle possibili
forme del riflettore primario e secondario sia nella configurazione
Cassegrain che Gregorian. In quest'ultima, si noti che il fuoco del riflettore
si trova tra il riflettore stesso ed il subriflettore, al contrario di quanto
avviene per la configurazione Cassegrain.
Si può dimostrare che l'antenna è ad altissima efficienza se è
progettata in modo che
frifl
fsubrifl
d rifl == dsubrifl
(5.13)
Le antenne Cassegrain hanno lo svantaggio di avere una parte
dell'apertura "oscurata" dal subriflettore in misura molto maggiore rispet. to alle Prime-Focus. Gli effetti della parzializzazione dell'apertura verranno descritti in un successivo paragrafo.
46
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f.-------(b) Equivalenl-parabola
Fig. 5.6: Fecder virtuale (ai ~ parabola equivalente (b)
47
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fig.5.7: Esempi di configurazioni Cassegrain e Gregorian
48
5.3.4 Altre Antenne a Riflettore.
antenne paraboliche sia ad illuminatore focale che Cassegrain
furono sviluppate successivamente alla Seconda Guerra Mondiale e
studiate per tutti gli anni '50 e '60. Esistono attualmente anche altri tipi di
antenna ad apertura (Fig. 5.8).
Le antenne a singolo riflettore, con un semplice feeder devono essere
paraboliche (Fig. 5.8 a) se si vuole avere una distribuzione di fase
uniforme sull'apertura. Una variazione dell'antenna parabolica è il
cilindro parabolieo (Fig. 5.8 b), che produce un fascio stretto nel piano
dell'asse del cilindro. Il toro parabolieo (Fig. 5.8 c) che si può pensare
ottenuto dal cilindro paraboIico ricurvo; può essere usata per la scansione
del fascio con un singolo feeder rotante o per un fascio multiplo con un
gruppo di feeder. Il riflettore sferico (Fig. 5.8 d)può essere t,lsato, allo stesso
modo, per ottenere un fascio stretto. Esistono anche riflettori a superfici
piane come il "corner refleetor" (Fig. 5.8 O, in cui due superfici riflettenti
sono unite su un bordo e formano tra loro un angolo a; possono essere
usati sia come riflettori attivi che passivi. In quest'ultimo caso è a = 90° e
l'onda riflessa ha la stessa direzione di quella incidente (antenna
"retrodirettiva Il corner reflector usato in maniera attiva ha il feeder tra
le due superfici riflettenti. Nella Fig. 5.8(g) è mostrata una antenna detta
"offset ref/cetor", in cui il feeder è fuori centro rispetto al1'apertura
dell'antenna per limitare le perdite dovute alla parziale occlusione
dell'apertura. La determinazione del profilo del riflettore è un punto
piuttosto complicato nella progettazione di queste antenne.
Il diagramma di irradiazione può essere più facilmente controllato usando antenne a doppia riflessione e sostituendo i profili parabolici o
iperbolici dei riflettori con altre superfici geometriche (Fig. 5.9). Infatti, deformando il subriflettore di un'antenna Cassegrain, si può ottenere una
distribuzione di ampiezza sull'apertura pressoché uniforme; l'errore di
fase si può ridurre modificando leggermente la forma del riflettore principale (Fig.5.9 a). Ciò provoca un drastico incremento dell'efficienza di apertura. I riflettori possono essere opportunamente sagomatL per ridurre i lobi
laterali. In Fig. 5.9 b è riportata un'antenna "offset ref/eelor", in cui la forma si del riflettore principale che del subriflettore vanno determinate in
fase di progetto.
Esistono anche sistemi a riflettore ibridi, che comprendono antenne di
tipi diversi; per esempio, la Fig. 5.9 c illustra un'antenna detta "a periscopio" che viene normalmente usata per i collegamenti a microonde.
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(a)
(b)
Flot
~
Paraboloid
!\
(d)
Paraboloid
(e)
Figure 8-28 Multiple-reffector antenna systems. (a) Symmetrical dual
reflector antenna. (b) Offset dual refleclor antenna. (c) Periscope
system. (d) Horn-reflector antenna.
Fig.5.9: Esempi di
an~QJlne
a doppio riflettore
52
L'antenna parabolica è posta vicino al suolo, mentre il riflettore è
collocato su una torre ed illumina nella direzione desiderata. Nella Fig.
5.9 c è mostrato un altro tipo di antenna a riflettore ibrida, detta "a
riflettore a tromba"ed è ottenuta dalla combinazione di un'antenna a
tromba conica o piramidale e di una parte di antenna parabolica. È una
configurazione "offset feed" ed è usata nelle applicazioni a basso rumore
perché ha i lobi laterali bassi e lontani da quello principale; per questa
ragione, i riflettori a tromba sono, in generale, adatti a collegamenti del
tipo "side-by-side" o "back-to-back".
5.4 Parzial izzazione del!' apertu l'a
La presenza del feeder o del subriflettore e dei loro supporti lungo il
cammino dei raggi causa una riflessione nella direzione del {eeder, in cui
si manifesta un'onda viaggiante nella direzione opposta a quella di trasmissione, con la conseguente formazione di onde stazionarie e disadattamenti di impedenza. Questo effetto può essere ridotto con un dispositivo
riadattatore di impedenza, che però può funzionare solo su intervalli di
frequenza stretti. Un secondo effetto è dovuto alla riduzione fisica della
superficie di apertura. Calcolare esattamente l'andamento dei campi in
presenza del subriflettore e dei suoi bracci di supporto è impossibile; di sosi fa una valutazione empirica, calcolando i campi sull'apertura come
se fosse sgombra e i campi dovuti ai soli ostacoli; il campo totale si ottiene
per differenza. Analogo procedimento si segue per i diagrammi di irradiazione.
Fig.5.10 è riportato un esempio relativo al caso di un ostacolo circolare centrato sull'asse z.
Entrambi gli effetti della parzializzazione dell'apertura vengono ridotti se si usa una configurazione detta "offset feed", mostrata nella Fig. S.lI.
Il feeder è sempre nel fuoco della parabola, ma non è diretto verso il suo
vertice; in questo modo una parte della superficie del paraboloide può essere eliminata ed il feeder non intercetta raggi di rientro nè il cammino
dei raggi diretti. Questa configurazione, presenta, comunque, degli svantaggi: esistono componenti non trascurabili di correlazione incrociata; è
molto più difficile controllare la forma del fascio, sostenere adeguatamente l'antenna ed orientarla.
5.5 Orien tazione del fascio con "feed ofiset"
L'orientazione del fascio di un'al1Jenna a riflettore può essere ottenuta
muovendo il feeder anziché l'inter~p.ntenna, purché esso venga mante-
53
ili,~ ~,.~ ~,
Aperture
field
O
Rodiation
pol1ern
O d/2
d/2
Od/2 d/2
~-~~~
Fig.5.10: Effetto della parzializzazione dell'apertura.
nuto nel piano focale. Quando il feeder non si trova più nel fuoco della
parabola i campi sull'apertura non sono più in fase.
Man mano che l'angolo di orienlazione aumenta, quindi, il feeder si
allontana dal fuoco e si ha un degrado delle prestazioni dell'antenna: il
fascio si allarga, aumenta il livello dei lobi laterali e diminuisce la
direttività. Il massimo angolo di orientazione ammissibile é generalmente
pari et qualche volta la larghezza del fascio. E' tanto maggiore quanto
maggiore è il rapporto f/ d. Per esempio per f/ d = 0.25 si ha una riduzione
all'80% del massimo valore del guadagno con un angolo di orientazione
±3 volte la larghezza del fascio, mentre per f/d = 0.5 si può scandire un
angolo anche ±6.5 volte la larghezza del fascio.
Parabalic
reflectar
Feed
Fig.5.11: Riflettore parabolico con of(set feed.
5.6 Requisiti di precisione sulla superficie del riflettore
Il fronte d'onda sull'apertura è piano nell'ipotesi che la superficie del
riflettore sia perfettamente paraboloidica. Poiché ottenere questo è eccessivamente dispendioso, ci si accontent4l di sapere qual è il grado di inaccura-
54
tezza massimo accettabile senza che le prestazioni dell'antenna vengano
apprezzabilmente degradate. Se le deviazioni dal paraboloide ideale sono
casuali, si segue la regola pratica secondo cui è accettabile una deviazione
quadratica media da 1/32 a 1/16 della lunghezza d'onda. Di conseguenza, il
limite massimo di frequenza a cui
, un'antenna può essere impiegata è stabiUto da questa regola.
RcOcctor Iypc
Spun altlminum-good
Sp\ln ahllninum-best
Metalil.ed plastic
Machined altlmintlm
R MS surrace lolerance, b'
0.64
0.15
0.06
0.04
mm
mm
mm
mm
(0.025 in.)
(0.006 in.)
(0.0025 in.)
(0.0015 in.)
Typical Reflector Surface Tolerances
55
LA TRASFORMATA DI FOURIER ApPLICATA ALLE ANTENNE
1
troduzione
La teoria delle antenne è abbastanza simile a quelle dei segnali e degli
spettri, da poter trasferire le nozioni da un campo all'altro. Per stabilire la
relazione di trasformata di Fourier tra le grandezze fisiche in gioco nella
teoria delle antenne~ si comincerà con il considerare antenne monodimensionali. Questo non costituisce una particolare limitazione, perché
spesso un'antenna bidimensionale può essere descritta dalla opportuna
combinazione delle distribuzioni di campo su due antenne monodimensionali.
Si assumerà che sia dalo un campo incidente e che l'effetto di questo
campo su un'apertura in uno schermo sia indipendente dalla presenza
dello schermo::Nella trattazione che segue, quindi, verrà ."Consi~erata la sola apertura (approssimazione di Kirchhoff).
2 Aperture Monodimesionali
Un'antenna a tromba che irradia in un semispazio infinito può essere
facilmente schematizzata con un'antenna monodimensionale, come è illustrato nella Fig. 1. Si suppone che la distribuzione di campo sull'apertura sia indipendente dalla variabile y e che l'apertura sia molto grande in
termini di lunghezza d'onda.
r
~
~" ~~
gy
: !;:r
_
z
Fig.1: Antenna ad apertura monodimensionale.
La distribuzione del campo sull'apertura in un punto x all'istante t ha
un'andamento del tipo F(x) cos[wt - <I>(x)], dove w è la pulsazione dell'onda
monocromatica incidente e F(x) e ~(x) sono, rispettivamente, l'ampiezza e
la fase. Il fasore E(x) può essere espresso come:
E(x)
= F(x) e-j<j>(x)
(1)
56
si noti che il campo istantaneo è dato dalla parte reale di E(x)e jwt :
F(x) cos[rot - <j)(x)] = Re[E(x)e jwl ]
(2)
Per il principio di Huyghens, il campo in un punto lontano P, distante R
dall'origine del sistema di riferimento xyz, può essere trovato come la
somma dei contributi dovuti a ciascun elemento dell'apertura (Fig.2). Ciascuno di essi produce un campo proporzionale in ampiezza all'area dell'elemento, che in questo caso è dx, e ritardato in fase di un numero di lunghezze d'onda À proporzionale alla distanza tra l'elemento stesso ed il
punto lontano su cui si stanno considerando gli effetti dell'apertura.
'"
%
y....;::
sin
e
J=:...............:
::;
l'
Fig.2: Costruzione per l'applicazione dci principio di Huyghens.
Il contributo di campo dovuto all'elemento che di trova tra x ed x+dx a
distanza r dal punto P è:
E(x)dxe-j2m lÀ
(3)
È interessante confrontare questa espressione con la (2.13), in cui va posto
<j) == 0°.
Come è facile dedurre dalla Figura 2:, la distanza r si può esprimere come:
r = R + xsin9 = R + xs
(4)
dove si è posto s=sin9. Sostituendo la esprèssione (4) nella (3) si ha:
E(x)e-j2rrR/À e-j2rrxs/À
(5)
Il fattore exp(-j21tR/À), che esprime il ritardo medio di fase degli elementi
dell'apertura alla distanza R, è costan~e e può essere considerato un fattore
di proporzionalità complesso. Integral1do gli effetti di tutti gli elementi si
ottiene il campo totale nel punto P (vecF anche la (2.19»:
57
00
fE(x)e-j21tXs!Àdx
(6)
-00
L'espressione (6) è una trasformata di Fourier, come si vede facilmente
considerando come variabile di integrazione x/À anziché x, che produce
una funzione trasformata P(s):
00
P(s) =
JE(i)
e-
j2rr
(x/ìds
d~)
(7)
-00
La quantità P(s) è proporzionale al campo lontano prodotto nella direzione
s ed è nota come diagramma di irradiazione o spettro angolare. Una volta
normalizzata rispetto all'ampiezza dell'eccitazione, essa caratterizza completamente l'antenna, indipendentemente dall'eccitazione.
Il campo elettrico può essere calcolato trasformata inversa una volta
nota la grandezza P(s):
E
(i) =
00
_Lp(s) e- j2rr(x!À)sds
(8)
Poiché s è il seno di un angolo, i limiti dell'integrale, in realtà, variano, al
massimo, tra -1 e 1.
Per esempio, si supponga che l'andamento del campo sia uniforme tra
-w /2 ed w /2 e zero altrove, come mostrato in Fig. 3. Il diagramma di irradiazione si trova immediatamente essere:
P(s) = w sinc ws
(9)
il cui grafico è mos tra lo in Fig. 3.
Questa trattazione si riferisce ad antenne fortemente direttive. Nei casi
più generali, bisogna tener conto di altri fenomeni, quali la polarizzazione,
la presenza di bordi e spigoli, che generano campi evanescenti, il cui contributo è del tutto trascurabile nel caso di antenne fortemente direttive.
3 Analogia con i Segnali.
Una volta stabilito il legame di trasformata di Fourier è possibile stabilire una corrispondenza tra le vartabili tempo-frequenza e le analoghe
58
. E(f)
P(.)
~~---1--1
h-tD~
(a)
!
À
(b)
Fig.3: Distribuzione sull'apertura (a) e suo spettro (b)
grandezze nel caso delle antenne, come è chiaramente riassunto nella se:guente tabella:
Segnali
Tempo t
Frequenza f
Segnale V(t)
Spettro S(f)
Antenne
Distanza dall'apertura in 'lunghezza d'onda x/À
Direzione del seno dell'angolo e, s.
Distribuzione di campo sull'apertura E(x/À)
Diagramma di irradiazione o spettro angolare P(s)
La relazione di trasformata di Fourier tra la distribuzione di campo sull'apertura e il campo lontano, consente di fare alcune utili considerazioni.
Una distribuzione di campo uniforme su un'apertura grande rispetto alla
lunghezza d'onda genererà un campo lontano con l'andamento di un
sinc(x), perché la trasformata di una funzione "gale" è proprio un sinc(x),
cioè l'antenna è direttiva (vedi Fig. 4). Una distribuzione uniforme su
un'apertura molto stretta (assimilabile ad una delta di Dirac), genera un
campo lontano costante, cioè l'antenna irradia in modo uniforme. Infine
una distribuzione di campo su due aperture strette (due delta di Dirac) genera un campo lontano che varia cosinusoidalmente.
Anche altre proprietà delle trasformate di Fourier valgono nel caso
delle antenne. Di seguito consideriamo alcùni esempi.
59
------- -4
t --_:_-/-- -ti
f -------- ~
(b)
(a)
FigA: Alcune distribuzioni sull'apertura (a) e il campo prodotto su un piano lontano (b)_
4 Larghezza del fascio e larghezza dell 'apertura:
L'effetto di una scalatura dell'apertura dell'antenna può essere immediatamente valutata sfruttando la proprietà della variazione di scala nella
coppia trasformata-antitrasformata. Infatti, se su un'apertura c'è una di-
stribuzione di campo
lata
E(i)
il campo lontano è P(s); se l'apertura viene sca-
un fattore costante a, la distribuzione del campo diventa
,~x) ed il
campo lontano, di conseguenza, è I a I-l~~) che significa che maggiore è
l'apertura e più stretto è il fascio.
Lo spettro di potenza di un'antenna è definito come I P(s) 12 , Dalla
teoria dei segnali si sa che lo spettro di potenza è la trasformata della funzione
autocorrelazione, in questo caso della autocorrelazione della distribuzione di campo sull'apertura. Di conseguenza, conoscendo la durata
equivalente della funzione di autocorrelazione di una certa distribuzione
di ampiezza è immediato calcolare la larghezza equivalente del fascio,
come l'inverso della durata equivalente della funzione di autocorrelazione.
La durata equivalente di una funzlpne g(x) è definita come:
60
00
fg(x)dx
-00
(lO)
geo)
Il significato fisico della durata equivalente è quello di individuare un
segnale di forma rettangolare, di ampiezza uguale al valore della funzione
nello zero e durata tale che le aree sottese dai due segnali - quello vero e
quello equivalente - siano uguali.
La durata equivalente di un segnale gode della proprietà di essere
l'inverso della sua banda equivalente, cioè:
00
fg(x)dx
G(O)
-00
geo)
=
(11)
00
fG(s)ds
-00
In molti casi la larghezza di banda equivalente può essere considerata,
con buona approssimazione, la durata di banda effettiva. Nel caso delle
antenne è leggermente minore. La durata equivalente della funzione di
autocorrelazione è sempre definita perché il valore geo) è sempre positivo,
poiché è legato all'energia del segnale.
Per esempio, si consideri una distribuzione di campo uniforme
su
un'apertura di 10À; la funzione di autocorrelazione è triangolare ed ha
una durata equivalente di 10À., per cui la larghezza del fascio è un decimo
di radiante (5.7 gradi). L'esempio è illustrato in fig. 5.
E(t)
1'(,)
Aperture distributlon
Angular spectrum
%
X
\PIi
E*E
ACF of .perture
distribuHon
I-+W I
EH
Be.m width
. to h.lf power
Angular
power speetmm
'I
~
%
X
Fig.5: Relazioni tra alcune grandezze caratteristiche di un'antenna.
61
5 Spostamento del F.ascio
Si supponga che la fase della distribuzione di campo sull'apertura vari
linearmente con x. Questo equivale ad avere un segnale ritardato in fase
rispetto all'istante t=O. Per il teorema di traslazione, la trasformata del
campo, cioè il diagramma di irradiazione, risulta traslato rispetto all'origine di una quantità proporzionale al ritardo di fase del campo, come è chiaro dalla seguente relazione:
E
(i)
e-j2 n:SX/À
~ P(s + S)
(12)
Questa relazione suggerisce una semplice tecnica per calcolare la traslazione del fascio; lo sfasamento può essere ottenuto, con dei veri e propri sfasalori sulla sorgente o con delle linee di ritardo (cammini diversi)
6 Array di Array
Gli array di antenne, cioè successioni regolari di antenne uguali, possono essere facilmente trattati dal punto di vista delle trasformate di
Fourier. Si supponga, infatti, di avere un array di N antenne, centrate nei
punti Xl, X2, .. ',XN, con una distribuzione di campo totale che può essere espressa come:
N
LECt')
(13)
n=1
La (13) può essere espressa come convoluzione tra la distribuzione di campo su un elemento di array ed una successione di delta di Dirac centrate
nei punti Xl, X2, ... ,xN:
E(i) * q(i)
(14)
{i) =Ift)
(15)
dove
n
Detta Q(s) la trasformata di q(x/À), si ottiene immediatamente che il diagramma dell'array è dato da:
62
(16)
P(s)Q(s)
La funzione Q(s) è detta "fattore di array". È chiaro che il discorso può essere rovesciato: essendo noto il passo con cui si vuole spostare il fascio (e
quindi la successione di delta di Dirac con cui con voI vere la funzione P(s»),
si può risalire alla funzione per cui bisogna moltiplicare la distribuzione
di campo corrispondente alla P(s).
Le proprietà della convoluzione possono essere utilizzate per
modificare il fascio di un'antenna o per compensare certi effetti
indesiderati. Per esempio, alcune distribuzioni di campo sono "quasi"
uniformi e si vuole riportarle ad una condizione di uniformità. Poiché la
disuniformità si ha più che altro in prossimità dei bordi, una funzione
sagomatrice che venga moltiplicata per la distribuzione effettiva, deve
essere larga. Di conseguenza essa ha una trasformata stretta che è la
funzione da convolvere con la trasformata della funzione di distribuzione
effettiva.
7 lnterferometri
Una particolare applicazione del teorema di convoluzione si ha nel caso di un interferometro a due elementi, che è costituito da due aperture
ben distanziate (Fig. 6) con distribuzione di campo uniforme. Nel caso di
due soli elementi, il teorema di convoluzione prende il nome di teorema
di modulazione. La distribuzione di campo sulle aperture dell'antenna
può essere espressa come:
E(~) ~
Gf:'W) + Gf ~W)
(17)
dove G(x!w) è la funzione "gate". Il diagramma di antenna è, quindi:
PCs)
~
<
sinc
(~ s )cos (2" ~ ~ )
(18)
che ha il tipico andamento, mostrato in Fig. 6, di una funzione modulata
ampiezza.
63
\ 1'(.)
E({)
I
-"ì-..
/1\-~~ (\""
\7\,
/
'-
Power-13Jiation pattern
Fig.6: Una apertura che costituisce un interferometro a due elementi, il suo spettro angolare
P(s) e il diagramma di irradiazione di potenza.
8 Aspetti Fisici dello Spettro Angolare
Dall'analisi di Fourier, in termini di componenti, della distribuzione
di campo sull'apertura risulta che ciascuna componente è della forma:
P(s) ej2rr (x/À,)s
(19)
Ciò vuoI dire che l'ampiezza è uguale in tutti i punti x dell'apertura, mentre la fase varia proporzionalmente ad x. Questo tipo di campo è quello che
verrebbe generato su un punto dell'apertura da un'onda piana incidente
dalla parte posteriore con un certo angolo il cui seno è s. Dall'apertura,
quindi, viene irradiata un'onda piana con la stessa direzione di quella incidente. In base alla (19) si può concludere che da ogni punto x dell'apertura viene irradiata un'onda piana in una certa direzione, quindi il campo
irradiato in tutte le direzioni si può esprimere come combinazione di infinite onde piane in direzioni diverse, ciascuna con una certa ampiezza e fase, cioè la distribuzione di campo è data dai contributi espressi dalla (19) in
tutte le direzioni, vale a dire si integra la (19) rispetto ad s, riottenendo la
relazione (8).
Se fosse I si> 1, la fase 2n:(x!À)s varierebbe più lentamente di l!À, cioè la
distanza tra due massimi, per esempio, sarebbe, minore di À. Nessuna onda
progessiva potrebbe generare un campo cosi fatto, perché la distanza tra
due punti equifase, per esempio due massimi, misurata in una qualsiasi
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direzione obliqua rispetto a quella di propagazione, può essere minore
della lunghezza d'onda effettiva. Questo significa che, se venisse imposta
una distribuzione di campo di questo tipo, l'onda irradiata lungo la
direzione z si smorzerebbe immediatamente.
9 Teoria Bidimensionale
Si supponga che la distribuzione di campo su un'apertura piana (x,y)
abbia solo la componente Ey(x/À,y lÀ) nella direzione y diversa da zero;
questa ipotesi non è restrittiva perché la eventuale componente lungo x
può essere trattata, separatamente, come la componente Ey. La componente Ez, ortogonale a Ey, può essere dedotta da Ey applicando la condizione
che la divergenza del vettore campo elettrico deve essere zero.
Il campo generato dall'apertura può essere espresso come somma di
onde piane:
P(l,m) e j2 (n:!À)(lx+mY+l1z) dI dm
(20)
dove l,m ed n sono i coseni direttori e p(l,m) di dm è l'ampiezza complessa delle onde nel cono l - l + dI , m - m + dm.
Un'onda che viaggia nella direzione (l,m,n) produce sul piano z=O un
campo
~:p(l,m)
e j (2n:!À)(lx+my)
(21)
cui lunghezza d'onda apparente ì..: è data da:
À
À'
= (1 2 + m 2)1/2
(22)
Se 12 + m 2 fosse maggiore di uno, À' sarebbe minore di À cos1 che
rappresenterebbe un dettaglio più fine della distribuzione sull'apertura. In
questo caso n sarebbe immaginario, come si deduce facilmente dalla
proprietà dei coseni direttori:
f + m2 + n2 = 1
e una componente dell'onda piana assume la forma:
~23)
65
e-(21t!À) I n I z P(l,m) e j(21t!À)(lx+my) dI dm
(24)
che rappresenta un'onda piana che viaggia nel piano xy, ma decade esponenzialmente con z (onda evanescente). Questo campo, quindi, non contribuisce al campo irradiato a grande distanza.
Se 12 + m 2 è minore dell'unità, ì..,' varia tra infinito (propagazione perpendicolare al piano di apertura) e À (propagazione parallela al piano di apertura). La potenza irradiata per unità di angolo solido nella direzione
(l,m) è proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza complessa dell'onda, in un piccolo cono diretto lungo (l,m). Poiché l'angolo solido sotteso da
un elemento dI dm è n-l dI dm, la potenza per unità di angolo solido è:
P(l,m) dI dm [2 = n2
[ n- 1dI dm
11~1,m) 12
(25)
La distribuzione di campo Ey(x/À,y fì.. ) associata a p(l,m) si ottiene sommando le componenti delle onde piane su z=O per tutti gli l ed m, cioè
integrando i contributi espressi dalla (21) sul piano z=O. Essi si ottengono
moltiplicando la (21) per il coseno dell'angolo l) tra il raggio diretto lungo
(Im) e l'asse y. Si può far vedere che cosl) = n/\r(O - f), per cui, integrando
i contributi di ciascun raggio lungo la direzione y si ha:
00
E(x/À,y lÀ)
00
!O- ~2)1/2 P(l,m) e j(21t/À)(lx+mY)dl dm
=
-00
(26)
-00
La (26) è la trasformata bidimensionale di Fourier della funzione:
PO,m)
= n 1-'(l,m)
(1 _1 2)1/2
(27)
Come è noto, la trasformata della distribuzione di campo Ey(x/À,y lÀ) è il
diagramma di irradiazione PO,m), da cùi segue immediatamente che la
(27) è l'espressione del diagramma di irradiazione PO,m). Utilizzando la
(27), lo spettro di poten.za I P(l,m) 1 2 si può esprimere come segue:
n 2 I P(l,m) 12 = (1 - J2) I PO,m) 12 = cos 2<j> I (PO,m»2
(28)
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dove <j> è l'angolo tra la direzione (l,m) ed il piano yz. Nel caso di antenne
fortemente direttive lungo z, è cos<j> ::: 1 e il diagramma di irradiazione
coincide con IP 12 a meno di n 2.
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BIBLIOGRAFIA
G.Franceshetti:"Campi Eletromagnetici", Bollati Boringhieri, 1988.
[2] K.F.Lee:"Principles of Antenna Theory", John Wiley & Sons, 1984.
[3] R. Bracewell: "The Fourier IntegraI and Hs Applications", McGraw Hill,
Singapore, 1986 (2nd edition).
[4] W.L. Stutzman:"Anlenna Theory and Design", John Wiley & Sons,
1981, V.S.A ..