Elementi di Statistica
Sperimentazioni di Fisica I
mod. A – Statistica - Lezione 4
Marco Mazzocco
Lezione 4:
1. Generalità
Dipartimento di Fisica “G. Galilei”, Università di Padova
5 dicembre 2011
Introduzione
A causa della presenza degli inevitabili errori, la misura
di una grandezza fisica può essere considerata un
evento casuale ed il numero reale risultato della
misura una variabile casuale definita sullo spazio dei
risultati, S.
Un insieme finito di operazioni di misura, un campione,
può essere pensato come un particolare sottoinsieme
formato da elementi estratti a caso dall’insieme di
tutte le possibili operazioni di misura, l’universo o la
popolazione.
Esamineremo i rapporti tra grandezze statistiche relative
ad un campione limitato e all’intera popolazione.
Definizione Empirica di Probabilità
Esempi di Variabili Casuali
Lancio di un Dado
Possiamo associare ad ogni faccia di un dado il punteggio
inciso sulla faccia (numero compreso tra 1 e 6);
Lancio di due Monete
evento casuale E: apparizione di “testa” al primo lancio
evento casuale F: apparizione di “testa” al secondo lancio
Variabile casuale x: numero di “teste” osservate
Evento Casuale Composto
x
EF
2
EF
1
EF
1
EF
0
Elementi di Statistica
Detta nj, la frequenza assoluta con cui si è presentato
il risultato xj nelle N prove complessivamente
Indichiamo con fj, la frequenza relativa del risultato xj
Lezione 4:
2. Speranza Matematica
Se il numero di prove N è molto grande, ciascuna fj
tenderà statisticamente al valore pj, probabilità
(empirica) di osservare il valore xj.
1
Esempio: N = 30
Valor Medio e Speranza Matematica
Dato un campione finito, il valor medio della
variabile x è definito dall’equazione:
Supponiamo di lanciare 30 volte un dado
Definiamo un’analoga quantità, E(x), relativa
all’intera popolazione:
E(x) si chiama speranza matematica della variabile
casuale x ed è una generalizzazione all’intera
popolazione del concetto di media aritmetica.
E(x) è, impropriamente, chiamata anche valore medio
della variabile casuale x sull’intera popolazione.
Evento
x
pi
ni
fi
“1”
1
1/6
5
0.167
“2”
2
1/6
4
0.133
“3”
3
1/6
3
0.100
“4”
4
1/6
4
0.133
“5”
5
1/6
7
0.233
“6”
6
1/6
7
0.233
Esempio: N = 100
Esempio: N = 600
Supponiamo di lanciare 100 volte un dado
Supponiamo di lanciare 600 volte un dado
Evento
x
pi
ni
fi
Evento
x
pi
ni
fi
“1”
1
1/6
16
0.16
“1”
1
1/6
97
0.162
“2”
2
1/6
17
0.17
“2”
2
1/6
106
0.177
“3”
3
1/6
21
0.21
“3”
3
1/6
110
0.183
“4”
4
1/6
18
0.18
“4”
4
1/6
102
0.170
“5”
5
1/6
14
0.14
“5”
5
1/6
91
0.152
“6”
6
1/6
14
0.14
“6”
6
1/6
94
0.157
Esempio: N = 6000
Varianza della Popolazione
Supponiamo di lanciare 6000 volte un dado
Evento
x
pi
ni
fi
“1”
1
1/6
1024
0.171
“2”
2
1/6
962
0.160
“3”
3
1/6
994
0.166
“4”
4
1/6
979
0.163
“5”
5
1/6
994
0.166
“6”
6
1/6
1047
0.175
La speranza matematica per la variabile casuale
[x - E(x)]2, ovvero la generalizzazione all’intera
popolazione della varianza campionaria, s2:
si indica con il simbolo Var(x), σx2
e la chiameremo varianza della popolazione della
variabile casuale x.
2
Elementi di Statistica
Lezione 4:
3. Valore Medio delle
Combinazioni Lineari
Valor Medio
Applicando la legge della probabilità totale:
La speranza matematica E(z) della variabile casuale z:
Valor Medio delle Combinazioni Lineari
Consideriamo due variabili casuali x ed y, di
speranza matematica E(x) ed E(y), rispettivamente.
Consideriamo una loro qualsiasi combinazione lineare
a coefficienti costanti
z = ax + by
Indichiamo con xj i possibili valori della variabile
casuale x e con yk quelli della variabile casuale y.
Indichiamo con pj e qk la probabilità di ottenere un
determinato valore x = xj e y = yk rispettivamente
per le due variabili casuali.
Infine chiamiamo Pjk la probabilità che
simultaneamente si abbia x = xj ed y = yk.
Combinazioni Lineari
Per induzione completa, si può estendere il risultato
della dimostrazione alla combinazione lineare di
un numero qualsiasi di variabili casuali:
F = ax + by + cz + …
otteniamo
E(F) = aE(x) + bE(y) + cE(z) + …
Speranza Matematica della Media Aritmetica (I)
Speranza Matematica della Media Aritmetica (II)
Applichiamo questa equazione alla media aritmetica
Supponiamo di prelevare due diversi campioni di N
misure dall’intera popolazione. Le medie aritmetiche
dei due campioni saranno in generale diverse.
Quale sarà la speranza matematica di x, E(x), ovvero il
valore medio delle varie medie aritmetiche x su un
numero elevato di campioni, ciascuno di N misure,
estratti a caso dalla popolazione?
Il valore medio della popolazione (speranza matematica)
delle medie aritmetiche dei campioni di dimensione
finita N estratti da una popolazione coincide con il
valore medio della popolazione stessa.
3
Elementi di Statistica
Lezione 4:
4. Varianza delle
Combinazioni Lineari
Varianza di Combinazioni Lineari (I)
Consideriamo una combinazione lineare di due
variabili statisticamente indipendenti, x e y, che
assumiamo (per semplicità) abbiano speranza
matematica nulla, E(x) = E(y) = 0.
z = ax + by
E(z) = E(ax + by) = aE(x) + bE(y) = 0
Indichiamo con σx2, σy2 e σz2 le varianze delle
popolazioni delle variabili casuali x, y e z,
rispettivamente.
Quale relazione legherà σz2 a σx2, σy2?
Varianza di Combinazioni Lineari (II)
Teorema (I)
Due variabili casuali, x e ξ, che differiscano per una
costante additiva, ξ = x + k, hanno la stessa varianza.
Teorema (II)
Teorema della Varianza
Date due variabili casuali, x e y, qualsiasi ed una loro
generica combinazione lineare, z = ax + by,
definiamo altre due variabili casuali ausiliari, ξ e
η, aventi speranza matematica nulla.
“Una combinazione lineare a coefficienti costanti di
due variabili casuali statisticamente indipendenti ha
varianza uguale alla combinazione lineare delle
rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati
dei coefficienti rispettivi”
z = ax + by
σz2 = a2σx2 + b2σy2
Per induzione completa possiamo estendere questo
teorema ad una combinazione lineare di un numero
finito qualsiasi di variabili casuali tutte
statisticamente indipendenti tra loro
F = ax + by + cz + …
σF2 = a2σx2 + b2σy2 + c2σz2 + …
Una combinazione lineare di ξ e η, ζ = aξ + bη, che
differirà da z per una costante additiva pari a aE
(x) + bE(y), avrà varianza pari a
Ma x e ξ hanno la stessa varianza, così come y ed η e
pertanto anche z e ζ avranno la stessa varianza.
4
Elementi di Statistica
Errore della Media (I)
Applichiamo il teorema della varianza alla media
aritmetica di un campione di N misure
indipendenti estratto da una popolazione.
Lezione 4:
5. Errore della Media
dei Campioni
Errore della Media (II)
Le medie aritmetiche di campioni di N misure
hanno varianza pari alla varianza della
popolazione da cui provengono, divisa per la
dimensione del campione.
L’errore quadratico medio della media di un
campione è minore dell’analogo errore
(quadratico medio) delle singole misure, e tende
a zero al crescere del numero di misure effettuato.
Errori Casuali e Sistematici
Gli errori casuali possono verificarsi con uguale
probabilità in difetto ed in eccesso rispetto al valore
vero, ed avranno valor medio nullo.
Gli errori sistematici causeranno una differenza tra il
valore medio delle misure E(x) ed il valore vero x*.
In assenza di errori sistematici, assumiamo che valore
medio e valore vero coincidano E(x) ≡ x*.
Elementi di Statistica
Lezione 4:
6. Valore Medio e
Valore Vero
Valore Medio
Abbiamo postulato che E(x) ≡ x* e
sappiamo inoltre che E(x) = E(x) ≡ x*.
Non solo x converge ad E(x) all’aumentare della
dimensione del campione, ma mediamente x
coincide con E(x).
Ripetendo varie volte la misura ed ottenendo più
campioni con diverse medie aritmetiche, dando
come stima di E(x) la media di uno dei nostri
campioni, abbiamo la stessa probabilità di
sbagliare per difetto o per eccesso.
La media di un campione è una stima imparziale
del valore medio dell’intera popolazione.
5
Elementi di Statistica
Varianza
Qual è la relazione tra varianza campionaria, s2, e
varianza della popolazione, σ2 ?
Lezione 4:
7. Scarto ed Errore
Quadratico Medio
Varianza della Popolazione (I)
Varianza della Popolazione (II)
La varianza della popolazione è definita come:
La varianza campionaria può essere espressa come:
Considerando le speranze matematiche dei 2 membri
Stima della Varianza della Popolazione
Ricordando che la speranza matematica del quadrato
degli scarti di una variabile dal suo valore medio
(E
(x) = E(x) = x*) è la varianza della variabile stessa:
1. Il valore medio della varianza campionaria s2 è
sistematicamente inferiore all’analoga grandezza
σ2 riferita all’intera popolazione (stima parziale).
2. La differenza tra la varianza della popolazione e
la varianza di un campione di N misure da essa
estratto è in media pari alla varianza della media
del campione.
Esempio: Lancio di un Dado
Nel caso del lancio di un dado, conosciamo sia il
valore medio della popolazione …
Mediamente la varianza di un campione di N
misure è inferiore alla varianza dell’intera
popolazione di un fattore (N-1)/N.
Per una stima imparziale (mediamente corretta) di
σ2x si usa la quantità µ2x definita come
la cui speranza matematica coincide con σ2x.
… che la varianza della popolazione:
Consideriamo 100 campioni ciascuno di M = 30,
100, 600 e 6000 lanci.
Calcoliamo media, varianza campionaria s2,
varianza corretta µ2 e varianza della media per
i 4 diversi set di campioni.
6
Analisi Statistica
Media dei Campioni
Dimensione
del
Campione
(M)
Media
Varianza
Campionaria
s2
Varianza
Corretta
µ2
Varianza
della Media
30
3.495
2.795
2.892
0.078
100
3.493
2.869
2.898
0.025
600
3.4910
2.921
2.925
0.0036
6000
3.4970
2.919
2.919
0.0005
Varianza della Media
La varianza della media diminuisce all’aumentare
della dimensione del campione, M.
Elementi di Statistica
Lezione 4:
8. Errore Quadratico Medio
Il grafico delle medie dei 100 campioni risulta
effettivamente più concentrato (cioè ha minore
varianza) all’aumentare della dimensione del
campione, M.
Varianza Campionaria s2
La varianza campionaria fornisce
una stima sistematicamente
inferiore della varianza della
popolazione e la discrepanza
diminuisce all’aumentare della
dimensione del campione, M.
Dimostrazione Alternativa (I)
Supponiamo di avere M campioni (indicizzati
dall’indice j = 1,2,…,M), ciascuno costituito da N
misure ripetute della grandezza x, contrassegnate
dall’indice i = 1,2,…,N).
Il valore osservato nella misura i-esima del campione
j-esimo è indicato dal simbolo xij.
Sia x* il valor vero della grandezza x ed xj la media
aritmetica del campione j-esimo.
7
Dimostrazione Alternativa (II)
Sommiamo su i = 1,2,…,N e dividiamo per N.
Indichiamo con sj2 la varianza del campione j-esimo
Sommiamo su j = 1,2,…,M e dividiamo per M.
Dimostrazione Alternativa (III)
Facciamo ora tendere il numero di campioni M → ∞.
Il membro a sinistra converge statisticamente alla
varianza della variabile casuale x, σx2.
Il primo termine a destra converge alla speranza
matematica della varianza dei campioni di N
misure, E(s2x).
Il secondo termine a destra converge alla varianza
delle medie dei campioni di N misure, σx2.
Dimostrazione Alternativa (IV)
Abbiamo già dimostrato che:
8
