Esercizi di Algebra Commutativa Anelli delle frazioni e

Esercizi di Algebra Commutativa
Anelli delle frazioni e localizzazioni
1. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A e sia m un ideale massimale
tale che m ∩ S = ∅. Allora S −1 m è massimale in S −1 A. Vale il viceversa?
2. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A. Diremo che S e’ saturato
se vale: xy ∈ S ⇐⇒ x ∈ S, y ∈ S. Provare che se S è saturato allora
S = {a ∈ A | a1 è invertibile in S −1 A}.
3. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A.
• S saturato se e soltanto se S = A \ ∪α∈I pα con pα primi e pα ∩ S = ∅.
• Esiste S saturato tale che S
−1
A = S −1 A.
• Sia I un ideale ed S = {1 + i | i ∈ I}. Determinare S.
4. Se f è un elemento non nilpotente, allora vi è un ideale primo che non
contiene f (Utilizzare S = {f n }n≥0 }.
5. S −1 RA = RS −1 A , dove R è il nilradicale.
6. Sia A un anello. Allora A è ridotto se e soltanto se Ap è ridotto per ogni
ideale primo p.
7. Sia A un anello. Vale che A è un dominio se e soltanto se Ap è un dominio
per ogni ideale primo p?
8. Siano M un A-modulo f.g. ed S una parte moltiplicativa di A. Allora
S −1 (AnnA (M )) = AnnA (S −1 M ).
9. Sia A un dominio. Allora A = ∩m∈Max(A) Am .
10. Siano A un dominio, M un A-modulo, T (M ) il modulo di torsione di M e
S una parte moltiplicativa di A. Allora T (S −1 M ) = S −1 T (M ). Dedurre
che l’essere privo di torsione è una proprietà locale.
11. Sia A un anello, f ∈ A, f 6= 0. Allora Af ∼
= A[x]/(xf − 1).
12. Sia A un dominio con un numero finito di ideali primi. Provare che esiste
a ∈ A tale che K(A) = A[ a1 ].
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