TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI
A LCUNI TEOREMI IMPORTANTI
Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente intero 2 per il divisore
3 si ottiene esattamente il dividendo 6.
Lo stesso non avviene per la divisione intera 7 : 3 = 2, con resto 1. Moltiplicando quoziente intero per divisore si ottiene ancora 2 · 3 = 6, a cui è necessario
aggiungere il resto 1 per ottenere il dividendo.
In generale, allora, si può dire che, se D è il dividendo, d è il divisore, Q il
quoziente e r il resto,
D = d·Q+r
Definizione. Un numero intero n è divisibile per un numero intero m se il resto
della divisione intera n : m = q è zero, ossia se il prodotto q · m = n.
Per i polinomi è possibile dare una definizione analoga.
Definizione. Un polinomio P( x ) è divisibile per un polinomio p( x ) se il resto
della divisione intera P( x ) : p( x ) = Q( x ) è zero, cioè se Q( x ) · p( x ) = P( x ).
Se invece il resto non è nullo, questo significa che il prodotto del quoziente per il
polinomio divisore non è esattamente uguale al polinomio dividendo, ma occorre
sommare il resto al risultato per ottenerlo.
Esempio. Il polinomio x2 − 1 è divisibile per il polinomio x − 1, con quoziente
x + 1 e resto 0 perché il prodotto del quoziente per il polinomio divisore ( x +
1)( x − 1) = x2 − 1 dà esattamente il polinomio dividendo.
Il polinomio x2 − 1 non è divisibile esattamente per x − 2: il quoziente è x +
2, ma il resto è 3: per ottenere il dividendo moltiplicando quoziente e divisore
bisogna anche aggiungere il resto: ( x + 2)( x − 2) + 3 = x2 − 1.
Si può quindi affermare, in analogia con il caso numerico, che
P( x ) = p( x ) · Q( x ) + r ( x )
Teorema. (Teorema del resto) Sostituendo alla lettera di un qualunque polinomio un
valore numerico a si ottiene il resto della divisione del polinomio per il binomio ( x − a).
Dimostrazione. La divisione del polinomio P( x ) per il binomio ( x − a) ha un quoziente Q( x ) e un resto r ( x ) tali che
P( x ) = ( x − a) · Q( x ) + r ( x )
Sostituendo il valore a al posto della lettera x, si ottiene che
P( a) = ( a − a) · Q( a) + r ( a)
e quindi, poiché ( a − a) = 0, P( a) = r ( a).
Esempio. Se P( x ) = x2 − 1 e il valore da sostituire è 1, si ottiene che P(1) =
12 − 1 = 0. Infatti il resto della divisione di ( x2 − 1) : ( x − 1) è 0, come visto sopra.
Se il valore da sostituire è invece 2, P(2) = 22 − 1 = 3.
Corollario. (Teorema di Ruffini) Un polinomio P( x ) è divisibile per x − a se P( a) = 0.
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Dimostrazione. Poiché P( a) è il resto della divisione di P( x ) per ( x − a), per il teorema del resto, se P( a) = 0, tale resto è uguale a 0, e quindi P( x ) è divisibile per
( x − a ).
Teorema. (Teorema delle radici razionali) Ogni radice razionale di un polinomio a coefficienti razionali P( x ) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 (cioè con ∀i ( ai ∈ Q)) è della
p
forma q , con p, q ∈ N e primi tra loro, dove p è un divisore di a0 e q un divisore di an .
Dimostrazione. Ammettendo che esista una radice razionale della forma
1
p
q,
con
2
p, q ∈ Z eprimi
tra loro , del polinomio P( x ) per il teorema del resto essa sarà
p
tale che P q = 0, cioè che
an
pn
p n −1
p
+
a
+ ... + a1 + a0 = 0
n
−
1
n
−
1
qn
q
q
Moltiplicando per qn si ottiene che
an pn + an−1 pn−1 q + ... + a1 pqn−1 + a0 qn = 0
I primi n − 1 termini possono essere raggruppati raccogliendo p:
p an pn−1 + an−1 pn−2 q + ... + a1 qn−1 + a0 qn = 0
e cioè, indicando con R( x ) il polinomio tra parentesi, p · R( x ) + a0 qn = 0.
Questo significa che l’ultimo termine a0 qn dovrà essere uguale all’opposto di p ·
R( x ) affinché la somma sia nulla. Cioè, a0 qn dovrà essere divisibile per p. Poiché q
è primo con p, anche qn è primo con p. Dovrà quindi essere a0 ad essere divisibile
per p.
Raggruppando invece gli ultimi n − 1 termini raccogliendo q, si ottiene che:
an pn + q an−1 pn−1 + ... + a1 pqn−2 + a0 qn−1
= 0
e cioè, indicando con S( x ) il polinomio tra parentesi, an pn + q · S( x ) = 0.
Questo significa che il primo termine an pn dovrà essere uguale all’opposto di
q · S( x ) affinché la somma sia nulla. Cioè, an pn dovrà essere divisibile per q. Poiché
p è primo con q, anche pn è primo con q. Dovrà quindi essere an ad essere divisibile
per q.
Di conseguenza, se una radice razionale esiste come frazione ridotta ai minimi
termini (eventualmente nulla vieta che q = 1 e che quindi la radice razionale sia
un numero intero), sarà tale che p è un divisore del termine noto a0 e q un divisore
del coefficiente di grado massimo an .
Esempio. Il polinomio 4x + 6 ha come radice razionale il numero − 23 , dove 3
è divisore del termine noto 6 e 2 è divisore del termine di grado massimo 4. Il
teorema delle radici razionali
afferma che un’eventuale radice
del polinomio deve
3 3 1 1
ricercarsi nell’insieme ±6, ±3, ±2, ±1, ± , ± , ± , ±
.
2 4 2 4
1Il fatto che la radice sia razionale implica che sia esprimibile come frazione, cioè un rapporto fra
numeri interi relativi. Il fatto che p, q siano primi tra loro significa semplicemente che la frazione si
suppone già ridotta ai minimi termini.
2L’esistenza di una radice razionale non è garantita: il teorema fondamentale dell’algebra non
stabilisce né l’esistenza certa di radici reali, né il fatto che le eventuali radici reali siano anche razionali.
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C ONSEGUENZE DEL TEOREMA DI R UFFINI
Divisibilità per ( x − 1). Un polinomio P( x ) è divisibile per ( x − 1) se sostituendo 1 alla x si ottiene 0. Tale sostituzione si ottiene semplicemente sommando i
coefficienti polinomiali. Se quindi la somma dei coefficienti polinomiali è nulla, il
polinomio è divisibile per ( x − 1).
Esempio. Il polinomio P( x ) = x3 − 6x2 + 12x − 7 è divisibile per ( x − 1) perché
sostituendo 1 al posto della x si ottiene 1 − 6 + 12 − 7 = 0.
Divisibilità per ( x + 1). Un polinomio P( x ) è divisibile per ( x + 1) se sostituendo −1 alla x si ottiene 0. Tale sostituzione si ottiene semplicemente sommando i
coefficienti polinomiali con esponente pari e sottraendo quelli con esponente dispari. Se quindi la somma dei coefficienti polinomiali pari è uguale a quella dei
coefficienti polinomiali dispari, il polinomio è divisibile per ( x + 1).
Esempio. Il polinomio P( x ) = x3 + 6x2 + 12x + 7 è divisibile per ( x + 1) perché
sostituendo 1 al posto della x si ottiene −1 + 6 − 12 + 7 = 0, ossia i coefficienti di
grado terzo e primo 1 + 12 = 13 hanno somma uguale a quella dei coefficienti di
grado secondo e zero 6 + 7 = 13.
Ricerca delle radici razionali. Il teorema delle radici razionali offre uno strumento con cui cercare, per tentativi, una possibile radice razionale di un qualunque
a0
polinomio, circoscrivendo la ricerca all’insieme dato dai valori ± , dove a0 è il
an
termine noto del polinomio e an il coefficiente di grado massimo. Bisogna però
ricordare che non tutti i polinomi a coefficienti hanno radici razionali.
Esempio. Dato il polinomio x2 + 4x + 4, il teorema delle radici razionali afferma
che le eventuali radici razionali saranno da ricercarsi nell’insieme {±4, ±2, ±1}.
Procedendo per tentativi nella sostituzione di questi valori nel polinomio, si vede
che l’unico valore che annulla il valore del polinomio è il valore −2, che sarà
quindi una delle radici razionali cercate. (D’altra parte, la fattorizzazione tramite
prodotto notevole del polinomio mostra che la radice −2 è doppia: x2 + 4x + 4 =
( x + 2)2 ).
Il polinomio x2 + 3x + 4 avrà lo stesso insieme di “candidate” radici razionali, ma nessuna di queste risulta annullare il polinomio. Risolvendo l’equazione
associata x2 + 3x + 4 = 0 si vede il motivo.
L A RICERCA DEL QUOZIENTE : IL METODO DI R UFFINI
Una volta trovata una radice x0 del polinomio P( x ), è importante poter trovare
il quoziente della divisione P( x ) : ( x − x0 ) per procedere eventualmente alla
ricerca di altre radici o semplicemente operare la fattorizzazione del polinomio
P ( x ) = ( x − x0 ) · Q ( x ).
A questo scopo è utile il metodo di Ruffini, un algoritmo di calcolo che permette
di trovare il polinomio quoziente una volta nota una delle radici.
Il metodo di Ruffini si applica scrivendo in un apposito quadro tutti i coefficienti
del polinomio (ponendo 0 il coefficiente di eventuali termini mancanti) e inserendo
il valore della radice già identificata:
an an−1 ... a1 a0
x0
Il procedimento è il seguente: il coefficiente di grado massimo viene riportato
a piè di quadro com’è. Viene poi moltiplicato per la radice e posto nella colonna
immediatamente a destra, all’altezza della radice, mentre al di sotto si opererà la
somma algebrica dei numeri sovrastanti:
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4
an
an−1 ... a1 a0
↓
x0 · an ... ... ...
an ( an−1 + x0 · an ) ... ... 0
e via dicendo per ogni colonna. Se la radice inserita è effettivamente una radice,
e se i calcoli sono corretti, l’ultimo valore sotto il termine noto sarà 0, il resto di
Ruffini.
I coefficienti risultanti nell’ultima riga, con l’esclusione del resto, sono i coefficienti del polinomio Q( x ) (di grado n − 1) quoziente della divisione P( x ) : ( x − x0 ).
Si avrà, cioè, P( x ) = Q( x ) · ( x − x0 ).
x0
Esempio. Il polinomio x3 − x2 − x − 2 non ha come radici né +1 (la somma dei
coefficienti non è nulla) né −1 (la somma dei coefficienti dispari 1 − 1 = 0 non
è uguale alla somma dei coefficienti pari −1 − 2 = −3). Il teorema delle radici razionali afferma che eventuali radici razionali sono da ricercarsi nell’insieme
{±2, ±1}, di cui le ultime due sono appena state escluse. Provando con +2 ci si
accorge che il valore del polinomio è 8 − 4 − 2 − 2 = 0, quindi +2 è una radice.
Si procede allora con la regola di Ruffini, ponendo i coefficienti e la radice nello
schema come segue:
1 −1 −1 −2
+2
L’algoritmo si applica come segue:
1 −1 −1 −2
+2
+2 +2 +2
1
1 1
0
che mostra che i calcoli sono stati eseguiti correttamente e +2 è effettivamente una
radice (il resto è 0), e fornisce la fattorizzazione del polinomio dato:
x3 − x2 − x − 2 = ( x − 2)( x2 + x + 1)
Il polinomio quoziente x2 + x + 1, invece, non ammette ±1 come radici, mentre
il teorema delle radici razionali limita a queste stesse due possibilità le eventuali
radici razionali. Tale polinomio, quindi, non ammette radici razionali. Per vedere
se vi siano comunque radici reali (irrazionali) è possibile risolvere l’equazione
associata x2 + x + 1 = 0.
L A RICERCA DEL QUOZIENTE : LA DIVISIONE POLINOMIALE
Più in generale, esiste un algoritmo per il calcolo di quoziente e resto della divisione tra due polinomi. Si tratta di un algoritmo analogo a quello per la divisione
tra numeri interi e viene qui spiegato con un esempio.
Esempio. Sia data la divisione tra il polinomio x4 + 3x3 + 4x2 + 2x + 1 e il polinomio x − 4. Tale divisione è possibile in quanto il grado del dividendo è maggiore
o uguale al grado del divisore.
Si pongono i due polinomi in uno schema come segue:
x −4
x4 +3x3 +4x2 +2x +1
Si opera quindi la divisione tra il monomio di grado massimo del polinomio
dividendo e quello di grado massimo del divisore: x4 : x = x3 e si scrive il risultato
sotto il divisore:
x4 +3x3 +4x2 +2x +1
x −4
x3
Si moltiplica quindi il monomio appena scritto per il polinomio divisore e si
riporta il risultato al di sotto del polinomio dividendo, incolonnando i termini
dello stesso grado:
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x4 +3x3 +4x2 +2x +1
x −4
x4 −4x3
x3
Si opera quindi la sottrazione tra il polinomio dividendo e il polinomio appena
scritto sotto di esso:
x −4
x4 +3x3 +4x2 +2x +1
x4 −4x3
x3
\ +7x3 +4x2 +2x +1
Poiché il termine di grado massimo del polinomio risultato è ancora di grado
maggiore o uguale a quello del divisore, si può procedere iterando quanto fatto
finora:
x −4
x4 +3x3 +4x2 +2x +1
x4 −4x3
x3 +7x2
\ +7x3 +4x2 +2x +1
+7x3 −28x2
\
+32x2 +2x +1
Di nuovo, il risultato ha grado maggiore o uguale a quello del divisore, e quindi
si procede nuovamente.
x4 +3x3 +4x2
+2x +1
x
−4
x4 −4x3
x3 +7x2 +32x
\ +7x3 +4x2
+2x +1
+7x3 −28x2
\
+32x2 +2x +1
+32x2 −128x
\
+130x +1
E di nuovo.
x4 +3x3 +4x2
+2x
+1
x
−4
x4 −4x3
x3 +7x2 +32x +130
\ +7x3 +4x2
+2x
+1
+7x3 −28x2
\
+32x2 +2x
+1
+32x2 −128x
\
+130x +1
+130x −520
\
+521
A questo punto la divisione è terminata, in quanto il polinomio risultato è di
grado inferiore (0) al grado del polinomio divisore. Il risultato della divisione è un
polinomio quoziente, x3 + 7x2 + 32x + 130, e un resto, +521, il cui significato è il
seguente: il prodotto
( x − 4)( x3 + 7x2 + 32x + 130) = x4 + 3x3 + 4x2 + 2x − 520
non è il polinomio dividendo (cioè, il polinomio dividendo non è divisibile esattamente per il polinomio divisore), ma basta aggiungervi il resto per ottenere,
appunto, il polinomio dividendo.
Ovviamente operando questo tipo di divisione tra un polinomio e un binomio
del tipo x − x0 , dove x0 è una radice del polinomio dividendo, si otterrà resto
nullo e il quoziente sarà il polinomio necessario alla fattorizzazione del polinomio,
esattamente lo stesso polinomio, cioè, che si ricava applicando il metodo di Ruffini.
Allo stesso modo, applicando il metodo di Ruffini con un polinomio non divisibile
esattamente per il binomioa x − x A , si otterrà resto non nullo, e precisamente il
resto che si ottiene dal metodo della divisione polinomiale, così come i quozienti
saranno uguali.
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La differenza tra i due metodi sta semplicemente nel fatto che il metodo di Ruffini permette solo divisioni per binomi del tipo x − x A , mentre la divisione polinomiale consente divisori di qualunque grado (purché di grado inferiore o uguale a
quello del polinomio dividendo) e con qualunque scelta di coefficienti.
