V appello di Matematica C Corso di laurea in Ingegneria Biomedica

V appello di Matematica C
Corso di laurea in Ingegneria Biomedica
11 Dicembre 2007
1)
In un concorso gratta e vinci, ogni biglietto ha 9 caselle da “grattare”. Sotto 5 di
esse è presente la parola GOAL, mentre sotto le rimanenti 4 la parola OUT. Per vincere
il premio bisogna “grattare” solo 3 caselle e trovare per 3 volte la parola GOAL (se si
grattano più di 3 caselle il biglietto non è più valido).
a. Qual è la probabilità di vincere con un singolo biglietto?
b. Sapendo che la prima casella grattata è un GOAL, quel è la probabilità di non
vincere il premio?
c. Se si acquistano 100 biglietti, qual è la probabilità (approssimata) di vincere almeno
15 volte? (si esprima il risultato in funzione di Φ, la funzione di distribuzione della
variabile normale standard)
2) Siano X ∼ U[0, 2] a Y
∼ Bi(2, 1/3), indipendenti e sia Z = X − Y . Si calcoli:
a. P [Z < 0|Y = i], per i = 0, 1, 2 e quindi P [Z < 0];
b. E[Z] e V ar[Z];
c. (facoltativo) la funzione di distribuzione di Z, cioè P [Z ≤ z] per ogni z ∈ R.
3) Si consideri la forma differenziale
ω=
by
1
ax
dx + 2
dy + 2
dz
x2 + y 2 + z
x + y2 + z
x + y2 + z
nell’aperto Ω = {(x, y, z) : z > −(x2 + y 2 )}.
(i) Si determinino a, b ∈ R in modo che ω sia chiusa;
(ii) si provi che se ω è chiusa allora è esatta in Ω;
(iii) per i valori di a, b trovati si calcoli il potenziale di ω che in (0, 0, 1) vale −1.
4) Si calcoli l’integrale
ZZ
D
e1/x
dxdy,
− 1)
x2 (x
dove D = {(x, y) ∈ R2 :
x = u/v, y = u − v).
1
2
≤
y
x−1
≤ 1, 2 ≤
5) Si enunci la formula di Bayes.
xy
x−1
≤ 4} (sugg.: si effettui il cambio di variabili
Se A ⊆ B, quanto vale P [A|B]?
Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
È vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
V appello di Matematica C
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
11 Dicembre 2007
1)
In un concorso gratta e vinci, ogni biglietto ha 9 caselle da “grattare”. Sotto 5 di
esse è presente la parola GOAL, mentre sotto le rimanenti 4 la parola OUT. Per vincere
il premio bisogna “grattare” solo 3 caselle e trovare per 3 volte la parola GOAL (se si
grattano più di 3 caselle il biglietto non è più valido).
a. Qual è la probabilità di vincere con un singolo biglietto?
b. Sapendo che la prima casella grattata è un GOAL, quel è la probabilità di non
vincere il premio?
c. Se si acquistano 100 biglietti, qual è la probabilità (approssimata) di vincere almeno
15 volte? (si esprima il risultato in funzione di Φ, la funzione di distribuzione della
variabile normale standard)
2) Siano X ∼ U[0, 2] a Y
∼ B(2, 1/3), indipendenti e sia Z = X − Y . Si calcoli:
a. P [Z < 0|Y = i], per i = 0, 1, 2 e quindi P [Z < 0];
b. E[Z] e V ar[Z];
c. (facoltativo) la funzione di distribuzione di Z, cioè P [Z ≤ z] per ogni z ∈ R.
3) Si consideri la forma differenziale
ω=
x2
ax
by
1
dx + 2
dy + 2
dz
2
2
+y +z
x +y +z
x + y2 + z
nell’aperto Ω = {(x, y, z) : z > −(x2 + y 2 )}.
(i) Si determinino a, b ∈ R in modo che ω sia chiusa;
(ii) si provi che se ω è chiusa allora è esatta in Ω;
(iii) per i valori di a, b trovati si calcoli il potenziale di ω che in (0, 0, 1) vale −1.
4) Si calcoli l’integrale
ZZ
D
e1/x
dxdy,
x2 (x − 1)
dove D = {(x, y) ∈ R2 :
x = u/v, y = u − v).
1
2
≤
y
x−1
≤ 1, 2 ≤
xy
x−1
≤ 4} (sugg.: si effettui il cambio di variabili
Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
È vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.