L`insieme dei numeri razionali assoluti - Nervi

I multipli e i divisori di un numero
Se la divisione tra due numeri naturali a e b ha quoziente q e resto 0 si dice che:
a è divisibile per b
a è multiplo di b
b è divisore di a
Es.:
10 : 5  2 quoziente = 2 e resto = 0
Possiamo dire che:
10 è divisibile per 5
10 è multiplo di 5
5 è divisore di 10
Il minimo comune multiplo
Si dice minimo comune multiplo di due o più di due numeri naturali il minore dei loro multipli comuni.
Esempio
Multipli comuni ai numeri 5 e 10 sono 10, 20, 30,….
Il m.c.m. (5,10) = 10
Ma come calcolare il minimo comune multiplo tra 28 e 96?
Si scompongono 28 e 96 in fattori primi (un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso e 1)
28  2 2  7
96  2 5  3
Il m.c.m. (28,96) = 25 ∙ 7 ∙ 3 = 32 ∙ 21 = 672
Regola
Il minimo comune multiplo si ottiene moltiplicando i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il
massimo esponente.
Le frazioni
Abbiamo visto che in N la divisione esatta non è sempre possibile.
Per esempio se eseguiamo in N la divisione 5 : 2 otteniamo come quoziente 2 e resto 1.
Per ottenere il quoziente esatto occorre proseguire la divisione e introdurre i numeri con la virgola.
Inoltre le frazioni sono utili perché a differenza dei numeri naturali e dei numeri interi consentono di indicare
una parte dell’intero.
Definizione
Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0 si dice frazione il simbolo
della divisione tra a e b. Cioè
a
che rappresenta il quoziente esatto
b
a
 a :b
b
a
il numero a si dice numeratore mentre il numero b si dice denominatore.
b
1
Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore. Es.
4
5
Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore. Es.
2
15
Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore. Es.
5
Se consideriamo la frazione
Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità.
Ad esempio
1
2
di una torta e
di una torta rappresentano parti equivalenti di una torta.
2
4
La proprietà invariantiva delle frazioni
Se si moltiplica (o se si divide) sia il numeratore che il denominatore di una frazione per uno stesso numero
(diverso da zero) si ottiene una nuova frazione equivalente
Questa proprietà è utile perché permette:
1. La semplificazione di una frazione
2. L’addizione e la sottrazione tra frazioni che non hanno lo stesso denominatore
La semplificazione di una frazione
Semplificare una frazione significa trasformarla in una frazione equivalente con il numeratore e il
denominatore più piccoli.
Ad es. la frazione
20
20 20 : 2 10
si semplifica così
=
=
8
8
8:2 4
(abbiamo diviso per 2 sia il numeratore che il denominatore).
Quando una frazione non si può semplificare si dice irriducibile. Esempio
12
5
Ridurre ai minimi termini una frazione significa semplificarla fino a farla diventare irriducibile.
Es.
18 18 : 2 9 9 : 3 3
=
= 

12 12 : 2 6 6 : 3 2
Le operazioni con le frazioni
L’addizione e la sottrazione tra frazioni
a) L’addizione e la sottrazione tra frazioni che hanno lo stesso denominatore è semplice.
Es.
1 3 1 3 4 1
 
 
8 8
8
8 2
è ovvio che
1 3
4
1
 di una torta equivalgono a cioè della torta.
8 8
8
2
b) L’addizione e la sottrazione tra frazioni che non hanno lo stesso denominatore.
Es.
1 2

2 5
Dobbiamo fare in modo che le due frazioni abbiano lo stesso denominatore.
Come denominatore comune si sceglie il m.c.m. dei denominatori: m.c.m. (2, 5) = 10
Scriviamo delle frazioni equivalenti a quelle date con denominatore uguale a 10.
1 1 5
5


2 2  5 10
Quindi
2 22 4


5 5  2 10
1 2 5
4 54 9
   

2 5 10 10
10
10
La moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando i due numeratori e i due denominatori.
2  7  14
  
5  3  15
1
2
2  1
2
2
Prima di effettuare le moltiplicazioni è opportuno ridurre le frazioni ai minimi termini semplificando se
possibile in croce.
4  10 
2 8
   4  
5 7
7 7
4 13 2 1 2
   
10 39 5 3 15
Due frazioni si dicono inverse o reciproche se il loro prodotto è 1.
La divisione
Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inversa della seconda.
2 7 2 3 6
 :     
5  3  5  7  35
1
1 1 1
:2   
2
2 2 4
L’elevamento a potenza
La potenza di una frazione si ottiene elevando a potenza il numeratore e il denominatore.
3
4
1
1
  
 2  16
0
8
2
  
 3  27
7
  1
5
Continuano a valere tutte le proprietà delle potenze viste in N e Z.
Ad es. la proprietà per cui la divisione tra due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base
e per esponente la differenza degli esponenti.
4
6
 3  3  3
  :    
 2  2  2
2
Ma che significato dobbiamo attribuire ad una potenza con esponente intero negativo? Calcoliamo il
quoziente in un altro modo:
3 3
  
2
2
1
1
2 2
3 3
3
2 2



 1 :    1     
  :  
2
 2   2   3  3  3  3   3  3   3 
2
3 3
             
2 2 2 2 2 2 2
2
4
2
 3
2
Dobbiamo quindi concludere che     
 2
3
2
In generale:
a n 
1
an
Trasformazione delle frazioni in numeri decimali
1. Frazioni apparenti
Dalle frazioni apparenti si ottengono numeri interi:
6
3
2
27
1
27
2. Frazioni decimali (sono le frazioni il cui denominatore è 10 oppure è una potenza di 10)
Dalle frazioni decimali si ottengono numeri decimali finiti:
32
 3,2
10
(si scrive il numeratore e partendo da destra si sposta la virgola di tanti posti quanti sono gli zeri
del denominatore)
1779
 1,779
1000
3,2 è formato da una parte intera 3 e da una parte decimale 2 formata da 2 decimi
1,779 è formato da una parte intera 1 e da una parte decimale 779 formata da 7 decimi,
da 7 centesimi e da 9 millesimi
3. Frazioni non apparenti e non decimali
Si possono dividere in due categorie:
Frazioni il cui denominatore scomposto in fattori primi contiene solo i fattori 2 e 5.
Queste frazioni utilizzando la proprietà invariantiva si possono trasformare in frazioni decimali e quindi
danno origine a numeri decimali finiti.
3 3 2 6

  0,6
5 5  2 10
3
3 4
12


 0,12
25 25  4 100
Frazioni il cui denominatore scomposto in fattori primi non contiene né il fattore 2 né il fattore 5 oppure
contiene il 2 o il 5, ma insieme ad altri fattori.
Dividendo il numeratore per il denominatore si ottengono numeri decimali non finiti o illimitati che si
dicono periodici, perché nella parte decimale una cifra oppure un gruppo di cifre (detto periodo) si ripete
all’infinito.
2
 0,6666666 ....  0, 6
3
il denominatore non contiene né il 2 né il 5
(periodico semplice perché il periodo 6 che si ripete all’infinito viene subito dopo la virgola)
17
 1,41666666 ...  1,41 6
12
il denominatore 12 = 3 ∙ 22 non contiene solo il fattore 2
(periodico misto perché il periodo 6 non viene subito dopo la virgola, ma tra la virgola e il periodo ci sono
altre cifre, che costituiscono l’antiperiodo)
Trasformazione di un numero decimale finito in frazione
Nel caso di un numero decimale finito, la frazione generatrice è la frazione decimale che ha per numeratore
il numero scritto senza la virgola e per denominatore il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre
decimali.
0,817 
0817  1000 817

1000
1000
9,4 
9,4  10 94

10
10
0,5 
0,5  10 5

10
10
Non esamineremo come trasformare un numero decimale illimitato nella frazione generatrice.