Lezioni di Aerodinamica

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Università di Napoli Federico II
Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
http://www.dias.unina.it
Lezioni di Aerodinamica
A.A. 2010-2011
Renato Tognaccini
Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
Università di Napoli Federico II
Piazzale V. Tecchio 80, 80125 Napoli
email: [email protected]
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Introduzione
2/286
• Aerodinamica: ramo della Meccanica dei fluidi (Fluidodinamica)
che si concentra sull’analisi dell’interazione tra una corrente fluida
ed un corpo immerso in essa.
• Fluido: materia senza una forma propria; caratterizzato da un
proprio volume (liquido), o senza volume proprio (gas), assume
cioè il volume del suo contenitore.
• Ipotesi del continuo: il fluido è un mezzo continuo, cioè si assume
che una qualsiasi parte di esso, comunque piccola, contenga un
numero molto grande di molecole.
• Particella di fluido: un elemento di volume infinitamente piccolo nella scala di lunghezze (macroscopica) di nostro interesse, ma
comunque grande nella scala di lunghezza delle molecole (microscopica).
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Le forze aerodinamiche
3/286
Si sceglie un sistema di riferimento (inerziale) O(x, y, z) solidale con
l’aeromobile, che è quindi investito da una corrente uniforme di velocità
V∞, alla quota h, caratterizzata dalla pressione p∞ e densità ρ∞.
Equilibrio dell’aeromobile in volo
livellato uniforme:
L = W
T = D
(1)
(2)
F = [L, D]: forza aerodinamica
L: portanza (Lift) ⊥V∞
D: resistenza (Drag) �V∞
W : peso (Weight)a
T : spinta (Thrust)
a
G è il baricentro
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I coeﬃcienti delle forze aerodinamiche
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Forza aerodinamica di riferimento: 12 ρ∞V∞2 S.
S: superficie di riferimento (in genere la superficie alare SW ).
Coeﬃciente di portanza
L
CL = 1
2S
ρ
V
∞
∞
2
(3)
Coeﬃciente di resistenza
D
CD = 1
2S
ρ
V
∞
∞
2
(4)
Eﬃcienza aerodinamica
L
CL
E=
=
D CD
(5)
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ATR 42-500
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Alcune prestazioni dell’ATR 42-500
WT Omax = 18600 Kgp WOE max = 11250 Kgp Payload= 5450 Kgp
Vmax = 556 Km/h
TO-length= 1165 m
P = 2 × 1610 KW
Ceiling= 5485 m
Max Range= 2963 Km
SW = 54.50 m2
6/286
Alcuni dati geometrici e aerodinamici
SW = 54.50 m2
b = 24.57 m
W/S = 341.3 Kgp/m2
AR = 11.1
CLmax = 1.75 (δf = 00) CLmax = 2.61 (δf = 150)
CLmax = 3.15 (δf = 270)
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Prob. n. 1: determinazione del CL di un aeromobile in
volo livellato
1 W
CL = 1
(6)
2
ρ V S
2 ∞ ∞
7/286
Occorre:
quota, velocità di volo, peso e superficie di riferimento del velivolo.
Prob. n. 2: determinazione della velocità minima di
sostentamento (velocità di stallo)
Vs =
�
1
CLmax
�
W
S
�
2
ρ∞
(7)
Occorre:
quota, peso e superficie di riferimento del velivolo, coeﬃciente di
portanza massimo del velivolo (CLmax ).
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I parametri fondamentali della corrente
8/286
Il numero di Mach (della corrente asintotica)
V∞
M∞ =
,
a∞
V∞: velocità asintotica della corrente;
a∞: velocità del suono asintotica.
(8)
• Un flusso a densità costante in tutto il campo si dice incomprimibile o incompressibile.
In un flusso incomprimibile:
M∞ = 0 .
(9)
• In certe condizioni anche i fluidi comprimibili (gas) si comportano
come incomprimibili (liquidi):
per M∞ → 0 il flusso tende a diventare incomprimibile.
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La viscosità
9/286
Un fluido si dice newtoniano quando la forza dF (di attrito) è data
da
∂V
dF = µ dA
(10)
∂z
µ: viscosità dinamica del fluido, si misura in Kg/(m s);
ν = µ/ρ: viscosità cinematica del fluido, si misura in m2/s.
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Il numero di Reynolds
ρ∞ V ∞ L
Re∞ =
(11)
µ∞
L: lunghezza di riferimento caratteristica del problema in studio,
10/286
• Il numero di Reynolds misura l’importanza relativa delle forze di natura dinamica (convettive), associate alla quantità di
moto delle particelle, e le forze di natura viscosa.
• Un fuido o un flusso non dissipativo si dice ideale.
• Vedremo che un un fluido o un flusso caratterizzato da viscosità
nulla (Re∞ → ∞) è ideale.
• Nei flussi ideali la viscosità è trascurabile.
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Regimi di moto
11/286
Classificazione in base al numero di Mach
M∞ = 0: flusso incomprimibile
M � 1 ovunque: flusso iposonico
M < 1 ovunque: flusso subsonico
M < 1 e M > 1: flusso transonico
M > 1 ovunque: flusso supersonico
M∞ � 1: flusso ipersonico
Classificazione in base al numero di Reynolds
Re → 0: flusso alla Stokes (creeping flow)
Re → ∞: flusso ideale
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• Mach critico inferiore (M∞,cr ): numero di Mach subsonico minimo
della corrente asintotica per il quale esiste almeno un punto nel
campo di moto in cui M = 1 (limite del regime subsonico).
12/286
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• Mach critico superiore (M∞,cr ): numero di Mach supersonico minimo della corrente asintotica per il quale tutti i punti nel campo
di moto sono supersonici (limite del regime transonico).
Per un dato fluido, le equazioni adimensionali della dinamica del
flusso dipendono solo da M∞ e Re∞.
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Prob. n. 3: determinazione di M∞
V∞
M∞ =
a∞
√
Per un gas perfetto a∞ = γRT∞.
13/286
γ è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti (per
l’aria γ = 1.4).
R = 287 KgJ K è la costante del gas aria nel modello di gas perfetto.
T∞ è la temperatura assoluta della corrente asintotica (espressa in
gradi Kelvin) che dipende dalla quota.
Prob. n. 4: determinazione di Re∞
ρ∞ V ∞ L
Re∞ =
µ∞
Occorre:
La quota, la velocità di volo e la lunghezza caratteristica dell’aeromobile.
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Genesi di portanza e resistenza
14/286
Teoria globale
Principio di azione e reazione: la forza aerodinamica agente sull’aeromobile è pari all’azione dell’aeromobile sulla portata d’aria ṁ interagente; in virtù della II legge della dinamica:
F = ṁ∆V
(12)
• ∆V: variazione media della quantità di moto;
• ṁ = eρ∞ V∞ πb2 /4 (b è l’apertura alare, e ≈ 1).
La portanza è data dalla componente perpendicolare a V∞ di ∆V:
L = ṁ∆Vv
(13)
Dalla definizione di CL:
∆Vv
2CL
=
V∞
πeAR
AR = b2 /S è l’allungamento alare.
(14)
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La resistenza indotta (dalla portanza)
L’energia cinetica della portata d’aria ṁ è aumentata dopo l’interazione con l’aeromobile:
� 1
1 � 2
2
2
∆E = ṁ V∞ + ∆Vv − V∞ = ṁ∆Vv2 .
(15)
2
2
Per il principio di conservazione dell’energia deve esserci una forza che
compie un lavoro equivalente che non può che essere T = D:
∆E = DV∞ ,
15/286
(16)
per cui, ricordando l’espressione del CD e di ∆Vv /V∞ si ottiene:
CL2
CDi =
,
(17)
πeAR
espressione del coeﬃciente di resistenza indotta.
e è il fattore di Oswald; in genere e < 1. e = 1 nel caso di ala con
distribuzione di carico ellittica.
• Un caso particolare di distribuzione di carico ellittica: distribuzione di
corde ellittica, svergolamento aerodinamico nullo, profilo alare costante.
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La resistenza totale di un aeromobile
D = Di + Dp + Dw
(18)
16/286
• Di, resistenza indotta (dalla portanza);
• Dp, resistenza di profilo, associata all’azione diretta delle forze
viscose (attrito e forma);
• in regime transonico e supersonico si aggiunge anche Dw , la resistenza d’onda, legata alla probabile presenza di onde d’urto nel
campo di moto.
La polare di un aeromobile
Le curve CD = CD (CL) si chiamano curve polari.
Per ogni aeromobile esistono infinite polari, al variare di Re∞, M∞
e della configurazione del velivolo.
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Espressione approssimata della polare
CL2
CD = CD0 +
πARe
(19)
17/286
CD0 : coeﬃciente di resistenza a portanza nulla.
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssimazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo.
Errori insiti in questa approssimazione:
• in generale il coeﬃciente di resistenza non è minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo varia al variare di CL;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta molto
dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallo
dell’aeromobile.
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Prob. n. 5: determinazione del CDi di un aeromobile in
volo livellato
Tra l’altro occorre conoscere il fattore di Oswald dell’aeromobile.
18/286
Prob. n. 6: confronto delle resistenze indotte di un
aeromobile in crociera ed in atterraggio
Attenzione resistenza non è equivalente a coeﬃciente di resistenza.
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Geometria dell’ala
19/286
η=
y
,
b/2
λ = ct/cr ,
c = cr [1 − η(1 − λ)], S = 2
Corda media aerodinamica (m.a.c.): c̄ =
2
S
� b/2
0
� b/2
0
c2(y)dy
c(y)dy
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La curva CL = CL(α) (curva di portanza)
Definizione di angolo di attacco:
20/286
Sezione dell’ala alla radice
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
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Caratteristiche della curva di portanza
• È presente un tratto lineare nell’intorno delle basse incidenze:
CL ≈ CLα α ;
21/286
(20)
• si evidenzia il fenomeno dello stallo;
• dipende da M∞ e Re∞.
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Il profilo alare
Sezione di un’ala parallela a V∞.
22/286
c: corda; t: spessore; τ = t/c: spessore percentuale;
F : fuoco, posto ad 1/4 della corda.
• Nel caso di un’ala rettangolare dritta di allungamento infinito il
campo di moto risulta bidimensionale nel piano del profilo.
• AR → ∞ ⇒ CDi = 0, quindi D = Dp + Dw .
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Caratteristiche aerodinamiche di un profilo alare
Portanza:
l=
Resistenza:
Cl 12 ρ∞V∞2 c
23/286
d = Cd 12 ρ∞V∞2 c;
Momento di beccheggio rispetto al bordo di attacco:
mle = Cmle 12 ρ∞V∞2 c2.
Momento di beccheggio rispetto al fuoco:
m1/4 = Cm1/4 12 ρ∞V∞2 c2.
• I momenti sono positivi se cabranti.
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Profilo NACA 2412 (flusso iposonico)
24/286
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Portanza di un’ala finita e di un profilo
Per un profilo poco spesso e curvo a piccoli angoli di attacco:
Cl = Clα (α − αzl ) ,
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(21)
Clα ≈ 2π,
αzl : angolo di portanza nulla del profilo.
AR � 1 :
AR < 1 :
Clα
CLα ≈
Clα
1 + πA
R
π
CLα ≈ AR
2
(22)
(23)
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Idrostatica
26/286
Si assume che in tutto il campo fluido V = 0.
La pressione
∆S: superficie elementare di inclinazione generica nel fluido.
∆F : modulo della forza che agisce sulla superficie ∆S dovuta allo
scambio di quantità di moto a livello molecolare.
In un fluido in quiete ∆F è perpendicolare a ∆S (Principio di
Pascal).
∆F
p = lim
∆S→0 ∆S
Su una superficie infinitesima dS di normale n agisce la forza
dF = −pndS
(24)
(25)
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Legge di Stevino
Si consideri un volume infinitesimo dxdydz di un fluido in quiete. z
indica la quota (asse verticale e diretto verso l’alto).
Forza di pressione totale:
�
�
dp
dp
p dxdy − p + dz dxdy = − dxdydz
dz
dz
27/286
(26)
Equilibrio tra forza di gravità e forza di pressione:
dp
− dxdydz − ρgdxdydz = 0
dz
(27)
dp = −ρgdz
(28)
∆p = −ρg∆h
(29)
Integrando tra le quote z1 e z2 in un fluido a densità costante:
∆h = z2 − z1
∆p = p2 − p1
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Prob. n. 7: ricavare il Principio di Archimede
La forza di galleggiamento che agisce su un corpo immerso in un
fluido in quiete è pari al peso del fluido spostato dal corpo.
28/286
Prob. n. 8: descrivere il funzionamento del barometro a
colonna di liquido
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Atmosfera standard (ISA)
Ipotesi
1. L’aria è secca e si comporta come un gas più che perfetto: p =
ρRT ;
2. l’aria è in quiete ed è valida la legge di Stevino: dp = −ρgdz.
In base alle ipotesi:
g
dp
=−
dz .
(30)
p
RT
Per deteminare p = p(z) occorre un modello per la distribuzione di
temperatura al variare della quota T = T (z).
0–11 Km: troposfera, la temperatura decresce linearmente di 6.5
gradi per chilometro;
11–20 Km: stratosfera, la temperatura rimane costante con la quota;
> 20 Km: esosfera, la temperatura aumenta con la quota.
• Questo modello descrive bene l’atmosfera nelle zone temperate.
29/286
��
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Troposfera
ρSL = 1.23 Kg/m3, TSL = 288 K, Tz = 6.50 · 10−3 K/m.
T = TSL − Tz z .
30/286
(31)
Integrando la (30) si ottiene
p
=
pSL
�
T
TSL
� RTg
z
,
ρ
=
ρSL
�
T
TSL
� RTg
z
−1
.
(32)
Stratosfera
T = TST .
Integrando la (30) si ottiene
p
ρ
− RTg z (z−zST )
=
=e
,
pST
ρST
(33)
(34)
dove zST = 11000 m, TST = T (zST ), pST = p(zST ) e ρST = ρ(zST ).
Prob. n. 9: diagrammare T , p e ρ al variare della quota
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Elementi di calcolo tensoriale
31/286
Sia f una grandezza in generale funzione (in un determinato dominio) dello spazio e del tempo f = f (x, y, z, t).
• f è una grandezza scalare quando è completamente individuata
unicamente da un numero reale. Uno scalare viene anche denominato tensore di ordine 0.
• f è una grandezza vettoriale quando è completamente individuata
da un numero reale e da una direzione orientata. Un vettore viene anche denominato tensore di ordine 1 (lo indicheremo con il
simbolo f).
• f è un tensore di ordine 2 quando la sua individuazione richiede la
conoscenza di due direzioni orientate (lo indicheremo con il simbolo
f).
In questo corso con i termini scalare, vettore e tensore ci riferiremo
rispettivamente al tensore di ordine 0, 1 e 2.
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Algebra dei vettori
Sia O(x1, x2, x3) una terna di riferimento cartesiana levogira di versori
σ1, σ2 e σ3.
f = (f1, f2, f3) = σ ifi ,
dove fi sono le componenti di f e σ ifi =
dell’indice ripetuto di Einstein).
�3
i=1
32/286
(35)
σ ifi (convenzione
Eguaglianza
a = b ⇔ ai = bi ∀i .
(36)
a = 0 ⇔ ai = 0 ∀i .
(37)
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��
�
�
(38)
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Vettore nullo
Prodotto scalare
a · b = a b cos θ = aibi ,
θ : angolo tra a e b.
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In particolare:
σ i · σ j = δij ,
(39)
fi = σ i · f .
(40)
33/286
dove δij = 1 se i = j altrimenti δij = 0.
Intensità o modulo del vettore
a = |a| =
√
ai ai .
(41)
Versore v di V
V
v=
.
|V|
(42)
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�
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Prodotto vettoriale
il vettore c è dato da:
c = ab sin θ ,
a×b=c ;
(a, b, c) terna ortogonale levogira ;
(43)
34/286
(44)
c è quindi perpendicolare sia ad a che b. Si dimostra che
�
�
� σ1 σ2 σ3 �
�
�
c = �� a1 a2 a3 �� ,
� b1 b2 b3 �
(45)
dove il determinante simbolico è calcolato con la regola di Laplace per
la prima riga. Inoltre
c = σ ici = σ iεijk aj bk ,
(46)
dove εijk = 0 se i = j, oppure i = k, oppure j = k; εijk = ±1 se la
terna (i, j, k) costituisce una permutazione di classe pari (+) o dispari
(-) dei numeri 1, 2, 3.
��
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�
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Si nota che
b × a = −a × b .
(47)
35/286
Doppio prodotto vettoriale
c × (a × b) = a(b · c) − b(a · c) .
(48)
��
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�
�
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Calcolo diﬀerenziale vettoriale
36/286
Il vettore nabla
In un riferimento cartesiano:
∂
∇ ≡ σi
.
∂xi
(49)
In un riferimento cilindrico O(R, θ, z) di versori (a1, a2, a3):
∂
1 ∂
∂
∇ ≡ a1
+ a2
+ a3
.
∂R
R ∂θ
∂z
(50)
Gradiente di uno scalare
∂f
∇f = σ i
.
∂xi
(51)
��
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�
�
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Proprietà del gradiente di uno scalare
∂f
1. n · ∇f =
; derivata direzionale di f nella direzione n, misura la
∂n
variazione (unitaria) di f nella direzione orientata n.
37/286
2. |∇f |, modulo di ∇f , dà la variazione (unitaria) massima di f .
3. Il versore di ∇f dà la direzione in cui la variazione di f è massima.
4. Data la superficie f (r) = cost1, ∇f è perpendicolare ad essa ed è
orientato nel verso delle f crescenti.
Divergenza di un vettore
∂Vi
∇·V =
∂xi
(52)
��
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�
�
1
r = σ i xi è il vettore posizione.
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Rotore di un vettore
�
�
�
�
∇ × V = ��
�
�
σ1 σ2
∂
∂
∂x1 ∂x2
V1 V2
�
σ 3 ��
∂Vk
∂ ��
= σ iεijk
.
�
∂xj
∂x3 �
V3 �
38/286
(53)
Un campo V con rotore identicamente nullo è detto irrotazionale.
Operatori diﬀerenziali di ordine superiore
Il rotore del gradiente di uno scalare è identicamente nullo:
∇ × (∇f ) = 0 .
(54)
La divergenza del rotore di un vettore è identicamente nulla:
∇ · (∇ × V) = 0 .
(55)
La divergenza del gradiente di uno scalare si chiama laplaciano:
∇2f = ∇ · ∇f .
(56)
��
��
�
�
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Le funzioni scalari con laplaciano identicamente nullo si dicono armoniche.
Vale infine la seguente identità:
∇ × (∇ × V) = ∇(∇ · V) − ∇2V .
39/286
(57)
Campi potenziali
Un campo vettoriale V(r) si dice potenziale se esiste una funzione
scalare φ(r) tale che
V = ∇φ .
(58)
Se
un campo V(r) è potenziale allora un qualsiasi integrale di linea
� P2
P1 V · dl dipende solo dagli estremi di integrazione.
Condizione necessaria e suﬃciente aﬃnchè V sia a potenziale
in R3 è che V sia irrotazionale, cioè ∇ × V = 0.
Se V(r) è a potenziale allora
∇ · V = ∇2 φ .
(59)
��
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�
�
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Campi solenoidali
Un campo vettoriale V(r) si dice solenoidale se esiste un altro campo
vettoriale A (potenziale vettore) tale che
V =∇×A .
40/286
(60)
Condizione necessaria e suﬃciente aﬃnchè V sia solenoidale è
∇ · V = 0.
Il potenziale di un campo solenoidale ed a potenziale è armonico; in
questo caso il campo si dice laplaciano.
Il teorema fondamentale dell’analisi vettoriale
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con divergenza e rotore continui,
tale che per r → ∞ V si comporta come 1/r1+ε mentre |∇ · V| e
|∇ × V| si comportano come 1/r2+ε dove ε > 0. Allora, a meno di
un vettore costante (c1), V può essere espresso come la somma di un
campo potenziale e di uno solenoidale, cioè:
V = ∇φ + ∇ × A + c1 .
(61)
��
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�
�
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Calcolo tensoriale
41/286
Introduzione (diadi)
Si chiama diade la coppia di vettori
ab.
(62)
• Una diade è associata a due direzioni orientate (ma non identificata
da esse).
• La diade a b costituisce il risultato dell’operazione prodotto tensoriale tra i vettori a e b.
• Il prodotto tensoriale non è commutativo: b a �= a b.
• Rappresentazione cartesiana della diade: a b = σ iaibj σ j , la diade è
quindi rappresentata nel riferimento cartesiano dalle 9 componenti
scalari (ai bj ).
��
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�
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Tensore (di ordine 2)
Il tensore A è definito in un riferimento cartesiano come
A = σ iAij σ j .
42/286
(63)
• A è stato individuato come la somma di 9 diadi coordinate.
• A diﬀerenza della diade, le due direzioni orientate associate al
tensore A non sono esplicite.
• Il tensore è rappresentato nel riferimento cartesiano dalle 9 componenti scalari Aij .
Un tensore è esprimibile con la matrice quadrata (3 × 3):


A11 A12 A13
A =  A21 A22 A23 
A31 A32 A33
(64)
Aii sono le componenti normali, Aij (j �= i) sono le componenti
tangenziali.
��
��
�
�
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Tensore trasposto
(Ã)ij = Aji .
(65)
Ã = A ⇔ Aji = Aij .
(66)
43/286
Tensore simmetrico
Tensore antisimmetrico
Aji = −Aij .
(67)
Un tensore antisimmetrico ha necessariamente nulle le componenti
lungo la diagonale principale.
��
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�
�
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Algebra dei tensori
Eguaglianza
44/286
A = B ⇔ Aij = Bij .
(68)
A = 0 ⇔ Aij = 0 .
(69)
Tensore nullo
Prodotto di uno scalare per un tensore
f A = σ if Aij σ j .
(70)
��
��
�
�
Back
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Prodotto scalare di un vettore per un tensore a sinistra
V · A = ViAij σ j .
(71)
45/286
Prodotto scalare di un vettore per un tensore a destra
A · V = σ iAij Vj .
(72)
Componente vettoriale sinistra o destra
σ i · A = Aij σ j = di ;
A · σ j = σ iAij = sj .
(73)
(74)
I 3 vettori di sono le componenti vettoriali destre di A nel riferimento O(x1, x2, x3), mentre i 3 vettori sj sono le componenti vettoriali
sinistre.
A = σ i d i = si σ i .
(75)
��
��
�
�
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Prodotto scalare di due tensori
A · B = C = σ iAik Bkj σ j .
(76)
(A ˜· B) = B̃ · Ã .
(77)
46/286
Il prodotto scalare di due tensori è equivalente al prodotto di due
matrici (3 × 3) e non commuta.
Doppio prodotto scalare di due tensori
A : B = Aik Bki .
(78)
Prodotti vettoriali
V × A = σ iεilmVl Amj σ j ,
A × V = σ iεmlj AimVl σ j .
(79)
(80)
��
��
�
�
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Traccia di un tensore
Tr(A) = Aii .
(81)
47/286
La traccia del tensore è invariante (non dipende dal sistema di riferimento).
Tensore unitario

Si nota che, ad esempio:

1 0 0
U=0 1 0
0 0 1
V·U=U·V =V .
Tensore isotropo
Si dice isotropo un tensore del tipo f U con f ∈ R.
(82)
(83)
��
��
�
�
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Applicazione: il tensore degli sforzi in un fluido in quiete
τ : tensore degli sforzi;
tn = n · τ .
(84)
48/286
tn: sforzo (vettore forza per unità di superficie) agente su una superficie elementare di normale generica n, positivo se di trazione.
Nel caso di un fluido in quiete
τ = −pU ;
(85)
il tensore degli sforzi è isotropo. Infatti:
dF = n · (−pU)dS = −pndS ,
(86)
che è appunto la definizione di pressione idrostatica in un fluido in
quiete.
• Riformulazione del Principio di Pascal: il tensore degli sforzi in
un fluido in quiete è isotropo.
��
��
�
�
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Parte simmetrica, antisimmetrica e isotropa di un tensore
È sempre possibile decomporre un tensore in una parte simmetrica
ed una antisimmetrica A = A(s) + A(a):
A
1
Tr(A)U:
3
(s)
A + Ã
=
,
2
A
(a)
A − Ã
=
.
2
49/286
(87)
parte isotropa di A.
1
Tr(A)
3
è la media aritmetica delle 3 componenti normali del tensore
ed è invariante.
A = 13 Tr(A)U + A0, dove A0 è detto parte deviatorica di A (è a traccia
nulla).
• V · A = V · 13 Tr(A)U + V · A0 = 13 Tr(A)V + V · A0.
•A=
1
Tr(A)U
3
+
A(s)
0
+
A(a)
0
.
��
��
�
�
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Calcolo diﬀerenziale tensoriale
50/286
Gradiente di un vettore
∂Vj
∇ V = σi
σj .
∂xi
Derivata direzionale (in n) di V:
∂V
n · ∇ V = ni
.
∂xi
Tr(∇ V) = ∇ · V .
� 2�
V
(∇ V) · V = ∇
.
2
Un’identità particolarmente notevole:
�
2�
V
V·∇ V =∇
2
+ (∇ × V) × V .
• Dividendo la (92) per V : v · ∇ V = ∇ (V ) + (∇ × V) × v .
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
��
��
�
�
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Divergenza di un tensore
∂Aij
∇·A=
σj .
∂xi
(93)
∇ · (f A) = f ∇ · A + ∇f · A .
(94)
51/286
��
��
�
�
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Teoremi di Gauss
52/286
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in V ∪ S, allora:
�
�
V
∇ · VdV =
∇ × VdV =
V�
V
∇ VdV =
�
�S
�S
S
n · VdS ,
(95)
n × VdS ,
(96)
n VdS .
(97)
��
��
�
�
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Sia f (r) una funzione scalare continua con le sue derivate in V ∪ S,
allora:
�
V
∇f dV =
�
53/286
n f dS .
(98)
S
Una definizione di ∇ indipendente dal riferimento
�
1
∇ = lim
n( )dS .
V→0 V S
�
1
∇f = lim
nf dS .
V→0 V S
�
1
∇ · V = lim
n · VdS .
V→0 V S
(99)
(100)
(101)
��
��
�
�
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Teorema di Stokes
54/286
Data la superficie S delimitata dal circuito C e dato V(r), un campo
vettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in S ∪C, allora
�
S
n · ∇ × VdS =
�
C
V · dl .
dl: vettore spostamento elementare lungo il circuito C.
Γ=
�
C
V · dl: circolazione del vettore V lungo il circuito C.
• Il teorema di Stokes lega il rotore alla circolazione.
(102)
��
��
�
�
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Equazioni di bilancio
55/286
V: volume di controllo (per ora lo si suppone fisso rispetto al riferimento inerziale), è il volume che contiene il sistema che si intende
studiare;
S: superficie di controllo;
n: versore localmente normale alla superficie di controllo orientato
verso l’esterno del volume.
��
��
�
�
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Una grandezza G si dice estensiva quando è associata (proporzionale)
alla massa.
Una grandezza G si dice intensiva quando non è associata alla massa
ed è funzione solo del punto.
56/286
Massa, quantità di moto, energia, entropia sono esempi di grandezze
estensive.
Temperatura, pressione, viscosità sono esempi di grandezze intensive.
Per una grandezza estensiva è possibile formulare un’equazione di bilancio all’interno del volume di controllo:
Variazione di G
nell’unità
di tempo
Produzione di G
= Scambio di G con + nel volume di
l’esterno
controllo
��
��
�
�
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M: massa all’interno di un volume V;
G
g = lim
: grandezza G specifica (per unità di massa);
V→0 M
G
+
g = lim : grandezza G per unità di volume.
V→0 V
• La densità ρ è la massa per unità di volume.
GM
g = lim
= ρg .
V→0 M V
Variazione nell’unità di tempo di G in V:
+
d
dt
�
ρgdV =
V
�
V
57/286
(103)
∂
(ρg)dV .
∂t
��
��
�
�
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Il flusso di una grandezza
Il flusso ϕG di una grandezza G dà, in intensità e direzione, la quantità
di G che attraversa una superficie elementare, per unità di tempo e di
superficie.
58/286
• ϕG è un vettore se G è uno scalare;
• ϕG è un tensore se G è un vettore.
[G]
[G] [L]
[ϕG] = 2 = 3
,
[L ][t] [L ] [t]
quindi è possibile esprimere il flusso come
ϕG = g +W = ρgW ,
(104)
(105)
con W un vettore velocità opportuno.
Nel caso della massa M:
ϕM ≡ ρV.
(106)
��
��
�
�
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Scambio di G con l’esterno:
�
S
n · ϕGdS .
59/286
Produzione
ġ + =
ġ =
[G]
:
[L3 ][t]
[G]
:
[M ][t]
produzione di G nell’unità di volume e di tempo;
produzione specifica di G;
ġ + = ρġ.
Produzione di G nel volume di controllo:
�
ρġdV .
V
��
��
�
�
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Equazione di bilancio integrale
�
V
∂
(ρg)dV = −
∂t
�
S
n · ϕGdS +
�
ρġdV .
(107)
60/286
V
Equazione di bilancio diﬀerenziale
Applicando il teorema di Gauss all’integrale del flusso nella (107):
� �
V
�
∂
(ρg) + ∇ · ϕG − ρġ dV = 0 .
∂t
(108)
Questo integrale è nullo qualunque sia la scelta di V se e soltanto se
l’integrando è nullo, da cui l’equazione di bilancio in forma diﬀerenziale:
∂
(ρg) + ∇ · ϕG = ρġ .
∂t
(109)
• La fisica del problema è racchiusa nella determinazione dell’espressione del flusso e della produzione.
��
��
�
�
Back
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Equazione di bilancio della massa (continuità)
g = 1, g + = ρ;
61/286
ϕM = ρV;
ġ = 0: la massa si conserva.
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:
�
Forma diﬀerenziale:
V
∂ρ
dV +
∂t
�
S
n · ρVdS = 0 .
∂ρ
+ ∇ · (ρV) = 0 .
∂t
(110)
(111)
��
��
�
�
Back
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Rappresentazione euleriana e lagrangiana
Rappresentazione euleriana:
si assumono come variabili indipendenti le coordinate dello spazio ed
il tempo (x1, x2, x3, t) = (r, t); il problema fluidodinamico consiste
nell’individuazione della generica grandezza g(r, t) in ciascun punto
del campo al variare del tempo.
62/286
Rappresentazione lagrangiana:
Individuazione al variare tempo dell’evoluzione della generica grandezza di una data particella. Indicando con R = σ iXi la posizione che
la data particella assume al tempo iniziale t0, le variabili indipendenti
diventano (R, τ ) con τ = t.
Per passare da una rappresentazione all’altra occorre conoscere la
trasformazione
∀i = 1, 2, 3 xi = xi(X1, X2, X3, τ ), t = τ ;
(112)
in forma vettoriale:
r = r(R, t), t = τ .
(113)
��
��
�
�
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Si assume che:
1. nessuna regione di volume finito si trasforma nel tempo in una
regione di volume nullo o infinito;
63/286
2. nel tempo volumi si trasformano in volumi, superfici in superfici,
curve in curve, costituiti sempre dalle stesse particelle.
Nota l’evoluzione di una grandezza in una rappresentazione lagrangiana g(R, τ ), la rappresentazione euleriana si ottiene tramite le (112)
o (113):
g(r, t) = g[R(r, τ ), t] .
(114)
��
��
�
�
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Derivata sostanziale
Definizione di velocità di una particella:
∂r
V = V(R, τ ) =
(R, τ ) =
∂τ
�
∂r
∂τ
�
= σi
R=cost
Definizione di derivata sostanziale:
� �
D
∂
=
.
Dt
∂τ R=cost
�
∂xi
∂τ
�
64/286
. (115)
R=cost
(116)
Tenendo conto della (113), della regola di derivazione delle funzioni
di funzioni:
�
�
�
�
Dg ∂g ∂t
∂g
∂xi
=
+
.
(117)
Dt
∂t ∂τ
∂xi t=cost ∂τ R=cost
Essendo ∂t/∂τ = 1, è possibile ottenere la seguente rappresentazione
euleriana della derivata sostanziale:
D
∂
=
+V·∇ .
(118)
Dt ∂t
��
��
�
�
Back
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Flusso convettivo e diﬀusivo
ϕG ≡ ρgV + JG
(119)
65/286
1. ρgV: flusso convettivo, associato al trasporto della grandezza g
con la velocità di massa V.
2. JG: flusso diﬀusivo, associato al trasporto della grandezza con la
velocità molecolare relativa al moto del baricentro della particella.
È possibile definire il flusso diﬀusivo o con leggi fenomenologiche o
ricorrendo alla Teoria cinetica dei gas.
��
��
�
�
Back
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Equazioni del bilancio in forma lagrangiana
66/286
d
dt
�
Vm (t)
(ρg)dVm = −
�
Sm (t)
n · JGdSm +
�
ρġdVm .
Vm (t)
(120)
��
��
�
�
Back
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Essendo (ρdVm = dM):
d
dt
�
d
(ρg)dVm =
dt
Vm (t)
si ha che
�
�
�
∂g(R, τ )
g(R, τ )dM =
dM , (121)
∂τ
M
M
�
d
Dg
(ρg)dVm =
ρ dVm ,
dt Vm(t)
Vm (t) Dt
allora, sempre applicando il teorema d Gauss:
�
Vm (t)
�
�
Dg
ρ
+ ∇ · JG − ρġ dVm = 0 ,
Dt
67/286
(122)
(123)
valida comunque si sceglie Vm(t), per cui:
Dg
ρ
+ ∇ · JG − ρġ = 0 ,
Dt
equazione di bilancio diﬀerenziale in forma lagrangiana.
(124)
• Nell’equazioni di bilancio in forma lagrangiana compare solo
il flusso diﬀusivo.
��
��
�
�
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Le equazioni della Fluidodinamica
68/286
Conservazione della massa (continuità)
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:
�
V
∂ρ
dV +
∂t
�
S
n · ρVdS = 0 .
(125)
Forma diﬀerenziale:
∂ρ
+ ∇ · (ρV) = 0 .
(126)
∂t
Svolgendo la divergenza nella (126) si ottiene (v = 1/ρ, volume
specifico):
1 Dv
∇·V =
;
(127)
v Dt
la divergenza della velocità misura la variazione percentuale nell’unità di tempo del volume di una particella.
��
��
�
�
Back
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Se il flusso è incomprimibile:
∇·V =0 ;
(128)
69/286
la conservazione della massa assicura che un campo di moto incomprimibile è solenoidale.
Se il flusso è stazionario:
∇ · (ρV) = 0 ;
(129)
la conservazione della massa assicura che in un campo di moto
comprimibile e stazionario è solenoidale il vettore ρV.
Prob. n. 10: dimostrare che in flusso stazionario la
portata di un condotto è costante
Occorre scrivere l’equazione di conservazione della massa in forma
integrale per un condotto con pareti laterali impermeabili (n · V = 0).
��
��
�
�
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Bilancio della quantità di moto
g = V, g + = ρV;
70/286
flusso diﬀusivo JV = −τ ;
produzione per unità di volume f˙+ = ρg;
g = −∇Ψ, Ψ = gz energia potenziale del campo gravitazionale.
Forma integrale del bilancio di quantità di moto:
d
dt
�
ρVdV +
V
�
S
�
�
n · ρVV − τ dS =
Forma diﬀerenziale:
�
ρgdV .
V
∂ρV
+ ∇ · (ρVV − τ ) = ρg .
∂t
Forma integrale lagrangiana:
d
dt
�
ρVdVm =
Vm (t)
�
Sm (t)
n · τ dSm +
�
(130)
ρgdVm .
Vm (t)
(131)
(132)
��
��
�
�
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Forma diﬀerenziale lagrangiana:
DV
ρ
− ∇ · τ = ρg .
Dt
(133)
71/286
• L’espressione di τ dipende dal tipo di fluido.
Modello di fluido newtoniano:
(s)
τ = −pU + µ2(∇ · V)U + 2µ(∇ V)0
(134)
µ2: secondo coeﬃciente di viscosità del fluido.
Per i fluidi di nostro interesse µ2/µ � 1, per cui lo trascureremo:
τ = −pU + τ d ,
(s)
τ d = 2µ(∇ V)0 .
(135)
(136)
• Nel modello newtoniano, cosı̀ come nella maggior parte dei problemi di nostro interesse, il tensore degli sforzi è simmetrico.
��
��
�
�
Back
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Prob. n. 11: determinare le 9 componenti del tensore
degli sforzi di un fluido newtoniano
72/286
Prob. n. 12: determinare l’espressione della forza (aerodinamica) che agisce su un corpo immerso in una corrente
fluida
(Non è altro che il flusso di quantità di moto attraverso il corpo).
��
��
�
�
Back
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Conservazione dell’energia
Principio dell’equilibrio evolutivo: si assume che i tempi caratteristici del problema fluidodinamico siano molto maggiori del tempo
caratteristico con cui il sistema termodinamico particella raggiunge il proprio equilibrio per cui, istante per istante, la particella è in
equilibrio termodinamico.
73/286
g = e , g + = ρe;
e = u + V 2/2 + Ψ, u è l’energia interna specifica;
flusso diﬀusivo Je = Ju + Jc;
legge di Fourier: Ju = −λ∇T (flusso di energia nel modo calore);
λ: conducibilità termica, si misura in J/(m s K);
Jc = −τ · V (flusso di energia nel modo lavoro);
ė = 0, l’energia totale si conserva.
��
��
�
�
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Forma diﬀerenziale lagrangiana
�
2
�
D
V
ρ
u+
+ Ψ − ∇ · (λ∇T ) − ∇ · (τ · V) = 0 .
Dt
2
(137)
74/286
Identità vettoriale:
∇ · (τ · V) = (∇ · τ ) · V + τ̃ : ∇ V .
(138)
Il flusso di energia nel modo lavoro consta di due contributi:
1. (∇ · τ ) · V: lavoro compiuto sulla particella per eﬀetto dello spostamento V;
2. τ̃ : ∇ V: contributo dovuto alla deformazione della particella.
Bilancio dell’energia cinetica
�
2�
D V
ρ
Dt 2
− ∇ · (τ · V) = ρε̇c .
(139)
��
��
�
�
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Questa equazione si può riottenere moltiplicando scalarmente per V
il bilancio di quantità di moto:
DV
· V − (∇ · τ ) · V = ρg · V .
ρ
Dt
75/286
(140)
In base alle identità vettoriali (138) e (91):
�
2�
D V
ρ
Dt 2
− ∇ · (τ · V) = ρg · V − τ̃ : ∇ V .
(141)
La produzione di energia cinetica è quindi:
ρε̇c = ρg · V − τ̃ : ∇ V .
(142)
• Il bilancio di energia cinetica non è un’equazione indipendente.
��
��
�
�
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Bilancio dell’energia potenziale
DΨ
ρ
= ρε̇p .
Dt
• Il flusso diﬀusivo di energia potenziale è nullo.
(143)
76/286
• Il potenziale (gravitazionale) dipende solo dallo spazio e non dal
tempo.
• ∇Ψ = −g.
per cui
e
DΨ
= V · ∇Ψ ,
Dt
(144)
DΨ
ρ
= −ρg · V
Dt
(145)
ρε̇p = −ρg · V ,
(146)
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Il bilancio di energia potenziale non è un’equazione indipendente.
��
��
�
�
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Bilancio dell’energia interna
Si ottiene sottraendo i bilanci di energia cinetica e potenziale a quello
di energia totale:
Du
ρ
+ ∇ · Ju = τ̃ : ∇ V
(147)
Dt
e
ρε̇u = τ̃ : ∇ V ,
(148)
77/286
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Nulla possiamo ancora dire sul segno della produzione di energia
interna.
��
��
�
�
Back
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Bilancio dell’entropia
Ds
(149)
ρ
+ ∇ · Js = ρṡ .
Dt
Du
Ds
Dv
=T
−p
.
(150)
Dt
Dt
Dt
Il bilancio di entropia si ottiene combinando il bilancio di energia
interna e di volume specifico. Si ottiene:
Ds
1
1
p
ρ
= τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + ∇ · V .
Dt T
T
T
78/286
(151)
Confrontando con la (149):
T ρṡ − T ∇ · Js = +τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + p∇ · V ,
(152)
T ρṡ − ∇ · (T Js) = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + p∇ · V , (153)
da cui:
Ju
Js =
;
T
T ρṡ = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V + p∇ · V .
(154)
��
��
�
�
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Per un fluido newtoniano e fourieriano si ottiene2
τ̃ : ∇ V = −p(∇ · V) + Φ ,
(s)
(155)
(s)
Φ = 2µ(∇ V)0 : (∇ V)0 .
79/286
(156)
Φ: funzione di dissipazione.
λ
T ρṡ = ∇T · ∇T + Φ .
T
(157)
Aﬃnchè sia soddisfatto il II principio della termodinamica (la produzione di entropia è positiva):
λ>0,
µ>0;
(158)
il flusso termico va da zone a temperatura maggiore a zone a temperatura minore e l’energia cinetica (parte) si “dissipa” in energia
interna, processi entrambi irreversibili.
2
Si sfruttano le seguenti identità: A0 : U = 0, A(s) : A(a) = 0.
��
��
�
�
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Le equazioni di Navier-Stokes
Caso di fluido newtoniano e foureriano.
Continuità:
∂ρ
+ ∇ · (ρV) = 0 ;
∂t
quantità di moto:
DV
(s)
ρ
+ ∇p = 2∇ · [µ(∇ V)0 ] + ρg ;
Dt
80/286
(159)
(160)
energia:
�
2
�
D
V
(s)
ρ
u+
+ Ψ = ∇ · (λ∇T ) − ∇ · (pV) + 2∇ · [µ(∇ V)0 · V] .
Dt
2
(161)
La chiusura del sistema richiede la conoscenza delle relazioni di stato:
p = p(ρ, T ),
µ = µ(p, T ),
u = u(ρ, T ),
λ = λ(p, T ).
(162)
(163)
��
��
�
�
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Condizioni iniziali e al contorno
V(r, t0) = Vi(r), p(r, t0) = pi(r), ρ(r, t0) = ρi(r).
(164)
81/286
Parete impermeabile fissa: V = 0, p =?.
• Nel caso di proprietà costanti (ρ e µ), la temperatura non compare
nell’equazioni di continuità e quantità di moto.
Continuità e quantità di moto possono essere integrate indipendentemente dall’equazione dell’energia.
L’equazione dell’energia può essere risolta, se necessario, successivamente, con il campo di velocità già noto.
Prob. n. 13: scrivere le equazioni scalari di NavierStokes nel caso 2D a proprietà costanti (ρ, µ, λ)
��
��
�
�
Back
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Equazioni di bilancio adimensionali
82/286
Il problema consiste nella scelta di opportune grandezze di riferimento delle variabili indipendenti e dipendenti.
ḡ = g/gr ;
ḡ: grandezza adimensionale;
gr : grandezza di riferimento.
• La scelta di gr è appropriata quando ḡ ≈ O(1).
��
��
�
�
Back
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Continuità
Si assuma il flusso isoentropico (ds = 0) per cui
Dρ
=
Dt
�
∂ρ
∂p
�
Dp
1 Dp
= 2
,
a Dt
s Dt
83/286
(165)
a: velocità del suono.
Scegliendo tr = Lr /Vr e pr = ρr Vr2 il bilancio di volume specifico
(127) diventa
Mr2 Dp̄ ¯
+ ∇ · V̄ = 0 .
(166)
2
ρ̄ā Dt̄
Mr2 = Vr2/a2r : numero di Mach di riferimento.
¯ · V̄ = 0 ⇒ flusso incomprimibile.
• Mr → 0 ⇒ ∇
��
��
�
�
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Quantità di moto
Lr ∂(ρ̄V̄) ¯
Lr g r
¯ = µr 2 ∇
¯ · [µ̄(∇
¯ V̄)(s)
ρ̄ḡ .
+ ∇ · (ρ̄V̄V̄) + ∇p̄
]
+
0
2
Vr tr ∂ t̄
ρr V r L r
Vr
(167)
84/286
tr V r
convezione di V
Str =
⇒
, numero di Strouhal.
Lr
instazionarieta‘
ρr V r L r
convezione di V
Rer =
⇒
, numero di Reynolds.
µr
ef f etti viscosi
Vr2
convezione di V
F rr =
⇒
, numero di Froude.
Lr g r
gravita‘
1 ∂(ρ̄V̄) ¯
1 ¯
1
(s)
¯
¯
ρ̄ḡ . (168)
+ ∇ · (ρ̄V̄V̄) + ∇p̄ =
2∇ · [µ̄(∇ V̄)0 ] +
Str ∂ t̄
Rer
F rr
1 ¯
2
Scegliendo pr = ρr ar il termine di pressione diventa 2 ∇p̄ che impliMr
ca un secondo significato a Mr :
��
��
�
�
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convezione di V
Mr ⇒
.
dif f usione reversibile di V
• Combinando questi numeri caratteristici si possono misurare le
importanze relative tra tutti i vari contributi.
85/286
��
��
�
�
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Energia
er = ur = a2r , Ψr = gr Lr :
86/286
2
2
V̄
M
r
Ψ̄ .
ē = ū + Mr2 +
2
F rr
(169)
• Ulteriore significato di Mr2 e F rr .
Tr = a2r /cpr , pr = ρr a2r :
2
1 ∂(ρ̄ē) ¯
1 ¯
M
r
¯ T̄ )−∇·(p̄
¯ V̄)+
¯
¯ V̄)(s)
+∇·(ρ̄ēV̄) =
∇·(λ̄∇
2∇·[µ̄(
∇
0 ·V̄] .
Str ∂ t̄
P er
Rer
(170)
µr c p r
f lusso lavoro viscoso
P rr =
⇒
, numero di Prandtl.
λr
f lusso termico
convezione di energia
P er = Rer P rr ⇒
, numero di Peclet.
f lusso termico
Mr2
f lusso lavoro viscoso
⇒
.
Rer
convezione di energia
��
��
�
�
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Aerodinamica dei flussi non dissipativi
(ideali)
87/286
Le equazioni di Eulero
Ipotesi: Rer → ∞, Prr ≈ O(1) (almeno), per cui anche P er → ∞.
1 ∂ ρ̄ ¯
+ ∇ · (ρ̄V̄) = 0 ;
(171)
Str ∂ t̄
�
1 ∂(ρ̄V̄) ¯ �
1
+ ∇ · ρ̄V̄V̄ + p̄U =
ρ̄ḡ ;
(172)
Str ∂ t̄
F rr
� �
� �
1 ∂(ρ̄ē) ¯
p̄
+ ∇ · ρ̄ ē +
V̄ = 0 .
(173)
Str ∂ t̄
ρ̄
• Scompaiono dalle equazioni tutti i termini che portano a produzione di entropia: il fenomeno è non dissipativo; queste equazioni
governano la dinamica di un fluido (o di un flusso) ideale.
• Si abbassa l’ordine di derivazione (scompaiono tutte le derivate
seconde): attenzione alle condizioni al contorno.
��
��
�
�
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• In molte applicazioni aerospaziali F rr � 1, per cui può essere
trascurato sia il temine di produzione nel bilancio di quantità di
moto (che pure diventa un’ equazione di conservazione) sia l’energia
potenziale gravitazionale nel bilancio dell’energia.
88/286
��
��
�
�
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Cinematica della particella
Traiettoria: luogo delle successive posizioni assunte da una particella
durante il suo moto, al variare del tempo.
89/286
Linea di corrente: curva inviluppo del vettore velocità nella rappresentazione euleriana.
Linea tracciante: luogo delle posizioni assunte, al variare del tempo,
dalle successive particelle che passano per uno stesso punto.
• In regime instazionario, in generale, traiettorie, linee di corrente
e linee traccianti sono diverse.
• In regime stazionario traiettorie, linee di corrente e linee traccianti coincidono.
��
��
�
�
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90/286
Visualizzazione delle linee di corrente intorno ad un profilo NACA
tramite bolle d’aria, M∞ ≈ 0, Re∞ ≈ 6000.
��
��
�
�
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91/286
Visualizzazione (con tracciante) della formazione del vortice di distacco
al bordo di uscita di un profilo alare, M∞ ≈ 0, ReS ≈ 1000.
��
��
�
�
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Deformazione lineare della particella
92/286
∂u
uQ = uP + ∆x ;
∂x
uP ∆t + ∆x� = ∆x + uQ∆t ;
∆x� − ∆x ∂u
dεx ∂u
εx =
=
∆t ,
=
.
∆x
∂x
dt
∂x
εx: deformazione lineare (percentuale) nella direzione x;
dεx
: velocità di deformazione.
dt
(174)
(175)
(176)
��
��
�
�
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Velocità angolare di rotazione della particella
93/286
∂v
α1 =
∆t ,
∂x
∂u
α2 = − ∆t ;
∂y
�
(177)
�
1 (α1 + α2) 1 ∂v ∂u
Ωz =
=
−
.
2 ∆t
2 ∂x ∂y
1
Ω = (∇ × V) , ∇ × V = ζ (vorticita‘) .
2
(178)
(179)
��
��
�
�
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Deformazione angolare della particella
94/286
�
�
1 α + β 1 ∂v ∂u
(s)
γxy =
=
+
= [(∇ V)0 ]xy
(180)
2 ∆t
2 ∂x ∂y
• Una particella trasla con velocità V, ruota con velocità angolare
(s)
1
∇
×
V,
si
dilata
secondo
∇
·
V
e
si
deforma
secondo
(∇
V)
0 .
2
• E’ newtoniano un fluido in cui sforzi tangenziali e deformazioni
della particella da essi provocati sono proporzionali tra loro.
��
��
�
�
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Il teorema di Crocco
Accelerazione della particella:
95/286
DV ∂V
=
+V·∇ V ;
Dt
∂t
�
(181)
2�
V
V·∇ V =∇
+ (∇ × V) × V ;
(182)
2
relazione di Gibbs:
1
∇p = ∇h − T ∇s .
(183)
ρ
Sostituendo queste relazioni nel bilancio di quantità di moto e definendo l’entalpia totale come H = h + V 2/2 + Ψ si ottiene il teorema di
Crocco:
∂V
+ ∇H + (∇ × V) × V = T ∇s + f d .
(184)
∂t
f d è la forza dissipativa per unità di massa che agisce sulla particella.
��
��
�
�
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Bilancio dell’energia cinetica:
�
2�
∂ V
∂t 2
+ V · ∇H = T V · ∇s + V · f d .
(185)
96/286
Ipotesi:
1. flusso ideale (Re → ∞ e P e → ∞);
2. regime stazionario.
Il bilancio dell’entropia diventa:
Ds
= V · ∇s = 0 ,
(186)
Dt
in un flusso ideale e stazionario l’entropia è costante lungo una
linea di corrente (flusso isoentropico).
Il bilancio dell’energia cinetica diventa:
DH
= V · ∇H = 0 ,
(187)
Dt
in un flusso ideale e stazionario l’entalpia totale è costante lungo
una linea di corrente (flusso isoentalpico).
��
��
�
�
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Il teorema di Bernoulli (generalizzato)
Se l’entropia a monte è uniforme (s = s∞) allora s è costante in tutto
il campo (flusso omoentropico).
Se l’entalpia totale a monte è uniforme (H = H∞) allora H è
costante in tutto il campo (flusso omoentalpico).
Il risultato
V2
h+
+ Ψ = cost
(188)
2
è noto come teorema di Bernoulli (generalizzato).
Il teorema di Crocco per un flusso stazionario ed ideale:
∇H + (∇ × V) × V = T ∇s
(189)
(∇ × V) × V = 0 .
(190)
97/286
mostra che se il flusso è anche omoentalpico ed omoentropico:
Cioè è verificata una delle seguenti possibilità:
1. ∇ × V = 0, il campo è irrotazionale ⇒ ∃ φ | V = ∇φ;
2. ∇ × V � V, campo alla Beltrami.
��
��
�
�
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Il teorema di Bernoulli (incomprimibile)
Sia M → 0 ⇒ ρ = cost.
In un fluido isoentropico, incomprimibile la relazione di Gibbs diventa dh = d(p/ρ), cioè dell’entalpia può variare solo la parte legata
alla pressione, mentre l’energia interna rimane costante:
in un flusso incomprimibile isoentropico la temperatura non varia.
Il teorema di Bernoulli generalizzato assume allora la forma
1 2
p + ρV + ρΨ = cost .
2
98/286
(191)
��
��
�
�
Back
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Flusso incomprimibile quasi-unidimensionale
Ipotesi:
99/286
1. regime stazionario;
2. condotto orizzontale (gravità trascurabile) con deboli variazioni
dell’area della sezione;
3. regime incomprimibile;
4. flusso ideale (isoentropico).
V1: velocità media alla sezione di area A1;
p1: pressione media alla sezione di area A1.
Conservazione della massa:
V1A1 = V2A2 .
(192)
1 2
1 2
p1 + ρV1 = p2 + ρV2 .
2
2
(193)
Teorema di Bernoulli:
��
��
�
�
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Prob. n. 14: determinazione della portata di un condotto
tramite il tubo Venturi
100/286
Occorre collegare le sezioni 1 e 2 con un manometro per misurare la
diﬀerenza di pressione ∆p = p1 − p2.
Prob. n. 15: determinazione della velocità di un aeromobile con il tubo di Pitot (facoltativo)
��
��
�
�
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Il teorema di Bernoulli instazionario (generalizzato)
Ipotesi:
101/286
1. regime ideale omoentropico;
2. campo di moto irrotazionale.
Dal teorema di Crocco si ricava:
�
integrando:
�
∂ϕ
∇
+ ∇H = 0 ;
∂t
(194)
∂ϕ
V2
+h+
+ Ψ = f (t) .
∂t
2
(195)
��
��
�
�
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Equazione di bilancio della vorticità ζ = ∇ × V
Si ottiene eﬀettuando il rotore dell’equazione di bilancio della quantità
di moto:
�
∇ · τd
Dζ
1
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ + 2 ∇ρ × ∇p + ∇ ×
Dt
ρ
ρ
�
102/286
(196)
Se ρ = ρ(p) il fluido si dice barotropico.
• Un flusso incomprimibile è barotropico: ρ = k.
• Un flusso omoentropico è barotropico: ρ = k/p1/γ .
Equazione di bilancio di vorticità per un flusso incomprimibile:
Dζ
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ + ν∇2 ζ .
Dt
(197)
Equazione di bilancio di vorticità per un flusso omentropico (comprimibile):
Dζ
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ .
Dt
• Non compare la pressione!
(198)
��
��
�
�
Back
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Circuiti
Un circuito C di una regione V si dice riducibile se può essere trasformato con continuità in un punto senza abbandonare la regione,
altrimenti il circuito è detto irriducibile.
Una regione V si dice semplicemente connessa se contiene tutti circuiti riducibili, altrimenti la regione è detta molteplicemente
connessa.
Teorema di Stokes:
�
S
n · ζ dS =
�
C
V · dl .
103/286
(199)
• La validità del teorema richiede che V sia regolare in S, cioè il
circuito C deve essere riducibile.
• Un importante corollario del teorema di Stokes è che se V è irrotazionale in una regione semplicemente connessa V allora le
circolazioni di V su qualsiasi circuito di V sono nulle.
��
��
�
�
Back
Close
Con degli opportuni tagli una regione molteplicemente connessa può
sempre essere trasformata in una regione semplicemente connessa .
104/286
• In un dominio reso semplicemente connesso con dei tagli non è
richiesta la continuità di una grandezza attraverso il taglio.
Due circuiti sono riconducibili se è possibile trasformare con continuità
l’uno nell’altro senza abbandonare il dominio.
��
��
�
�
Back
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I teoremi di Helmholtz
Linea vorticosa: una curva tangente in ogni punto a ζ = ∇ × V.
105/286
Superficie vorticosa: una superficie con il vettore ζ tangente in ogni
suo punto.
Tubo vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una curva
chiusa che racchiude un’area finita.
Filetto vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una
curva chiusa che racchiude un’area infinitesima.
Si definisce intensità di un tubo vorticoso il flusso di ζ attraverso
una sua sezione:
�
Γ = n · ζdS .
(200)
S
I teorema di Helmholtz: l’intensità di un tubo vorticoso è la
stessa in tutte le sue sezioni trasversali.
��
��
�
�
Back
Close
106/286
La dimostrazione del I teorema di Helmoltz è immediata applicando
il teorema di Gauss al vettore vorticità nel volume indicato in figura
e tenendo conto della solenoidalità di ζ e della definizione di tubo
vorticoso per cui il flusso di ζ sulla superficie laterale del cilindro è
nullo.
• Conseguenze del I teorema di Helmholtz: un tubo vorticoso o è chiuso o inizia e finisce su un confine del dominio.
Tubo vorticoso isolato: quando all’esterno del tubo il campo è irrotazionale.
��
��
�
�
Back
Close
II teorema di Helmholtz: la circolazione presa nello stesso
senso intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili e riconciliabili
che circondino un tubo vorticoso isolato una sola volta è la stessa
ed è uguale, in valore assoluto, all’intensità del tubo vorticoso.
107/286
Basta collegare i due circuiti con un taglio per ottenere un unico circuito riducibile in un campo irrotazionale che avrà quindi circolazione
totale nulla. Essendo il contributo del taglio alla circolazione nullo
(percorso 2 volte con verso contrario) ed essendo i due circuiti percorsi
in verso opposto ne risulta che la loro circolazione deve coincidere.
Se si sceglie uno dei due circuiti lungo il tubo vorticoso si ottiene
anche che la circolazione è pari all’intensità del tubo vorticoso che non
varia in base al I teorema di Helmholtz.
��
��
�
�
Back
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Velocità indotta da un vortice isolato
108/286
Γ
V(P ) =
4π
Caso di vortice infinito rettilineo:
�
k×r
dl .
3
L r
(201)
Γ
V =
;
(202)
2πR
R: distanza del punto P dal vortice, V giace nel piano ortogonale al
vortice con verso tale che k, R, V è una terna levogira.
��
��
�
�
Back
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Il teorema di Kelvin
Γ(t) =
Cm: circuito materiale.
DΓ
D
=
Dt
Dt
�
��
Cm
�
V · dl ,
(203)
109/286
�
D
V · dl =
(V · dl) =
Cm
Cm Dt
�
�
DV
· dl +
V · dV =
Cm Dt
C
�
� m � 2�
DV
V
· dl +
d
=
2
Cm Dt
Cm
�
DV
· dl .
Cm Dt
(204)
Dal bilancio di quantità di moto:
DV
= −∇(h + Ψ) + T ∇s + f d ;
Dt
(205)
��
��
�
�
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quindi:
�
�
DΓ
=
T ∇s · dl +
f d · dl .
(206)
Dt
Cm
Cm
Teorema di Kelvin: in un flusso ideale e omoentropico la
circolazione di un circuito materiale non varia nel tempo.
Corollari
1. Tubi vorticosi, superfici vorticose e filetti vorticosi sono costituiti sempre dalle stesse particelle. Si consideri
un arbitrario circuito materiale giacente su una superficie vorticosa, avrà quindi circolazione nulla e per il teorema di Kelvin la circolazione rimarrà nulla al variare del tempo e data
l’arbitrarietà della scelta la superficie su cui giace il circuito
continuerà ad essere tangente alla vorticità ne segue che essa
è ancora superficie vorticosa.
2. L’intensità di un tubo vorticoso non varia con il tempo.
È un’ovvia conseguenza del precedente corollario.
110/286
��
��
�
�
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Flussi incomprimibili ideali
L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un
flusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇·V =0
111/286
(207)
Se il campo è anche irrotazionale in un dominio semplicemente connesso esiste il potenziale cinetico φ : ∇φ = V.
La continuità diventa:
∇2 φ = 0
(208)
• Il campo di velocità è governato dall’equazione di Laplace con
una sola incognita!
��
��
�
�
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Flussi incomprimibili ideali 2D
112/286
L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un
flusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇·V =0
(209)
ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che
V =∇×A .
(210)
La funzione di corrente
Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso piano)
deve risultare V3 = 0, che implica in termini di A (definizione di rotore):
∂A2 ∂A1
−
=0;
∂x1
∂x2
soddisfatta per A1 = A2 = 0.
(211)
��
��
�
�
Back
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Si definisce funzione di corrente ψ(r) l’unica componente diversa da
zero del potenziale vettore di un campo bidimensionale:
ψ(r) = A3 .
(212)
113/286
In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V sono
date da
∂ψ
∂ψ
u=
; v=−
.
(213)
∂y
∂x
In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (Vr , Vθ ) di V sono date
da
1 ∂ψ
∂ψ
Vr =
; Vθ = −
.
(214)
r ∂θ
∂r
• Un campo di cui è data la funzione di corrente è certamente solenoidale ma non irrotazionale;
irrotazionalità ⇒ ∇2ψ = 0.
• Un campo di cui è dato il potenziale φ è certamente irrotazionale
ma non solenoidale;
solenoidalità ⇒ ∇2φ = 0.
��
��
�
�
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Proprietà della funzione di corrente
1. L’equazione di una linea di corrente è data da
dy v
= ,
dx u
114/286
(215)
in termini di ψ questa relazione diventa:
∂ψ
∂ψ
dx +
dy = dψ = 0 ;
∂x
∂y
(216)
la funzione di corrente è costante lungo una linea di corrente.
2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A e
B di versore tangente t = (t1, t2) (quindi versore normale dato da
n = (t2, −t1) è dato da:
�
B
A
V · ndt =
�
B
A
∇ψ · dt =
�
B
A
dψ = ψ(B) − ψ(A) .
(217)
��
��
�
�
Back
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Il problema matematico
115/286
Ipotesi:
1. flusso 2D piano e stazionario ⇒ f = f (x, y);
2. ρ = cost ⇒ ∇ · V = 0;
3. flusso ideale;
4. corrente uniforme.
��
��
�
�
Back
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• Le ipotesi ci assicurano che il campo di velocità è solenoidale (incomprimibilità) ed irrotazionale (ideale e corrente uniforme).
• Il problema è governato dall’equazione di continuità (equazione di
Laplace):
∇2 φ = 0 .
(218)
116/286
In coordinate cartesiane:
∂ 2φ ∂ 2φ
+ 2 =0.
2
∂x
∂y
(219)
∂ 2φ 1 ∂ 2φ 1 ∂φ
+ 2 2+
=0.
2
∂r
r ∂θ
r ∂r
(220)
In coordinate polari:
��
��
�
�
Back
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Condizioni al contorno
1. All’infinito:
lim ∇φ = V∞ ;
r→∞
(221)
117/286
2. sul corpo di equazione nota y = yu(x), y = yl (x):
∇φ · n = 0.
(222)
Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua in
tutto il campo (a meno di una costante inessenziale).
��
��
�
�
Back
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Il problema in termini di ψ
L’equazione da risolvere è ancora l’equazione di Laplace (con significato
diverso!). Si impone l’irrotazionalità del campo.
∇2 ψ = 0 ;
118/286
(223)
cambiano le condizioni al contorno. All’infinito deve verificarsi
∂ψ
∂ψ
lim
= V∞ · cos α , lim
= −V∞ · sin α .
(224)
r→∞ ∂y
r→∞ ∂x
Sul corpo
ψ = cost.
(225)
Campo di pressione
Noto il campo delle velocità è possibile determinare il campo di pressione utilizzando il teorema di Bernoulli:
1
p − p∞ = − ρ(V 2 − V∞2 ) .
(226)
2
��
��
�
�
Back
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Soluzioni elementari dell’equazione di Laplace
Le soluzioni dell’equazione di Laplace vengono dette funzioni armoniche. Essendo quest’equazione lineare la somma di due funzioni armoniche è ancora armonica.
119/286
• È possibile ottenere soluzioni complesse sommando più soluzioni elementari.
Corrente uniforme
φ = V∞ cos α · x + V∞ sin α · y ;
ψ = V∞ cos α · y − V∞ sin α · x .
(227)
(228)
Sorgente (o pozzo)
In coordinate polari:
Q
φ=
ln r ;
2π
Q
ψ= θ.
2π
(229)
��
��
�
�
Back
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Doppietta
Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di un pozzo
di intensità uguali ed opposte mantenendo costante il prodotto k =
Q∆l.
φ=
k cos θ
;
2π r
ψ=−
k sin θ
.
2π r
(230)
120/286
��
��
�
�
Back
Close
Flusso non portante intorno al cilindro
Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all’asse x ad una doppietta con asse parallelo ad x:
�
k sin θ
k
ψ = V∞r sin θ −
= V∞r sin θ 1 −
2π r
2πV∞r2
Ponendo R =
�
k/2πV∞:
�
� �2 �
R
ψ = V∞r sin θ 1 −
r
.
�
.
121/286
(231)
(232)
r → ∞ ⇒ ψ → V∞r sin θ = ψ∞ .
(233)
ψ(R, θ) = 0 .
(234)
Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di una
corrente uniforme che investe un cilindro di raggio R.
��
��
�
�
Back
Close
Campo di velocità:
�
� �2 �
1 ∂ψ
R
Vr =
= V∞ cos θ 1 −
r ∂θ
r
�
� �2 �
∂ψ
R
Vθ = −
= −V∞ sin θ 1 +
∂r
r
Punti di ristagno:
V = (0, 0) ⇒
Velocità sul corpo:
Velocità massima:
�
P1 = (R, 0)
P2 = (R, π)
V (R) = |v(R)| = 2V∞| sin θ| .
V = 2V∞ ⇒
;

π


θ =

 A
2

3π


 θB =
2
(235)
.
122/286
(236)
(237)
(238)
(239)
��
��
�
�
Back
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Prob. n. 16: disegnare le linee di corrente intorno al
cilindro non portante
123/286
Esistono fondamentalmente due tecniche:
1. risolvere l’equazione diﬀerenziale che le definisce (in coordinate
dy
cartesiane): dx
= uv con condizione iniziale (x0, y0);
2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della costante.
Campo di pressione sul cilindro non portante
Definizione del coeﬃciente di pressione
p − p∞
Cp = 1
.
2
ρ V
2 ∞ ∞
(240)
Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di Bernoulli:
�
V
Cp = 1 −
V∞
�2
.
(241)
��
��
�
�
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Coeﬃciente di pressione sul cilindro:
Cp(R, θ) = 1 − 4 sin2 θ .
(242)
124/286
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
� 2π
1 2
f = − ρV∞
ir Cp(R, θ)Rdθ ,
(243)
2
0
ir = (cos θ, sin θ).
Portanza (per unità di lunghezza):
1 2
l = − ρV∞
2
�
2π
0
(1 − 4 sin2 θ) sin θRdθ = 0 ,
risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.
(244)
��
��
�
�
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Resistenza (per unità di lunghezza):
�
1 2 2π
d = − ρV∞
(1 − 4 sin2 θ) cos θRdθ
2
0
�� 2π
�
� 2π
1 2
= − ρV∞R
cos θdθ − 4
sin2 θ cos θdθ = 0 . (245)
2
0
0
125/286
Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D’Alembert:
la resistenza aerodinamica agente su un corpo immerso in una
corrente bidimensionale ideale è nulla.
��
��
�
�
Back
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Vortice isolato
In coordinate polari (Γ > 0 verso orario):
Γ
φ=− θ;
2π
126/286
Γ
ψ=
ln r .
2π
(246)
Flusso portante intorno al cilindro
Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si aggiunga il
campo indotto da un vortice isolato posto nell’origine del riferimento:
�
2�
R
ψ = V∞r sin θ 1 − 2
r
Γ
r
+
ln .
2π R
(247)
Condizioni al contorno soddisfatte:
ψ(R, θ) = 0 ;
(248)
r → ∞ ⇒ V → V∞ .
(249)
��
��
�
�
Back
Close
Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ) intorno al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di vista teorico.
127/286
Velocità sul corpo:
�
�
�
�
Γ
� .
V = ��2V∞ sin θ +
2πR �
(250)
È possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo ruotare il
cilindro ad una velocità angolare Ω = Γ/(2πR2) (Eﬀetto Magnus).
Circolazione sul cilindro:
�
V(R) · dl = Γ .
(251)
In termini del potenziale φ:
�
∇φ(R) · dl =
�
dφ = Γ ⇒ φ discontinuo!
(252)
��
��
�
�
Back
Close
Il dominio è doppiamente connesso!
128/286
�
B
A
∇φ · dl = φ(B) − φ(A) .
(253)
φ(B) − φ(A) è costante lungo il taglio (la circolazione lungo il circuito
(ABED) deve essere nulla).
��
��
�
�
Back
Close
Campo di velocità:
�
� �2 �
1 ∂ψ
R
Vr =
= V∞ cos θ 1 −
r ∂θ
r
�
;
� �2 �
∂ψ
R
Vθ = −
= −V∞ sin θ 1 +
∂r
r
(254)
Γ
−
.
2πr
129/286
(255)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| ≤ 1:

�
�
 P1 = (R, θ1 ), θ1 = arcsin − Γ
IV quadrante
4πV
R
∞
�
�
V = (0, 0) ⇒
 P2 = (R, θ2 ), θ2 = arcsin − Γ
III quadrante
4πV∞ R
(256)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| > 1:
V = (0, 0) ⇒



 P1 = (r1 , − π2 ), r1 =


 P2 = (r2 , − π ), r2 =
2
Γ
4πV∞
−
Γ
4πV∞
+
��
��
Γ
4πV∞
Γ
4πV∞
�2
�2
− R2
− R2
(257)
��
��
�
�
Back
Close
130/286
Linee di corrente e punti di ristagno
al variare della circolazione sul cilindro.
��
��
�
�
Back
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Campo di pressione sul cilindro portante
Coeﬃciente di pressione sul cilindro:
�
�
2Γ sin θ
Γ
Cp = 1 − 4 sin θ +
+
πV∞R
2πV∞R
2
�2 �
131/286
.
(258)
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
Portanza (per unità di lunghezza):
1 2
l = − ρV∞
2
�
2π
Cp sin θRdθ = ρV∞Γ .
0
(259)
Resistenza (per unità di lunghezza):
1 2
d = − ρV∞
2
�
2π
Cp cos θRdθ = 0 ;
0
vale ancora il Paradosso di D’Alembert.
(260)
��
��
�
�
Back
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Il teorema di Kutta-Zukovskij
Ipotesi: 2D, ∂t∂ = 0, Re∞ → ∞, P e∞ → 0, M∞ = 0, F r → ∞,
∇ × V = 0, corpo impermeabile.
132/286
��
��
�
�
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Forza aerodinamica per unità di lunghezza:
f=
�
pndS
(campo vicino) .
(261)
133/286
Sb
Dal bilancio di q.d.m. integrale:
f=−
�
Sf ar
pndS −
�
Sf ar
ρV V · n dS
V = V∞ + ∆V,
(campo lontano) .(262)
p = p∞ + ∆p .
(263)
Sia Sf ar → S∞; su Sf ar : ∆V → 0, ∆p → 0. Andremo quindi a
trascurare i termini O(∆V 2) e O(∆p2). Dal teorema di Bernoulli:
1
1
2
2
∆p = ρ(V∞ − V ) = ρ(V∞ · V∞ − V · V) ≈ −ρV∞ · ∆V . (264)
2
2
Inoltre:
V V = (V∞ + ∆V)(V∞ + ∆V) ≈ V∞V∞ + V∞∆V + ∆V V∞ . (265)
��
��
�
�
Back
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Quindi, essendo
f=ρ
�
Sf ar
�
Sf ar
�
p∞ndS = 0,
Sf ar
V∞ · ndS = 0:
[(V∞ · ∆V)n − (n · V∞)∆V − (n · ∆V)V∞] dS .
Dalla conservazione della massa
f=ρ
�
Sf ar
�
Sf ar (n
(266)
134/286
· ∆V)dS = 0, per cui
[(V∞ · ∆V)n − (n · V∞)∆V] dS .
(267)
Identità: c × (a × b) = (b · c)a − (a · c)b. Con a = n, b = ∆V, c = V∞:
f = ρV∞ ×
Dal teorema di Gauss
�
Sf ar
�
Sf ar
�
Sf ar
n × ∆VdS .
(268)
n × V∞dS = 0, per cui
n × ∆VdS =
�
Sf ar
n × VdS .
(269)
Inoltre, essendo n = (−t2, t1):
n × V = −V · t k
(270)
��
��
�
�
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per cui:
in un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale generato da
una corrente uniforme ideale che investe un corpo impermeabile,
la forza aerodinamica è data da:
f = ρV∞ × Γ .
135/286
(271)
1. La resistenza è nulla (Paradosso di D’Alembert).
2. La portanza è proporzionale alla circolazione intorno al corpo (Γ >
0 se oraria).
��
��
�
�
Back
Close
La condizione di Kutta
Cosı̀ come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso in una
corrente ideale è possibile ottenere infinite soluzioni potenziali variando
la circolazione Γ intorno al corpo.
136/286
È possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella che ha
un reale significato fisico?
La risposta è aﬀermativa per i corpi caratterizzati da un bordo
d’uscita aguzzo o cuspidato.
bordo d’uscita aguzzo,
bordo d’uscita a cuspide
��
��
�
�
Back
Close
137/286
fisicamente impossibile,
fisicamente possibile
Condizione di Kutta:
la velocità al bordo di ucita è continua; in particolare è nulla per
bordi aguzzi e finita per bordi a cuspide.
��
��
�
�
Back
Close
Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto l’unico che consente di soddisfare la condizione di Kutta.
138/286
Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno al
profilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema di
Kutta-Zukovskij.
Genesi della circolazione e della portanza
Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo alare.
• V = 0 ⇒ Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in particolare
rispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo racchiude.
• Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di Kelvin, la
circolazione intorno al circuito materiale deve rimanere nulla.
Come è possibile allora che si generi circolazione e quindi portanza
sul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?
��
��
�
�
Back
Close
139/286
Γ = Γ1 − Γ 2 = 0 ⇒ Γ 2 = Γ 1 .
(272)
Il vortice che si stacca all’avvio dal bordo di uscita compensa la
circolazione che si genera intorno al profilo.
��
��
�
�
Back
Close
Distribuzione lineare di vorticità
140/286
Potenziale indotto da una distribuzione lineare di vorticità:
� c
1
y
ϕ(x, y) = −
γ(ξ) arctan
dξ .
2π 0
x−ξ
(273)
Componenti di velocità cartesiane indotte dalla distribuzione lineare
di vorticità nel punto P (x, y):
1
u=
2π
�
c
0
γ(ξ)ydξ
,
2
2
(x − ξ) + y
1
v=−
2π
�
c
0
γ(ξ)(x − ξ)dξ
.(274)
2
2
(x − ξ) + y
��
��
�
�
Back
Close
Lungo il segmento (0, c) il campo di velocità è discontinuo.
141/286
lim
∆n→0
�
V · dl = (u+ − u−)dξ = γdξ ⇒ γ = u+ − u− .
(275)
Per simmetria (il campo non può cambiare se capovolgiamo la figura):
γ
u = u(x, 0 ) = −u = −u(x, 0 ) = .
2
+
+
−
−
(276)
��
��
�
�
Back
Close
Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a piccoli
angoli di attacco
Ipotesi:
1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y = C(x);
142/286
2. la curvatura del profilo è piccola: |C(x)|/c � 1 e |C �(x)| � 1;
3. il profilo è immerso in una corrente ideale, stazionaria, incomprimibile ad un piccolo angolo di attacco |α| � 1.
Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al contorno
di corpo linea di corrente e corrente uniforme all’infinito. L’eventuale
circolazione deve essere tale da soddisfare la condizione di Kutta.
��
��
�
�
Back
Close
Si ponga
φ(x, y) = φ∞(x, y) + ϕ(x, y) ,
(277)
dove φ∞ è il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ è detto
potenziale di disturbo.
143/286
Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale di
una distribuzione lineare di vorticità lungo la corda del profilo:
1
ϕ(x, y) = −
2π
�
c
0
y
γ(ξ) arctan
dξ .
x−ξ
(278)
• Questa funzione è certamente armonica per cui, con le posizioni
fatte, l’equazione di Laplace è risolta.
• La condizione al contorno all’infinito è certamente soddisfatta in
quanto il campo indotto all’infinito dalla distribuzione lineare di
vorticità è nullo.
• Deve solo essere verificata la condizione di corpo impermeabile.
• Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente uniforme si trascureranno termini quadratici del disturbo (del II ordine).
��
��
�
�
Back
Close
|α| � 1 ⇒ φ∞ ≈ V∞x + V∞αy .
(279)
Per le ipotesi fatte sulla piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo introdotto dal profilo sulla corrente è piccolo, cioè la velocità di disturbo
indotta dalla distribuzione di vorticità è piccola rispetto alla velocità
asintotica:
|u| � V∞ , |v| � V∞ .
(280)
144/286
|C(x)|/c � 1 per cui la condizione al contorno sul dorso e sul ventre
del profilo può essere imposta, con errore trascurabile, direttamente
lungo la corda del profilo:
V∞α + v(x, 0±)
�
∀x ∈ (0, c) :
=
C
(x) .
±
V∞ + u(x, 0 )
(281)
(x, 0+) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0−) un punto
del ventre. Si ottiene:
∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±) = C �(x)V∞ + C �(x)u(x, 0±) .
(282)
L’ultimo termine (del II ordine) può essere trascurato rispetto agli
altri.
��
��
�
�
Back
Close
La condizione sul corpo diventa:
v(x, 0±)
∀x ∈ (0, c) : α +
= C �(x) .
V∞
(283)
145/286
In termini della distribuzione di vorticità:
1
∀x ∈ (0, c) : α −
2πV∞
�
c
0
γ(ξ)dξ
= C �(x) .
x−ξ
(284)
Per determinare l’incognita γ(ξ) occorre risolvere questa equazione
integrale.
• In questo caso la condizione di Kutta è γ(c) = 0.
��
��
�
�
Back
Close
Trasformazione di Glauert:
146/286
c
c
c
ξ = (1 − cos θ0) , dξ = 2 sin θ0dθ0 ; x = (1 − cos θ) . (285)
2
2
Si assume che C �(x) sia sviluppabile in serie di Fourier rispetto a θ:
C �(x) =
∞
�
An cos(nθ) ;
(286)
n=0
dove
1
A0 =
π
�
π
0
2
�
C (x)dθ , n ≥ 1 : An =
π
�
π
C �(x) cos(nθ)dθ. (287)
0
��
��
�
�
Back
Close
La soluzione del problema è:
γ(θ) = 2V∞
�
∞
�
θ
(α − A0) cot +
An sin(nθ)
2 n=1
�
.
(288)
147/286
Prob. n. 17 (facoltativo): verificare che la relazione (288)
è soluzione dell’equazione integrale (284)
Integrale di Glauert:
�
π
0
cos(nθ0)
sin(nθ)
dθ0 = π
∀n = 0, 1, 2, . . .
cos θ0 − cos θ
sin θ
(289)
(si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ0) sin θ0 =
1
1
cos[(n
−
1)θ
]
−
cos[(n + 1)θ0]).
0
2
2
• Bisogna verificare che
1
∀x ∈ (0, c) :
2πV∞
�
c
0
γ(ξ)dξ
= α − C �(x) .
x−ξ
(290)
��
��
�
�
Back
Close
Lastra piana ad incidenza
La soluzione è (C(x) = C �(x) = 0):
θ
γ(θ) = 2V∞α cot = 2V∞α
2
�
148/286
1 − x/c
.
x/c
(291)
Verifica
Deve essere soddisfatta l’equazione integrale:
1
∀x ∈ (0, c) :
2πV∞
1
2πV∞
�
c
0
�
c
0
γ(ξ)dξ
=α.
x−ξ
(292)
�
γ(ξ)dξ
α π
θ0
sin θ0
=
cot
dθ0
x−ξ
π 0
2 cos θ0 − cos θ
� π
α
1 + cos θ0
=
dθ0 = α .
π 0 cos θ0 − cos θ
C.V.D.
(293)
��
��
�
�
Back
Close
Il campo di pressione
�
�
�
�
�
�
�2
V 2
u 2
v
= 1+
+ α+
V∞
V∞
V∞
trascurando, al solito, i termini del II ordine.
�2
u
≈1+2
,
V∞
(294)
V
u
Cp = 1 −
= −2
.
(295)
V∞
V∞
Un’attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ) mette
in luce che:
γ(θ) = γα (θ) + γC (θ) ,
(296)
γα (θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α;
γC (θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla.
Data la linearità del problema lo stesso risultato è valido per u, v e
Cp :
u(x, y) = uα + uC ,
v(x, y) = vα + vC ;
Cp(x, y) = Cpα + CpC .
(297)
(298)
149/286
��
��
�
�
Back
Close
Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile con piccola curvatura ed a bassa incidenza) è valido il principio di sovrapposizione degli eﬀetti: il campo di moto è ottenibile per sovrapposizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e linea media ad
incidenza nulla.
150/286
��
��
�
�
Back
Close
Analisi della soluzione lastra piana
u
γ(x)
±
(x, 0 ) = ±
= ±α
V∞
2V∞
�
1 − x/c
;
x/c
u
γ(x)
±
Cp(x, 0 ) = −2 (x, 0 ) = ∓
= ∓2α
V∞
V∞
±
151/286
(299)
�
1 − x/c
. (300)
x/c
Coeﬃciente di pressione su una lastra piana a α = 50 ; soluzione di Glauert.
��
��
�
�
Back
Close
• Al bordo di attacco la soluzione è singolare (dove il disturbo in
realtà non è piccolo).
• Al bordo d’uscita Cp = 0 (condizione di Kutta verificata).
152/286
I coeﬃcienti di forza aerodinamica
n: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in
y (forza normale); n = Cn 12 ρ∞V∞2 c;
a: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in
x (forza assiale); a = Ca 12 ρ∞V∞2 c;
s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).
��
��
�
�
Back
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153/286
Relazione con portanza e resistenza:
l = n cos α − a sin α ,
d = n sin α + a cos α .
(301)
(302)
Definizione di carico lungo il profilo:
γ(x)
∆Cp(x) = Cp(x, o ) − Cp(x, o ) = 2
.
V∞
Coeﬃciente di forza normale:
� � � 1
� �
� TE
s
x
Cn =
∆Cp(x) cos δ d
=
∆Cp(x) d
.
c
c
LE
0
−
+
(303)
(304)
��
��
�
�
Back
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• Il contributo della forza assiale alla portanza è del II ordine e può
essere trascurato.
Cl ≈ Cn cos α ≈ Cn = 2
�
1
0
� �
γ(x) x
d
V∞
c
154/286
2Γ
=
;
V∞ c
(305)
2Γ 1
l=
ρ∞V∞2 c = ρ∞V∞Γ .
V∞ c 2
• Il teorema di Kutta-Zukovskij è verificato.
�
1
� �
γ(x) x
Cl ≈ 2
d
c
�0� V�∞
π
= 4
�
0
θ
(α − A0) cot +
2
= 4 (α − A0)
�
π
0
∞
�
1
θ
1
cos dθ +
2
2
2
(306)
�
1
An sin(nθ) sin θdθ
2
∞
�
1
An
�
�
π
sin(nθ) sin θdθ
0
�
(307)
��
��
�
�
Back
Close
�
π
�
π
0
θ
π
cos dθ =
;
2
2
�
2
sin(nθ) sin θdθ =
0
�
155/286
π
2
n=1
0 n>1
�
�
π π
A1
Cl ≈ 4 (α − A0) + A1 = 2π α − A0 +
2 4
2
Cl ≈ Clα (α − αzl )
�
(308)
(309)
• Per profili sottili a piccoli angoli d’attacco la curva Cl = Cl (α) è
una retta.
• Clα = 2π è il coeﬃciente angolare della retta di portanza ed è
indipendente dal profilo.
• αzl = A0 − A1/2 è l’angolo di portanza nulla, dipende solo dalla
curvatura del profilo ed è proporzionale ad essa.
��
��
�
�
Back
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In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unità di
lunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed il
relativo coeﬃciente:
1
mle = Cmle ρ∞V∞2 c2 .
2
Cmle
�
TE
� �
156/286
(310)
�
1
� �
x
s
x
x
= −
∆Cp(x) cos δ d
=−
∆Cp(x) d
c
c
c
c
0
� �
�LE1
x
x
π
Cl
= −2
γ(x) d
= (A2 − A1) −
.
(311)
c
c
4
4
0
Il centro di pressione è il punto di applicazione della risultante
delle forze aerodinamiche:
xcp
xcp
Cmle
− Cl
= Cmle ⇒
=−
.
c
c
Cl
(312)
��
��
�
�
Back
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Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio è indipendente
dall’angolo di attacco si chiama fuoco.
157/286
Cl
π
Cmc/4 = Cmle +
= − (A1 − A2) .
(313)
4
4
• Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco è posto a x = c/4.
��
��
�
�
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Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana
• αzl = 0;
158/286
• Cl = 2πα;
• Cmle = −Cl /4;
• xcp = c/4;
• Cmc/4 = 0.
��
��
�
�
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159/286
• Re∞ � 1, M∞ � 1;
• esiste un ampio intervallo degli angoli di attacco in cui i risultati della teoria di Glauert
sono in ottimo accordo con i
dati sperimentali.
• Clα = 2π;
• αzl può essere facilmente
calcolato nota la linea media;
• Cmc/4 può essere facilmente
calcolato nota la linea media.
��
��
�
�
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Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla
160/286
Equazione del profilo:
y = ±T (x) ,
T (x) � 1, +: dorso, −: ventre.
(314)
φ(x, y) = V∞x + ϕ(x, y) ;
(315)
� c
�
1
ϕ(x, y) =
σ(ξ) ln (x − ξ)2 + y 2 dξ ,
(316)
2π 0
Il potenziale del disturbo è dato da una distribuzione lineare di sorgenti
lungo la corda di intensità
σ(x) = 2V∞T �(x) .
(317)
��
��
�
�
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Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che la
condizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la corda):
v
∀x ∈ (0, c) :
(x, 0±) = ±T �(x) .
V∞
161/286
(318)
Poichè i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono ortogonali
risulta3:
σ(x)
±
v(x, 0 ) = ±
;
(319)
2
con σ(x) = 2V∞T �(x) la condizione (318) è ovviamente soddisfatta.
• Il campo di moto è singolare al bordo d’attacco (dove il disturbo è
grande).
• ∆Cp(x) = 0, Cl = 0 e Cmle = 0.
• Campi di moto non portanti possono essere descritti con distribuzioni di sorgenti e pozzi.
3
le componenti di velocità sono uguali ma scambiate.
��
��
�
�
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Campo intorno ad un profilo sottile di spessore finito a
piccole incidenze
Ipotesi
162/286
1. ρ = cost, ∂/∂t = 0, flusso ideale.
2. Corrente asintotica uniforme con |α| � 1.
3. Equazione del profilo: y = C(x) ± T (x), con |C(x)|, |C �(x)|,
|T (x)|, |T �(x)| � 1.
C(x): equazione della linea media;
T (x): equazione del semispessore del profilo simmetrico.
��
��
�
�
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Soluzione del campo:
�
1 c
y
φ = φ∞ −
γ(ξ) arctan
dξ
2π 0
x−ξ
� c
�
1
+
σ(ξ) ln (x − ξ)2 + y 2 dξ .
(320)
2π 0
• φ∞ = V∞(x + αy);
�
�
�∞
θ
• γ(ξ) = 2V
∞ (α − A0 ) cot 2 +
n=1 An sin(nθ) ,
�
C �(x) = ∞
0 An cos(nθ);
• σ(x) = 2V∞T �(x).
Condizioni al contorno imposte tutte lungo la corda (0, c) → soluzioni sovrapponibili; vale ancora il principio di sovrapposizione degli
eﬀetti:
• Il profilo simmetrico ad incidenza nulla ha Cl = 0:lo spessore non
dà contributo alla portanza ed al momento nel caso di piccoli
disturbi.
163/286
��
��
�
�
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Carico basico e addizionale lungo il profilo
• α = A0 = αi ⇒ (α − A0) cot(θ/2) = 0: il carico al bordo
d’attacco è finito nella soluzione di Glauert.
• αi: angolo di attacco ideale; il corripondente Cl = Cli è il coeﬃciente di portanza ideale.
• αi = A0 dipende dalla linea media.
• Lungo un profilo posto a α = αi vengono minimizzati i valori positivi di dp/dx > 0. Questi gradienti avversi di pressione hanno un
ruolo sfavorevole sulla resistenza aerodinamica; presumibilmente il
profilo avrà resistenza minima nell’intorno di α = αi.
Ulteriore decomposizione della soluzione di Glauert:
Il carico lungo la lastra piana ad incidenza α − αi è denominato carico
addizionale.
Il carico lungo un profilo infinitamente sottile può essere scomposto in carico basico e carico addizionale.
164/286
��
��
�
�
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I profili NACA
165/286
Definizione della geometria
x ∈ (0, 1);
y = yc(x): equazione della linea media;
y = yt(x): equazione del semispessore (profilo simmetrico);
tan θ = dyc/dx.
��
��
�
�
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Coordinate dei punti del dorso (upper):
xU = x − yt sin θ ,
yU = yc + yt cos θ .
(321)
(322)
166/286
Coordinate dei punti del ventre (lower):
xL = x + yt sin θ ,
yL = yc − yt cos θ .
(323)
(324)
Profili NACA a 4 cifre
Semispessore:
√
t �
yt = ±
0.29690 x − 0.12600x − 0.35160x2
0.20
�
3
4
+ 0.28430x − 0.10150x .
(325)
t: spessore percentuale del profilo, il punto di spessore massimo è
posizionato al 30% della corda, bordo d’uscita aguzzo.
rt = 1.1019t2: raggio di curvatura del bordo di attacco.
��
��
�
�
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Linea media:
∀x ≤ p :
∀x > p :
m
yc = 2 (2px − x2) ;
p
m
2
yc =
(1
−
2p
+
2px
−
x
);
2
(1 − p)
(326)
167/286
(327)
p: posizione in x del punto di ordinata massima della linea media;
m: ordinata massima della linea media.
Sistema di numerazione
Il profilo è individuato da 4 cifre D1D2D3D4.
D1/100 = m, curvatura massima;
D2/10 = p, posizione del punto di curvatura massima;
D3D4/100 = t, spessore massimo percentuale.
��
��
�
�
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Profili NACA a 5 cifre
Semispessore:
la distribuzione del semispessore è la stessa della serie a 4 cifre.
Linea media:
∀x ≤ m :
∀x > m :
k1 3
yc = [x − 3mx2 + m2(3 − m)x] ;
6
k1 m 3
yc =
(1 − x) .
6
linea media
210
220
230
240
250
m
0.0580
0.1260
0.2025
0.2900
0.3910
k1
361.4
51.64
15.957
6.643
3.230
168/286
(328)
(329)
��
��
�
�
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Sistema di numerazione
Il profilo è individuato da 5 cifre D1D2D3D4D5.
D1D2D3 individuano la linea media;
169/286
D4D5/100 = t, spessore massimo
NACA 2412
��
��
�
�
NACA 23012
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Il metodo ingegneristico NACA
• assegnato il Cl , consente la determinazione delle velocità e delle
pressioni lungo un profilo delle famiglia NACA in condizioni di
flusso ideale e incomprimibile;
• non ha una solida base scientifica;
• si basa sulla sovrapposizione dei campi di velocità ottenuti da risultati esatti ed approssimati (teoricamente non possibile) disponibili
sotto forma di tabelle.
1. Profilo simmetrico ad incidenza nulla; soluzione ottenuta con un
metodo esatto.
2. Linea media a Cl = Cli ; soluzione di Glauert.
3. Profilo simmetrico ad incidenza α − αi; soluzione esatta ottenuta
per Cl = 1 (valore di riferimento) ed assunta variabile linearmente
con il Cl (assunzione approssimata).
170/286
��
��
�
�
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• Le soluzioni 1 e 3 (per Cl = 1) sono esatte e quindi non hanno
singolarità al bordo di attacco.
• La soluzione 2 è il carico basico, per definizione, finito al bordo di
attacco.
171/286
• La soluzione completa, ottenuta con il metodo NACA, non ha
singolarità al bordo d’attacco.
Velocità sul profilo
V
Vt
∆v ∆va
=
±
±
(Cl − Cli) .
V∞ V∞ V∞
V∞
(330)
Vt/V∞: profilo simmetrico a α = 0o.
∆v/V∞: linea media a α = αi.
∆va/V∞: profilo simmetrico a Cl = 1.
��
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�
�
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172/286
��
��
�
�
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e
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173/286
Confronto del metodo NACA con dati sperimentali.
��
��
�
�
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174/286
��
��
�
�
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Applicazione del metodo NACA
1. Assegnare il profilo (spessore + linea media).
175/286
2. Assegnare Cl .
3. Consultare la tabella della linea media per determinare Cli. Solo
le linee medie 6X dei profili a 4 cifre sono dispobili in forma tabulare; per determinare i dati della linea media 2X, ad esempio,
occorre moltiplicare per 2/6 = 1/3 i dati della linea 6X (linearità
dell’eﬀetto della linea media).
4. Calcolare il fattore moltiplicativo per il carico addizionale: f (Cl ) =
Cl − Cli.
5. Compilare la tabella per il profilo. Il coeﬃciente di pressione si
calcola con la formula Cp = 1 − (V /V∞)2.
x
c
Vt
V∞
∆va
V∞
∆va
∆v
f (Cl )
V∞
V∞
6. Ricalcolare Cl =
�1
0
Vl
V∞
Vu
Cpl Cpu ∆Cp
V∞
∆Cpd(x/c) per verifica.
��
��
�
�
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L’ala finita in regime ideale
176/286
Ipotesi:
1. corrente uniforme V∞ che investe un corpo tridimensionale;
2. regime stazionario;
3. regime ideale (Rer → ∞);
4. regime incomprimibile (M∞ → 0).
Il campo di moto è a potenziale e l’equazione che governa il problema
è ancora quella di Laplace:
∇2 φ = 0 ;
(331)
condizioni al contorno:
lim φ = φ∞ ;
r→∞
∂φ
sul corpo:
=0.
∂n
(332)
��
��
�
�
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177/286
Esiste la possibilità che in piani paralleli al piano (x, z), in cui la
sezione dell’ala è un profilo alare, il campo di moto sia praticamente bidimensionale?
Si, nel caso di ali caratterizzate da AR � 1 e freccia Λ → 0.
��
��
�
�
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Come mai in regime ideale 2D la resistenza aerodinamica risulta
nulla, mentre la teoria globale ha messo in luce, in 3D, l’esistenza
della resistenza indotta dalla portanza?
178/286
��
��
�
�
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• La diﬀerenza di pressione ventre-dorso tende a far ruotare l’aria
attorno alle estremità alari: alle estremità si formano due vortici
controrotanti detti vortici liberi.
179/286
��
��
�
�
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Close
• I vortici liberi tendono a far scendere l’aria per −b/2 < y < b/2
(downwash), mentre fanno salire l’aria per y < −b/2 e y > b/2
(upwash).
180/286
��
��
�
�
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• Per eﬀetto del downwash (w) i profili alari si trovano a lavorare ad
un angolo di attacco eﬀettivo αef f = α − αi più piccolo.
• αi è l’angolo di incidenza indotto.
181/286
• La velocità eﬀettiva a cui lavora il profilo (Vef f ) ha cambiato direzione: la portanza ad essa perpendicolare ha una componente
parallela a V∞: la resistenza indotta.
• Il downwash è proprio la componente di velocità associata alla
variazione di quantità di moto verticale causa (per la II legge della
dinamica) della portanza.
��
��
�
�
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Il sistema vorticoso dell’ala
• Se AR � 1 e Λ ≈ 0 l’esperienza mostra che, a parte le estremità,
il flusso è bidimensionale in piani paralleli a (x, z).
182/286
• La teoria di Glauert mostra che un’ala infinita infinitamente sottile e poco curva a bassa �incidenza è descritta da una superficie
c
vorticosa di intensità Γ = 0 γG(x)dx.
• Se l’ala è finita, in generale Γ = Γ(y), in particolare Γ(−b/2) =
Γ(b/2) = 0.
• La distribuzione di vorticità γG con asse parallelo a y costituisce
il sistema di vortici aderenti. Se AR � 1 il sistema di vortici
aderenti può essere schematizzato con un unico vortice di intensità
Γ(y).
• L’intensità di un tubo vorticoso non può variare e la circolazione si
conserva: per una variazione lungo y pari a dΓ = dΓ/dy dy deve
nascere un vortice di pari intensità diretto come le linee di corrente.
• Questi vortici, sostanzialmente allineati a V∞, costituiscono il sistema di vortici liberi.
��
��
�
�
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183/286
Il sistema vorticoso dell’ala.
��
��
�
�
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Il downwash
• Il downwash w è la velocità indotta lungo l’asse y (x = 0) dal
sistema di vortici liberi (w > 0 ⇒ verso il basso).
• I vortici liberi sono semi-infiniti.
Downwash indotto da un vortice elementare infinito:
dΓ
dw =
.
2π(y − y0)
Downwash indotto da un vortice elementare semi-infinito:
dΓ
dw =
.
4π(y − y0)
(333)
(334)
184/286
��
��
�
�
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Downwash indotto da una distribuzione di vortici liberi lungo l’ala:
1
w(y) =
4π
�
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 .
(y − y0) dy0
(335)
185/286
��
��
�
�
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La teoria del filetto portante di Prandtl
Nelle ipotesi di piccoli disturbi, l’incidenza indotta è piccola:
w
1
αi(y) ≈
(y) =
V∞
4πV∞
�
186/286
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 .
(y − y0) dy0
(336)
αg (y) = α(y)−αzl (y): angolo d’attacco della sezione misurato rispetto alla retta di portanza nulla del profilo;
αef f (y) = αg (y)−αi(y): angolo di incidenza eﬀettiva αef f a cui lavora
la generica sezione dell’ala (rispetto alla retta di portanza nulla del
profilo).
1 2
dL = ρV∞Γ(y)dy = Clα (y)αef f (y) ρV∞c(y)dy ,
(337)
2
2Γ(y)
= Clα (y)[αg (y) − αi(y)] .
(338)
V∞c(y)
��
��
�
�
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Sostituendo l’espressione integrale di αi(y):
2Γ(y)
1
+
Clα (y)V∞c(y) 4πV∞
�
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 = αg (y) .
(y − y0) dy0
(339)
187/286
Noto V∞ e la geometria dell’ala (c(y), svergolamento, profili utilizzati
e quindi Clα (y)) quest’equazione integrale è nell’unica incognita Γ(y).
Il carico lungo l’ala
cCl
Γ
γ=
=
;
V∞ b
2b
Con η = y/(b/2) l’equazione integrale (339) diventa:
2b
1
γ(η) +
Clα (η)c(η)
2π
�
(340)
+1
−1
1
dγ
(η0)dη0 = αg (η) .
(η − η0) dη0
(341)
��
��
�
�
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Posto η = − cos θ:
γ(θ) =
∞
�
An sin (nθ) ;
(342)
188/286
n=1
si ottiene4:
∞
�
w
n sin(nθ)
An
(θ) =
V∞
2
sin θ
n=1
(343)
e l’equazione da risolvere diventa
∞
∞
�
�
2b
n sin(nθ)
An sin(nθ) +
An
= αg (θ) .
Clα (θ)c(θ) n=1
2
sin θ
n=1
(344)
��
��
�
�
4
Ricordando l’integrale di Glauert e che
dγ
dη
=
dγ dθ
dθ dη
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La portanza
Assumendo piccoli disturbi: Vef f ≈ V∞.
L=
Sostituendo γ =
�
+b/2
−b/2
l(y)dy = ρ∞V∞
L
CL = 1
= AR
2
ρ V S
2 ∞ ∞
�∞
1
�
189/286
�
+b/2
Γ(y)dy .
(345)
−b/2
+1
γ(η)dη .
(346)
−1
An sin(nθ):
π
CL = ARA1 .
2
(347)
• Il coeﬃcente di portanza dipende solo da A1.
��
��
�
�
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La resistenza indotta
Di =
�
+b/2
ρ∞V∞Γ(y)αi(y)dy = ρ∞
−b/2
CDi
�
π
Di
= 1
= AR
2
ρ V S
2 ∞ ∞
sin(nθ) sin(mθ)dθ =
0
CDi = AR
�
π
0
�
∞
�
�
n=1
+1
+b/2
Γ(y)w(y)dy .
CDi
190/286
(349)
−1
π/2 per n = m
0
per n �= m
��
∞
�
n=1
�
n
An sin(nθ) dθ
2
�
π � 2
2
2
2
= AR A1 + 2A2 + 3A3 + . . . + nAn + . . . .
4
CL2
=
(1 + δ 2) ,
πAR
(348)
−b/2
γ(η)αi(η)dη .
�
An sin(nθ)
�
2
dove δ =
∞
�
n=2
nA2n
.
2
A1
(350)
(351)
��
��
�
�
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Ala con distribuzione di carico ellittica:
γ(θ) = A1 sin θ = γ0 sin θ ,
(352)
191/286
dove γ0 = Γ(0)/(V∞b).
w
A1
CL
= αi =
=
.
V∞
2
πAR
(353)
Se la distribuzione del carico è ellittica:
1. il downwash, quindi αi, è costante lungo l’apertura;
CL2
2. CDi =
è minimo (δ 2 = 0) nell’ambito di validità della teoria
πAR
del filetto portante.
��
��
�
�
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L’ala ellittica
Si può avere come soluzione dell’equazione del filetto portante (344) il
carico ellittico?
Deve essere verificato che
2αg (θ)
A1 =
= cost .
4b sin θ
1+
Clα (θ)c(θ)
192/286
(354)
• Esistono infiniti modi di combinare forma in pianta, svergolamento e profilo (Clα ) per ottenere il carico ellittico.
Uno dei modi, particolarmente interessante, è:
1. αg (θ) = cost, ala non svergolata aerodinamicamente;
2. stesso profilo lungo l’apertura, quindi Clα (θ) = cost, αzl (θ) = cost
(ala non svergolata anche geometricamente).
3. c(θ) = c0 sin θ, forma in pianta ellittica.
��
��
�
�
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Per l’ala ellittica S = πbc0/4.
Clα
CL =
(α − αzl ) .
Clα
1+
πAR
(355)
193/286
• CL = CLα (α − αzL);
Clα
• CLα =
; quindi CLα < Clα ;
Clα
1+
πAR
• αzL = αzl ; l’angolo di portanza nulla dell’ala coincide con quello
del profilo.
Prob. n. 18: determinare per un’ala di assegnato AR e
per un dato CL l’ordine di grandezza di γ
Dall’equazione CL = AR
� +1
−1
γdη si può calcolare il valor medio di γ.
��
��
�
�
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194/286
Reggiane Re. 2001
��
��
�
�
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Carico basico e addizionale lungo l’ala
Decomposizione del carico lungo l’ala:
γ(η) = γb(η) + γa(η) ;
195/286
(356)
• γb(η): carico basico, distribuzione del carico per CL = 0; dipende
essenzialmente dallo svergolamento aerodinamico dell’ala;
• γa(η) = γ(η) − γb(η): carico addizionale, diﬀerenza tra la distribuzione attuale e basica del carico; dipende essenzialmente dalla
forma in pianta dell’ala.
��
��
�
�
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Il metodo ingegneristico di Schrenk
Permette il calcolo della distribuzione del carico basico e del carico
addizionale.
Dati:
196/286
1. c/(b/2) = f (η): forma in pianta;
2. Clα = Clα (η), αzl = αzl (η): caratteristica di portanza nell’intervallo di funzionamento lineare del profilo;
3. εa = εa(η): svergolamento aerodinamico.
• CL = AR
��
+1
−1
γbdη +
� +1
−1
�
γadη = AR
� +1
−1
γadη;
• nel tratto lineare della curva di portanza γa è proporzionale a CL.
γ = γb + CLγa1 ,
γa1: carico addizionale per CL = 1.
(357)
��
��
�
�
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Determinazione del carico addizionale
• AR → ∞: il carico è proporzionale alla corda (αi → 0, γ =
cCl /(2b)).
197/286
• AR → 0: l’esperienza mostra che, per ali di basso allungamento, il
carico diventa ellittico;
• ipotesi di Schrenk: per AR intermedi il carico addizionale per
CL = 1 è dato dalla media tra la distribuzione delle corde effettiva e quella di un’ala a forma in pianta ellittica e di pari
superficie alare.
�
�
1 c(η) cell (η)
γa1(η) =
+
;
(358)
2 2b
2b
√
cell (η) = c0 1 − η 2 = c0 sin θ;
4S
c0 =
.
πb
�� +1
�
� +1
� +1 �
AR
4S
AR
γa1dη =
c(η)dη +
1 − η 2dη = 1 .
4b −1
πb −1
−1
(359)
��
��
�
�
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198/286
Carico addizionale con il metodo di Schrenk
• Il metodo di Schrenk è in errore alle estremità alari dove il carico
dovrebbe essere nullo.
• Si può tenere conto della variazione del profilo lungo l’apertura
utilizzando la corda eﬀettiva dell’ala ce = cClα /C̄lα con C̄lα =
� b/2
2 0 Clα c dy/S.
��
��
�
�
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Determinazione del carico basico
1. Si calcola αzL con la formula approssimata
αzL
2
=
S
�
199/286
b/2
cεa(y) dy .
(360)
0
2. Si calcola l’angolo di attacco basico con la formula
αb = αzL − εa(y).
(361)
3. Si assume il carico basico pari alla media tra il carico basico dell’ala
svergolata e quello della stessa ala non svergolata:
cClb cClα αb
γb(η) =
=
,
2b
4b
(362)
per tenere conto dell’eﬀetto di contrasto dello svergolamento dovuto al maggior carico in mezzeria dell’ala svergolata.
��
��
�
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