Appendice — Elementi di algebra lineare

Appendice - Elementi di algebra lineare
Appendice —
1
Elementi di algebra lineare
Indice
1
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2
2
5
6
7
8
8
Spazi vettoriali
2.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Norma e distanza . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Spazi vettoriali su R dotati di prodotto scalare
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9
9
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13
14
3
Applicazioni lineari e matrici
3.1 Applicazioni lineari e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Prodotto di due matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
21
4
Sistemi lineari
4.1 Matrici e sistemi lineari . . . . . . . . . . .
4.2 Determinante e sistemi lineari n × n . . . .
4.2.1 Sistemi lineari 2 × 2 . . . . . . . .
4.2.2 Sistemi lineari 3 × 3 . . . . . . . .
4.2.3 Il caso generale . . . . . . . . . . .
4.3 Rango di una matrice; sistemi lineari m × n
2
5
Vettori geometrici
1.1 Vettori geometrici nello spazio
1.2 Prodotto scalare . . . . . . . .
1.3 Rette e piani nello spazio . . .
1.4 Prodotto vettoriale . . . . . .
1.5 Prodotto misto . . . . . . . . .
1.6 Vettori geometrici nel piano . .
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30
Autovalori e autovettori
5.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Cambiamenti di base; matrici diagonalizzabili
5.3 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . .
5.4 Diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Teorema spettrale: il caso reale . . . . . . . .
5.6 Teorema spettrale: il caso complesso . . . . .
5.7 Forme quadratiche in Rn . . . . . . . . . . .
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Appendice - Elementi di algebra lineare
1
2
Vettori geometrici
Nell’appendice utilizzeremo la rappresentazione cartesiana (ortonormale) degli insiemi
R, R2 ed R3 . Richiamiamo qui la sua costruzione limitandoci al caso di
R3 = R × R × R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
Si fissano nello spazio un punto O, detto origine, e tre rette a due a due ortogonali che
si intersecano in O, dette assi cartesiani e indicate ciascuna con la copia di R cui si
riferiscono (x per la prima componente, y per la seconda, z per la terza). Su ciascuna di
tali rette si sceglie una orientazione, ovvero si seleziona una semiretta uscente da O e una
semiretta entrante in O; tale scelta si indica con una freccia che punta verso la semiretta
uscente. Le orientazioni sono scelte in modo da formare una terna destrorsa, ovvero tale
che gli assi x, y e z siano orientati nell’ordine come pollice, indice e medio della mano
destra (si veda Figura 1). Su ciascuno dei tre assi si fissa la stessa unità di misura: in tal
modo a ciascuna componente di un elemento (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 è associato un unico punto
del corrispondente asse, determinato dalla distanza con segno dall’origine: per esempio
ad x0 è associato il punto che ha distanza |x0 | da O e giace sulla semiretta uscente se
x0 > 0, sulla semiretta entrante se x0 < 0.
Figura 1. Terna destrorsa.
z
z0
3
Fatto ciò, un qualunque elemento (x0 , y0 , z0 ) ∈ R si rappresenta in modo unico come
un punto P dello spazio: indicati con π xy , π xz e πyz i piani contenenti rispettivamente gli
assi x e y, x e z e z e x, si prende il piano parallelo a πyz e che ha distanza con segno x0 da
esso, il piano parallelo a π xz che ha distanza con segno y0 da esso, e il piano parallelo a
π xy che ha distanza con segno z0 da esso; questi tre piani si intersecano in un unico punto
dello spazio, P, che si identifica con il punto (x0 , y0 , z0 ) di R3 (si veda Figura 2).
La rappresentazione cartesiana di R2 si ottiene con gli stessi argomenti, avendo cura
di scegliere l’orientazione dei due assi x ed y congruente con quella di pollice e indice
della mano destra.
1.1
P = (x0, y0, z0)
y0
y
x0
x
Figura 2. Rappresentazione
cartesiana di R3 .
Vettori geometrici nello spazio
Un vettore geometrico nello spazio, v (vettore nel resto del paragrafo), è una coppia
(kvk, r), dove kvk è un numero reale non negativo e r è una semiretta uscente da un punto
prefissato dello spazio (per esempio l’origine di un riferimento cartesiano): kvk ne determina la lunghezza, o modulo o norma, la retta che contiene la semiretta r individua la
direzione e la semiretta r il verso del vettore. Due vettori che hanno la stessa direzione si
dicono paralleli; se sono paralleli e le semirette coincidono, si dice che hanno lo stesso
verso, mentre se le semirette non coincidono si dice che hanno verso opposto. Conveniamo che tutti i vettori con kvk = 0 coincidano con un unico vettore, il vettore nullo, che
denotiamo con 0. Un vettore che ha kvk = 1 si dice versore. L’insieme di tutti i vettori
dello spazio si indica con V3 .
Fissato un punto P0 dello spazio (il punto di applicazione), un vettore v può essere
−−−→
rappresentato in modo unico come un segmento orientato, P0 P: si trasla la semiretta r in
modo che sia uscente da P0 , e si prende su di essa il segmento P0 P di lunghezza kvk. Il
−−−→
segmento orientato P0 P si dice rappresentazione di v rispetto a P0 ; la freccia in Figura 3
indica quindi l’ordinamento dei punti P0 e P.
Il concetto di vettore ha un’enormità di applicazioni (si vedano fra l’altro i capitoli 12 e
15), poiché consente di caratterizzare oggetti non solo per mezzo di una quantità (velocità,
accelerazione) ma anche di una direzione e di un verso. Ad esempio, si può pensare alla
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z
P0
v
P
y
x
r
Figura 3. Rappresentazione
di v rispetto a P0 .
Appendice - Elementi di algebra lineare
3
−−−→
rappresentazione P0 P di un vettore v come al descrittore di una forza applicata nel punto
P0 : in questo caso kvk ne specifica l’intensità, la retta su cui giace il segmento P0 P ne
indica la direzione e l’ordinamento di P0 e P (da P0 a P) ne fissa il verso.
Per definire l’operazione di addizione tra due vettori conviene utilizzare la loro rappre−−−→
sentazione rispetto a un punto. Sia quindi OP1 la rappresentazione del vettore v1 rispetto
−−−−→
a O e P1 P2 la rapresentazione del vettore v2 rispetto a P1 ; la somma v = v1 + v2 è quel
−−−→
vettore v = v1 + v2 la cui rappresentazione rispetto a O è OP2 . Questa nozione codifica la ben nota “regola del parallelogramma” illustrata in Figura 4, e di conseguenza non
dipende dalla scelta del punto di applicazione O.
Addizione
P2
v
O
v1+v2
P1
2v
O
v1
v2
−v
O
O
Figura 4. Somma di due vettori.
Figura 5. Prodotto di un vettore per
uno scalare.
Si verifica con argomenti geometrici elementari che:
(i) vale la proprietà commutativa, ovvero v1 + v2 = v2 + v1 ;
(ii) vale la proprietà associativa, ovvero (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 );
(iii) il vettore 0 è l’elemento neutro, ovvero 0 + v = v + 0 = v;
(iv) per ogni vettore v esiste l’opposto, (−v), tale che v + (−v) = 0; si tratta del vettore
che ha lunghezza e direzione uguali a v, ma verso opposto.
La moltiplicazione di un vettore per un numero reale generalizza la nozione di vettore
opposto: dato un vettore v e un numero reale λ, il prodotto λv è quel vettore che ha
lunghezza |λ| kvk, direzione uguale a v e stesso verso se λ > 0, verso opposto se λ < 0
(si veda Figura 5). In particolare, se λ = −1 si ritrova l’opposto di v. Il prodotto per un
numero reale soddisfa le seguenti proprietà, anch’esse geometricamente elementari:
(v) λ1 (λ2 v) = (λ1 λ2 )v;
(vi) (λ1 + λ2 )v = λ1 v + λ2 v;
(vii) 1 v = v.
L’ultima proprietà essenziale collega le due operazioni:
(viii) λ(v1 + v2 ) = λv1 + λv2 .
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Moltiplicazione
un numero reale
per
Appendice - Elementi di algebra lineare
4
Pensando alla rappresentazione di vettori come segmenti orientati, è del tutto naturale
passare alla rappresentazione cartesiana. Ovviamente conviene scegliere l’origine O =
(0, 0, 0) come punto di applicazione: in questo modo, ogni punto P ∈ R3 individua un
−−→
unico vettore v di rappresentazione OP. Le coordiante cartesiane (x, y, z) del punto P si
dicono componenti scalari del vettore v (si veda Figura 6):
−−→
identifichiamo il vettore v di rappresentazione OP
con il punto P = (x, y, z) ∈ R3 e scriviamo v = (x, y, z).
⇒
⇒
P
v
y
x
Abbiamo cosı̀ identificato R3 con l’insieme dei vettori geometrici nello spazio. Da questo
punto in poi non distingueremo più tra R3 e V3 .
Con l’identificazione precedente, le operazioni di addizione e moltiplicazione assumono una forma analitica molto semplice (si vedano le figure 7 e 8):
vi = (xi , yi , zi )
v = (x, y, z)
z
Figura 6. Rappresentazione
cartesiana di v.
v1 + v2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ),
λv = (λx, λy, λz).
y
y1 + y2
y2
y1
λx
x2
x1
x
x1 + x2
λy
Figura 7. Somma di v1 = (x1 , y1 , 0) e
v2 = (x2 , y2 , 0).
Figura 8. Prodotto λv, con v= (x, y, 0)
e λ < 0.
Altrettanto semplice è esprimere il modulo di un vettore: poiché il riferimento cartesiano è ortonormale, per il Teorema di Pitagora
q
v = (x, y, z) ⇒ kvk = x2 + y2 + z2 .
Il prossimo passo è il punto di partenza per le generalizzazioni che affronteremo in
seguito. Individuiamo tre versori particolari, la cui rappresentazione rispetto a O è
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) ed e3 = (0, 0, 1),
e osserviamo che per la proprietà dell’addizione e della moltiplicazione per uno scalare
v = (x, y, z) ⇐⇒ v = xe1 + ye2 + ze3 .
La scrittura a destra è “intrinseca”, ovvero non contiene coordinate cartesiane ma solo
vettori. In conclusione, ogni vettore geometrico nello spazio si lascia rappresentare in
modo unico da una combinazione lineare dei tre versori e1 , e2 e e3 , che si chiamano base
canonica di R3 e di V3 .
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Rappresentazione
analitica di vettori
Appendice - Elementi di algebra lineare
1.2
5
Prodotto scalare
Siano v e w due vettori non nulli e sia vc
w l’angolo formato dalle rispettive semirette rv ed
rw (in questo ordine). Il prodotto scalare hv, wi è definito da
hv, wi = kvk kwk cos(c
vw).
Se invece v = 0 o w = 0 si definisce hv, wi = 0. Il prodotto scalare v e w si indica anche
con il simbolo v · w. Segue immediatamente dalla definizione che
v e w sono paralleli ⇔ hv, wi = kvk kwk,
v e w sono ortogonali ⇔ hv, wi = 0
(conveniamo che 0 è sia parallelo che ortogonale a ogni vettore). In particolare,
(
1 se i = j
hei , e j i = δi j :=
0 se i , j.
(1)
(2)
Se kwk = 1, geometricamente il prodotto scalare rappresenta la lunghezza (con segno)
della proiezione ortogonale del vettore v sulla retta (orientata) su cui giace il vettore w;
in tal caso il vettore hv, wiw si dice proiezione ortogonale di v sulla retta su cui giace il
vettore w (si veda Figura 9).
Il prodotto scalare verifica le seguenti proprietà:
(i) proprietà commutativa: hv, wi = hw, vi;
(ii) proprietà distributiva: hv1 + v2 , wi = hv1 , wi + hv2 , wi;
(iii) omogeneità: λhv, wi = hλv, wi = hv, λwi;
(iv) hv, vi ≥ 0; inoltre hv, vi = 0 se e solo se v = 0.
La proprietà (i) segue dal fatto che il coseno è una funzione pari e la terza e la quarta
sono immediate. Se kwk = 1, la seconda proprietà segue osservando che la proiezione
ortogonale della somma di vettori è uguale alla somma delle proiezioni ortogonali; se
kwk , 1, si utilizza la terza proprietà (con λ = kwk) per ricondursi al caso kwk = 1.
Anche il prodotto scalare si traduce in una semplice operazione algebrica utilizzando
la rappresentazione analitica di vettori, che segue immediatamente dalle proprietà del
prodotto scalare e dalla (2):
)
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3
⇒ hv, wi = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 .
w = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3
Utilizzando questa rappresentazione si verifica facilmente (elevando al quadrato e svolgendo i calcoli) che
kvk kwk = hv, wi ⇔ (v1 w2 − v2 w1 )2 + (v1 w3 − v3 w1 )2 + (v2 w3 − v3 w2 )2 = 0.
(3)
Dalle (1) e (3) segue una proprietà geometricamente piuttosto ovvia:
v e w sono paralleli ⇔ ∃ α ∈ R : v = αw oppure w = αv.
(4)
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v
c
vw
w
c
kv k cos vw
Figura 9.
kwk = 1
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1.3
6
Rette e piani nello spazio
Sia x0 = (x0 , y0 , z0 ) un punto di R3 e sia v = (v1 , v2 , v3 ) un vettore non nullo. La retta r
passante per x0 parallela a v è l’insieme dei punti che si ottengono aggiungendo a x0
un multiplo di v (si veda Figura 10):
Rette nello spazio
z
v
3
r = {x ∈ R : x = x0 + tv, t ∈ R}.
Si noti come in questo caso l’identificazione di V3 ed R3 semplifichi i concetti e la scrittura. Scrivendo tale relazione in componenti, si ottiene l’equazione parametrica della
retta:


x = x0 + tv1



y
= y0 + tv2
t ∈ R.



 z = z + tv
0
3
Si noti che, se vi , 0 per i = 1, 2, 3, si può scrivere
t=
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
v1
v2
v3
da cui segue l’equazione cartesiana della retta:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
.
v1
v2
v3
Naturalmente, questa espressione si modifica se una o due delle componenti di v sono
nulle. Per esempio, se v3 = 0 ma v1 , 0 e v2 , 0, allora l’equazione cartesiana diviene
z = z0 ,
x − x0 y − y0
=
.
v1
v2
In particolare, ponendo z0 = 0 si ottiene l’equazione della retta nel piano.
Se invece di un punto e un vettore sono assegnati due punti diversi, x0 e x1 = (x1 , y1 , z1 ),
per ottenere le equazioni della retta passante per questi due punti ci si riconduce al caso
precedente prendendo v = x1 − x0 = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ).
Sia x0 un punto di R3 e siano v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ) due vettori non nulli
e non paralleli. Il piano π passante per x0 parallelo a v e w è l’insieme dei punti che si
ottengono aggiungendo a x0 un multiplo di v e un multiplo di w:
r = {x ∈ R3 : x = x0 + tv + sw, t, s ∈ R}.
Scrivendo tale relazione in componenti, si ottiene l’equazione parametrica del piano:


x = x0 + tv1 + sw1



y
= y0 + tv2 + sw2
t, s ∈ R.



 z = z + tv + sw
0
3
3
Poiché i vettori v e w sono non nulli e non paralleli, almeno uno dei tre addendi nella (3)
è diverso da zero; supponiamo che sia il primo. Moltiplicando la prima equazione per w2 ,
la seconda per w1 e sottraendole, risulta
t=
(x − x0 )w2 − (y − y0 )w1
.
v1 w2 − v2 w1
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x0
y
x
Figura 10. Retta passante
per x0 parallela a v.
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7
Analogamente, moltiplicando la prima equazione per v2 , la seconda per v1 e sottraendole,
risulta
(x − x0 )v2 − (y − y0 )v1
s=
.
v2 w1 − v1 w2
Sostituendo queste due espressioni nella terza equazione, si ottiene l’equazione cartesiana
del piano:
(v2 w3 − v3 w2 )(x − x0 ) + (v3 w1 − v1 w3 )(y − y0 ) + (v1 w2 − v2 w1 )(z − z0 ) = 0.
Si noti che questa espressione può essere riscritta in modo compatto come
hn, x − x0 i = 0,
dove n = (v2 w3 − v3 w2 , v3 w1 − v1 w3 , v1 w2 − v2 w1 ).
In altre parole, i punti del piano per x0 parallelo ai vettori (non nulli e non paralleli) v e
w sono tutti e soli quelli per i quali il vettore x − x0 è ortogonale al vettore n. Ciò mostra
che un piano è equivalentemente individuato da un punto x0 e un vettore n ortogonale al
piano. In particolare, ovviamente, hn, vi = hn, wi = 0.
1.4
Prodotto vettoriale
Nel paragrafo precedente si è individuato, a partire da due vettori non nulli e non paralleli,
un terzo vettore, normale a entrambi. Tale procedura si generalizza ad una operazione tra
vettori, detta prodotto vettoriale. Siano dunque v e w due vettori di componenti
v = (v1 , v2 , v3 ),
w = (w1 , w2 , w3 ).
Il prodotto vettoriale tra v e w è il vettore v ∧ w definito da
v ∧ w := (v2 w3 − v3 w2 , v3 w1 − v1 w3 , v1 w2 − v2 w1 ).
(5)
Nel paragrafo 4.2.2 vedremo come esprimere la (5) in termini del determinante di un’opportuna matrice, cosa che ne faciliterà la memorizzazione.
Si noti che, per la (3), se v = 0 oppure w = 0 oppure v e w sono paralleli e non nulli,
allora v ∧ w = 0, e che (per quanto visto nel paragrafo precedente) v ∧ w è un vettore
ortogonale a v e w, quindi a ogni piano parallelo a v e w:
hv, v ∧ wi = hw, v ∧ wi = 0.
Il prodotto vettoriale verifica le seguenti proprietà:
(i) proprietà antisimmetrica: w ∧ v = −v ∧ w;
(ii) proprietà distributiva: v ∧ (w1 + w2 ) = v ∧ w1 + v ∧ w2 ;
(iii) omogeneità: λ(v ∧ w) = (λv) ∧ w = v ∧ (λw) per ogni λ ∈ R.
Q
Inoltre è possibile verificare che
w
kv ∧ wk = kvk kwk | sin(c
vw)|.
(6)
Perciò kv ∧ wk coincide con l’area del parallelogramma individuato da v e w, ovvero
quello che giace sul piano parallelo a v e w e ha come lati segmenti (orientati) che rappresentano v e w. Infatti, con le notazioni di Figura 11, tale area corrisponde a due volte
quella del triangolo di vertici OPQ, che ha base di lunghezza kvk e altezza di lunghezza
kwk | sin(c
vw)|.
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P
v
O
Figura 11.
Appendice - Elementi di algebra lineare
1.5
8
Prodotto misto
Le operazioni di prodotto scalare e prodotto vettoriale possono essere combinate: si
definisce prodotto misto di tre vettori u, v e w lo scalare
hu, v ∧ wi.
Segue dalle proprietà del prodotto scalare e vettoriale che
u
hu, v ∧ wi = 0 ⇔ v e w sono paralleli, oppure u = 0, oppure u è complanare a v e w.
Geometricamente, posto ϕ = u [
v ∧ w (l’angolo tra u e v ∧ w), lo scalare
|hu, v ∧ wi| = kuk kv ∧ wk | cos ϕ|
fornisce il volume del parallelepipedo individuato da u, v e w, ovvero quello che ha come
spigoli i segmenti orientati che rappresentano i tre vettori (si veda Figura 12). Infatti
kv ∧ wk rappresenta l’area del parallelogramma di lati v e w e kuk | cos ϕ| l’altezza del
parallelepipedo.
1.6
Vettori geometrici nel piano
Nei paragrafi precedenti abbiamo considerato l’insieme V3 dei vettori geometrici dello
spazio. In modo del tutto analogo si introduce l’insieme V2 dei vettori geometrici del
piano. In particolare:
(i) V2 può essere identificato con R2 tramite il passaggio a coordinate cartesiane: dato
−−→
un vettore di rappresentazione v = OP, se (x, y) sono le coordinate cartesiane di P
si scrive
v = (x, y) = xe1 + ye2 ,
dove e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) sono i vettori che costituiscono la base canonica di V2 ;
(ii) norma e prodotto scalare: dati v = (v1 , v2 ) e w = (w1 , w2 ), si definisce
q
kvk = v21 + v22 e hv, wi = kvk kwk cos(c
vw) = v1 w1 + v2 w2 ,
(iii) v e w sono paralleli se e solo se v1 w2 − v2 w1 = 0 e ortogonali se e solo se v1 w1 +
v2 w2 = 0.
Le proprietà descritte in R3 continuano a valere in questo caso: possono essere dedotte
direttamente oppure possono essere ottenute dalle considerazioni precedenti osservando
che V2 può essere identificato con l’insieme dei vettori (v1 , v2 , 0), un sottoinsieme di V3 .
Dati un punto x0 = (x0 , y0 ) e un vettore non nullo v = (v1 , v2 ), la retta passante per x0
parallela a v è l’insieme r = {x0 + tv : t ∈ R}. Osservando che h(v2 , −v1 ), (v1 , v2 )i = 0,
il vettore (v2 , −v1 ) è ortogonale alla retta e, in analogia con l’equazione di un piano nello
spazio, l’equazione della retta r diventa
hn, x − x0 i = 0,
dove n := (v2 , −v1 ).
Viceversa, la retta di equazione cartesiana ax + by = c è ortogonale al vettore (a, b).
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w
v
Figura 12.
Appendice - Elementi di algebra lineare
9
Anche se non è possibile introdurre il prodotto vettoriale in V2 , si può applicare la
(6) a (v1 , v2 , 0) e (w1 , w2 , 0): osservando che (v1 , v2 , 0) ∧ (w1 , w2 , 0) = (0, 0, v1 w2 − v2 w1 )
segue che
kvk kwk | sin(c
vw)| = |v1 w2 − v2 w1 |
se v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ).
(7)
Perciò, nel piano, l’area del parallelogramma individuato dai vettori v e w vale |v1 w2 −
v2 w1 |.
L’uguaglianza (7) può anche essere dimostrata direttamente: poiché, come abbiamo
osservato, n = (v2 , −v1 ) è ortogonale a v e poiché knk = kvk, si ha v2 w1 − v1 w2 = hn, wi =
c e il risultato segue osservando che | cos(nw)|
c = | sin(c
kvk kwk cos(nw)
vw)|.
2
Spazi vettoriali
2.1
Spazi vettoriali
La nozione di spazio vettoriale generalizza quella elementare dei vettori geometrici. Nel
seguito, K indica il campo dei numeri reali (K = R) o il campo dei numeri complessi
(K = C). Nelle applicazioni del testo, a parte l’analisi di sistemi di equazioni differenziali
ordinarie a coefficienti costanti (si veda il paragrafo 16.3.2), si utilizza solo K = R; il lettore che non sia interessato alla nozione di autovalore può perciò leggere K = R ovunque
nell’Appendice.
Definizione 1. Un insieme V si dice spazio vettoriale su K se:
(a) esiste un’applicazione da V × V in V, detta addizione e indicata con +, tale che
(i) v1 + v2 = v2 + v1 per ogni v1 , v2 ∈ V,
(ii) (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ) per ogni v1 , v2 , v3 ∈ V,
(iii) esiste 0 ∈ V, detto elemento neutro dell’addizione, tale che 0 + v = v + 0 = v
per ogni v ∈ V,
(iv) per ogni v ∈ V esiste (−v) ∈ V, detto opposto di v tale che v + (−v) = 0;
(b) esiste un’applicazione da K × V in V, detta moltiplicazione per uno scalare, tale
che
(v) λ1 (λ2 v) = (λ1 λ2 )v per ogni λ1 , λ2 ∈ K ed ogni v ∈ V,
(vi) (λ1 + λ2 )v = λ1 v + λ2 v per ogni λ1 , λ2 ∈ K ed ogni v ∈ V,
(vii) 1 v = v per ogni v ∈ V,
(viii) λ(v1 + v2 ) = λv1 + λv2 per ogni λ ∈ K ed ogni v1 , v2 ∈ V.
Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori.
Esempio 1. Lo spazio dei vettori geometrici dello spazio, V3 , e quello dei vettori geometrici del piano, V2 , sono spazi vettoriali su R.
Esempio 2. Lo spazio Kn è uno spazio vettoriale su K con le seguenti operazioni:
addizione:
moltiplicazione per scalari:
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).
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Appendice - Elementi di algebra lineare
10
Esempio 3. L’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n (n ∈ N) a coefficienti
reali,
 n





X

k
Pn [x, R] = 
ak x : ak ∈ R ∀ k = 0, . . . , n




k=0
è uno spazio vettoriale su R con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione (per
esempio, 2(x2 − 1) − (x3 − x2 + x − 3) = −x3 + 3x2 − x + 1). Allo stesso modo, è uno
spazio vettoriale su C l’insieme dei polinomi di grado minore o uguale ad n a coefficienti
complessi, Pn [z, C].
Esempio 4. L’insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali (complessi) è uno spazio vettoriale su R (rispettivamente su C) con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione
per uno scalare.
L’iniseme delle funzioni definite e derivabili infinite volte in R, C ∞ (R), è uno spazio
vettoriale su R con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione.
Siano v1 , . . . , vn ∈ V e λ1 , . . . , λn ∈ K. Il vettore
v = λ1 v1 + · · · + λn vn
si dice combinazione lineare di v1 , . . . , vn .
Esempio 5. Il vettore (1, 3, −1) ∈ V3 è combinazione lineare dei vettori della base canonica,
(1, 3, −1) = e1 + 3e2 − e3 .
Lo stesso vettore è anche combinazione lineare dei vettori (1, 0, −2), (1, 6, 0):
(1, 3, −1) =
1
1
(1, 0, −2) + (1, 6, 0).
2
2
È naturale chiedersi se, dato uno spazio vettoriale V, a partire da un certo insieme
di vettori si possa “costruire” tutto lo spazio attraverso combinazioni lineari, nonché
se esistono insiemi “minimali” che soddisfano questa proprietà. Iniziamo fissando la
nomencaltura:
Definizione 2. Siano V uno spazio vettoriale su K, n ∈ N e B = {v1 , . . . , vn } ⊂ V un
sottoinsieme di V.
(i) B si dice sistema di generatori di V se ogni v ∈ V è combinazione lineare di
v1 , . . . , v n ;
(ii) i vettori v1 , . . . , vn si dicono linearmente indipendenti se
λ1 v1 + · · · + λn vn = 0 ⇔ λ1 = · · · = λn = 0,
linearmente dipendenti altrimenti;
(iii) B si dice base (finita) di V se è un sistema di generatori i cui elementi sono
linearmente indipendenti.
Vale la seguente caratterizzazione delle basi di uno spazio vettoriale:
Teorema 1. Sia V uno spazio vettoriale su K. I vettori v1 , . . . vn sono una base di V se e
solo se per ogni v ∈ V esiste un’unica n-upla (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn tale che v = λ1 v1 + · · · +
λn vn . I coefficienti λi si dicono componenti di v rispetto alla base v1 , . . . , vn .
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11
Esempio 6. I vettori e1 , e2 e e3 sono una base di R3 . La verifica è ovvia. Più in generale,
e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
costituiscono una base di Kn , detta base canonica di Kn .
I polinomi 1, x, x2 , . . . , xn sono una base di Pn [x, R]. È ovvio che siano un sistema di
generatori. Per provare che sono linearmente indipendenti si può ragionare cosı̀: se
λ0 + λ1 x + · · · + λn xn = 0,
allora scegliendo x = 0 si ottiene λ0 =0, da cui
x(λ1 + λ2 x + · · · + λn xn−1 ) = 0 per ogni x ∈ R,
ovvero λ1 + λ2 x + · · · + λn xn−1 = 0 per ogni x ∈ R, da cui scegliendo di nuovo x = 0 si
ottiene λ1 = 0. Ripetendo il ragionamento si conclude che tutti i coefficienti sono nulli.
Analogamente, I polinomi 1, z, z2 , . . . , zn sono una base di Pn [z, C].
Esempio 7. I vettori (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) ∈ V sono un sistema di generatori
di V3 ma non sono linearmente indipendenti. Infatti, dato v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ V3 , si ha (per
esempio)
v = v1 (1, 1, 0) + v3 (0, 1, 1) + (v2 − v1 − v3 )(0, 1, 0).
D’altra parte (per esempio)
0 = (1, 1, 0) − 2(0, 1, 0) + (0, 1, 1) − (1, 0, 1).
Esempio 8. I vettori di (1, 1, 0), (0, 1, 0) ∈ V3 sono linearmente indipendenti ma non
formano un sistema di generatori. Infatti
λ1 (1, 1, 0) + λ2 (0, 1, 0) = (λ1 , λ1 + λ2 , 0) = (0, 0, 0) ⇔ λ1 = λ2 = 0,
ma non esiste alcuna loro combinazione lineare che generi (0, 0, 1).
Non è un caso che, nell’esempio precedente due vettori non siano sufficienti a generare
V3 . Vale infatti il seguente risultato:
Teorema 2 (Dimensione di uno spazio vettoriale). Se uno spazio vettoriale V ha una base
costituita da n elementi, ogni altra base è costituita dallo stesso numero di elementi. Il
numero n si chiama dimensione di V e si indica con dim V.
Esempio 9. dim V3 = 3, dim V2 = 2, dim Rn = n, dim Pn [z, C] = dim Pn [z, C] = n + 1.
Se per ogni n = 1, 2, . . . esistono n vettori linearmente indipendenti in V, allora si
dice che V è uno spazio vettoriale di dimensione infinita e si scrive dim V = +∞.
Gli spazi vettoriali trattati nell’Esempio 4 sono tutti di dimensione infinita; per esempio,
nello spazio vettoriale dei polinomi reali a coefficienti reali per ogni n ≥ 1 i polinomi 1,
x, x2 , . . . , xn sono linearmente indipendenti.
Gli spazi di dimensione infinita rivestono un ruolo essenziale in molti campi della
Matematica, ma non li tratteremo in queste pagine.
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2.2
12
Sottospazi vettoriali
Sia V uno spazio vettoriale su K. Un sottoinsieme W di V si dice sottospazio vettoriale
di V (su K) se è esso stesso uno spazio vettoriale.
Esempio 10. Le rette passanti per l’origine sono sottospazi vettoriali di R3 di dimensione
1; i piani sono sottospazi vettoriali di R3 di dimensione 2. I polinomi pari di grado minore
o uguale a due sono un sottospazio vettoriale di P3 [x, R] di dimensione 2 (una base è
costituita dai polinomi 1 e x2 ).
Dato un insieme di vettori {v1 , . . . , vk } di V, l’insieme delle loro combinazioni lineari
forma un sottospazio vettoriale di V, che si indica con
spam{v1 , . . . , vk } = {v ∈ V : v = λ1 v1 + · · · + λk vk , λi ∈ K}.
Esempio 11. I polinomi 1, 1 + x, 1 + x + x3 generano un sottospazio vettoriale di P3 [x, R],
di dimensione al più uguale a tre. Si verifica facilmente che i tre vettori sono linearmente
indipendenti, quindi la dimensione è esattamente uguale a tre.
L’intersezione di due sottospazi vettoriali è ancora un sottospazio vettoriale, mentre
l’unione insiemistica in generale non lo è:
W1 , W2 sottospazi di V ⇒ W1 ∩ W2 sottospazio di V
W1 , W2 sottospazi di V ; W1 ∪ W2 sottospazio di V
Esempio 12. In R2 , l’intersezione dei due assi cartesiani, ovvero l’insieme {(0, 0)} è uno
spazio vettoriale (banale), mentre la loro unione non lo è poiché non è chiusa rispetto
all’addizione: il vettore (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) non appartiene all’insieme.
A partire dalla definizione di spazio vettoriale, è intuitivo che per ottenere un sottospazio vettoriale che ne contenga due dati si devono sommare i loro elementi: dati W1 ,
W2 sottospazi di V, si definisce quindi la somma W1 + W2 come l’insieme
W1 + W2 = {w1 + w2 : w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 }.
Se inoltre W1 ∩ W2 = {0}, allora W1 + W2 si dice somma diretta di W1 e W2 e si indica
con W1 ⊕ W2 .
Tornando all’esempio precedente, la somma dei due assi cartesiani nel piano è chiaramente tutto il piano; in particolare è una somma diretta e forma uno spazio vettoriale di
dimensione 2 (la somma delle dimensioni). In generale vale il seguente risultato:
Teorema 3. Sia V uno spazio vettoriale e siano W1 , W2 sottospazi di V. Allora l’insieme
W1 + W2 è un sottospazio vettoriale. Se inoltre V ha dimensione finita, vale la formula
di Grassmann:
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).
Il seguente risultato afferma che è possibile costruire una base di un dato spazio
vettoriale di dimensione finita a partire dalla base di un suo sottospazio, “completandola”.
Teorema 4. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione finita, W un sottospazio vettoriale di V e B0 = {w1 , . . . , wk } una base di W. Allora esiste un completamento B della base
B0 , ovvero una base B di V tale che B0 ⊆ B.
Esempio 13. Il vettore w̃ = (1, −1) ∈ V2 genera un sottospazio di dimensione 1 su R:
W = {v ∈ V2 : v = (λ, −λ) : λ ∈ R}. Per ottenere una base di V2 , basta prendere un
vettore ṽ ∈ V2 \ W: infatti, se ṽ < W allora è linearmente indipendente da w̃. Per esempio,
ṽ = (1, 0).
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2.3
13
Norma e distanza
Dato uno spazio vettoriale V su K, una norma su V è, in generale, una applicazione
N : X → [0, +∞) che verifica le seguenti proprietà:
- N(λv) = |λ|N(v) per ogni λ ∈ K e ogni v ∈ V (omogeneità positiva);
- N(v + w) ≤ N(v) + N(w) per ogni v, w ∈ V (subadditività o disuguaglianza
triangolare);
- N(v) = 0 se e solo se v = 0.
Esempio 14. Il valore assoluto è una norma su R (visto come spazio vettoriale su sé
stesso).
Esempio 15. Le funzioni
x 7→ kxk1 = |x1 | + · · · + |xn |,
q
x 7→ kxk2 = x12 + · · · + xn2 ,
x = (x1 , . . . , xn )
(8)
x 7→ kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |},
sono norme su Rn (visto come spazio vettoriale su R). La norma k k2 si dice norma
euclidea e si indica anche con k k. In Figura 13 sono indicati, nel caso di R2 , i punti del
piano la cui norma è uguale a uno.
kxk1 = 1
kxk2 = 1
kxk∞ = 1
Figura 13.
Il concetto di distanza, discusso nel testo nei casi particolari della distanza euclidea in
R (si veda il paragrafo 4.1) e in Rn (si veda il paragrafo 10.1) può essere generalizzato a
un generico insieme: dato un insieme X, si dice distanza una applicazione d : X × X →
[0, +∞) tale che:
- d(x, y) = d(y, x) per ogni x, y ∈ X (simmetria);
- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) per ogni x, y, z ∈ X (disuguaglianza triangolare);
- d(x, y) = 0 se e solo se x = y.
Su ogni spazio vettoriale V dotato di una norma N resta definita una distanza, la
distanza indotta da N:
d(v, w) = N(v − w).
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14
Per esempio, la distanza indotta su R2 dalla norma k k1 è
d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |,
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ).
Si può pensare a d come alla distanza che deve percorrere un pedone per andare da x a y
in un percorso cittadino pianeggiante a maglie rettangolari.
Il concetto di distanza su un insieme X dota l’insieme stesso di una struttura metrica
(in particolare consente di definire in X il concetto di intorno e quindi quelli di insieme
aperto, insieme chiuso, frontiera, ecc.): la Topologia, un settore molto vasto e ricco di
applicazioni della Matematica, si occupa di studiare le proprietà di tali insiemi (e, più in
generale, di spazi topologici).
2.4
Spazi vettoriali su R dotati di prodotto scalare
Lo spazio vettoriale V3 , come abbiamo visto, è dotato di altre due operazioni oltre a
quella di addizione e moltiplicazione per uno scalare: il prodotto scalare e il prodotto
vettoriale. Introduciamo ora una generalizzazione della nozione di prodotto scalare che
riveste grande importanza: ci limitiamo per il momento al caso di spazi vettoriali su R,
rimandando al paragrafo 5.6 per un cenno al caso complesso.
Definizione 3. Uno spazio vettoriale V su R si dice dotato di prodotto scalare se esiste
una applicazione h·, ·i : V × V → R, detta prodotto scalare, che verifica le proprietà
(i) − (iv) di pagina 5. Due vettori v, w ∈ V si dicono ortogonali se hv, wi = 0.
Si verifica facilmente che, se V è uno spazio vettoriale su R dotato di prodotto scalare,
la funzione
p
k k : V → R, kvk = hv, vi
è una norma, detta norma indotta dal prodotto scalare h , i. Per quanto visto nel paragrafo precedente, è quindi definita anche una distanza, la distanza indotta dal prodotto
scalare:
p
d : V × V → R, d(v, w) = kv − wk = hv − w, v − wi.
L’esempio principale di spazio vettoriale su R dotato di prodotto scalare è certamente
Rn con il prodotto scalare euclideo:
Esempio 16. Abbiamo già osservato nell’Esempio 2 che Rn è uno spazio vettoriale su R.
In analogia con V3 (che come detto si identifica con R3 ), definiamo il prodotto scalare
euclideo
(
x = (x1 , . . . , xn )
hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn , dove
y = (y1 , . . . , yn ).
(la verifica che si tratti effettivamente di un prodotto scalare è lasciata per esercizio). In
perfetta analogia con il caso n = 3, restano quindi definiti la norma euclidea,
q
kxk = x12 + · · · + xn2 ,
e la distanza euclidea
q
d(x, y) = kx − yk =
(x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
Si noti che in Rn valgono la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza di CauchySchwartz:
kx + yk ≤ kxk + kyk, |hx, yi| ≤ kxk kyk.
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15
Su spazi vettoriali su R dotati di prodotto scalare ha senso la nozione di base ortonormale:
Definizione 4. Sia V uno spazio vettoriale su R dotato di prodotto scalare. Una base
v1 , . . . , vn di V si dice ortonormale se
hvi , v j i = δi j .
L’esempio più ovvio di base ortonormale è la base canonica e1 , . . . , en di Rn .
Dato uno spazio vettoriale su R dotato di prodotto scalare V, partire da una generica base v1 , . . . , vn ne può sempre costruire una ortonormale, {ṽ1 , . . . , ṽn }, con l’ulteriore
proprietà che
spam{v1 , . . . , vk } = spam{ṽ1 , . . . , ṽk }
per ogni k = 1, . . . , n.
La procedura, detta ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, è costruttiva e funziona cosı̀:
al primo passo si normalizza v1 :
ṽ1 = v1 /kv1 k.
Si determina poi w2 in modo tale che w2 = v2 + λṽ1 e hw2 , ṽ1 i = 0, ovvero
w2 = v2 − hv2 , ṽ1 i ṽ1
e si normalizza:
ṽ2 = w2 /kw2 k.
Iterando il procedimento (si veda anche l’esempio seguente) si ottiene la base cercata.
Esempio 17. Si vuole determinare l’ortonormalizzazione di Gram-Schmidt della base
di R3 formata dai vettori (1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1). Si ha anzitutto ṽ1 = √12 (1, 1, 0).
Procedendo come descritto sopra, si ottiene
1
w2 = (1, 0, 0) − h(1, 0, 0), (1, 1, 0)i(1, 1, 0) = (1/2, −1/2, 0),
2
da cui ṽ2 =
√1 (1, −1, 0).
2
Infine, si cerca w3 in modo tale che verifichi
w3 = v3 + λ1 ṽ1 + λ2 ṽ2 ,
hw3 , ṽ1 i = hw3 , ṽ2 i = 0.
Con semplici calcoli si ottiene
1
λ1 = −hv3 , ṽ1 i = − √ ,
2
1
λ2 = −hv3 , ṽ2 i = √ ,
2
per cui w3 = ṽ3 = (0, 0, 1).
3
3.1
Applicazioni lineari e matrici
Applicazioni lineari e matrici
In algebra lineare, rivestono un ruolo essenziale le applicazioni che conservano le strutture dell’addizione e della moltiplicazione per uno scalare che caratterizzano gli spazi
vettoriali:
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Ortonormalizzazione
di Gram-Schmidt
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16
Definizione 5. Siano V, W due spazi vettoriali su K. Una applicazione L : V → W si
dice applicazione lineare se:
L(λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 L(v1 ) + λ2 L(v2 )
per ogni v1 , v2 ∈ V, λ1 , λ2 ∈ K.
Gli insiemi Ker L ⊆ V e im L ⊆ W definiti da
Ker L = {v ∈ V : L(v) = 0},
im L = {L(v) : v ∈ V}
si dicono rispettivamente nucleo (“kernel” in lingua inglese) e immagine di L. L’applicazione si dice iniettiva se Ker L = {0}, suriettiva se im L = W, biettiva o isomorfismo
se è sia iniettiva che suriettiva e in tal caso V e W si dicono isomorfi e si scrive V W.
L’insieme delle applicazioni lineari da V a W si indica con Lin (V, W, K).
Esempio 18. L’applicazione L : V3 → R3 definita da
L : V3 3 v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 7→ x = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3
è un isomorfismo (lo studente controlli).
Esempio 19. L’applicazione πi : Rn → R definita da
πi : Rn 3 x = (x1 , . . . xn ) 7→ xi ∈ R
è una applicazione lineare suriettiva ma non iniettiva (Ker πi = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xi =
0}, lo studente controlli), detta proiezione i-esima.
Si verifica facilmente che nucleo e immagine sono sottospazi vettoriali di V, rispettivamente W. Se dim V < +∞, le loro dimensioni sono finite e legate da un’importante
formula:
Teorema 5 (Teorema delle dimensioni). Sia L ∈ Lin (V, W, K). Allora Ker L è un sottospazio vettoriale di V, im L è un sottospazio vettoriale di W e se dim V < +∞ risulta:
dim(im L) + dim(Ker L) = dim V.
(9)
L’insieme Lin (V, W, K) delle applicazioni lineari da V in W può essere dotato di una
struttura di spazio vettoriale definendo le operazioni di:
(i) addizione: (L1 + L2 )(v) := L1 (v) + L2 (v) per ogni v ∈ V;
(ii) moltiplicazione per uno scalare: (λL)(v) = λL(v) per ogni v ∈ V, λ ∈ K.
Le applicazioni lineari sono completamente determinate dai valori assunti su una base
di V:
Teorema 6. Siano V e W due spazi vettoriali su K. Sia dim V < +∞, sia BV = {v1 , . . . , vn }
una base di V e siano L1 : V → W e L2 : V → W due applicazioni lineari. Allora L1 = L2 ,
ovvero L1 (v) = L2 (v) per ogni v ∈ V, se e solo se L1 (vi ) = L2 (vi ) per ogni i = 1, . . . , n.
Se anche W ha dimensione finita, con base BW = {w1 , . . . , wm }, è possibile esprimere
i valori di L1 (v1 ), . . . , L1 (vn ) rispetto alla base di W:
L(v1 ) = a11 w1 + · · · + am1 wm ,
..
.
L(vn ) = a1n w1 + · · · + amn wm .
(10)
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17
Quindi, dati due spazi vettoriali V e W di dimensione finita con basi BV e BW , per il
Teorema 6 un’applicazione lineare L ∈ Lin (V, W, K) è determinata dai mn numeri ai j ∈ K
(i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) definiti dalla (10). Infatti, dati
v = x1 v1 + · · · + xn vn ∈ V
e w = y1 w1 + · · · + ym wm ∈ W,
si verifica facilmente che, data l’applicazione lineare L ∈ Lin (V, W, K) determinata dalla
(10), si ha che
w = L(v) ⇔ yi = ai1 x1 + · · · + ain xn =
n
X
ai j x j
(i = 1, . . . , m).
(11)
j=1
I numeri ai j ∈ K si dicono elementi di una matrice. Una matrice è tabella bidimensionale determinata dal numero di righe, dal numero di colonne e dai valori assunti in
ciascuna casella della tabella:
Definizione 6. Siano m, n ∈ N \ {0}. Si dice matrice m × n a valori in K un insieme di
mn elementi ai j ∈ K ordinati secondo due indici, i = 1, . . . , m e j = 1 . . . , n,
A = {ai j : ai j ∈ K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}
e si indica con

 a11
 a
 21
A =  .
 ..

am1
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am2
...
amn




 .


(12)
Si indica con Mm,n (K) l’insieme di tutte le matrici m × n a valori in K.
Per indicare in forma coincisa una matrice e gli elementi che la compongono si scrive
anche A = {ai j } ∈ Mm,n (K), oppure semplicemente A = {ai j } se il formato m × n e il campo
K sono superflui o chiari dal contesto.
Nei casi particolari in cui n = 1 o m = 1 la matrice si dice vettore colonna , rispettivamente vettore riga . Se m = n, A si dice matrice quadrata e n si dice ordine della
matrice. Una matrice quadrata A di ordine n si dice diagonale se è del tipo




A = 


λ1
0
0
..
.
λ2
..
.
0
...
...
..
.
..
.
0




 .

0 

λn
0
..
.
L’operazione di scambio di righe e colonne prende il nome di trasposizione:
Definizione 7. Sia A = {ai j } ∈ Mm,n (K). Si dice trasposta di A, e si indica con AT , la
matrice
AT = {a ji } ∈ Mn,m (K).
Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.
Si noti che la trasposta di un vettore riga è un vettore colonna e viceversa. I vettori
colonna sono particolarmente utile per esprimere la (11) in modo compatto: scrivendo
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Appendice - Elementi di algebra lineare
18
(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn e (y1 , . . . , ym ) ∈ Km come vettori colonna, x = (x1 , . . . , xn )T e y =
(y1 , . . . , ym )T , si introduce la notazione

n
P



y1 =
a1 j x j


 





j=1
 y1   a11 . . . a1n   x1 



 .   .



..
..   ..  ⇔ 
..
y = Ax ⇔  ..  =  ..
(13)

.
.
.   . 




 



n

P

ym
am1 . . . amn
xn


am j x j .

 ym =
j=1
Nel prossimo paragrafo generalizzeremo tale notazione tramite la nozione di prodotto; si
veda l’Osservazione a pagina 21.
Esempio 20.
1 0 2
−3 4 2
 
!  1 
 
 4  =
 
3
1+0+6
−3 + 16 + 6
!
=
!
7
19
.
Esempio 21. Se A è una matrice quadrata di ordine n a coefficienti reali, si ha
hz, Axi = hAT z, xi ∀x, z ∈ Rn .
Infatti, osservando che
 P
n

 j=1 a j1 z j

(13)

..
y = AT z ⇐⇒ y = 
 n .
 P
a jn z j

j=1
si ottiene
(13)
hz, Axi =
  n
  P a z
i1 i
 
  i=1
 
..
 = 
.
  P
  n a z
in i








(14)
i=1
n
n
n
n
X
X
X
X
zi
ai j x j =
xj
ai j zi = hAT z, xi,
i=1
j=1
j=1
i=1
Notazione .
- Nel resto dell’Appendice, ove non diversamente specificato, un vettore di Kn si sottoindende rappresentato da un vettore colonna.
- Sarà utile disporre di una notazione che metta in evidenza le colonne di una matrice:
si scrive cioè


 a1 j 
 a 
 2j 
A = (v1 |v2 | . . . |vn ) , dove vi =  .  , j = 1, . . . , n,
 .. 


am j
Il vettore v j ∈ Km si dice j-esimo vettore colonna di A. Analoghe notazioni e
nomenclatura valgono per le righe di A.
Cosı̀ come si è fatto per le applicazioni lineari, anche l’insieme delle matrici può
essere dotato di una struttura di spazio vettoriale definendo le operazioni di addizione e
moltiplicazione per uno scalare “termine a termine”:
(i) se A = {ai j } ∈ Mm,n (K) e B = {bi j } ∈ Mm,n (K), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, allora
A + B = {ai j + bi j } ∈ Mm,n (K);
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Appendice - Elementi di algebra lineare
19
(ii) se λ ∈ K e A = {ai j }, allora
λA = {λai j }.
Si noti che la somma è definita solo tra matrici che hanno lo stesso formato, ovvero lo
stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.
Fissati il numero di righe e colonne e lo spazio ambiente, non è difficile verificare che
l’insieme delle matrici costituisce uno spazio vettoriale con le suddette operazioni:
Teorema 7. Sia m, n ∈ N \ {0}. L’insieme Mm,n (K) è uno spazio vettoriale su K di
dimensione mn, isomorfo ad Kmn .
Infatti dim Mm,n (K) = dim Kmn =
matrici:



 1 0 . . . 0 


 0 0 . . . 0 
 , e = 
e11 =  . . .
.
12

. . .. 
 .. ..



0 0 ... 0
mn e la base canonica di Mm,n (K) consiste di mn
0 1 0 ...
0 0 0 ...
.. .. .. . .
.
. . .
0 0 0 ...
..
.
em1




= 


0
..
.
0
..
.
0
1
0
0
0
0
..
.
0




 ,


..
.
...
..
.
...
...




 ,
0 
0
0
..
.
em2




= 


0 0
.. ..
. .
0 0
0 1
...,
..
0
..
.
0
0
...
..
.
...
...
0
0
..
.
...
...
..
.
0
...

0 1 

0 0 

.. ..  ,
. . 
0 0
..
.
.




 , . . . ,
0 
0
0
..
.
e1n




= 


emn




= 


0
..
.
...
..
.
0 ...
0 ...

0 0 
.. .. 
. .  .

0 0 
0 1
Ricordiamo che, dati due spazi vettoriali V e W su K con dim V = n < +∞, dim W =
m < +∞ e fissate due basi BV = {v1 , . . . , vn } (di V) e BW = {w1 , . . . , wm } (di W), la
(10) permette di associare ad ogni applicazione lineare L ∈ Lin (V, W, K) una matrice
AL ∈ Mm,n (K):
M : Lin (V, W, K) → Mm,n (K),
M(L) = AL se AL verifica la (10).
Chiaramente M è invertibile: data una matrice A ∈ Mm,n (K), A = {ai j }, l’applicazione
L : Mm,n (K) → Lin (V, W, K),
L(A) = LA se LA verifica la (11),
è l’inversa di M. L’addizione e la moltiplicazione per uno scalare sono modellate sul
parallelismo tra matrici e applicazioni lineari, nel senso che, per ogni A, B ∈ Mm,n (K) e
λ ∈ K, la mappa L : A 7→ LA verifica
LA + LB = LA+B
e λLA = LλA .
Segue da queste osservazioni che Mm,n (K) e Lin (V, W, K) sono isomorfi:
Teorema 8. Siano V e W spazi vettoriali su K di dimensione rispettivamente n ed m.
Allora M : Lin (V, W, K) → Mm,n (K) e L : Mm,n (K) → Lin (V, W, K) sono isomorfismi tra
spazi vettoriali e sono uno l’inverso dell’altro.
Se V = Kn , W = Km e le rispettive basi sono quelle canoniche, per la (10) l’applicazione A 7→ LA assume una struttura particolarmente semplice ed è determinata dalle
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Appendice - Elementi di algebra lineare
20
seguenti relazioni:

 a11

LA (e1 ) =  ...

am1



 a1 j


 , . . . , LA (e j ) =  ...


am j



 a1n


 , . . . , LA (en ) =  ...


amn



 .

(15)
Considerando gli elementi di Kn come vettori colonna, possiamo scrivere LA (x) = Ax;
in altre parole l’applicazione lineare LA da Kn in Km è rappresentata rispetto alle basi
canoniche dalla mappa x 7→ Ax, x ∈ Kn . Nei prossimi tre esempi sceglieremo sempre le
basi canoniche per rappresentare le applicazioni lineari.
Esempio 22. La proiezione ortogonale in R3 sul piano z = 0 è rappresentata dalla matrice
diagonale


 1 0 0 


 0 1 0 
0 0 0
Più in generale, dato un versore n ∈ R3 , la proiezione ortogonale sul piano di equazione
hn, xi = 0 è la mappa x 7→ x − hn, xin da R3 in R3 . Utilizziamo la (15) per trovare la matrice A che rappresenta tale mappa: la proiezione di ei (i = 1, 2, 3) è ei − ni n, quindi A è
la matrice simmetrica che ha come vettori colonna i vettori ei − ni n:


 1 − n21 −n1 n2 −n1 n3 


2
 −n1 n2 1 − n2 −n2 n3 
−n1 n3 −n2 n3 1 − n23
Analogamente, dato un versore n ∈ R2 , in R2 la proiezione ortogonale sulla retta di
equazione hn, xi = 0 è l’applicazione lineare rapresentata dalla matrice
!
1 − n21 −n1 n2
−n1 n2 1 − n22
Esempio 23. Fissato v ∈ R3 , l’applicazione x 7→ v∧x è lineare. Determiniamo la matrice
corrispondente:
 
 
   

 v1   x   v2 z − v3 y   0 −v3 v2   x 
 
 
   

0 −v1   y  .
v ∧ x =  v2  ∧  y  =  v3 x − v1 z  =  v3
 
 
   

z
−v2 v1
0
v1 y − v2 x
z
v3
Esempio 24. Una rotazione nel piano attorno all’origine è una
applicazione che ad un punto x = (x, y)T ∈ R2 associa il punto x0 = (x0 , y0 )T ∈ R2
ottenuto ruotando il segmento che congiunge 0 e x di un prefissato angolo α (si veda la
Figura 14). Rappresentando x in coordinate polari, si ha cioè
!
!
ρ cos θ
ρ cos(θ + α)
= x 7→ x0 =
,
ρ sin θ
ρ sin(θ + α)
ovvero, utilizzando le formule di addizione,
( 0
x = ρ cos α cos θ − ρ sin α sin θ = x cos α − y sin α,
y0 = ρ sin α cos θ + ρ cos α cos θ = x sin α + y cos α.
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Figura 14.
Appendice - Elementi di algebra lineare
21
Tale relazione si può riscrivere in forma compatta come
!
!
x0
x
cos α
=
A
, dove Aα =
α
y0
y
sin α
− sin α
cos α
!
.
Perciò una rotazione attorno all’origine nel piano è una applicazione lineare da R2 in sé
rappresentata (rispetto alle basi canoniche di R2 ) dalla matrice Aα .
Un altro modo per trovare Aα è osservare che è geometricamente ovvio che la rotazione è un’applicazione lineare dal piano in se stesso (lo studenti controlli!) ed utilizzare
la (10) per calcolare i vettori colonna di Aα :
!
!
!
!
cos α
0
− sin α
1
e1 =
7→
,
e2 =
7→
.
sin α
1
cos α
0
3.2
Prodotto di due matrici
Siano V, W e Z spazi vettoriali su K con dim V = n e dim W = ` e dim Z = m. Siano
LA ∈ Lin (Z, W, K) e LB ∈ Lin (V, Z, K) due applicazioni lineari rappresentate, fissate le
rispettive basi, dalle matrici A ∈ Mm,` (K) e B ∈ M`,n (K) tramite l’identificazione (11).
Allora l’applicazione composta da V in W, v 7→ LA (LB (v)), è lineare ed è quindi naturale
chiedersi quale sia la matrice corrispondente, C ∈ Mm,n (K). Dopo qualche calcolo, basato
sull’utilizzo ripetuto dalla (11) (lo studente verifichi), si ottiene la seguente formula per
C = {ci j }:
X̀
ci j =
aik bk j .
k=1
La matrice C si dice matrice prodotto di A e B e si denota con AB:
Definizione 8. Sia A = {ai j } ∈ Mm,` (K) e B = {bi j } ∈ M`,n (K). La matrice






X̀

C = AB = 
aik bk j 
∈ Mm,n (K)




k=1
si dice matrice prodotto (righe per colonne) di A per B.
Si noti che la condizione necessaria affinché il prodotto sia ben definito è che il numero
di righe della matrice B sia uguale al numero di colonne della matrice A.
Osservazione . Si noti inoltre che se A è una matrice m × n e B = x è una matrice n × 1,
ovvero un vettore colonna in Kn , applicando la Definizione 8 si ritrova la notazione (13)
introdotta in precedenza per indicare Ax.
Esempio 25.
1 0 2
−3 4 2

!  5

 1

0

−1 1 0 

−2 4 1  =

0 3 2
5
−11
−1
−2
7
19
4
8
!
.
Si verifica (in modo elementare ma con un po’ di calcoli, lo studente controlli) che
valgono le seguenti proprietà, in cui si sottintende che il formato delle matrici sia tale che
il prodotto abbia senso:
(i) (proprietà associativa) (AB)C = A(BC);
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Appendice - Elementi di algebra lineare
22
(ii) (proprietà distributive) (A + B)C = AC + BC e C(A + B) = CA + CB;
(iii) (identità) se A è una matrice quadrata di ordine n, allora

 1 0

 0 1
In A = AIn = A, dove In =  .
 . . .
.
 .
0 ...
...
..
.
..
.
0




 ;

0 

1
0
..
.
le matrici In si dicono matrici identità (di ordine n) e si indicano anche con I
qualora sia superfluo specificare l’ordine; la matrice identità di ordine n rappresenta
l’applicazione lineare x 7→ x in Kn ;
(iv) (trasposizione del prodotto) (AB)T = BT AT .
Si noti la mancanza, nell’elenco precedente, della proprietà commutativa. In effetti tale
proprietà vale solo in casi particolari. Per esempio,
!
!
!
!
0 −1
1 0
0 1
0 −1
A=
, B=
⇒ AB =
, BA =
.
1 0
0 −1
1 0
−1 0
In questo caso è anche geometricamente ovvio che AB , BA: A rappresenta una rotazione
nel piano di angolo π/2 (si veda l’Esempio 24), B rappresenta la mappa (x, y) 7→ (x, −y)
(la riflessione rispetto alla retta orizzontale y = 0) e chiaramente la composizione delle
due operazioni dipende dal loro ordine. È comunque chiaro dalla definizione che affinché
i prodotti AB e BA siano entrambi ben definiti è necessario che se A ∈ Mm,n (K) allora
B ∈ Mn,m (K).
L’ultima operazione che introduciamo in questo paragrafo è quella di inversione rispetto al prodotto: data una matrice A si tratta di determinare, se esiste, una (unica) matrice
A−1 tale che A−1 A = AA−1 = I. Ovviamente ciò pone anzitutto un vincolo sulla struttura
di A, che deve essere quadrata:
Definizione 9. Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste B, detta matrice
inversa di A, e indicata con A−1 , tale che AB = BA = In . Se A non è invertibile si dice
singolare.
Si noti che A è invertibile se e solo se l’applicazione lineare associata, LA (x) = Ax da
Kn in Kn , è invertibile; in tal caso vale che (LA )−1 = LA−1 .
Anche con il vincolo di struttura, la matrice inversa non sempre esiste: per esempio,
la matrice 0 ∈ M1,1 (R) R è singolare. Nel Teorema 11 caratterizzeremo le matrici
invertibili. È invece semplice verificare che se esiste, la matrice inversa è unica: infatti,
se B e B0 sono inverse di A, allora
B = BI = B(AB0 ) = (BA)B0 = IB0 = B0 .
Esempio 26. Si vuole determinare per quali valori di x ∈ R la matrice A =
x 2
2 4
!
è
invertibile, e in tal caso determinarne
l’inversa.
!
a b
Denotiamo con B =
una generica matrice. Se B è l’inversa di A, allora deve
c d
verificare


xa + 2c = 1


!
!



xa + 2c xb + 2d
1 0
 xb + 2d = 0
AB =
=
⇔


2a + 4c = 0
2a + 4c 2b + 4d
0 1



 2b + 4d = 1
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23
Moltiplicando per due la prima equazione e sottraendo la terza, si ottiene 2a(x − 1) = 2,
che ha soluzione se e solo se x , 1 e in tal caso a = 1/(x−1); analogamente, dalle seconda
e quarta equazione si deduce che b = −1/(2(x−1)); sostituendo questi valori nella seconda
e terza equazione si ottiene d = −bx/2 = x/(4(x − 1)), c = −a/2 = −1/(2(x − 1)). Un
calcolo esplicito mostra che con queste scelte si ha anche BA = I2 . Pertanto A è invertibile
se e solo se x , 1 e in tal caso
!
1
4 −2
.
A−1 =
4(x − 1) −2 x
Esempio 27. Procedendo come nell’esempio precedente (lo studente controlli i dettagli
del calcolo), risulta che una generica matrice quadrata di ordine 2,
!
a11 a12
A=
,
a21 a22
è invertibile se e solo se a11 a22 − a21 a12 , 0, e in tal caso risulta
!
1
a22 −a12
−1
A =
.
a11 a22 − a21 a12 −a21 a22
4
4.1
Sistemi lineari
Matrici e sistemi lineari
Sia A la matrice costituita dai coefficienti ai j dei termini di grado 1 di un generico sistema
lineare costituito da m equazioni in n incognite:


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1





a

 21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
(16)

..
..



.
.



 a x + a x + ··· + a x = b .
m1 1
m2 2
mn n
m
Assegnati i coefficienti ai j ∈ K e b j ∈ K (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), risolvere un sistema
lineare significa determinare, se esistono, tutte le soluzioni, ovvero le n-uple (x1 , . . . , xn )
che verificano la (16). Definendo la matrice A come in (12) e i vettori colonna




 x1 
 b1 
 . 
 . 
(17)
b =  ..  , x =  ..  ,




xn
bm
il sistema (16) può essere riscritto in forma compatta come
Ax = b.
Per la struttura lineare di Mm,n (K) valgono banalmente le relazioni
se A1 x = b1 e A2 x = b2 , allora (A1 + A2 )x = b1 + b2 ,
se Ax = b, allora (λA)x = λb.
4.2
Determinante e sistemi lineari n × n
Il determinante è un oggetto centrale nello studio di matrici e nella risoluzione di sistemi
lineari. Per introdurlo, procederemo ricorsivamente a partire dai casi più semplici.
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Appendice - Elementi di algebra lineare
4.2.1
24
Sistemi lineari 2 × 2
Consideriamo il seguente sistema di due equazioni in due incognite:
(
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2 .
Per risolverlo moltiplichiamo la prima equazione per a22 , la seconda per −a12 e sottraiamo: si ottiene
(a11 a22 − a21 a12 )x1 = a22 b1 − a12 b2 ;
procedendo in modo analogo si ottiene:
(a12 a21 − a22 a11 )x2 = a21 b1 − a11 b2 .
Quindi, se la quantità
det2 A := a11 a22 − a12 a21
(18)
è deiversa da zero, allora il sistema ammette un’unica soluzione, data da
x1 =
a22 b1 − a12 b2
a11 b2 − a21 b1
, x2 =
.
det2 A
det2 A
La funzione det2 : M2,2 (K) → K definita dalla (18) si chiama determinante (di una
matrice di ordine 2). Nel seguito ometteremo di specificare l’indice ove esso risulti
chiaro dal contesto. Facciamo alcune osservazioni, che in seguito generalizzeremo al
caso di matrici quadrate di ordine arbitrario.
1. Per interpretare geometricamente la nozione di determinante, supponiamo K = R
e notiamo che le soluzioni del sistema sono l’intersezione, nel piano cartesiano
(x1 , x2 ), delle due rette di equazione a11 x1 + a12 x2 = b1 e a21 x1 + a22 x2 = b2 . Le
due rette sono ortogonali rispettivamente ai vettori n1 = (a11 , a12 ) e n2 = (a21 , a22 )
(si veda il paragrafo 1.6) e il determinante di A coincide con il prodotto vettoriale
di n1 e n2 :
n1 ∧ n2 = a11 a22 − a12 a21 = det A.
Perciò il modulo del determinante di una matrice quadrata A di ordine 2 rappresenta
l’area del parallelogramma individuato dai vettori riga di A e la condizione det A =
0 equivale a richiedere che i due vettori non siano paralleli.
2. Se det A , 0, la soluzione si può anche riscrivere come
x1 =
det A1
,
det A
x2 =
det A2
,
det A
(19)
dove Ai è la matrice che si ottiene sostituendo all’i-esimo vettore colonna di A il
vettore b = (b1 , b2 )T :
!
!
b1 a12
a11 b1
,
.
b2 a22
a21 b2
3. Ritornando all’Esempio 27, la condizione necessaria e sufficiente affinché A sia
invertibile è che det A , 0:
!
!
1
a11 a12
a22 −a12
−1
A=
, det A , 0 ⇒ A =
.
(20)
a21 a22
det A −a21 a22
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Appendice - Elementi di algebra lineare
4.2.2
25
Sistemi lineari 3 × 3
Per risolvere un generico sistema di tre equazioni in tre incognite,


a x + a12 x2 + a13 x3 = b1


 11 1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2



 a x +a x +a x =b
31 1
32 2
33 3
3
si può procedere in modo analogo, anche se i conti sono più laboriosi. Svolgendoli, risulta
che condizione necessaria e sufficiente affinché esista un’unica soluzione è che la quantità
det3 A := a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
(21)
sia diversa da zero, e in tal caso la soluzione è data da
xi =
det3 Ai
,
det3 A
(22)
dove Ai è la matrice che si ottiene sostituendo all’i-esimo vettore colonna di A il vettore
b = (b1 , b2 , b3 )T .
Si osservi che la definizione (21) può essere riscritta come segue:
det3 A = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 )
= a11 det2 M11 − a12 det2 M12 + a13 det2 M13 ,
(23)
dove Mi j è la matrice quadrata di ordine 2 che si ottiene eliminando da M l’i-esima riga e
la j-esima colonna: in formule
!
!
!
a22 a23
a21 a23
a21 a22
M11 =
, M12 =
, M13 =
.
a32 a33
a31 a33
a31 a32
La (23) si può a sua volta riscrivere in modo compatto come il prodotto misto dei vettori
riga di A:
det3 A = hr1 , r2 ∧ r3 i, ri = (ai1 , ai2 , ai3 ).
Perciò, per quanto osservato nel paragrafo 1.5, il modulo del determinante di una matrice
quadrata A di ordine 3 rappresenta il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori
riga di A e la condizione det3 A , 0 (che garantisce l’esistenza di un’unica soluzione del
sistema) è equivalente a richiedere che i tre vettori non siano complanari, ovvero che siano
linearmente indipendenti. In tal caso i tre piani ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 = bi (i = 1, 2, 3) si
intersecano in un unico punto, l’unica soluzione del sistema.
Osservazione . Utilizzando la (23) possiamo dare, come annunciato nel paragrafo 1.4,
un’espressione formale equivalente del prodotto vettoriale v ∧ w:


 e1 e2 e3 


v ∧ w = det  v1 v2 v3 


w1 w2 w3
convenendo di sviluppare il determinante rispetto alla prima riga.
L’uguaglianza (23) è alla base della definizione ricorsiva di determinante che stiamo
per dare.
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Determinante
prodotto vettoriale
e
Appendice - Elementi di algebra lineare
4.2.3
26
Il caso generale
Alla nozione di determinante premettiamo quella di matrice complementare:
Definizione 10. Sia A = {ai j } ∈ Mn,n (K). Si dice matrice complementare di ai j , e si
indica con Mi j , la matrice quadrata di ordine n − 1 ottenuta cancellando l’i-esima riga e la
j-esima colonna di A, ovvero

 a11

..

.

 a(i−1)1
Mi j = 
 a(i+1)1

..

.

an1
...
a1( j−1)
..
.
a1( j+1)
..
.
...
a1n
..
.
...
...
a(i−1)( j−1)
a(i+1)( j−1)
..
.
a(i−1)( j+1
a(i+1)( j+1)
..
.
...
...
a(i−1)n
a(i+1)n
..
.
a( j−1)n
a( j+1)n
ann






 .




(24)
Siamo ora in grado di fornire la definizione (ricorsiva) di determinante:
Definizione 11.
(i) Se A ∈ M1,1 (K), si dice determinante di A il numero det A = det1 A = a11 ;
(ii) se A ∈ Mn,n (K) con n ≥ 2, si dice determinante di A il numero
det A = detn A =
n
X
(−1)1+ j a1 j detn−1 M1 j .
(25)
j=1
Il lettore verifichi che la definizione appena data è coerente con la (18) e con la (23).
Si chiama complemento algebrico di ai j , e si indica con Ai j , il valore
Ai j = (−1)i+ j det Mi j .
(26)
In tal modo la (25) si può anche riscrivere come
det A =
n
X
a1 j A1 j .
j=1
Nella formula (25) che definisce il determinante si è scelto di considerare i complementi
algebrici degli elementi della prima riga, ovvero di sviluppare il determinante rispetto alla
prima riga; il prossimo risultato mostra che la definizione di determinante è indipendente
da tale scelta e che si possono anche considerare i complementi algebrici di una colonna:
Teorema 9 (di Laplace). Sia A ∈ Mn,n (K). Allora per ogni k = 1, . . . , n si ha
det A =
n
X
ak j Ak j =
n
X
j=1
aik Aik .
i=1
Esempio 28. Si vuole calcolare il determinante della matrice

 1 −2 0
 2
0 0
A = 
 13 −π 1
3
2 0
1
2
9
1



 .

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Appendice - Elementi di algebra lineare
27
Conviene dare prima un’occhiata alla struttura della matrice. Si vede subito che la terza
colonna è l’unica (tra righe e colonne) dove compaiono 3 coefficienti nulli; perciò conviene utilizzarla per sviluppare il determinante:


 1 −2 1 
4
X


3+3
ai3 Ai3 = a33 (−1) det M33 = det M33 , M33 =  2 0 2  .
det A =


i=1
3 2 1
Per completare il calcolo sviluppiamo M33 rispetto alla seconda riga:
!
!
1 3
−2 1
+ 0(−1)2+2 det
+ 2(−1)3+2 det
det A = 2(−1)2+1 det
3 1
2 1
1
3
−2
2
!
= −2(−2 − 2) − 2(2 + 6) = 8 − 16 = −8.
Valgono inoltre le seguenti proprietà, che si possono dimostrare per induzione e di cui
in effetti il Teorema di Laplace è conseguenza:
(i) (alternanza per colonne) il valore del determinante cambia segno se si scambiano
tra loro due colonne (anche non consecutive):
det . . . | vi | . . . | v j | . . . = − det . . . | v j | . . . | vi | . . . ;
(ii) (multilinearità per colonne) il determinante è una funzione lineare di ciascun vettore colonna:
det (. . . | λv + µw | . . . ) = λ det (. . . | v | . . . ) + µ det (. . . | w | . . . ) ;
in particolare
detn (λA) = λn detn A per ogni λ ∈ K, A ∈ Mn,n (K);
(iii) (Teorema di Binet) se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine, allora
det(AB) = (det A)(det B);
(iv) (invarianza per trasposizione) det AT = det A;
(v) (alternanza e multilinearità per righe) il determinante cambia segno se si scambiano tra loro due righe ed è una funzione lineare di ciascuna riga.
La proprietà (v) è una conseguanza immediata di (i) e (ii), utilizzando la (iv).
Esempio 29. Si vuole calcolare il determinante della matrice


 0 1 1 1 
 0 2 2 1 
 .
A = 
 9 3 2 7 
1 1 1 5
Osservando che la seconda e terza colonna coincidono a meno del terzo elemento, scriviamo utilizzando la (ii):




 0 0 1 1 
 0 1 1 1 
 0 0 2 1 
 0 2 2 1 
.
 + det 
det A = det 
 9 1 2 7 
 9 2 2 7 
1 0 1 5
1 1 1 5
|
{z
}
|
{z
}
=:A0
=:A00
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La matrice A0 ha due colonne uguali.
dole, si ha quindi



det = − det 

28
Utilizzando la proprietà di alternanza e scambian0
0
9
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
7
5



 = − det A0 ,

perciò det A0 = 0 (questa proprietà di cancellazione è in effetti un caso particolare del
Teorema 10, che vedremo subito dopo). Per quanto riguarda A00 , sviluppando rispetto alla
seconda colonna (e successivamente rispetto alla prima) si ottiene


!
 0 1 1 
1 1


00


det A = − det  0 2 1  = − det
= 1.
2 1


1 1 5
Riprendiamo ora le osservazioni che abbiamo fatto nei casi particolari n = 2, 3. Anzitutto, per interpretare geometricamente il determinante ci siamo basati sul fatto che
det A = 0 se e solo se due vettori riga sono linearmente dipendenti. Questa proprietà
continua a valere (anche per i vettori colonna) in generale:
Teorema 10. Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora le seguenti tre affermazioni
sono equivalenti:
(i) det A = 0;
(ii) i vettori riga sono linearmente dipendenti;
(iii) i vettori colonna sono linearmente dipendenti.
In particolare, questo risultato generalizza quanto osservato nell’esempio precedente:
se due righe o due colonne di una matrice sono una multipla dell’altra, in particolare se
sono uguali, allora il determinante è nullo.
Si noti che il teorema afferma equivalentemente che det A , 0 se e solo se i vettori
riga (colonna) sono linearmente indipendenti.
Esempio 30. Per mostrare che i vettori
v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (0, 2, 2, 1), v3 = (9, 3, 2, 7), v4 = (1, 1, 1, 5)
costituiscono una base di R4 , è sufficiente costruire la matrice che ha i quattro vettori come
righe e verificare che il determinante è diverso da zero (si veda l’esempio precedente).
L’invertibilità di A e la risolubilità del sistema Ax = b sono questioni strettamente
connesse: se A è invertibile, allora moltiplicando Ax = b a sinistra per A si ottiene x =
A−1 b, ovvero per ogni b il sistema ammette un’unica soluzione. Nel caso n = 2 e n = 3
si è anche osservato che entrambe le questioni sono collegate con il determinante di A. In
effetti, per l’invertibilità di A vale la stessa condizione del caso n = 2:
Teorema 11 (invertibilità di matrici quadrate). Sia A una matrice quadrata di ordine n.
Allora A è invertibile se e solo se det A , 0 e in tal caso
)
(
A ji
,
A−1 =
det A
dove A ji è il complemento algebrico di a ji (si veda la (26)).
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Appendice - Elementi di algebra lineare
29
Si noti l’inversione di indice: l’elemento a0i j della matrice A−1 è il complemento algebrico dell’elemento a ji . Il lettore controlli che il teorema generalizza la (20). Applicando
la proprietà (iii) risulta che se det A , 0 allora
det(A−1 ) = (det A)−1 .
Esempio 31. Si vuole calcolare la matrice inversa della matrice


 2 −1 0 
 0 0 1  .


1 3 0
Calcoliamone anzitutto il determinante sviluppando rispetto alla seconda riga:
!
2 −1
det A = − det
= −7.
1 3
Calcoliamo ora i complementi algebrici:
!
0 1
A11 = det
= −3, A12 = − det
3 0
!
−1 0
= 0, A22 = det
A21 = − det
3 0
!
−1 0
A31 = det
= −1, A32 = − det
0 1
In conclusione
A−1
0 1
1 0
2
1
2
0
!
= 1,
A13 = det
0 0
1 3
!
= 0,
!
!
2 −1
0
= −7,
= 0, A23 = − det
1 3
0
!
!
0
2 −1
= −2, A33 =
= 0.
1
0 0


 3 0 1 
1 

=  −1 0 2  .
7 0 7 0 
Invitiamo il lettore a verificare che det A−1 = −1/7 e che AA−1 = I3 .
Se la matrice è invertibile, per ogni b ∈ Kn il sistema Ax = b ammette un’unica
soluzione, x = A−1 b, ovvero
1 X
A ji b j ,
det A j=1
n
xi =
i = 1, . . . , n.
Al secondo membro si riconosce il determinante della matrice che si ottiene sostituendo
all’i-esima colonna di A il vettore b (si veda il Teorema di Laplace). Perciò vale il seguente
corollario:
Teorema 12 (regola di Cramer). Sia A ∈ Mn,n (K). Se det A , 0 allora per ogni b ∈ Kn
esiste un unico x ∈ Kn tale che Ax = b; inoltre
xi =
det Ai
,
det A
i = 1, . . . , n,
dove Ai è la matrice che si ottiene sostituendo l’i-esima colonna di A con il vettore b.
Si ritrovano cosı̀ le formule (19) e (22) ottenute nei casi particolari n = 2 e n = 3.
Il metodo risolutivo che abbiamo illustrato è utile a livello teorico e semplice da implementare. Avvertiamo però che esistono altri metodi risolutivi, meno costosi a livello
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Appendice - Elementi di algebra lineare
30
computazionale nel senso che riducono il numero di operazioni da compiere. Nel caso si abbia a che fare con sistemi di ordine elevato, che necessitano di essere risolti da
calcolatori elettronici, il numero di operazioni da compiere (e quindi il numero di arrotondamenti) è uno degli aspetti più importanti; non è comunque il solo: per esempio, è
importante costruire algoritmi che evitino il più possibile divisioni per quantità “piccole”,
oppure che siano particolarmente efficienti per certi tipi di matrice. Di tutte queste questioni, in cui non possiamo entrare in questo contesto, si occupa non solo l’algebra lineare
ma anche l’analisi numerica.
4.3
Rango di una matrice; sistemi lineari m × n
In termini di applicazioni lineari, il Teorema 12 può essere riformulato dicendo che se A
è una matrice quadrata di ordine n con det A , 0, allora l’applicazione lineare associata
ad A rispetto alle basi canoniche di Rn ,
LA : Rn → Rn ,
LA (x) = Ax,
è un isomorfismo, ovvero im LA = Rn e Ker LA = 0. In questo paragrafo affrontiamo
contemporaneamente due questioni ulteriori:
• cosa accade se det A = 0 ?
• cosa accade se la matrice non è quadrata ?
Se per esempio A è quadrata e ha ordine due, interpretando ciascuna delle due equazioni
che compongono il sistema Ax = b come l’equazione di una retta si possono descrivere
le varie situazioni possibili: le due rette non sono parallele (ovvero det A , 0, nel qual
caso il sistema ha un’unica soluzione, un sottospazio vettoriale di dimensione 0); le due
rette sono parallele e distinte, nel qual caso il sistema non ha soluzione; le due rette
coincidono, nel qual caso ogni punto di tale retta è soluzione (lo spazio delle soluzioni è
allora un sottospazio vettoriale di R2 di dimensione 1). Se n = 3 si può dare una analoga,
anche se meno immediata, classificazione basata su argomenti geometrici. In generale,
comunque, la risposta è legata al concetto di rango o caratteristica:
Definizione 12. Sia A ∈ Mm,n (K).
(i) Una matrice quadrata M di ordine `, ` ≤ min{m, n}, si dice sottomatrice di A di
ordine ` se si può ottenere da A cancellando m − ` righe e n − ` colonne.
(ii) Si dice rango o caratteristica di A, e si indica con Rango (A), il più grande intero
` per il quale esiste una sottomatrice M di A di ordine ` con determinante di verso
da zero.
Le matrici complementari Mi j di un elemento ai j di una matrice quadrata A (si veda
la (24)) sono sottomatrici di A di ordine n − 1.
Esempio 32. La matrice

 1 1

 0 0
1 0
1
0
0




ha rango due. Infatti det A = 0, mentre la matrice ottenuta cancellando (per esempio) la
seconda riga e la terza colonna ha determinante diverso da zero.
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Appendice - Elementi di algebra lineare
31
È chiaro che determinare il rango di una matrice può essere piuttosto laborioso se la
matrice ha un numero elevato di righe e colonne; il seguente risultato semplifica le cose:
Teorema 13 (di Kronecker). Sia A ∈ Mm,n (K). Rango (A) = r se e solo se:
(i) esiste una sottomatrice M di ordine r tale che det M , 0;
(ii) ogni sottomatrice di ordine r + 1 che abbia M come sottomatrice ha determinante
nullo.
In altre parole non è necessario calcolare tutti i determinanti di ordine r + 1, ma solo
quelli delle sottomatrici che si ottengono da M “orlandola” con una riga e una colonna
scelte tra quelle cancellate.
Esempio 33. La matrice







1
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
3
0
0
0
0
0
1







ha rango 3. Infatti la sottomatrice M che si ottiene cancellando la seconda e terza riga
e la seconda e quarta colonna ha determinante diverso da zero, mentre orlando M con la
seconda o la terza riga (e una qualunque colonna) il determinante si annulla in quanto tali
righe hanno tutti i coefficienti nulli.
Il seguente risultato estende il Teorema 10 al caso di matrici non necessariamente
quadrate:
Teorema 14. Sia A ∈ Mm,n (K). Il rango di A coincide con il massimo numero di vettori
riga tra loro linearmente indipendenti e con il massimo numero di vettori colonna tra loro
lineramente indipendenti.
Si noti che ogni vettore Ax, x ∈ Kn , è combinazione lineare dei vettori colonna vi =
(a1i , . . . , ami )T di A:






 a1n 
 a11 
 a11 x1 + · · · + a1n xn 










..
= x1  ...  + · · · + xn  ...  = x1 v1 + . . . xn vn .
Ax = 

.







amn
am1
am1 x1 + · · · + amn xn
Perciò segue dal Teorema precedente che se LA : Rn → Rn è l’applicazione lineare
associata ad A rispetto alle basi canoniche, allora
Rango (A) = dim(im LA ).
(27)
Questa relazione consente di fornire una prima risposta alle domande da cui siamo partiti.
Infatti, Il sistema Ax = b ammette una soluzione se e solo se b ∈ im (LA ), ovvero se e solo
se b è generato dai vettori colonna di A. Perciò:
Teorema 15 (di Rouché-Capelli). Sia A ∈ Mm,n (K) e b ∈ Km . Il sistema Ax = b ammette
almeno una soluzione se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice che si
ottiene aggiungendo ad A il vettore colonna b, ovvero se e solo se
Rango (A) = Rango (A | b).
(28)
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32
Si noti che se il sistema è omogeneo la condizione (28) è automaticamente verificata:
ciò corrisponde al fatto che il sistema omogeneo ammette sempre la soluzione nulla.
Sia A ∈ Mm,n (K). Il Teorema di Rouché-Capelli fornisce una condizione necessaria e
sufficiente per l’esistenza di almeno una soluzione del sistema Ax = b, ma non fornisce
informazioni su “quante” esse siano. Per chiarire questo punto, consideriamo prima il
sistema omogeneo Ax = 0 e indichiamo con K l’insieme delle soluzioni:
K = {x ∈ Kn : Ax = 0}.
(29)
Si noti che K coincide con Ker LA , dove LA è l’applicazione lineare associata ad A rispetto
alle basi canoniche di Kn . Perciò K è un sottospazio vettoriale di Kn ; inoltre segue subito
dal Teorema delle dimensioni e dalla (27) che
(9)
(27)
dim K = dim(Ker LA ) = n − dim(im LA ) = n − Rango (A).
Se il sistema non è omogeneo e x0 è una soluzione, allora ogni altra soluzione è del tipo
x0 + x con x ∈ Ker LA . Perciò, in generale vale il seguente risultato:
Teorema 16 (soluzioni di sistemi m × n). Sia A ∈ Mm,n (K), b ∈ Km e supponiamo che il
sistema Ax = b ammetta almeno una soluzione x0 . Allora le soluzioni del sistema sono
tutte e sole del tipo
x0 + x, x ∈ K,
con K dato dalla (29). Le soluzioni di Ax = b formano un sottospazio vettoriale di Kn di
dimensione n − Rango (A) = dim K.
Lo schema operativo per risolvere un sistema Ax = b prende spunto dalla discussione
teorica appena svolta:
(i) si verifica mediante il Teorema di Rouché-Capelli che il sistema sia risolubile; se
lo è, allora:
(ii) si determina il rango r di A e si identifica una sottomatrice quadrata M di ordine
r con determinante diverso da zero, ottenuta mantenendo le righe i1 , . . . , ir e le
colonne j1 , . . . , jr e cancellando le rimanenti;
(iii) si portano a secondo membro le colonne cancellate, definendo cosı̀ un nuovo vettore
colonna b0 , e si determina l’unica soluzione del sistema Mx0 = b0 , dove x0 =
(x j1 , . . . , x jr ).
Le rimanenti componenti di x restano indeterminate e possono assumere valori arbitrari:
sono n − r costanti libere che, variando, generano lo spazio delle soluzioni di dimensione
n − r.
Esempio 34. Si vuole risolvere il sistema

 

 3 

 2 
Ax = b :=   , dove A = 

 1 
0
1
1
1
1
2
1
0
−1
0
−1
−2
−3



 .


Il terzo e il quarto vettore riga di A sono combinazione lineare dei primi due: il terzo si
ottiene moltiplicando il secondo per 2 e sottraendo il primo, il quarto si ottiene moltiplicando per 3 il secondo e sottraendovi il doppio del primo. Perciò, per il Teorema 14 il
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Algoritmo risolutivo
di sistemi m × n
Appendice - Elementi di algebra lineare
33
rango di A è al più 2: in effetti Rango (A) = 2 poiché la sottomatrice costituita dalle prime
due righe e colonne ha determinante diverso da zero. Con le stesse operazioni si ottiene
che anche il terzo e quarto vettore riga della matrice (A | b) sono combinazione lineare
dei primi due: perciò Rango (A) = Rango (A | b) = 2 e il sistema ammette almeno una
soluzione.
Per determinare le soluzioni, conviene considerare la sottomatrice che si ottiene cancellando la seconda e quarta riga e la prima colonna di A, poiché con questa scelta si
ottiene una matrice diagonale; risulta quindi
!
!
!
1
1
2 0
x2
3 − x1
=
⇔ x2 = (3 − x1 ), x3 = (x1 − 1).
0 −2
x3
1 − x1
2
2
Perciò le soluzioni del sistema sono tutte e sole
1
(2x1 , 3 − x1 , x1 − 1),
2
5
x1 ∈ R.
Autovalori e autovettori
5.1
Premessa
Sia L una applicazione lineare da Kn in sé. Come si è visto nel paragrafo 3.1, la matrice
che rappresenta L dipende dalla scelta della base di Kn (in verità si dovrebbe parlare,
come abbiamo fatto sinora, di due basi, una per la copia di Kn che rappresenta il dominio
e una per la copia di Kn che rappresenta l’immagine, ma nel seguito della discussione
assumeremo sempre che esse coincidano). La questione centrale di questa sezione è:
data una applicazione lineare L : Kn → Kn , esiste una base “privilegiata” B0 =
{v01 , . . . , v0n } di Kn rispetto alla quale la rappresentazione A0 di L è una matrice
diagonale?
La richiesta che A0 sia diagonale, ovvero del tipo




0
A = {δi j λ j } = 


λ1
0
0
..
.
λ2
..
.
0
...
...
..
.
..
.
0




 ,

0 

λn
0
..
.
geometricamente equivale a richiedere che i vettori della base B0 non cambino direzione
rispetto ad L: infatti, poiché ovviamente
v0i = 0v01 + · · · + 0v0i−1 + 1v0i + 0v0i+1 + · · · + 0v0n =
n
X
δi j v0j ,
j=1
risulta



0
A 

δi1
..
.
δin
 
  δi1 λ1
  .
 =  ..
 
δin λn






 = λi 


δi1
..
.
δin



 ,

ovvero L(v0i ) = λi v0i .
Iniziamo lo studio di questa questione descrivendo come cambia la rappresentazione
di L al variare della base.
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Appendice - Elementi di algebra lineare
5.2
34
Cambiamenti di base; matrici diagonalizzabili
Sia B0 = {v01 , . . . , v0n } una qualunque base di Kn di elementi
v0j = (c1 j , . . . , cn j )T ,
j = 1, . . . , n
(30)
e sia C la matrice che ha come vettori colonna gli elementi della base:
C = v01 | . . . | v0n .
(31)
Un qualunque vettore x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Kn si scrive in modo unico come combinazione
lineare di elementi di B0 :
x = x10 v01 + . . . xn0 v0n .
Utilizzando la (30), risulta quindi
 n
T
n
X
X

x = 
x0j c1 j , . . . ,
x0j cn j  = Cx0 .
j=1
j=1
Poiché i vettori v01 , . . . , v0n sono linearmente indipendenti, le n colonne della matrice C
sono linearmente indipendenti: perciò, per il Teorema 10 det C , 0, ovvero (per il
Teorema 11) C è invertibile. Si ha quindi
x0 = C −1 x.
Riassumendo,
x = x1 e1 + . . . xn en = x10 v01 + . . . xn0 v0n ⇔ x = Cx0 e x0 = C −1 x,
(32)
con C definita dalle (30) e (31). Viceversa, come sappiamo, i vettori colonna di ogni
matrice quadrata C di ordine n con determinante diverso da 0 costituiscono una base di
Kn e vale la (32). Definiamo quindi matrice di passaggio una qualunque matrice quadrata
di ordine n con determinante diverso da zero.
La caratterizzazione dei cambiamenti di base appena ottenuta consente di determinare
la rappresentazione A0 di una applicazione lineare L rispetto a una generica base B0 a partire dalla sua rappresentazione A rispetto alla base canonica: se rispetto alla base canonica
si ha y = L(x) = Ax, allora le componenti y0 di y nella base B0 sono date da
y0 = C −1 y = C −1 Ax = C −1 ACx0 ;
quindi
L = LA rispetto alla base canonica
⇔
L = LA0 rispetto alla base B0 , con A0 = C −1 AC.
Perciò la domanda con cui abbiamo iniziato questa sezione equivale a caratterizzare le
matrici diagonalizzabili:
Definizione 13. Una matrice A ∈ Mn,n (K) si dice diagonalizzabile su K se esiste una
matrice di passaggio C tale che la matrice A0 = C −1 AC sia diagonale. In tal caso la
matrice A0 si dice diagonalizzazione di A.
Nel resto della sezione, quindi, ci occuperemo di caratterizzare le matrici diagonalizzabili.
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5.3
35
Autovalori e autovettori
Sia A una matrice diagonalizzabile e sia A0 = {δi j λ j } la sua diagonalizzazione. Detta
L = LA l’applicazione lineare associata ad A rispetto alla base canonica, come abbiamo
osservato nel paragrafo 5.1 risulta L(v0i ) = Av0i = λi v0i . I vettori e i coefficienti che
verificano questa proprietà si chiamano autovettori e autovalori di A:
Definizione 14. Sia A una matrice quadrata di ordine n. Un vettore v0 , 0 si dice
autovettore di A se esiste λ ∈ K, detto autovalore di A, tale che Av0 = λv0 .
Si noti che ad ogni autovettore è associato un unico autovalore (se infatti Av0 = λ1 v0 =
λ2 v allora 0 = (λ1 − λ2 )v0 da cui λ1 = λ2 ). Invece ad un autovalore λ sono associati più
autovettori:
0
Proposizione 17. Sia λ ∈ K un autovalore di A e sia v0 un autovettore associato a λ
(ovvero Av0 = λv0 ). Allora
(i) µv0 è un autovettore di A per ogni µ ∈ K \ {0};
(ii) se w0 è un autovettore associato a λ, allora v0 + w0 è un autovettore associato a λ.
Perciò l’insieme
Aλ = {v0 ∈ Kn : Av0 = λv0 } ∪ {0}
è un sottospazio vettoriale di Kn detto autospazio associato a λ.
La verifica delle due proprietà è immediata e l’ultima affermazione segue banalmente
da esse.
Il ragionamento svolto nel paragrafo 5.1 può anche essere invertito e conduce al
seguente risultato:
Teorema 18. Una matrice quadrata A è diagonalizzabile su K se e solo se esiste una
base {v01 , . . . , v0n } di Kn formata da autovettori di A: Av0i = λi v0i per ogni i = 1, . . . , n. In
tal caso, posto C = (v01 | . . . | v0n ), la matrice A0 = C −1 AC ha sulla diagonale gli autovalori
associati agli elementi della base, ovvero A0 = {δi j λ j }.
Determinare gli autovalori di A equivale, per definizione, a determinare quei valori
λ ∈ K tali che il sistema lineare omogeneo (A − λI)x = 0 abbia soluzioni non banali,
ovvero (ricordando il Teorema 16) che
det(A − λI) = 0.
(33)
L’equazione 33 corrisponde a un polinomio di grado n in λ, detto polinomio caratteristico. Come è naturale aspettarsi, il polinomio caratteristico è invariante rispetto a cambiamenti di coordinate: se C è una matrice di passaggio, allora dal Teorema di Binet segue
che
det(C −1 AC − λI) = det(C −1 AC − λC −1 IC) = det(C −1 (A − λI)C) = det(A − λI).
(34)
In particolare, gli autovalori dipendono solo dalla applicazione lineare e non dalla sua
rappresentazione rispetto a una certa base.
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Appendice - Elementi di algebra lineare
36
Esempio 35. La matrice
0 1
1 0
!
è diagonalizzabile su R. Per provarlo, osserviamo che le soluzioni del polinomio caratteristico
!
−λ 1
= λ2 − 1 = 0
det
1 −λ
sono λ = 1 e λ = −1. Per determinare un autovettore v1 = (x, y) associato a λ = 1,
risolviamo il relativo sistema:
!
!
−1 1
x
= 0 ⇔ y = x, x ∈ R,
1 −1
y
perciò un autovettore associato a λ = 1 è ad esempio v1 = (1, 1). Procedendo allo stesso modo, risulta che un autovettore associato a λ2 = −1 è v2 = (1, −1). Poiché i due
vettori sono linearmente indipendenti (ovvero la matrice di passaggio C = (v1 | v2 ) ha
determinante non nullo) la matrice è diagonalizzabile su R e
!
1 0
A0 = C −1 AC =
.
0 −1
Esempio 36. La matrice
0 1
−1 0
!
non è diagonalizzabile su R ma è diagonalizzabile su C. Per provarlo, osserviamo che le
soluzioni del polinomio caratteristico
!
−λ 1
= λ2 + 1 = 0
det
−1 −λ
sono λ = i e λ = −i. Perciò la matrice non ha autovalori in R, quindi non è diagonalizzabile su R. Su C, procedendo come nell’esempio precedente si determinano due
autovettori: v1 = (1, i) associato a λ = i e v2 = (1, −i) associato a λ = −i. Poiché
!
1 1
det C = det
= −2i , 0,
i −i
i due vettori formano una base di C2 e perciò A è diagonalizzabile su C.
5.4
Diagonalizzabilità
Nei due esempi precedenti, gli autovettori associati a due autovalori distinti sono risultati
essere linearmente indipendenti. Questa proprietà è vera in generale:
Lemma 19. Siano λ1 , . . . , λk autovalori di A e sia vi un autovettore associato a λi . Se
λ1 , . . . , λk sono tra loro distinti, allora v1 , . . . , vk sono tra loro linearmente indipendenti.
Possiamo perciò fornire una prima risposta alla domanda centrale della sezione:
Teorema 20. Sia A ∈ Mn,n (K). Se A ha n autovalori reali e distinti, allora è diagonalizzabile su R. Se A ha n autovalori distinti (ma non necessariamente reali) in C, allora è
diagonalizzabile su C.
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37
Nel resto del paragrafo ci occupiamo del caso più generale in cui gli autovalori non
siano necessariamente distinti tra loro. Sia λ ∈ K un autovalore di A:
• si dice molteplicità algebrica di λ la sua molteplicità come soluzione del polinomio caratteristico;
• si dice molteplicità geometrica di λ la dimensione dell’autospazio associato a λ.
Le due quantità possono non coincidere:
Esempio 37. Il polinomio caratteristico della matrice
!
1 1
A=
0 1
è (1 − λ)2 = 0. Perciò A ha un unico autovalore, λ = 1, con molteplicità algebrica 2.
Determiniamo gli autovettori (x, y) associati a λ = 1 risolvendo il relativo sistema:
!
x
(A − I)
=0⇔y=0
y
. Perciò l’autospazio associato a λ = 1 è
A1 = {(x, 0) : x ∈ K} = spam{e1 }
e ha dimensione 1. Quindi la molteplicità geometrica di λ = 1 è uguale a 1. Si noti che,
poiché v = e1 è l’unico autovettore di A, A non è diagonalizzabile né in R né in C.
La situazione incontrata dall’esempio precedente è generale:
Teorema 21. Sia A ∈ Mn,n (K) e sia λ ∈ K un autovalore di A. La molteplicità geometrica
dim Aλ di λ non supera la molteplicità algebrica mλ di λ, ovvero dim Aλ ≤ αλ .
Se la somma delle dimensioni degli autospazi è pari ad n, allora esistono n autovettori
linearmente indipendenti. Si ottiene cosı̀ una caratterizzazione (più teorica che operativa)
delle matrici diagonalizzabili:
Teorema 22. Supponiamo che A ∈ Mn,n (K) abbia ` autovalori distinti λ1 , . . . , λ` . Allora
A è diagonalizzabile ⇔
X̀
dim(Aλk ) = n.
k=1
5.5
Teorema spettrale: il caso reale
Il teorema precedente è chiaramente non semplice da verificare soprattutto se l’ordine della matrice è alto. Il Teorema spettrale reale, di grande importanza, fornisce una condizione
sufficiente per la diagonalizzabilità di una matrice A a coefficienti reali. Tale condizione
è molto semplice: basta che A sia simmetrica, ovvero che AT = A.
Teorema 23 (Teorema spettrale (caso reale)). Sia A ∈ Mn,n (R) simmetrica. Allora:
(i) tutti gli autovalori di A sono reali;
(ii) A è diagonalizzabile su R e la matrice di passaggio C è una matrice ortogonale,
ovvero C T = C −1 .
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38
Esempio 38. Nel caso di matrici simmetriche!di ordine 2 possiamo facilmente verificare
a b
il teorema con calcoli diretti. Se A =
, allora
b d
det(A − λI) = λ2 − (a + d)λ + b2 = 0 ⇔ λ =
p
1
a + d ± (a − d)2 + 4b2 .
2
Perciò A possiede due autovalori reali, che sono distinti a meno che a = d e b = 0, ma in
tal caso A = aI è già diagonale. Perciò è in ogni caso diagonalizzabile.
5.6
Teorema spettrale: il caso complesso
Il teorema spettrale reale ha una estensione al caso complesso, per accennare alla quale
è opportuno anzitutto generalizzare la nozione di prodotto scalare al campo complesso;
tale nozione è detta anche prodotto hermitiano: dati x, y ∈ Cn , si definisce
hx, yi =
n
X
xi yi .
i=1
Si noti che il prodotto hermitiano coincide con il prodotto scalare se x, y ∈ Rn , e che hx, xi
è un numero reale non negativo, che si annulla√ se e solo se x = 0 (ciò consente di dare
una struttura metrica a Cn con la norma kxk = hx, xi).
Il prodotto hermitiano è distributivo e omogeneo ma, contrariamente al prodotto scalare
su R, non è commutativo: si ha infatti hx, yi = hy, xi.
Abbiamo visto nell’Esempio 21 che se x, z ∈ Rn e A ∈ Mn,n (R), allora hz, Axi =
hA z, xi. Per ottenere una formula analoga nel caso del prodotto hermitiano servono
alcune nozioni.
Si dice trasposta coniugata di una matrice A ∈ Mm,n (C), e si indica con AH , la matrice
T
AH = {a ji }.
Per esempio,
A=
i
1−i
0
−3i
!
H
⇒ A =
−i
0
1+i
3i
!
.
Una matrice quadrata A ∈ Mn,n (C) si dice hermitiana se AH = A. Tali nozioni
estendono quelle reali di matrice trasposta, nel senso che se A ∈ Mm,n (R) allora AH = AT ,
e di matrice simmetrica, nel senso che se A ∈ Mn,n (R), allora è hermitiana se e solo se è
simmetrica. Si ha, come annunciato,
hz, Axi = hAH z, xi
∀x, z ∈ Cn , ∀A ∈ Mn,n (C).
Siamo ora in grado di enunciare il seguente risultato:
Teorema 24 (Teorema spettrale (caso complesso)). Sia A ∈ Mn,n (C) hermitiana. Allora:
(i) tutti gli autovalori di A sono reali;
(ii) A è diagonalizzabile su C e la matrice di passaggio C è una matrice unitaria,
ovvero C H = C −1 .
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39
Forme quadratiche in Rn
5.7
Ad ogni matrice simmetrica di ordine n è associata una forma quadratica in Rn , ovvero
una applicazione lineare Q : Rn × Rn → R definita da
Q(v) = hAv, vi = vT Av.
(35)
Una forma quadratica si dice:
• definita positiva se Q(v) > 0 per ogni v ∈ Rn \ {0};
• definita negativa se Q(v) < 0 per ogni v ∈ Rn \ {0};
• semi-definita positiva se Q(v) ≥ 0 per ogni v ∈ Rn ;
• semi-definita negativa se Q(v) ≤ 0 per ogni v ∈ Rn .
Per il Teorema spettrale reale A è diagonalizzabile, ovvero esiste una matrice di passaggio
ortogonale, C, tale che


 λ1 0 . . . 0 

.. 
..
 0 λ
.
. 
2
0
T
 ,
A = C AC =  .
..

 . . .
.
.
.
0


0 ...
0 λn
dove λ1 , . . . , λn ∈ R sono gli autovalori di A. Effettuando il cambiamento di base e ricordando che x0 = C −1 x = C T x, possiamo rappresentare Q rispetto alla base di autovettori:
Q(v) = vT CC −1 ACC −1 v = (C T v)T C T ACv0 = (v0 )T A0 v0 .
(36)
Da questa relazione segue immediatamente la seguente caratterizzazione:
Teorema 25. Sia A una matrice simmetrica. La forma quadratica (35) è (semi-)definita
positiva se e solo se il più piccolo autovalore di A è positivo (non-negativo) ed è (semi)definita negativa se e solo se il più grande autovalore di A è negativo (non positivo).
Nel caso di matrici quadrate di ordine due è semplice riformulare il risultato esplicitamente in termini dei coefficienti di A. Sia
!
a b
A=
b d
Segue dall’Esempio 38 che
p
p
1
1
λ1 =
a + d + (a − d)2 + 4b2 ≥
a + d − (a − d)2 + 4b2 = λ2 .
2
2
Si ha


(≥)
(≥)






(≥)
 a+d > 0
 a+d > 0
⇔
λ2 > 0 ⇔ 





 ad − b2 = det A (≥)
 (a + d)2 (≥)
> 0
> (a − d)2 + 4b2
Perciò

(≥)



 det A > 0
A è (semi-)definita positiva ⇔ 
(≥)


 a (≥)
> 0 oppure d > 0.
Procedendo allo stesso modo risulta

(≥)



 det A > 0
A è (semi-)definita negativa ⇔ 
(≤)


 a (≤)
< 0 oppure d < 0.
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Appendice - Elementi di algebra lineare
40
Indice analitico
Addizione di vettori, 9
Applicazione lineare, 16
Applicazione lineare biettiva, 16
Applicazione lineare iniettiva, 16
Applicazione lineare suriettiva, 16
Autospazio, 35
Autovalore, 35
Autovettore, 35
Matrice identità, 22
Matrice inversa, 22
Matrice invertibile, 22
Matrice ortogonale, 37
Matrice quadrata, 17
Matrice simmetrica, 17
Matrice singolare, 22
Matrice trasposta, 17
Matrice trasposta coniugata, 38
Base canonica di Kn , 11
Matrice unitaria, 38
Base canonica di R3 , 4
Molteplicità algebrica di un autovalore, 37
Base canonica di Mm,n (K), 19
Molteplicità geometrica di un autovalore,
Base di uno spazio vettoriale, 10
37
Base ortonormale, 15
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare,
3
Caratteristica di una matrice, 30
Moltiplicazione di una matrice per uno scalare,
Combinazione lineare di vettori, 10
18
Complemento algebrico, 26
Moltiplicazione per uno scalare, 9
Componenti di un vettore rispetto a una base, Moltiplicazione per uno scalare di applicazioni
10
lineari, 16
Determinante, 26
Dimensione di uno spazio vettoriale, 11
Direzione di un vettore, 2
Distanza, 13
Distanza con segno, 2
Distanza euclidea, 14
Distanza indotta da un prodotto scalare, 14
Distanza indotta da una norma, 13
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, 14
Disuguaglianza triangolare, 14
Norma, 13
Norma euclidea, 13, 14
Norma indotta da un prodotto scalare, 14
Nucleo, 16
Immagine, 16
Isomorfismo, 16
Rango di una matrice, 30
Rappresentazione cartesiana, 2
Regola di Cramer, 29
Retta, 6
Rotazione nel piano, 20
Ordine di una matrice, 17
Piano, 6
Polinomio caratteristico, 35
Prodotto hermitiano, 38
Prodotto misto, 8
Forma quadratica (semi-)definita positiva (neg-Prodotto righe per colonne, 21
ativa), 39
Prodotto scalare, 5, 14, 38
Forma quadratica in Rn , 39
Prodotto vettoriale, 7, 25
Formula di Grassmann, 12
Proiezione, 16
Lunghezza di un vettore, 2
Matrice, 17
Matrice complementare, 26
Matrice di passaggio, 34
Matrice diagonale, 17
Matrice diagonalizzabile, 34
Matrice hermitiana, 38
Sistema di generatori di uno spazio vettoriale, 10
Sistema lineare, 23
Sistema lineare, soluzioni, 23
Somma di applicazioni lineari, 16
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Copyright 2007
The McGraw-Hill Companies S.r.l.
Appendice - Elementi di algebra lineare
41
Somma di matrici, 18
Somma di spazi vettoriali, 12
Somma di vettori, 3
Somma diretta di spazi vettoriali, 12
Sottomatrice, 30
Sottospazio vettoriale, 12
Spazi vettoriali isomorfi, 16
Spazio vettoriale, 9
Spazio vettoriale dotato di prodotto scalare,
14
Teorema di Binet, 27
Teorema di Kronecker, 31
Teorema di Laplace, 26
Teorema di Rouché-Capelli, 31
Teorema spettrale (caso complesso), 38
Teorema spettrale (caso reale), 37
Verso di un vettore, 2
Versore, 2
Vettore colonna, 17
Vettore colonna di una matrice, 18
Vettore geometrico, 2
Vettore riga, 17
Vettore riga di una matrice, 18
Vettori linearmente indipendenti, 10
Analisi matematica - Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli
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