Geometria 2
Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2010/11
I anno, II semestre, CFU 6, codice F0045
Docenti: A. Biancofiore
Programma sintetico
Geometria euclidea, Geometria proiettiva, Curve algebriche
piane.
Programma dettagliato
Geometria euclidea
Prodotti scalari
Definizione. Disuguaglianza di Schwartz. La norma.
Ortogonalità. Matrici ortogonali e basi ortonormali.
Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Proiezione ortogonale su un sottospazio. Angolo convesso.
L'operazione di prodotto vettoriale
Definizione. Proprietà del prodotto vettoriale. Prodotto
misto. Identità di Lagrange.
Spazi euclidei
Definizione. La distanza. Angolo convesso tra due rette.
Piano euclideo: vettore (versore) normale ad una retta,
angolo convesso tra due rette, distanza punto-retta. Spazio
euclideo: vettore (versore) normale ad un piano, angolo
convesso tra due piani, angolo convesso tra una retta ed un
piano, distanza punto-piano, distanza punto-retta, distanza
tra due rette, la sfera.
Operatori unitari e isometrie
Definizione di operatore unitario. Proprietà di operatore
unitario. Operatore trasposto. Definizione di isometria.
Teorema delle isometrie (applicazioni che conservano le
distanze). Figure geometriche congruenti e proprietà
euclidee. Esempio di operatore unitario: riflessioni definite
da un vettore. Esempio di isometria: riflessioni definite da
un iperpiano. Sottoinsieme simmetrico rispetto ad un
iperpiano.
Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
Elementi di SO(2). Elementi di O(2)/SO(2). Le rotazioni.
Le riflessioni. Il caso bidimensionale: Proprietà delle
isometrie piane. Definizione di glissoriflessione. Teorema
di Chasles. Il caso tridimensionale: studio di SO(3),
Teorema di Eulero (facoltativo), Classificazione delle
isometrie tridimensionali.
Diagonalizzazione di operatori simmetrici
Operatori simmetrici e matrici congruenti e simili.
Teorema spettrale. Autovettori di uno operatore
simmetrico.
Il caso complesso
Forme hermitiane. Matrici hermitiane. Prodotto
hermitiano. Disuguaglianza di Schwartz. Operatore
unitario. Matrici unitarie. Teorema di esistenza di una base
diagonalizzante un operatore unitario. Operatore
hermitano. Teorema spettrale.
Geometria proiettiva
Spazi proiettivi
Definizione di spazio proiettivo. Dimensione di uno spazio
proiettivo. Riferimento proiettivo. Sottospazi proiettivi.
Intersezione di spazi proiettivi. Punti linearmente
indipendenti. Punti in posizione generale. Equazioni
parametriche di un sottospazio vettoriale. Il caso della
retta. Sottospazio somma. Formula di Grassmann
proiettiva. Conseguenze della formula di Grassmann. Cono
proiettante. Proiezione su un iperpiano da un punto.
Geometria affine e geometria proiettiva
Immersione della retta affine nella retta proiettiva. Il caso
generale j0: An(R) Pn(R). Il caso di uno spazio
proiettivo qualsiasi (facoltativo). Il teorema di PappoPascal (facoltativo). Chiusura proiettiva di un iperpiano
affine. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine.
Chiusura proiettiva delle rette in A2, punti impropri.
Chiusura proiettiva delle rette e i piani in A3, punti
impropri.
Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
Formula del cambiamento di coordinate omogenee indotte
da due basi. Il caso del cambiamento di coordinate
omogenee indotte da una base e da una (n + 2) – upla.
Esempio della retta proiettiva. Isomorfismi tra spazi
proiettivi. Proiettività. Teorema fondamentale degli
isomorfismi tra spazi proiettivi (delle proiettività). Figure
proiettivamente equivalenti e proprietà proiettive. Il
birapporto. Teorema sul birapporto.
Curve algebriche piane
Generalità
Equazioni parametriche di una curva piana. Definizione di
curva algebrica in A2(K), E2, P2(K). Curve affinamente
equivalenti (congruenti; proiettivamente equivalenti).
Proprietà affini (euclidee; proiettive) di una curva.
Chiusura proiettiva proiettiva di una curva affine, punti
impropri. Curva affine simmetrica rispetto ad un punto.
Curva euclidea simmetrica rispetto a una retta.
Curve algebriche reali
Il supporto di una curva affine (proiettiva) complessa
contiene infiniti punti. Curve algebriche reali di A2(C).
Punti reali e punti non reali di una curva complessa.
Condizioni equivalenti per una curva per essere reale.
Esempi: le cubiche di Newton. Le curve piane su Q.
Classificazione delle coniche proiettive
Matrice associata ad una conica proiettiva. Rango di una
conica proiettiva. Coniche non degeneri, semplicemente
degeneri, doppiamente degeneri. Classificazione delle
coniche proiettive su un campo algebricamente chiuso.
Classificazione delle coniche proiettive reali.
Classificazione di coniche affini e coniche euclidee
Equazione generale di una conica affine. Rango di una
conica affine. La sottomatrice A0. Coniche a centro e
parabole. Il caso reale: ellisse e iperbole. Teorema di
classificazione
delle coniche affini su un campo
algebricamente chiuso e sui reali. Teorema di
classificazione delle coniche euclidee.
Geometria delle coniche euclidee
Studio dell’equazione canonica dell’ellisse. Studio
dell’equazione
canonica
dell’iperbole.
Studio
dell’equazione canonica della parabola. Proprietà focale
dell’ellisse, iperbole e parabole. Cenni sulle quadriche.
Bibliografia
Edoardo Sernesi - Geometria 1 - Bollati Boringhieri.
Giulio Campanella - Esercizi di Algebra Lineare e
Geometria – Aracne Editrice.
