Corso di Fisica I 2012‐2013: lezione del 2013‐03‐22 Elia Battistelli • Esercizio 1: scimmia dall’albero Un classico problema prevede che un primitivo P, posto nell’ origine degli assi cartesiani, lanci una freccia f puntando direttamente, nella direzione di visione, verso una scimmia ferma su un albero. La scimmia intuisce l’ intenzione aggressiva del primitivo e, nell’ istante in cui parte la freccia, si lascia cadere al suolo. L’ ignoranza della cinematica e’ fatale alla scimmia, che viene centrata al volo. Perche’? Soluzione: Il primitivo si trova nell’ origine del sistema di riferimento e la scimmia, all’ istante iniziale, nel punto (xs,h). Abbiamo due traiettorie ⎧ x = c x2
⎧⎪v x = c1x
condizioni condizioni ⎧a x = 0
⎪
scimmia: ⎨
integrando ⎨
integrando
⎨
1
1
2
2
iniziali: ⎪⎩v y = gt + c y iniziali: ⎩a y = g
⎪ y = c y − gt
1
1
2
⎩
Cx =0;Cy =0 Cx2=xs;Cy2=h ⎧ x = xs
⎪
⎨
1 2 ⎪⎩ y = h − 2 gt
condizioni ⎧ x = v0 x t + c x2
⎧⎪v x = c 1x
⎧a x = 0
⎪
freccia: ⎨
integrando ⎨
iniziali: integrando ⎨
1 2
1
2
⎪⎩v y = gt + c y Cx1=v0x;Cy1= v0y ⎩a y = g
⎪ y = v0 y t + c y − gt
2
⎩
condizioni iniziali: Cx2=0;Cy2=0 ⎧ x = v0 x t
⎪
⎨
1 2 ⎪⎩ y = v 0 y t − 2 gt
Vogliamo determinare a quale tempo ts la scimmia e la freccia si trovano nella stessa posizione. Quando la freccia raggiunge la coordinata x in cui si trova la scimmia abbiamo: x s = vox t s ⇒ t s = x s / vox 1 2
1 ⎛x
Nello stesso istante la coordinata y della freccia e’ h − gt s = h − g ⎜⎜ s
2
2 ⎝ v0 x
⎛x
1 2
Mentre la coordinata y della scimmia è: v0 y t s − gt s = v0 y ⎜⎜ s
2
⎝ v0 x
Confrontiamo le 2 y: h ↔ x s ⋅
Ma v0 y
v0 x
⇒
2
⎞
⎟⎟ ⎠
⎞ 1 ⎛ xs
⎟⎟ − g ⎜⎜
⎠ 2 ⎝ v0 x
2
⎞
⎟⎟ ⎠
v0 y
h
↔
xs
v0 x
v0 y
h
è l’arctan dell’angolo con cui il primitivo vede la scimmia. D’altra parte, è lo stesso angolo xs
v0 x
perché il primitivo stava puntando alla scimmia. Questo vuole dire che la freccia deve essere puntata esattamente sulla posizione iniziale della scimmia. Se la scimmia fosse rimasta immobile non sarebbe stata colpita. • Esercizio 2 Un pistone può scorrere lungo l’asse x di un cilindro. Esso e’ collegato mediante una biella lunga b ad un perno sul bordo di un disco di raggio R. Il disco ruota con velocita’ w: determinare la velocita’ del pistone. y R A theta O x theta’ P AP=b Nell’instante iniziale A = (R,0) e’ sull’asse x Theta=w t x_a=R cos(w t) y_a= R sen(w t) x_p=x_a+b cos(theta’) y_p=0 dal teorema dei seni abbiamo: b/sen(theta)=R/sen(theta’)Æsen(theta’)= sen(theta) R/b Æ cos(theta’)=sqrt(1‐ sen2(wt)R2/b2) sostituendo x_p= x_a+b cos(theta’)=R cos wt + sqrt(b2‐R2sen(wt))Æ v_p = ‐w R sen wt‐(w R2sen(2wt)/2sqrt(b2‐R2sen2wt)) Principi della dinamica: •
Principio di relatività: se due laboratori si muovono uno rispetto all’altro di moto traslatorio (non rotazionale) rettilineo uniforme non esiste esperimento che dia due risultati diversi se effettuato nell’uno o nell’altro. Lo enunciò Galileo. Si trascuri effetti di aria e di attrito… •
Considerata la definizione di forza sia in forma dinamica (considerando l’effetto che produce) che in forma statica (dalle deformazioni), si definisce un sistema inerziale, un sistema “libero”, cioè che rimane in quiete se posto inizialmente in quiete •
Primo principio della dinamica: in un sistema inerziale, un punto materiale libero mantiene la sua velocità ed il suo stato di moto rettilineo uniforme (eventualmente con v=0) •
Secondo principio della dinamica: in un sistema inerziale c’è proporzionalità tra accelerazione e massa inerziale: F=ma •
Esiste pero’ anche un’altra massa: la massa gravitazionale. Equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale •
Terzo principio della dinamica: sistema azione reazione. Per ogni forza F che A esercita su B esiste una forza –F che B esercita su A •
Si può definire la quantità di moto q=mv (attraverso cui i principi possono essere definiti, i.e. la q non varia per un sistema inerziale e f=dq/dt) • Esercizio 3 Un corpo di massa m scivola su un piano inclinato liscio (senza attrito) di dimensioni: h wsen(alpha) wcos(alpha) alpha Se parte da h, qual’e’ la velocita’ quando arriva a terra? o Considero la traiettoria s necessariamente parallela al piano o Secondo principio della dinamica Æ F = R + w = ma Æ m g sen(alpha)=m s’’ o La reazione R si equilibria con w cos(alpha)
