ARITMETICA
N = {0 ,1 , 2 , 3 , 4 ,... n .... }
I NUMERI NATURALI
PRIORITA’ delle QUATTRO OPERAZIONI
SOMME e SOTTRAZIONI hanno la stessa priorità, se ho solo somme e sottrazioni le eseguo in fila
da sinistra a destra
10 + 5 − 3 + 8 = 15 − 3 + 8 = 12 + 8 = 20
MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la stessa priorità, se ho solo moltiplicazioni e divisioni
le eseguo in fila da sinistra a destra
30 : 3 ⋅ 5 : 2 = 10 ⋅ 5 : 2 = 50 : 2 = 25
MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la precedenza su SOMME e SOTTRAZIONI, in una
espressione prima bisogna eseguire le moltiplicazioni e le divisioni poi le somme e le sottrazioni
12 + 20 : 10 − 4 − 5 ⋅ 2 + 1 = 12 + 2 − 4 − 10 + 1 = 14 − 4 − 10 + 1 = 10 − 10 + 1 = 0 + 1 = 1
e
100 − 50 : 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 100 − 10 ⋅ 2 + 8 = 100 − 20 + 8 = 80 + 8 = 88
PROPRIETA’ delle POTENZE
25 = 21⋅ 4
2 ⋅2
2 ⋅4
23
⋅ 2 = 32
base
2
5
5volte
esponente
”due alla quinta”
moltiplico la base tante volte quanto è indicato dall’esponente.
Le potenze hanno la priorità sulle operazioni: prima le potenze, dopo le altre operazioni.
3 + 2 3 : 2 − 1 + 5 2 + 1 − 32 ⋅ 2 2 : 2 =
= 3 + 8 : 2 − 1 + 25 + 1 − 9 ⋅ 4 : 2 =
Esempio:
= 3 + 4 − 1 + 25 + 1 − 36 : 2 =
= 3 + 4 − 1 + 25 + 1 − 18 = 14
Le potenze godono delle seguenti proprietà
© Barbara Pozzi 2009
23 ⋅ 22 = 2 3 + 2 = 25
Somma degli
esponenti
Moltiplicazione
di due potenze con
uguale base
310: 37 = 310- 7 = 33
Sottrazione degli
esponenti
Divisione
di due potenze con
uguale base
( 22 )3 = 2 2⋅3 = 26
Moltiplico gli esponenti
Potenza di potenza
50 = 40 = 880 = … = 1
Qualsiasi numero
elevato alla zero
dà come risultato
UNO
OSSERVAZIONE
1) Se si deve calcolare una moltiplicazione o divisione di due potenze con stesso esponente si può prima
eseguire la moltiplicazione o divisione e dopo la potenza
3
2
esempi: 153 : 5 3 = (15 : 5) = 33 = 27 e 2 2 ⋅ 32 = (2 ⋅ 3) = 6 2 = 36
2) Se ci sono somme o sottrazioni si devono sempre eseguire prima le potenze
esempi:
4
3
81
−3
3 4 ≠ (8 − 3) e 51
+3
2 3 ≠ (5 + 2 )
2
2
123
123
4
4096 −81= 4015
5 4 =625
3
125+8=133
7 3 =343
LO ZERO
Sommare o sottrarre zero: il numero al quale si somma o sottrae zero non cambia
© Barbara Pozzi 2009
Es: 5 + 0 = 5 o
cioè vale sempre n + 0 = n e n − 0 = n
3–0=3
∀n ∈ N
Moltiplicare per zero: qualsiasi numero moltiplicato per zero dà sempre come risultato zero
Es: 4 ⋅ 0 = 0 o
cioè vale sempre n ⋅ 0 = 0
1256 ⋅ 0 = 0
∀n ∈ N
es: 0 : 4 = 0 infatti 0 ⋅ 4 = 0
Dividere: zero diviso un qualsiasi numero dà sempre zero
NON si può invece dividere un numero per zero
es: 4 : 0 = ? NESSUNA SOLUZIONE
Infatti non può esistere un numero che moltiplicato per zero dà 4 o un qualsiasi altro numero.
LE PARENTESI
Le parentesi servono, in un’espressione aritmetica contenente più operazioni, a indicare la priorità delle
operazioni da svolgere; in generale si svolgono PRIMA le operazioni delle parentesi più interne.
{…. […. ( …. ) ….] ….}
1e tonde
2e quadre
3e graffe
[(6 ⋅ 2 : 4 ): (10 : 5 − 7)⋅ 3 ] : (3
[3 : (2 − 7 )⋅ 3 ] : (3 ) =
[3 : (16 − 7)⋅ 3 ] : 3 =
[27 : 9 ⋅ 3 ] : 3 =
[3 ⋅ 3 ] : 3 =
[3 ] : 3 =
3
3
3
3
4
4 2
4
4 2
3
4 2
Esempio:
4 2
5 2
4
4 2
3
⋅ 32
)
2
=
5 2
10
10
10
10
310 : 310 = 1
MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m)
Fra un gruppo di due o più numeri è il più piccolo fra i multipli comuni.
Esempio: 4, 30, 54
m.c.m (4, 30, 54) = ?
MULTILPLI di 4 : (4⋅ 1) (4 ⋅ 2)
4
8
MULTILPLI di 30 : (30 ⋅ 1)
30
© Barbara Pozzi 2009
(4 ⋅ 3) (4 ⋅ 4) (4 ⋅ 5) …………
12
16
20 ……
(30 ⋅ 2) (30 ⋅ 3) (30 ⋅ 4) (30 ⋅ 5) …….
60
90
120
150 ……
(4 ⋅ 135) ….
540 ….
(30 ⋅ 18) ….
540 ….
MULTILPLI di 54 : (54⋅ 1) (54 ⋅ 2) (54 ⋅ 3) (54 ⋅ 4)
54
108
162
216
(54 ⋅ 5) …….
270 ……
(54 ⋅ 10) ….
540 ….
540 è il m.c.m. perché è il più piccolo numero che è contemporaneamente multiplo dei tre numeri dati.
Come calcolare il m.c.m.
Prima occorre FATTORIZZARE (cioè scrivere come prodotto) i numeri dati in NUMERI PRIMI.
I numeri primi sono i numeri maggiori di 1, che risultano divisibili esattamente solo per 1 e per se stessi: 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …
4 = 22
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
54 = 2 ⋅ 33
m.c.m. = moltiplico tutti i fattori, comuni e non comuni, presi con il massimo esponente
m.c.m (4, 30, 54) = 22 ⋅ 33 ⋅ 5 = 540
OSSERVAZIONI:
• il m.c.m. è sicuramente o il numero maggiore fra quelli dati o è maggiore di tutti
• moltiplicare fra loro i numeri dati fornisce sicuramente un loro multiplo comune, ma non è il minimo
(nell’esempio precedente 4 ⋅ 30 ⋅ 54 = 6480 che è maggiore di 540)
LE FRAZIONI
SIGNIFICATO DI FRAZIONE
Sia
N
D
una frazione: N è detto numeratore, D è detto denominatore.
Il significato di questa scrittura è:
divido l’unità 1 in D parti uguali e ne prendo un numero pari a N.
esempi:
2
= divido l’unità in 5 parti e ne prendo 2
5
|
0
2
<1
5
la frazione
|
|
2/5
|
2
è minore di 1
5
3
= divido l’unità in 2 parti e prendo 3 di queste parti
2
© Barbara Pozzi 2009
|
|
1
|
0
|
|
1
|
3/2
3
3
> 1 la frazione è maggiore di 1
2
2
Da questi esempi segue che
•
se N < D la frazione indica una quantità inferiore a 1
•
se N > D la frazione indica una quantità maggiore di 1 FRAZIONE IMPROPRIA
•
se N = D la frazione indica sempre 1
FRAZIONE PROPRIA
FRAZIONE APPARENTE
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI
Se voglio trasformare una frazione in un numero decimale, dovrò dividere il numeratore per il denominatore,
cioè
N
= N:D
D
Ad esempio
2
= 2:5 = 0,4
5
e
3
= 3:2 = 1,5
2
SEMPLIFICARE UNA FRAZIONE
Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, lo stesso numero decimale.
Esempio:
4 2
= = 0, 6
6 3
si dirà che
4 2
e
sono due frazioni equivalenti.
6 3
Data una frazione, si possono ricavare infinite frazioni ad essa equivalenti moltiplicando numeratore e
denominatore per uno stesso numero (non zero !), ad esempio
1 1⋅ 2 1⋅ 3 1⋅ 4
1⋅ n
= .... moltiplico il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero
=
=
=
= .... =
2 2⋅ 2 2⋅3 2⋅ 4
2⋅n
1 2 3 4
n
1
= = = = .... =
= ....
ottengo tutte le infinite frazioni equivalenti a .
2 4 6 8
2n
2
Semplificare una frazione significa trasformarla in una frazione ad essa equivalente ma con numeratore e
denominatore più piccoli; bisogna quindi dividere il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero.
Se non è possibile, la frazione non è semplificabile e viene detta irriducibile.
Esempio:
•
4 4:2 2
=
=
6 6:2 3
© Barbara Pozzi 2009
posso semplificare per 2 perché sia 4 sia 6 sono esattamente divisibili per 2
•
•
•
25 25 : 5 5
=
=
posso semplificare per 3 perché sia 25 sia 15 sono esattamente divisibili per 3
15 15 : 5 3
24 24 : 2 12 12 : 3 4
=
=
=
=
posso semplificare sia per 2 sia per 3 o in un solo passaggio per 6
42 42 : 2 21 21 : 3 7
4
non posso semplificare perché 4 e 9 non hanno divisori comuni (sono primi fra loro)
9
CONFRONTARE FRAZIONI FRA LORO
Mettere in ordine crescente le frazioni
Osservo che
1 4 11 3
, , , senza trasformarle in numeri decimali.
4 6 10 5
11
è la maggiore di tutte le altre perché è maggiore di 1 mentre le altre sono tutte minori di 1.
10
Per confrontare le frazioni devo trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore. Il
denominatore comune è in m.c.m. fra i denominatori delle frazioni date:
m.c.m.(4, 6, 10, 5) = m.c.m.(22, 3⋅2, 5⋅2, 5) = 22⋅3⋅5 = 60
Trasformo le frazioni date in frazioni equivalenti aventi come denominatore 60:
•
60 : 4 = 15
•
60 : 6 = 10
•
60 : 10 = 6
•
60 : 5 = 12
1 1 ⋅15 15
=
=
4 4 ⋅15 60
4 4 ⋅10 40
=
allora
=
6 6 ⋅10 60
11 11 ⋅ 6 66
allora
=
=
10 10 ⋅ 6 60
3 3 ⋅12 36
allora
=
=
5 5 ⋅12 60
allora
prima divido il nuovo denominatore 60 per il vecchio denominatore di una frazione e poi moltiplico il
risultato ottenuto per il numeratore.
Confronto i nuovi numeratori:
15 < 36 < 40 < 66
allora
1 3 4 11
< < < .
4 5 6 10
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
SOMME E DIFFERENZE DI FRAZIONI
Per sommare o sottrarre due frazioni devo prima avere lo stesso denominatore (come quando faccio il
confronto), poi sommo o sottraggo i numeratori.
Esempio:
m.c.m.(2, 4,3) = 12 allora
© Barbara Pozzi 2009
•
•
•
1 3 2 (12 : 2 ⋅1) + (12 : 4 ⋅ 3) − (12 : 3 ⋅ 2) 6 + 9 − 8 7
+ − =
=
=
2 4 3
12
12
12
calcolo il denominatore comune, cioè il m.c.m. fra i denominatori
moltiplico i numeratori come quando faccio il confronto
sommo o sottraggo i numeratori
MOLTIPLICAZIONI
Per moltiplicare due o più frazioni mi basta moltiplicare fra loro tutti i numeratori e tutti i denominatori
facendo attenzione alle possibili semplificazioni fra numeratori e denominatori.
1 2 9 1 ⋅ 2 ⋅ 9 18
⋅ ⋅ =
poi semplifico per 18,
=
2 3 6 2 ⋅ 3 ⋅ 6 36
Esempio:
•
•
oppure
•
•
18 18 : 18 1
=
=
36 36 : 18 2
moltiplico tutti i numeratori fra loro
semplifico il risultato ottenuto se possibile
1 2 9
1 2 : 2 9 1 1 9 1 1 9 : 3 1 1 3 1 1 3 : 3 1 ⋅ 1 ⋅1 1
⋅ ⋅ =
⋅
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
=
=
2 3 6 2: 2 3 6 1 3 6 1 3:3 6
1 1 6 1 1 6 : 3 1 ⋅1 ⋅ 2 2
semplifico il più possibile considerando coppie di un numeratore e un denominatore (semplifico in
croce)
moltiplico i numeratori fra loro e i denominatori fra loro
DIVISIONI
Per eseguire una divisione fra due frazioni dovrò trasformarla in una moltiplicazione prendendo il reciproco
della seconda frazione, cioè scambiando numeratore e denominatore della seconda frazione.
1 3 1 5 5
÷ = ⋅ =
4 5 4 3 12
Esempio:
(il reciproco di
3 5
è )
5 3
POTENZA
Per elevare ad una potenza una frazione elevo a quella potenza il suo numeratore ed il suo denominatore.
2
22
4
2
= 2 =
5
5
25
Esempio:
I NUMERI RELATIVI
I numeri relativi, o numeri con segno vengono introdotti per risolvere il seguente problema.
PROBLEMA: se posso utilizzare solo i numeri naturali N ci sono operazioni che non possono essere
eseguite. Facciamo due esempi.
es1) 5 − 2 = 3
0
1
2
3
4
5
questa operazione può essere eseguita e dà come risultato 3
?
es2) 2 − 5 = ?
© Barbara Pozzi 2009
6
7
8
.....
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.....
questa operazione non può essere eseguita se ho solo i numeri interi naturali N.
Per superare questo problema si introduce l’insieme dei numeri relativi Z, cioè l’insieme formato dai numeri
interi preceduti da un segno + o da un segno -.
Z = { ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ... }
....
-5
-4
-3
-2
negativi (minori di zero)
-1
0
zero
1
2
3
4
......
positivi (maggiori di zero)
-5
-1
0
1
2
allora 2 - 5 = -3
....
-4
-3
-2
3
4
......
- 3
segno
modulo o valore assoluto
L’insieme dei numeri interi relativi Z contiene l’insieme N dei numeri naturali (Z ⊃ N)
Allo stesso modo si possono introdurre le “frazioni con segno” : +
1 1 5 1
,− ,− ,+ ,....
2 2 4 3
Tutti questi numeri formato l’insieme dei numeri razionali Q: Q ⊃ Z ⊃ N
Il loro ordinamento sulla retta è speculare rispetto allo zero:
Due numeri relativi si dicono:
• CONCORDI se hanno lo stesso segno
• DISCORDI
se hanno segno opposto
• OPPOSTI
se hanno stesso modulo e segno opposto
• UGUALI
se hanno stesso modulo e stesso segno
LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI
© Barbara Pozzi 2009
esempi: + 5 e +10 ; − 2 e – 7
esempi: + 5 e – 10 ; − 2 e + 7
esempi: + 5 e – 5 ; − 2 e + 2
Si ricordi il seguente schema detto “regola dei segni”
per e diviso
+
cioè
+
+
-
+
CONCORDI
(+ ) ⋅ (+ ) = +
(− ) ⋅ (− ) = + se moltiplico o divido due numeri concordi il risultato è sempre positivo
DISCORDI
(+ ) ⋅ (− ) = −
(− ) ⋅ (+ ) = − se moltiplico o divido due numeri discordi il risultato è sempre negativo
Esempi:
(+2) (+3) = + (2) (3) = +6
(+2) (-5) = - (2) (5) = -10
3
1 3
1 3
+ − = − = −
2 5
2 5
10
(-3) (-4) = + (3) (4) = +12
(+6) : (-2) = - (6:2) = -12
3
3 5
3 2
3 1
− : − = + ⋅ = + ⋅ = +
4 2
4 5
2 5
10
POTENZE
Base positiva
(+ 2 )2 = +4
3
(+ 2 ) = +8
se la base è positiva il risultato è sempre positivo
(− 2 )2 = +4
Base negativa
3
(− 2 ) = −8
se la base è negativa il risultato è:
positivo se l’ESPONENTE è PARI
negativo se l’ESPONENTE è DISPARI
Questo è dovuto alla regola dei segni, infatti
indice PARI
(1
− ) ⋅ (− ) ⋅ (− ) ⋅ (− ) = +
23 123
indice DISPARI
(1
− ) ⋅ (− ) ⋅ (− ) ⋅ (− ) ⋅ (− ) = −
23 123
le stesse regole si applicano alle frazioni
2
4
2
− = +
3
9
3
8
2
− = −
3
27
POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO
Cosa significa 2 −5 ?
© Barbara Pozzi 2009
2
1
1
+ = +
5
25
+
+
+
+
L’esponente negativo – 5 significa: prendere il reciproco della base
5
Esempi:
2
−5
1
1
1
= = 5 =
32
2
2
e
2
3
−4
4
3 4 81
3
= = 4 =
16
2
2
Se le basi sono numeri relativi, bisogna fare attenzione ai segni
Esempi:
(+ 2)
−3
3
1
1
= + = +
8
2
,
(− 2)
−3
3
1
1
= − = −
8
2
e
(− 2)
−4
4
1
1
= − = +
16
2
SOMME e SOTTRAZIONI
→
Somma CONCORDI
(+ 5) + (+ 2 ) = 5 + 2 = +7
(− 5) + (− 2 ) = −5 − 2 = −7
stesso segno e somma dei moduli
Somma DISCORDI
(+ 5) + (− 2) = 5 − 2 = +3
(− 5) + (+ 2) = −5 + 2 = −3
segno del maggiore e differenza dei moduli
Sottrazione CONCORDI
(+ 5) − (+ 2) = 5 − 2 = +3
(− 5) − (− 2 ) = −5 + 2 = −3
sottrazione di concordi E’ somma di discordi
Sottrazione DISCORDI
(+ 5) − (− 2 ) = 5 + 2 = +7
(− 5) − (+ 2 ) = −5 − 2 = −7
sottrazione di discordi E’ somma di concordi
SOMME ALGEBRICHE
Osservazione: secondo la regola dei segni, una parentesi con davanti un segno meno può essere eliminata
cambiando i segni di tutti i numeri in essa contenuti, cioè
5 + 2 − (− 8 + 4 − 3 + 1) = 5 + 2 + 8 − 4 + 3 − 1 = 13
Le stessa regole valgono per le frazioni
1 1 3 1 5
6 + 3 : 2 − 1 : 3 − 2 + 2 =
1 + 2 3 − 2 2 − 15 + 12
=
:
:
=
6
6 2
Esempio:
3 1 −1
= : : =
6 2 6
3 1
= ⋅ 2 : − =
6 6
= 1 ⋅ (− 6 ) = −6
PROPORZIONI
Una proporzione è un’uguaglianza fra due frazioni equivalenti, cioè frazioni che rappresentano la stessa
quantità e lo stesso numero decimale
© Barbara Pozzi 2009
esempio:
1 3
= = 0,5
2 6
allora si può scrivere
1: 2 = 3 : 6
“1 sta a 2 come 3 sta a 6”
n1 : d1 = n2 : d2
In generale
⇒
n1 n 2
=
d1 d 2
medi
estremi
n1 e d2 sono detti TERMINI ESTREMI della PRPORZIONE
n2 e d1 sono detti TERMINI MEDI della PRPORZIONE
COME RISOLVERE UNA PROPORZIONE quando uno dei termini è incognito (non noto)
I) Se l’incognita è un termine ESTREMO:
x : d1 = n 2 : d 2
x=?
esempio: x : 5 = 20 : 10
x=
moltiplico i medi e divido per l’estremo noto
x=
⇒
5 ⋅ 20
10
d1 ⋅ n2
d2
= 10
oppure
n1 : d1 = n2 : x
esempio: 35 : 7 = 5 : x
x=?
x=
⇒
x=
d1 ⋅ n2
n1
7⋅5
=1
35
II) Se l’incognita è un termine MEDIO: moltiplico gli estremi e divido per il medio noto
n1 : x = n2 : d 2
esempio: 4 : x = 100 : 50
x=?
x=
⇒
x=
n1 ⋅ d 2
n2
x=
n1 ⋅ d 2
d1
4 ⋅ 50
=2
100
oppure
n1 : d1 = x : d 2
esempio: 16 : 4 = x : 3
© Barbara Pozzi 2009
x=?
x=
⇒
16 ⋅ 3
= 12
4
PERCENTUALI
Una PERCENTUALE è un numero che equivale ad una frazione con il denominatore uguale a 100.
x% =
x
100
Esprimere un rapporto
esempio:
16% =
16
100
“16 per cento”
n
in percentuale significa impostare la seguente proporzione
d
n
x
=
d 100
⇒
n : d = x : 100 “n è l’x% di d”
Esempi:
•
“3 è il 25% di 12”
3 : 12 = 25 : 100
•
“il 5% di 40 è 2”
2 : 40 = 5 : 100
Alcune percentuali di uso comune:
il 20% equivale a
20 1
= un quinto
100 5
il 25% equivale a
25 1
= un quarto
100 4
il 50% equivale a
50 1
= un mezzo
100 2
il 75% equivale a
75 3
= tre quarti
100 4
© Barbara Pozzi 2009
3
25
=
= 0,25
12 100
2
5
=
= 0,05
40 100
il 100% equivale a
100
= 1 l’intero
100
Utilizzare le percentuali:
I) Calcolare il 15% di 35:
x : 35 = 15 : 100
x=
35 ⋅15
= 5,25
100
II) Di quale numero 8 è il 20%:
8 : x = 20 : 100
x=
8 ⋅100
= 40
20
III) Quale percentuale è 13 rispetto a 52:
13 : 52 = x : 100
x=
13 ⋅100
= 25 è il 25%
52
© Barbara Pozzi 2009
