Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
6 – IL PCM: TRASMISSIONE DI SEGNALI
ANALOGICI SU CANALI DIGITALI
Prof. Giovanni Schembra
1
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Sommario
Trasmissione digitale:
(Æ)
caratteri
tt i generalili
Il PCM: introduzione e principio di funzionamento
Disturbi sul segnale PCM: la qualità del segnale
analogico a destinazione
(Æ)
Calcolo dell’SNR p
per segnali
g
con distribuzione ((Æ))
qualunque e quantizzazione uniforme
Calcolo dell’SNR per segnali con distribuzione (Æ)
qualunque e quantizzazione uniforme
2
1
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
TRASMISSIONE DIGITALE
CARATTERI GENERALI
IL PCM – INTRODUZIONE E PRINCIPIO DI
FUNZIONAMENTO
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Trasmissione di segnali analogici e digitali
Segnale analogico
Sorgente
Analogica
CANALE
PCM
Segnale
11011001……
Sorgente
Binaria
Sequenza di simboli
11011
1001……
Sorgente
Digitale
11011001……
Codificatore
multilivello
Sequenza di simboli
Codificatore di
linea
4
2
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Perché trasmettere in digitale un segnale
analogico
Vantaggi del digitale:
La circuiteria digitale è a basso costo
I segnali digitali derivanti da sorgenti analogiche (audio, video, voce)
possono essere multiplati con segnali dati e trasmessi su di un’unica rete
digitale
Indipendenza dalla dinamica (valore picco-picco) del segnale
Nei sistemi di telefonia digitale a lunga distanza con ripetitori è possibile
rigenerare i segnali digitali, eliminandone completamente i disturbi
È possibile utilizzare delle tecniche di codifica di canale per proteggere i
segnali dal rumore
Svantaggi del digitale:
Necessità di maggiore banda rispetto ai segnali analogici
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Ripetitori di segnale in cascata sul
percorso sorgente-destinazione
Per segnali analogici:
Ripetitori lineari (filtri e amplificatori)
I disturbi e le distorsioni si accumulano ripetitore per ripetitore
Per segnali digitali:
Ripetitori rigenerativi
Interpretano la sequenza di bit ricevuta con un rivelatore a soglia,
e la rigenerano
Se non ci sono stati errori nella rivelazione,
rivelazione riproducono una replica
del segnale digitale originale senza aggiunta di disturbi
La spaziatura tra tali ripetitori (lunghezza della tratta) dipende
dall’attenuazione del portante (cavo in rame, fibra ottica,
radioonde), e dalla quantità di rumore di canale
6
3
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Pulse-code modulation (PCM)
Segnale
g
analogico
g
PCM
Sequenza
q
di bit
Definizione:
la modulazione con codici a impulsi (pulse-code modulation - PCM) è un
tipo particolare di conversione analogico-digitale
l’informazione contenuta nel campione (istantaneo) di un segnale analogico
viene rappresentata da una “parola di codice” digitale organizzata in un
flusso di dati binari
Parole di codice
sia n ill numero di
d bit
b costituenti la
l singola
l parola
l di
d codice
d
esistono M=2n parole di codice distinte; ciascuna rappresenta un diverso
livello di ampiezza del segnale [QUANTIZZAZIONE]:
l’esatto valore del segnale viene rimpiazzato dal più vicino degli M valori
permessi
Altre tecniche di conversione analogico-digitale:
Modulazione delta
PCM differenziale (DPCM)
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Campionamento, quantizzazione e
codifica
Tre fasi per la generazione del segnale PCM:
Fase 1: Campionamento
genera un segnale PAM analogico con impulso rettangolare a
partire dal segnale analogico
Fase 2: Quantizzazione
il segnale PAM viene quantizzato sostituendo ai valori nel
continuo dei valori tra gli M valori ammessi
quantizzazione:
uniforme: tutti i livelli di quantizzazione sono equidistanti
non uniforme: le ampiezze dei livelli di quantizzazione vengono
scelte opportunamente a seconda del segnale da trasformare in
digitale
8
4
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Campionamento, quantizzazione e
codifica
Fase 2: Quantizzazione
errore di quantizzazione:
differenza tra il segnale analogico all’ingresso del
quantizzatore, e quello all’uscita del quantizzatore;
il valore di picco dell’errore di quantizzazione è
pari alla metà del passo di quantizzazione
( MAX )
errquant
=±
Δ
2
campionando alla frequenza di Nyquist, e trascurando il
rumore di canale, rimane ancora l’effetto del rumore di
quantizzazione
9
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Campionamento, quantizzazione e
codifica
Tre fasi per la generazione del segnale PCM:
Fase 3: Codifica
Prende in ingresso il segnale PAM quantizzato ottenuto al passo
precedente, e associa ad ogni valore del segnale quantizzato
una parola di codice binaria
Esempio: codifica Gray, che associa parole che differiscono di un
solo bit a livelli di q
quantizzazione adiacenti, in modo che errori su
un singolo bit non di segno causano errori minimi nell’ampiezza
ricostruita
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Campionamento, quantizzazione e
codifica
Esempio:
p
codice Gray
yp
per un segnale
g
con Vpp=16 V
+8 V
+6 V
+4 V
+2 V
0V
-2 V
-4 V
-6 V
-8 V
Esercizio: calcolare il codice Gray a 2 bit e a 4 bit
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Altri tipi di codifica
Esempio: 3 bit Æ 8 livelli
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rappresentazione in complemento a 2
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rappresentazione in complemento a 2
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rappresentazione in complemento a 2
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Decodifica del segnale PCM
In ricezione: DECODIFICA
si legge la tabella di codifica (es. codice Gray) al
contrario per ottenere il segnale PAM a campionamento
istantaneo di partenza
il segnale PAM a campionamento istantaneo
rappresenterà il segnale analogico di partenza, a meno
d ll’
dell’errore
di quantizzazione
ti
i
Sequenza di bit
PCM inverso
Segnale analogico
(quantizzato)
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8
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Sistema di trasmissione PCM
PCM
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Andamento dei segnali nel sistema PCM
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Occupazione di banda dei segnali PCM
Il PCM è una modulazione non-lineare del segnale
analogico
l i d’ingresso;
d’i
quindi
i di il suo spettro
tt non è
facilmente calcolabile
La banda di un PCM dipende:
dalla banda del segnale analogico di partenza
dalla velocità di bit
dalla forma dell’impulso elementare usato per rappresentare i dati
dal codice di linea
Velocità di bit (bit-rate):
dove n : numero di bit per parola di codice
R = n fs
f s : frequenza di campionamento
Per evitare aliasing:
f s ≥ 2B
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Occupazione di banda dei segnali PCM
Abbiamo dimostrato che (quando abbiamo parlato di
ISI) che, qualunque sia l’impulso di segnalazione e il
codice di linea, la banda per trasmettere un segnale PCM
è tale che:
BPCM ≥
1
1
R = nf s
2
2
il valore minimo è ottenuto quando
l’impulso elementare associato ai
dati binari è del tipo sinc(x)
IMPORTANTE: il valore reale dipenderà
dalla scelta degli impulsi di segnalazione, e
dal particolare codice di linea utilizzato
Ad esempio, per impulsi rettangolari con codice di linea
NRZ unipolare o NRZ polare:
Banda assoluta BPCM = ∞
( ASS )
(1° N )
Banda al primo nullo BPCM = R =
20 nf s
20
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
DISTURBI SUL SEGNALE PCM
LA QUALITÀ
À DEL SEGNALE ANALOGICO A
DESTINAZIONE
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Disturbi sul segnale PCM
Cause dei disturbi sul segnale PCM ricevuto a
destinazione
distorsione da aliasing introdotta se il segnale analogico d’ingresso
non è adeguatamente limitato in banda e campionato con frequenza
sufficientemente elevata
rumore di quantizzazione: introdotto nel codificatore PCM a causa
della quantizzazione su M livelli. SI NOTA NELLA RICOSTRUZIONE
DEL SEGNALE
rumore di canale Il canale trasmette segnale digitale e può causare
errori sul bit (vedi analisi della BER per trasmissioni digitali)
interferenza intersimbolica (ISI) dovuta ad una risposta in frequenza
inadeguata del canale
22
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rapporto segnale-rumore in uscita al
sistema PCM
Valutazione
Rumore TERMICO
di S/N
ISI
Segnale analogico
BER
PCM
PCM inverso
CANALE DIGITALE
Rumore di
aliasing
Attenuazione
di canale
Segnale analogico
quantizzato
Rumore di quantizzazione
NOTA: In S/N, il segnale di cui si calcola la potenza è quello ricostruito, ed è
completamente indipendente da quello utilizzato per trasmettere i bit sul canale digitale
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rapporto segnale-rumore in uscita al
sistema PCM
Ipotesi:
Campionamento effettuato
ff
con lla ffrequenza d
di Nyquist Æ Nessun rumore di
d
aliasing
Utilizzo di un filtro di Nyquist a ricezione Æ Nessun ISI
Quantizzazione uniforme e distribuzione uniforme del segnale su tutti i livelli
Si può dimostrare che:
3M 2
⎛S⎞
=
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ pk out 1 + 4(M 2 − 1) Pe
S/N tra la potenza di picco del segnale
e la potenza media statistica totale di
disturbo in uscita al sistema PCM
M2
⎛S⎞
⎜ ⎟ =
2
⎝ N ⎠ out 1 + 4 M − 1 Pe
S/N ttra lla potenza
t
media
di del
d l segnale
l e
la potenza media statistica totale di
disturbo in uscita al sistema PCM
(
)
dove: Pe : probabilità di errore sul bit del canale digitale (BER)
Nel caso in cui anche il rumore del canale sia trascurabile, abbiamo:
⎛S⎞
= 3M 2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ pk out
⎛ S ⎞ =M2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out
24
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rapporto segnale-rumore in dB
⎛S⎞
= 3M 2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ pk out
⎛ S ⎞ =M2
k ∈ {1,3}
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out
⎛S⎞
n
2
⎜ ⎟ = 10 log10 (k M ) = 10 log10 k + 20 log10 2 = α + n 20 log10 2 = α + 6.02n
⎝ N ⎠ dB
⎛ S ⎞ = 6.02 n + α
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB
dove:
α = ⎧⎨
4.77 per l' SNR di picco
per l' SNR medio
⎩0
Regola dei 6 dB:
Regola empirica per valutare le prestazioni di un sistema PCM
Ipotesi:
non vi siano errori sui bit
rumore casuale: il segnale di ingresso sia sufficientemente ampio da spazzolare
tutti i possibili livelli di quantizzazione
Quantizzazione uniforme e distribuzione uniforme del segnale su tutti i livelli
Aggiungendo un bit alla parola del segnale PCM, si migliora il
rapporto segnale-rumore di 6 dB
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
CALCOLO DELL’SNR PER:
• Segnali
S
li con distribuzione
di t ib i
qualunque
l
• Quantizzazione uniforme
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13
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
SNR per distribuzione qualunque del
segnale
⎛S⎞
= 6.02 n + 4.77
⎜ ⎟
Assenza di Aliasing, di rumore di canale e di ISI
⎝ N ⎠ dB,pk
Quantizzazione uniforme
Vp
⎛S⎞
= 6.02 n + 4.77 − 20 log10
⎜ ⎟
Dimostrazione:
xeff
⎝ N ⎠ dB,medio
Ipotesi:
Potenza di picco del segnale
( peak )
s
P
=V
Potenza media del segnale
2
Ps( media ) = xeff
=∫
2
p
+V p
−V p
x 2 f s ( x) dx
Potenza del rumore di quantizzazione in un livello di ampiezza Δ
+Δ 2
+Δ 2
1
può essere
PN( Δ ) = ∫
N 2 f N ( N ) dN = ∫
N 2 dN =
2 NOTA:
−Δ 2
−Δ 2
usata anche per
Δ
(Δ)
quantizzazione non
+Δ 2
uniforme
1 ⎡N3 ⎤
1 ⎛ Δ3 Δ3 ⎞ Δ2
N
= ⎜⎜ + ⎟⎟ =
= ⎢ ⎥
Δ ⎣ 3 ⎦ − Δ 2 Δ ⎝ 24 24 ⎠ 12
27
P
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=
Δ
12
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
SNR per distribuzione qualunque del
segnale
Potenza
P
t
MEDIA d
dell rumore di quantizzazione
ti
i
per una quantizzazione
ti
i
a M livelli
li lli
Siano:
• Δi l’ampiezza del generico intervallo i-esimo
• pi = prob{campione di segnale ∈ i - esimo intervallo}
M
PN(TOT ) = ∑ PN( Δ i ) ⋅ pi =
i =1
1 M 2
∑ Δ i ⋅ pi
12 i =1
NOTA: può essere
usata anche per
quantizzazione non
uniforme
Potenza MEDIA del rumore di quantizzazione se i livelli sono tutti uguali
2V
Δi = Δ = P
∀i ∈ [1, M ]
M
Δ2 M
Δ2
Δ2
4VP2
V2
V2
=
= P2
PN(TOT ) = ⋅ ∑ pi = 1 =
2
12 i =1
12
12 12 M
3M
PN(TOT ) = P 2
3M
28
14
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
SNR per distribuzione qualunque del
segnale
Potenza di picco del segnale
( peak )
s
P
=V
Potenza media del segnale
( media )
s
2
p
P
=x
2
eff
Potenza media del rumore
PN =
VP2
3M 2
SNR di picco
V p2
P ( peak )
⎛S⎞
=
= 3M 2
⎜ ⎟ = s
V p2
PN
⎝ N ⎠ pk
3M 2
⎛S⎞
= 6.02 n + 4.77
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB , pk
SNR medio
2
2
xeff
xeff
P ( media )
⎛S⎞
2
3
M
= s
=
=
⋅
⎜ ⎟
V p2
V p2
PN
⎝ N ⎠ medio
3M 2
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
SNR per distribuzione qualunque del
segnale sui livelli di quantizzazione
SNR medio
2
2
xeff
xeff
Ps( media )
⎛S⎞
2
=
=
= 3M ⋅ 2
⎜ ⎟
V p2
PN
Vp
⎝ N ⎠ medio
2
3M
2
⎛
xeff
⎛S⎞
2
⎜
=
10
log
3
M
⋅
⎜ ⎟
10 ⎜
V p2
⎝ N ⎠ dB ,medio
⎝
⎛
x
= 20 log10 ⎜ 3 ⋅ 2 n ⋅ eff
⎜
Vp
⎝
⎞
⎛
x
⎟ = 20 log10 ⎜ 3M ⋅ eff
⎟
⎜
Vp
⎠
⎝
⎞
⎛V
⎟ = 6.02 n + 4.77 − 20 log10 ⎜ p
⎟
⎜x
⎠
⎝ eff
NOTA: definiamo il Fattore di Carico: σx=Vp/xeff >1
⎞
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
30
15
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Fattore di carico
per segnale a distribuzione uniforme
Esempio: distribuzione del segnale uniforme su tutti i livelli
la funzione densità di probabilità del segnale è:
⎧ 1
⎪⎪ 2V
f ( x) = ⎨ p
⎪
⎩⎪0
]
altrove
e quindi il quadrato del valore efficace del segnale è:
2
xeff
=∫
+V p
−V p
[
∀x ∈ − V p ,V p
x 2 f ( x) dx = ∫
+V p
−V p
x2
3
1
1 2V p 1 2
= Vp
dx =
2V p
2V p 3
3
V
Vp
da cui il fattore di carico del segnale per
σx = p =
= 3
distribuzione uniforme del segnale è:
xeff V p 3
NOTA: 20 log10 σ x = 20 log10 3 = 4.77
PS: non confondere la distribuzione uniforme del segnale
con la quantizzazione uniforme del PCM
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31
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Influenza della probabilità di errore di
canale su SNR
SNR medio:
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[noloss]
⎛S⎞
=M2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[noloss]
M2
⎛S⎞
⎜ ⎟ =
2
⎝ N ⎠ out 1 + 4 M − 1 Pe
(
)
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,dB
− 3 dB
Imponiamo:
3 dB
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[ Pe = Pe* ]
1
⎛S⎞
≈
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[high_loss] 4 Pe
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[noloss]
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[high_loss]
Pe*
Pe*: probabilità di errore di soglia del canale
⎛S⎞
=2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ out,[ Pe = Pe* ]
Pe
Pe* =
quando il canale introduce un errore con probabilità superiore,
• l’SNR a destinazione è dominato dal termine 1/4Pe
• è inutile aumentare il numero di livelli di quantizzazione
(
1
)
4 M 2 −1
32
16
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Influenza della probabilità di errore di
canale su SNR
Progettazione di un codifcatore PCM
se non si conosce a-priori la probabilità di perdita del canale
si suppone che il canale introduca un rumore non superiore
a -3 dB, cioè abbia una probabilità di errore sul bit pari alla
probabilità di errore di soglia
si progetta il codificatore (scelta del numero di bit per parola
di codice) in modo da avere un SNR in sorgente (prima del
canale) pari al target SNR + 3 dB (+ l’eventuale
l eventuale
attenuazione del canale)
in questo modo a valle del canale si ha un SNR non inferiore
a quello target
33
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Esempio 3-1: progetto di un segnale PCM
per un sistema telefonico
34
17
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Esempio 3-1: progetto di un segnale PCM
per un sistema telefonico
35
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Esempio 3-1: progetto di un segnale PCM
per un sistema telefonico
⎛S⎞
= 3M 2
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ pk out
(3-74)
D=
D
2B
1+ r
36
18
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Esempio 3-1: progetto di un segnale PCM
per un sistema telefonico
In altre parole:
Se noi utilizziamo un canale con banda Bs= 40 kHz, con
risposta in frequenza opportunamente progettata (a
forma di coseno rialzato), riusciamo a far passare un
segnale con R=64 kbit/s senza introdurre ISI.
37
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Applicazione del PCM a sistemi audio ad
alta fedeltà
Nei sistemi audio ad alta fedeltà, i segnali audio sono
registrati
i t ti in
i PCM
Per avere un S/N medio di 90 dB [=6.02*n],
necessitiamo di parole PCM di n=15 bit
Il PCM utilizzato per i compact disc (CD) è a 16 bit, con
frequenza di campionamento a 44.1 kHz
fs
Banda al primo nullo
BPCM = R = nf s
n
BPCM = 2 ⋅ 20 kHz ⋅15 = 600 kHz
BPCM >> B
Anche se l’espansione di banda è notevole, raramente
gli apparati analogici superano un S/N medio di 70 dB!!!
38
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
CALCOLO DELL’SNR PER:
• Segnali
S
li con distribuzione
di t ib i
qualunque
l
• Quantizzazione NON uniforme
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Quantizzazione non uniforme
Proprietà dei segnali vocali analogici:
Distribuzione delle ampiezze non uniforme: i valori vicini allo
zero si presentano con maggiore probabilità rispetto a quelli
agli estremi della dinamica permessa
Soluzione:
QUANTIZZAZIONE NON UNIFORME
Utilizzo di un passo di quantizzazione piccolo per valori
dell’ampiezza vicini allo zero, e grande per valori maggiori
40
20
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Quantizzazione non uniforme
Utilizzo di un passo di quantizzazione piccolo per valori
dell’ampiezza vicini allo zero, e grande per valori maggiori
UNIFORME
NON UNIFORME
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Tecnica equivalente
(utilizzata nella pratica)
Definizione: Compressore
dispositivo non lineare con amplificazione
decrescente al crescere dell’ampiezza del
segnale
Lo stesso risultato della
quantizzazione non uniforme
si ottiene:
elaborando dapprima il segnale analogico
con un compressore
e poi codificando il segnale in uscita dal
compressore con un circuito PCM standard
a quantizzazione uniforme
42
21
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Compressione a legge μ
w2 (t ) =
dove:
l (1 + μ ⋅ w1 (t ) )
ln
ln(1 + μ )
il segnale w1(t) è normalizzato al valore di picco
nell’intervallo (-1,+1)
μ è un parametro positivo
Nota:
μ=0 corrisponde alla quantizzazione uniforme
(amplificazione lineare)
Aumentando μ il grado di compressione aumenta
(non-lineare)
Il valore μ=255 è utilizzato nelle reti telefoniche
nord-americane e giapponesi
In Europa si utilizza la legge di compressione A
43
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Compressione a legge A (in Europa)
1
⎧ A ⋅ w1 (t )
0 ≤ w1 (t ) ≤
⎪⎪1 + ln( A)
A
w2 (t ) = ⎨
⎪1 + ln( A ⋅ w1 (t ) ) 1 < w (t ) ≤ 1
1
⎪⎩ 1 + ln( A)
A
dove:
il segnale w1(t) è normalizzato al
valore
l
di picco
i
nell’intervallo
ll’i t
ll ((
1,+1)
A è un parametro positivo
44
22
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6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rapporto segnale-rumore in ricezione
Il ricevitore deve effettuare ll’operazione
operazione di espansione:
decompressione con una legge reciproca di quella in trasmissione
L’operazione di companding (compressing/expanding)
ha lo scopo di aumentare il rapporto segnale-rumore
Si può dimostrare che:
per legge di quantizzazione μ, il rapporto segnale-rumore
di picco è:
⎛S⎞
⎜ ⎟ =
⎝ N ⎠ pk
Nota: rispetto alla
quantizzazione
uniforme è cambiata
la potenza del rumore
3M 2
⎡⎛ x
2
ln (1 + μ ) ⋅ ⎢⎜ eff
⎢⎜⎝ V p
⎣
2
⎞
⎟ +4
⎟ μ
⎠
1
∫
0
1 ⎤
x f ( x) dx + 2 ⎥
μ ⎥
⎦
Vp: valore massimo del quantizzatore
xeff: valore efficace del segnale analogico
f(x): funzione densità di probabilità del
segnale analogico sui livelli
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
2
xeff
=∫
+V
−V
x 2 f ( x ) dx
Vp/xeff: fattore di carico
45
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
Rapporto segnale-rumore in ricezione
( Quant _ Uniforme )
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB,medio
In generale, ll’SNR
SNR medio è:
Legge A
xeff → 0
xeff → V p
( A)
( Quant _ Uniforme )
⎛S⎞
⎛S⎞
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB ,medio ⎝ N ⎠ dB ,medio
+ 20 log10
= 6.02 n + 4.77 − 20 log10
Vp
xeff
A
dB
1 + ln A
non dipende dalla
distribuzione del
segnale sui livelli
( A)
⎛S⎞
= 6.02 n + 4.77 − 20 log10 (1 + ln A) dB
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB , medio
Legge μ
(μ )
( Quant _ Uniforme )
μ
xeff → 0
⎛S⎞
⎛S⎞
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
N
⎝ ⎠ dB ,medio ⎝ N ⎠ dB ,medio
xeff → V p
⎛S⎞
= 6.02 n + 4.77 − 20 log10 (ln(1 + μ )) dB
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB ,medio
(μ )
+ 20 log10
ln (1 + μ )
dB
non dipende dalla
distribuzione del
segnale sui livelli
46
23
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Il PCM: trasmissione di segnali analogici su canali digitali
SNR medio in ricezione: confronto
companding vs. non-companding
CASO di PCM telefonico (n
(n=8)
8) e legge μ
Distribuzione f(x) gaussiana del segnale sui livelli
NOTA: il rapporto segnalerumore medio in ricezione
dipende dal livello del segnale per la
quantizzazione uniforme
è relativamente insensibile al livello
del segnale in caso di compading
( Quant _ Uniforme )
⎛S⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB,medio
= 6.02 n + 4.77 − 20 log10
Vp
xeff
(μ )
⎛S⎞
≈ 6.02 n + 4.77 − 20 log10 (ln(1 + μ )) dB
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ dB ,medio
per μ=255
4.77 − 20 log10 [ln (1 + μ )] = 4.77 − 14.878 = −10.11
47
24
