Programma

Analisi Numerica
Anno Accademico 2006-07
C.L INGEGNERIA MECCANICA (M-Z)
Testi di Riferimento:
[G] L. Gori Calcolo numerico, Ed. Kappa, 1999
[GL] L. Gori, M.L. Lo Cascio Esercizi di calcolo numerico, Ed. Kappa, 1999
Programma del corso
I. Nozioni Introduttive
Rappresentazione dei numeri (cenni). Errori e loro propagazione. Condizionamento di
un problema, stabilità degli algoritmi.
[G] Cap. 1: §§1.1, 1.2 (fino a eq. 1.2.4), 1.3 (esclusa pag. 8), 1.4, 1.5 (fino riga -10
pag. 13), 1.6. Esempi: 1.4.1, 1.4.2, 1.5.1, 1.6.1.
II. Richiami su Matrici e Spazi Vettoriali
Richiami su proprietà principali delle matrici, operazioni tra matrici. Determinante, inversa, rango di una matrice. Matrici simili. Matrici particolari (hermitiana, simmetrica,
definita positiva, diagonalemente dominante, tridiagonale, ecc.). Criterio di Sylvester.
Matrici trasformanti elementari. Autovalori ed autovettori. Spazi vettoriali normati.
Norme di vettori e matrici (escluso norme indotte). Relazione di compatibilità (no dim.).
Matrici convergenti.
[G] Cap. 2: §§2.1 ÷ 2.6, 2.8, 2.9, 2.10 (fino riga -5 pag. 39), enunciato teorema 2.10.1,
da riga -3 pag. 41 fino a enunciato teorema 2.10.2. Teoremi: 2.10.1, 2.10.2 (no dim.)
III. Soluzione di equazioni non lineari
Equazioni non lineari, separazione delle radici. Metodi iterativi: concetti base, ordine
di convergenza, efficienza computazionale. Metodo di bisezione e sua interpretazione
geometrica. Metodi iterativi a un punto: concetti base, teoremi su esistenza, convergenza e ordine. Metodo di Newton-Raphson, estremo di Fourier. Metodo di NewtonRaphson per radici multiple (cenni). Metodo delle secanti per estremo fisso. Criteri di
arresto, stima dell’errore di approssimazione. Cenni sulla estensione dei metodi del
punto unito e di Newton a sistemi di equazioni non lineari (limitatamente a due variabili).
[G] Cap. 3: §§3.1 ÷ 3.3, 3.4 (escluso il metodo falsa posizione), 3.5, 3.6 (escluso
metodo secanti ad estremi variabili), 3.7, 3.8 (cenni), 3.9, 3.10. Teoremi: 3.5.1, 3.5.2
(con dim), 3.5.3, 3.5.4, 3.6.3, 3.10.1 (no dim.). Esempi: 3.2.1, 3.2.2, 3.4.1, 3.5.1.
[GL] Esercizi consigliati: 1.1 ÷ 1.11, 1.13, 1.14, 1.18 ÷ 1.26, 7.11, 7.13, 7.18, 7.20,
7.22, 7.25, 7.36, 7.43
IV. Sistemi di equazioni lineari
Generalità, condizionamento. Metodi iterativi, velocità asintotica di convergenza. Criteri di arresto e stima dell’errore. Metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel. Cenni sul
metodo SOR. Struttura algoritmi e convergenza. Metodi diretti per matrici triangolari. Metodo di Gauss. Pivoting parziale e totale, equilibratura del sistema. Metodo
di Gauss-Jordan. Fattorizzazione LU, formule compatte di Banachiewicz-Doolittle e di
Cholesky (solo algoritmi). Algoritmo di Thomas per matrici tridiagonali. Inversa di una
matrice. Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati.
[G] Cap. 4: §§4.1 ÷ 4.6, 4.8÷4.11, 4.12 (fino riga -2 pag. 133), 4.14. Teoremi: 4.4.1,
4.4.2 (con dim.), 4.5.1 (dim. limitata al caso di dominanza per righe), 4.5.2, 4.5.3, 4.6.1,
4.6.2, 4.10.1, 4.10.2, 4.14.1 (no dim.). Esempi: 4.3.1, 4.10.1.
[GL] Esercizi consigliati: 2.1 ÷ 2.4, 2.10 ÷ 2.26, 2.29, 2.30, 7.15, 7.35, 7.52.
V. Autovalori e Autovettori
Richiami delle proprietà principali, molteplicità geometrica e algebrica. Trasformazioni
per similitudine. Localizzazione degli autovalori, primo e secondo teorema di Gershgorin. Metodo delle potenze e metodo delle potenze inverse (solo algoritmi).
[G] Cap. 5: §§5.1, 5.2, 5.3 (escluso forme canoniche), 5.5 (esclusa pag. 154), 5.7 (solo
algoritmo di pag. 158), 5.8 (fino a pag. 162 compresa). Teoremi: 5.2.1, 5.3.1, 5.3.2,
5.5.1, 5.5.2 (no dim.). Esempio 5.5.1.
[GL] Esercizi consigliati: 2.31, 7.6, 7.7, 7.44
VI. Approssimazione di dati e funzioni
Aspetti generali dell’interpolazione, interpoloazione polinomiale, formula di Lagrange.
Errore di troncamento (senza dimostrazioni). Errore di propagazione, costante di
Lebesgue. Cenni sull’interpolazione attraverso funzioni spline. Approssimazione ai
minimi quadrati, calcolo dei coefficienti. Interpolazione trigonometrica di funzioni periodiche, calcolo dei coefficienti come sviluppo in serie di Fourier. Calcolo dei coefficienti
in forma discreta (solo risultato finale).
[G] Cap. 6: §§6.1, 6.2, 6.3 (escluso parte dal riga +7 pag. 189 a riga +7 pag. 190 e
nodi di Chebyshev), 6.11 (fino riga +7 pag. 226), 6.12 (fino riga -3 pag. 231), 6.13 (fino
riga +8 pag. 237). Esempi: 6.3.1, 6.11.1, 6.12.1.
[GL] Esercizi consigliati: 3.2 ÷ 3.5, 3.7, 3.11, 3.18, 3.20, 3.21, 7.2, 7.37, 7.50.
VII. Integrazione numerica
Generalità sulle formule di quadratura, parte approssimante, errore di troncamento e
di propagazione. Formule di quadratura interpolatorie. Grado di precisione, limite infe-
riore e superiore per formula a n + 1 nodi. Formule di Newton-Cotes chiuse: calcolo
dei coefficienti e del resto per formule del trapezio e Cavalieri-Simpson. Formule di
Newton-Cotes aperte: formula del punto centrale. Formule di Newton-Cotes generalizzate, formule generalizzate per trapezi e parabole. Stima dell’errore per formule generalizzare dei trapezi e delle parabole: Criterio di Runge. Estrapolazione di Richardson.
Formule di quadratura gaussiane (solo cenni), accuratezza, nodi e pesi per formula
Gauss-Legendre a 5 nodi. Convergenza delle formule di quadratura.
[G] Cap. 7: §§7.1 ÷ 7.4, 7.5 (escluso metodo di Romberg), 7.8 (da enunciato teorema
7.8.2 fino pag. 276), 7.9 (fino a riga -3 pag. 281). Teoremi: 7.4.1, 7.8.2, 7.9.1 (no
dim.). Esempi: 7.3.1, 7.5.1.
[GL] Esercizi consigliati: 4.1 ÷ 4.8, 4.10, 7.1, 7.3, 7.8 ÷ 7.10, 7.17, 7.23, 7.28÷ 7.30,
7.38, 7.42, 7.47
VIII. Soluzione numerica di equazioni differenziali
Equazioni differenziali al valore iniziale e problemi differenziali con condizioni ai limiti.
Problema di Cauchy per una variabile. Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Metodo di Eulero (ottenuto come sviluppo di Taylor) esplicito e sua
interpretazione grafica. Generalità sui metodi numerici per la soluzione del problema
di Cauchy: metodo di Eulero (ottenuto da integrazione numerica) e metodo di CrankNicolson. Concetto di metodo esplicito ed implicito. Errori di Troncamento locale e
globale. Effetto della propagazione degli errori. Stabilità degli algoritmi. Consistenza,
stabilità e convergenza. Teorema di Lax. Metodi one-step espliciti: metodo di Eulero, e di Runge-Kutta al secondo (o metodo di Heun) e quarto ordine. Convergenza
dei metodi one-step espliciti. Effetto degli errori di arrotondamento, passo di discretizzazione ottimale. Metodi Multi-step: Eulero implicito e formula del punto centrale.
[G] Cap. 9: §§9.1 ÷ 9.6, 9.7 (solo metodo Eulero implicito e formula del punto centrale).
Teoremi: 9.1.1, 9.1.2, 9.6.1 (no dim.).
[GL] Esercizi consigliati: 6.1 ÷ 6.8, 6.20, 7.39.
IX. Soluzione numerica di problemi differenziali con condizioni ai limiti
Derivazione di schemi alle differenze finite al secondo ordine per funzioni di una variabile attraverso sviluppo in serie di Taylor. Formule per la derivata prima e seconda,
centrate, al secondo ordine. Formule in avanti e indietro per la derivata prima. Formulazione discreta di un problema ai limiti monodimensionale e sua soluzione numerica. Equazione di Laplace in problemi bidimensionali: formulazione discreta della
soluzione, caratteristiche del sistema lineare corrispondente.
Su dispense distribuite dal docente.