Divisibilità e Fattorizzazione

Divisibilità e Fattorizzazione
Def:
dati due numeri naturali a e b:
- se a è DIVISIBILE per b, allora a è MULTIPLO di b,
- se b è DIVISORE di a, allora b è SOTTOMULTIPLO di a .
Es:
10 è divisibile per 2  10 è multiplo di 2
8 è divisibile per 4  8 è multiplo di 4
20 è divisibile per 10  20 è multiplo di 10
2 è divisore di 10  2 è sottomultiplo di 10
3 è divisore di 9  3 è sottomultiplo di 9
4 è divisore di 12  4 è sottomultiplo di 12
Proprietà:
L’insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito.
L’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito.
Es:
D(25) = {1; 5; 25} divisori di 25
D (16) = {1; 2; 4; 8; 16} divisori di 16
D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} divisori di 18
M(10) = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100….} multipli di 10
M(7) = {7; 14; 21; 28; 35;…} multipli di 7
1
Def:
si dicono PARI tutti i MULTIPLI DI 2; si dicono DISPARI i numeri
naturali non pari.
Es:
P = {2; 4; 6; 8; 10 ;12; …} numeri pari  (2n)
D ={1; 3; 5; 7; 9; 11; 13…} numeri dispari  (2n+1)
CRITERI DI DIVISIBILITA’
1. DIVISIBILITÀ PER 2: un numero è divisibile per 2 se la sua
ultima cifra è PARI, cioè termina con: 0, 2, 4, 6, 8.
Es:
296  6 è pari  è divisibile per 2
9'870  0 è pari  è divisibile per 2
123  3 non è pari  non è divisibile per 2
2. DIVISIBILITÀ PER 3: un numero è divisibile per 3 se la somma
delle sue cifre è divisibile per 3;
Es:
123  1+2+3 = 6  6 è divisibile per 3  123 è divisibile per 3
2
4'271  4+2+7+1 = 14 14 NON è divisibile per 3  4'271 NON
è divisibile per 3
570 5+7+0=12  12 è divisibile per 3  570 è divisibile per 3
3. DIVISIBILITÀ PER 4: un numero è divisibile per 4 se le ULTIME
DUE CIFRE sono un multiplo di 4, oppure sono 00.
Es:
716  16 è multiplo di 4  716 è divisibile per 4
518  18 NON è multiplo di 4  518 NON è divisibile per 4
700  finisce con 00  700 è divisibile per 4
4. DIVISIBILITÀ PER 5: un numero è divisibile per 5 se la sua
ultima cifra è 0 oppure 5;
Es:
2'765  è divisibile per 5
1'110  è divisibile per 5
2913 non è divisibile per 5
5. DIVISIBILITÀ PER 9: un numero è divisibile per 9 se la somma
delle sue cifre è divisibile per 9;
Es:
162  (1+6+2) = 9  162 è divisibile per 9
3
7'308  (7+3+0+8) = 18  18 è multiplo di 9  è divisibile per
9
26'070  (2+6+0+7+0) = 15  15 NON è multiplo di 9  NON è
divisibile per 9
OSSERVAZIONE:
se un numero è divisibile per 9, lo è anche per 3; non vale il
contrario.
6. DIVISIBILITÀ PER 10, 100, 1'000 …..: un numero è divisibile
per 10, 100, 1'000 …. se termina con uno, due, tre …. zeri.
Es:
200  divisibile per 10 e 100
3'000  divisibile per 10, 100, 1'000
7. DIVISIBILITÀ PER 11: un numero è divisibile per 11 se la
differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la
somma delle sue cifre di posto pari è un multiplo di 11;
Es:
11 è multiplo di 11  9'185 è divisibile per 11
4
 22 è multiplo di 11  170'918 è
divisibile per 11
8. DIVISIBILITÀ PER 25: un numero è divisibile per 25 se le
ultime due cifre sono divisibili per 25 oppure termina con 00.
Es:
725  25 è divisibile per 25  è divisibile per 25
1'875  75 è divisibile per 25  è divisibile per 25
2'505  05 NON è divisibile per 25  NON è divisibile per 25
14'000  00  è divisibile per 25
Def:
Un numero naturale si dice PRIMO se è divisibile solo per se
stesso e per 1.
Un numero naturale si dice COMPOSTO se ammette altri divisori
oltre se stesso e 1.
Es:
5  D(5) = {1; 5}
primo
7
 D(7) = {1; 7}
primo
9
 D(9) = {1; 3; 9} composto
5
NUMERI PRIMI DA 2 A 47
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Def:
Scomporre un numero in FATTORI PRIMI significa trovare tutti i
numeri primi il cui prodotto è uguale al numero dato.
METODO DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Esempio:
 Nella colonna di destra POSSONO esserci SOLO
NUMERI PRIMI
 Il procedimento termina quando nella colonna
di sinistra si arriva al numero 1.
30 = 2·3·5
OSSERVAZIONE:
se un numero primo nella colonna di destra si ripete, nel risultato
si DEVONO utilizzare le POTENZE.
Esempio:
6
OSSERVAZIONE:
se il numero da scomporre termina con uno o più zeri, si può
dividere per 2·5 ( = 10 ), e poi per gli altri numeri primi.
Esempio:
OSSERVAZIONE:
si può dividere direttamente per un numero primo con potenza.
Esempio:
7