Baccalaureato europeo2008

BAC EUROPEO 2008
MATEMATICA 5 PERIODI
DATA 5 giugno 2008
DURATA DELL’ESAME :
4 ore (240 minuti)
MATERIALE AUTORIZZATO
ƒ Formulario delle scuole europee
ƒ Calcolatrice non grafica e non programmabile
AVVERTENZE :
ƒ Risolvere tutti e quattro i problemi obbligatori.
ƒ Indicare i due problemi scelti mettendo una croce sulle caselle che trovate
nell’apposito schema che vi è stato fornito.
ƒ Utilizzare, per ogni problema, fogli d’esame diversi.
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BAC EUROPEO 2008: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA OBBLIGATORIO 1.
ANALISI
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Punteggio
Considerare la funzione f definita da:
f(x) = (1 – x ) ex
a) Studiare la funzione f determinando il suo zero, l’asintoto, gli intervalli in cui
essa è crescente o in cui è decrescente, la natura e le coordinate del suo
estremo.
6 punti
b)
i.
Disegnare il grafico di f.
2 punti
ii.
Dimostrare che
2 punti
F(x) = (2 – x ) ex
è una primitiva di f.
iii.
Calcolare l’area della parte della regione del primo quadrante
delimitata dagli assi coordinati e dal grafico di f.
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2 punti
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PROBLEMA OBBLIGATORIO 2.
ANALISI
PAGINA 1di 1
Punteggio
In base a un modello costruito nei primi anni Settanta, nelle gare agonistiche di
corsa veloce, la velocità v di un atleta (espressa in m/s) è una funzione del tempo
(espresso in secondi), che può essere descritta dalla seguente equazione
differenziale:
dv
v
= 12 , 2 −
dt
k
dove k è una costante che dipende dall’atleta considerato.
a) Determinare la soluzione di questa equazione differenziale esprimendo v come
funzione di t.
6 punti
b) In una gara dei 100 metri, un atleta parte da fermo, ossia con v = 0 all’istante
t=0.
i.
Trovare la soluzione di v in funzione del tempo che soddisfa questa
3 punti
condizione iniziale.
ii.
Il valore di k per un certo atleta è 0,8.
Calcolare l’istante in cui questo atleta raggiungerà la velocità di 9
m/s.
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3 punti
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PROBLEMA OBBLIGATORIO 3.
GEOMETRIA
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Punteggio
Nello spazio euclideo munito di un sistema di riferimento ortonormato considerare
α : 2x – 3y + z – 2 = 0
i piani:
β : 3x – y – 2z + 4 = 0
e
e la retta :
⎧x = 2 λ + 3
⎪
A : ⎨ y = −λ
⎪ z = −λ + 1
⎩
, λ∈R
a) Dimostrare che un’equazione della retta s di intersezione fra α e β è data da:
⎛x⎞
⎛0⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
s : ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + μ ⎜ 1⎟ , μ ∈ R
⎜z ⎟
⎜ 2⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
b)
6 punti
i.
Dimostrare che le rette s e A sono sghembe e fra loro ortogonali.
3 punti
ii.
Calcolare la distanza fra le due rette.
4 punti
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PROBLEMA OBBLIGATORIO 4.
PROBABILITA’
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Punteggio
Un produttore sta lanciando una nuova bibita in una determinata nazione. Come
parte della campagna promozionale, viene stampata una lettera all’interno del tappo
di ogni bottiglia. I consumatori che entreranno in possesso di alcune combinazioni di
lettere, potranno vincere premi. L’alfabeto di questa nazione è composto da 26
lettere. Tutte le 26 lettere hanno la stessa probabilità di essere stampate sul tappo di
una bottiglia.
Ogni giorno un certo consumatore compra una bottiglia di questa bibita.
a)
b)
i.
Calcolare la probabilità che il quattordicesimo giorno egli compri
una bottiglia che non ha la lettera P stampata sul tappo.
2 punti
ii.
Calcolare la probabilità che la prima volta che egli compri una
bottiglia con la lettera P stampata sul tappo sia nel terzo giorno.
4 punti
i.
Calcolare la probabilità che, nei primi dieci giorni, egli compri
almeno una bottiglia il cui tappo porti stampata la lettera P.
3 punti
ii.
Calcolare la probabilità che egli possa comporre, con le lettere dei
tappi dei primi quattro giorni, la parola “EURO”.
4 punti.
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PROBLEMA A SCELTA I.
ANALISI
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Punteggio
Considerare le funzioni f e g definite da:
x
2
Siano F e G i rispettivi grafici in uno stesso sistema di riferimento cartesiano
ortonormato.
f ( x) =
a)
x+2
e
g(x) =
2−
i)
Studiare ciascuna delle funzioni f e g, determinando il loro
dominio, gli zeri e gli intervalli dove crescono o decrescono.
5 punti
ii)
Determinare le coordinate del punto di intersezione di F e G.
2 punti
iii)
Disegnare F and G sul foglio di carta millimetrata, in uno stesso
sistema di riferimento.
3 punti
b) Siano t1 la tangente a F in K (0;
2 ) e t2 la tangente a G in K.
i.
Determinare un’equazione di ciascuna di queste tangenti e
disegnare tali tangenti nel sistema di riferimento prima utilizzato.
4 punti
ii.
Calcolare, con due cifre decimali, l’angolo α tra t1 e t2
3 punti
c) Sia S la regione piana delimitata dai due grafici F e G e dall’asse x.
i.
Calcolate l’area di S.
5 punti
ii.
Calcolare il volume V del solido di rotazione generato dalla
rotazione di S attorno all’asse x.
3 punti
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PROBLEMA A SCELTA II.
PROBABILITÀ
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Punteggio
La seguente tabella mostra la distribuzione di frequenza dei quattro gruppi
sanguigni in una popolazione molto numerosa la distribuzione degli individui
di una popolazione numerosa nei quattro gruppi sanguigni.
a)
Gruppo sanguigno
O
A
B
AB
Frequenza relativa
0,45
0,40
0,11
0,04
Un campione casuale di 15 persone viene estratto dalla popolazione.
i. Determinare la probabilità che il campione contenga al più 10 individui
con gruppo sanguigno A.
4 punti
ii. Determinare la probabilità che il campione contenga più di 4 individui,
ma meno di 8 con gruppo sanguigno B.
4 punti
b)
Determinare la dimensione del più grande campione che è necessario
considerare affinché la probabilità che in esso sia contenuto almeno un
individuo con gruppo sanguigno B sia inferiore a 0,99.
4 punti
c)
Supporre ora che un nuovo campione di 100 persone sia scelto a caso da questa
popolazione.
i. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria “numero di
individui con gruppo sanguigno O”.
3 punti
ii. Utilizzando una distribuzione normale, calcolare la probabilità di avere
più di 49 individui di gruppo sanguigno di tipo O. Giustificare l’uso di
un’approssimazione normale in questo caso.
4 punti
iii. Calcolare il minimo numero k di individui tale che la probabilità che
meno di k individui del campione abbiano gruppo sanguigno di tipo O sia
maggiore di 0,95.
4 punti
iv. Utilizzando una distribuzione di Poisson, calcolare, con due cifre
decimali, la probabilità che 3 individui abbiano gruppo sanguigno di tipo
AB. Giustificare l’uso di un’approssimazione poissoniana in questo caso.
2 punti
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PROBLEMA A SCELTA III.
GEOMETRIA
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Punteggio
Nello spazio munito di un sistema di riferimento ortonormato, considerare:
il piano π1 :
la sfera S :
4 x + 3 z + 29 = 0
x + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0
2
⎧ x = −3 + t
⎪
la retta d1 : ⎨ y = 1 − t
⎪ z = −3
⎩
a)
b)
c)
, t∈R
Determinare le coordinate del centro M e il raggio R della sfera S.
i.
Dimostrare che π1 è un piano tangente alla sfera S
2 punti
ii.
Dimostrare che il piano π1 tocca la sfera S nel punto A(– 5; 3; –3).
2 punti
i.
Dimostrare che la retta d1 interseca la sfera S nel punto A e
determinare le coordinate dell’altro punto di intersezione E.
3 punti
ii.
d)
e)
2 punti
Il piano perpendicolare ad AM e passante per (–1; –1 ; –3) taglia la
sfera S secondo un cerchio C.
Determinare il raggio r e le coordinate del centro F del cerchio C.
Sia dato il punto H (–1, 7, 3) che giace sulla sfera S. Il piano π2 è il piano
tangente alla sfera S nel punto H.
4 punti
i.
Determinare un’equazione del piano π2
3 punti
ii.
Calcolare (approssimando al grado) la misura dell’angolo acuto
formato dai piani π1 e π2
3 punti
Il punto B (3, 3, 3) è il punto di S tale che AB è un diametro di S.
Determinare un sistema di equazioni parametriche per la retta d2
che è tangente alla sfera S in B e interseca la retta d1
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6 punti