Lezione 1 - I blog di Unica

Il campo elettrico
Le cariche elettriche interagiscono a distanza: nelle interazioni fondamentali
si manifestano forze tra corpi senza che gli stessi vengano a contatto tra loro:
le forze gravitazionali e anche le forze elettriche sono esempi di forze che
agiscono a distanza
Il modello di INTERAZIONE E DISTANZA, su cui Newton aveva fondato la
teoria della gravitazione universale, può essere riproposto anche per quanto
riguarda l’interazione tra cariche elettriche
L’interazione a distanza tra cariche elettriche si basa sul concetto di CAMPO
di FORZA, elaborato dai grandi scienziati britannici M. Faraday e J.C. Maxwell,
C’è totale analogia tra CAMPO ELETTRICO e CAMPO GRAVITAZIONALE: la
presenza di una massa crea un campo gravitazionale, ovvero una
modificazione delle spazio che è pre-esistente alla presenza di un altro corpo
che ne subisce l’interazione. La carica elettrica crea un campo, detto CAMPO
ELETTRICO.
Il campo elettrico
La bacchetta genera un campo di forze elettriche attorno
a sé: questo campo agisce su qualsiasi oggetto carico
all’interno del campo, ed esiste anche a prescindere dalla
presenza di cariche nel campo
q
 Avvicino una carica positiva q alla bacchetta, ovvero
inserisco all’interno del campo generato dalla bacchetta la
carica q. Essendo positiva, essa subisce una forza repulsiva
che la allontana dalla bacchetta
Definiamo campo elettrico il rapporto tra la forza agente
su q e la sua carica. La forza dipende dalla carica inclusa nel
campo, ma il campo elettrico non dipende da q, è proprietà
della bacchetta che lo genera ed esiste a prescindere dalla
presenza di q

 F
E
q


F  qE
Unità di misura del campo elettrico

 F
E
q

F N
E   
q C
L’unità di misura del campo elettrico nel
Sistema Internazionale è Newton su
Coulomb
All’interno dell’atomo, vicino al nucleo i
campi elettrici sono enormi, ma decadono
rapidamente col quadrato della distanza;
inoltre all’esterno dell’atomo sono
compensati dal campo di segno opposto
degli elettroni.
Campi superiori a  5103 N/C sono ritenuti
potenzialmente nocivi per la salute umana
Campi scalari e vettoriali
Campi di temperatura: La mappa di temperatura
terrestre è un campo SCALARE bi-dimensionale (2D): ad
ogni punto dello spazio è associato UN SOLO valore della
temperatura.
Il campo di pressione: Anch’esso SCALARE 2D:
Il campo del vento: in ogni punto il vento ha una
direzione, per cui è un campo VETTORIALE in 2D
NB: campo elettrico e gravitazionale sono campi di
FORZE, e dunque campi VETTORIALI
Linee di forza del campo elettrico
P
r
Q
Si deve a M. Faraday l’invenzione del concetto di
linee di forza, un modo semplice e geniale di
raffigurare il campo elettrico nello spazio.
Consideriamo il campo generato da una carica
puntiforme Q nel punto P. Dalla legge di Coulomb:

Q
E  k 2 rˆ
r
r: distanza del punto
P dalla carica Q
Faraday rappresenta il campo come linee rette che da Q dipartono
radialmente, divaricandosi man mano che ci si allontana da Q. La linea
fornisce la direzione del campo, e dunque della forza che agirebbe su una
particella carica se entrasse nel campo. In ogni punto dello spazio, la forza è
sempre tangente alla linea di campo. La diradazione delle linee rappresenta la
diminuzione dell’intensità del campo con l’incremento di r, ovvero con
l’allontanamento dalla carica sorgente del campo.
Verso delle linee di campo

Q
E  k 2 rˆ
r


F  q0 E
q0 > 0: F ed E concordi
q0 < 0: F ed E discordi
Il verso del campo elettrico è rappresentato da frecce poste lungo le linee: se
la carica sorgente Q è positiva, le linee devono essere sempre uscenti dalla
carica Q; se la carica è negativa, le linee devono sempre essere entranti. In
questo modo, il verso della forza attrattiva o repulsiva stabilito dalla legge di
Coulomb è sempre rispettato.
Campi di forze
Campo generato da una sfera uniformemente
carica: per simmetria, le linee di forza sono le
stesse del caso della carica puntiforme
Campo generato da un foglio di carica isolante
infinitamente esteso. Il campo è uniforme in
modulo, direzione e verso. Allontanandosi dal
foglio, la densità delle linee di forza resta
costante: il campo non decade più con l’inverso
di r2 come nel caso della carica puntiforme
Campi di forze
Campo generato da due cariche
puntiformi identiche. Ruotando
mentalmente il disegno, si intuisce che il
campo ha simmetria rotazionale attorno
all’asse che congiunge le cariche, ovvero
simmetria cilindrica
Campo generato da due cariche
puntiformi uguali ma opposte in
segno (dipolo elettrico)
Campo del dipolo
R
Calcoliamo il campo di dipolo nel punto R lungo l’asse z; l’origine



di z è nel centro del dipolo
ER  E  E

q
q
kq 
1
1
k
k
 2

2
2
2
z  d / 2
z  d / 2 z  1  d / 2 z  1  d / 2 z 2 
Sia x=d/(2z) << 1 (R distante dal dipolo); sviluppiamo in serie al 1° ordine
in x
2
2
1 
 1 
2

2



1

x
 1 2x

  1  x   1  2 x


1 x 
1 x 
kq 2d 2k
2k
ER  2
 3 qd  3 P
z z
z
z


P  qd
P si dice momento di dipolo elettrico e si
misura in Cm
P ed E sono paralleli lungo l’asse z ma non in ogni punto
 notiamo la dipendenza da z-3: il campo di dipolo si
annulla molto prima di quello della carica puntiforme
Momento di dipolo
Il dipolo elettrico è un concetto di estrema importanza nella
fisica e chimica dello stato solido e molecolare. Molti
fenomeni elettrici nei solidi e nei liquidi infatti coinvolgono
non cariche singole ma dipoli. Ne è esempio la molecola
dell’acqua H2O. Sottoposta ad un campo elettrico si comporta
essenzialmente come un dipolo di carica +2e (H+) e -2e (O2-)
orientato come in figura.
Consideriamo la molecola all’interno di un campo uniforme:
le forze sulle cariche tendono chiaramente a ruotare le
cariche in senso inverso e ad allineare l’asse del dipolo lungo
le linee del campo. Ovvero, il campo esercita un momento
torcente sul dipolo:
 

  d F
In modulo:
  d F sen   d qE sen   P E sen 
  
  P E
Esercizio
I piloti sono soliti osservare di notte, volando al di sopra di una tempesta,
lampi di luce molto intensi e brevi, detti folletti. Si pensa che essi siano
dovuti ai fulmini che trasferiscono un’enorme quantità di carica negativa
dal suolo alle nuvole. Questo darebbe origine ad un dipolo di carica esteso
tra terra e nuvole, avente carica –q situata ad altezza h dal suolo, e +q a
profondità h nel sottosuolo.
Halliday, Resnick, Walker
Sia q= 200 C, h= 6 Km; calcolare l’intensità del campo elettrico
a distanza z1= 30 Km e z2 = 60 Km (al di sopra della stratosfera!)
2 k ( 2 h) q
m2 12 103 m  200C
9
2 N
E ( z1 ) 

18

10
N

16

10
3
4
z3
C2
C
3 10 m

E ( z2 ) 

1
2 N
E
(
z
)

2

10
1
23
C
Al di sopra di un valore critico Ec il campo può strappare elettroni
agli atomi (ionizzazione); essi collidono con altri atomi dell’aria
provocando emissione di luce; Ec dipende dalla densità dell’aria:
maggiore è la quota, minore la densità dell’aria e minore il campo
Ec necessario alla ionizzazione; per questo i folletti sono visibili
soltanto a quote altissime.
Distribuzioni continue di cariche
Finora abbiamo considerato distribuzioni di cariche discrete, ovvero un insieme di
cariche puntiformi in punti specifici dello spazio. In molti casi, questa descrizione della
carica elettrica è poco utile. Quando si ha a che fare con moltissime cariche, distribuite
uniformemente nello spazio (una linea, un piano, o un volume) è conveniente passare
dal formalismo discreto al formalismo continuo. Ciò comporta i) l’utilizzo del calcolo
infinitesimale; ii) l’utilizzo del concetto di densità di carica al posto della carica
In un cubo di rame di lato 2 cm (mole) ci sono circa NA = 61023 atomi di rame; (NA è
detto numero di Avogadro). Immaginiamo quanto tempo occorrerebbe per sommare i
campi elettrici dovuti a tutti gli atomi carichi nel cubo…
2 cm
1 nm
dV
In un punto r interno al cubo,
immaginiamo di considerare un
volumetto dV così piccolo (ad
esempio 1 nm) che la carica
contenuta in esso (dqr) sia
uniforme; definiamo la densità di
carica nel punto r:
 dqr  C 
 (r ) 
dV  m3 
Distribuzioni continue di cariche
C 
 m3 
3D
dqr  C 
 (r ) 
dA  m2 
2D
C 
 m 
1D
dqr
 (r ) 
dV
dqx
 ( x) 
dS
dA
dS
Campo di un anello carico
Caso semplice: campo elettrico lungo l’asse dell’anello. Sia dq la carica contenuta
nel segmento infinitesimale dS
dq   dS
Nel punto P, dS genera un campo:
dq
dS
dS
dE  k 2  k 2  k 2
r
r
z  R2
Sommando i contributi di tutti i dS si vede che la componente
perpendicolare all’asse z è nulla poiché il contributo di ogni
segmento dS è controbilanciato dal dS locato dalla parte opposta
dell’anello; dunque solo la componente parallela all’asse
dell’anello è non nulla. Si ha:
dE cos( )  dE
z
z
z
 dE
k 2
r
z  R2
z 2  R2


3/ 2
dS
Campo di un anello carico
z
z
z
dE cos( )  dE  dE
k 2
2
2
r
z  R2
z R


3/ 2
dS
Per calcolare il campo totale basta integrare il campo infinitesimale
lungo la circonferenza dell’anello, ovvero integrare in dS da S=0 a S=2R
Ez   dE cos( )  k
C
z
z
2
R
Se q è la carica totale
dell’anello, si ha:
2
dS  k
3/ 2 

C
Ez  k
z
zq
2
R
z (2R)
z
2
R

2 3/ 2
Se la carica dell’anello fosse negativa cosa cambierebbe?
Per un punto P lontanissimo dall’anello, come diviene il
campo lungo l’asse ?
Com’è il campo nel punto z=0?

2 3/ 2
Campo di un disco carico
Consideriamo un disco di plastica di raggio R, con densità di carica uniforme .
Calcoliamo il campo in un punto P lungo l’asse centrale perpendicolare al disco.
Scomponiamo il disco in tanti anelli di raggio r; l’area di un singolo anello è dA=(2r)dr,
e la sua carica dq= (2r)dr. Il campo generato da un anello lungo l’asse lo abbiamo
determinato in precedenza:
dEz 
z
kz
2
r
2
dq 
3/ 2

k z (2r )
z
2
r

2 3/ 2
dr
Il campo totale si ottiene sommando su tutti gli anelli, ovvero
integrando in dr da r=0 ad r=R
R
Ez   k z 
0
z
2r
2
r

2 3/ 2
dr
Per risolvere l’integrale operiamo la trasformazione di coordinate:
X  z 2  r 2   dX  2rdr
Ez   k z  X
3 / 2
1/ 2 R
X
dX   k z
 1/ 2 0
Campo di un disco carico
Ez   k z  X
3 / 2
2 1/ 2 0
dX  2 k z ( z  r )
2
R
1



1
z
 2 k z   2
 2 k  1  2
2 1/ 2 
2 1/ 2 
z
(
z

R
)
(
z

R
) 




 
z
Ez 
1 2

2 0  ( z  R 2 )1/ 2 
Nel limite in cui il disco diventa infinitamente grande (R),
si ottiene:

Ez 
2 0
Questo rappresenta il caso importantissimo di un campo generato da un piano
infinito. In questo caso il campo è uniforme in modulo, direzione e verso. La stessa
espressione del campo si ottiene mantenendo R finito e ponendo z=0: nel limite in cui
z/R è piccolo il disco è come fosse un piano infinito
Esercizio
Consideriamo un elettrone in un campo elettrico uniforme E, diretto lungo x.
Quali sono la direzione e il verso della forza elettrostatica agente
sull’elettrone?
Se prima di essere sottoposto al campo elettrico l’elettrone si muoveva lungo
y, in che verso l’elettrone viene accelerato?
Se prima di essere sottoposto al campo elettrico l’elettrone si muoveva lungo
x verso destra, la velocità dell’elettrone aumenta, diminuisce o resta costante?



F  e E  m a

e 
a E
m