Forze intermolecolari

Forze intermolecolari
Si vuole descrivere in modo semplice la forza che si esercita tra due
molecole A e B, in particolare in base alle caratteristiche elettrostatiche delle molecole.
Le forze elettriche sono di tipo conservativo. E’ quindi possibile
associare alla forza una energia potenziale. In una dimensione si ha
Z r
U (r) = −
F (r)dr
∞
se F è attrattiva l’energia potenziale è negativa.
• In termini opposti
F (r) = −
dU (r)
dr
F = −∇U
JJ
II
J
I
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Forza e energia potenziale
5
4
U (r)
3
F (r) = − dUdr(r)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.8
0.9
1
1.1
1.2
r
1.3
1.4
1.5
1.6
JJ
II
J
I
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Funzione δ di Dirac 1
Gaussiana normalizzata con varianza σ 2
Z ∞
1
2
2
G(x) = √
e−x /2σ
G(x) = 1
2πσ
−∞
• La δ di Dirac può essere definita come il limite di G(x) per σ piccolo
Z
∞
δ(x) = lim G(x)
δ(x) = 1
σ→0
−∞
δ(x − a) =
0 x 6= a
∞ x=a
JJ
II
J
I
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Funzione δ di Dirac 2
∞
δ(x)
σ = 0.1
σ = 0.05
σ = 0.025
0
0 σ σ
x
σ
JJ
II
J
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Densità di carica
Consideriamo una molecola descritta dall’approssimazione di BornOppenheimer: i nuclei sono mantenuti in posizioni fisse, gli elettroni
possono muoversi.
Nella meccanica quantistica è stata introdotta la funzione d’onda
elettronica ψe({re}; {rN }): il suo quadrato |ψe({re}; {rN })|2 rapp(1) (2)
resenta la probabilità di trovare gli elettroni nelle posizioni re , re , . . .
(1) (2)
quando i nuclei sono stati fissati nelle posizioni rN , rN , . . . .
• Densità di carica
carica
dQ
ρ =
=
volume dV
Q = ρV
ρ costante
3
dQ = ρ(x,
y,
z)
(dxdydz)
≡
ρ(r)
d
r
Z
Q =
ρ(r)d3r
ρ variabile
JJ
II
J
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Calcolo della densità di carica
Densità di carica nucleare
ρN (r) = e
X
(i)
Ziδ(r − rN )
i
Densità elettronica
Z
2
3 (3)
3 (Ne )
ρe(r) = −eNe d3r(2)
d
r
.
.
.
d
r
|ψ
({r
};
{r
})|
e
e
N
e
e
e
Ne è il numero totale di elettroni. Di questi il primo viene mantenuto
fisso nella posizione r gli altri possono andare dove vogliono.
• Densità “totale” di carica
ρ(r) = ρN (r) + ρe(r)
JJ
II
J
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Potenziale di interazione
tra due molecole “lontane”
Se sono lontane possiamo pensare che la densità di carica della
molecola A non venga influenzata da quella della molecola B e
viceversa
• Potenziale elettrostatico (teorema di Hellmann-Feymman)
1 [ρ(A)(rA)d3rA] [ρ(B)(rB )d3rB ]
dU =
4πε0ε
|rA − rB |
Z
Z
1
ρ(A)(rA)ρ(B)(rB )
3
3
U =
d rA
d rB
4πε0ε volume di A
|rA − rB |
volume di B
JJ
II
J
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Limiti dell’approccio quantomeccanico
1. Determinazione delle corrette funzioni d’onda elettroniche
2. Deformazione degli orbitali di A in presenza di B
3. Deformazione della posizione dei nuclei
4. Fluttuazioni delle cariche
Si preferisce una descrizione classica della interazione
JJ
II
J
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Multipoli di carica
multipolo
caso P
discreto
monopolo (carica) Q = P i qi
dipolo
µ = Pi qi ri
µx = P i qi x i
µy = P i qi y i
µz =P i qi zi
quadrupolo
θ= P
i qi r i ⊗ r i
θxx = Pi qi xi xi
θxy = Pi qi xi yi
θxz = Pi qi xi zi
θyy = Pi qi yi yi
θyz = Pi qi yi zi
θzz =P i qi zi zi
ottupolo
O = i qi r i ⊗ r i ⊗ r i
caso Rcontinuo
Q = R ρ(r)d3 r
µ = Rρ(r)rd3 r
µx = R ρ(r)xd3 r
µy = R ρ(r)yd3 r
µz =R ρ(r)zd3 r
θ = Rρ(r)r ⊗ rd3 r
θxx = R ρ(r)xxd3 r
θxy = R ρ(r)xyd3 r
θxz = R ρ(r)xzd3 r
θyy = R ρ(r)yyd3 r
θyz = R ρ(r)yzd3 r
θzz =R ρ(r)zzd3 r
O = ρ(r)r ⊗ r ⊗ rd3 r
JJ
II
J
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Dipoli indotti e polarizzabilità
Quando una distribuzione di carica elettrica (orbitali) si trova in un
campo elettrico si può generare una deformazione: le cariche positive
vengono attirate nella direzione di E quelle negative nella direzione
opposta.
• Si genera quindi un momento di dipolo elettrico indotto µind
• La relazione tra E e µind definisce la matrice di polarizzabiltà α
µind = α · E


 

µind
α
α
α
E
xx
yx
zx
x
x
ind
 µy  =  αxy αyy αzy  ·  Ey 
αxz αyz αzz
Ez
µind
z

JJ
II
J
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Polarizzabilità 2
Per distribuzioni piuttosto simmetriche di carica (ad esempio una
piccola molecola) o per una macromolecola a grande distanza (ad
esempio una proteina) si può approssimare la matrice di polarizzabilità con una più semplice polarizzabilità scalare
µind = αE
1
α = (αxx + αyy + αzz )
3
In questo caso µind ha sempre la direzione e il verso di E
• Si può dimostrare che il termine α/ε0 ha le dimensioni di un volume:
pertanto più grande è il volume molecolare, più grande risulta la
polarizzabilità.
JJ
II
J
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Energia e fluttuazioni termiche
• In generale l’energia di interazione U tra due molecole A e B dipende
dalla distanza R tra le due molecole e da tutta una serie di variabili
angolari Ω che sono necessarie per definire l’orientazione con cui B
“vede” A.
Ad una data distanza R il valore medio dell’energia di interazione
U (R, Ω) dipende dalla probabilità con cui vengono popolati tutti i
possibili stati Ω. Tale probabilità e la sua dipendenza dalla temperatura è descritta dal fattore di Boltzmann
R
< U > (R) =
Moto Browniano
dΩ U (R, Ω) e−U (R,Ω)/kB T
R
dΩ e−U (R,Ω)/kB T
JJ
II
J
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Energia potenziale e multipoli
U ≈
1
(Carica-carica + Carica-dipolo + Carica-dipolo indotto+
4πε0ε
Carica-quadrupolo + · · · + Dipolo-dipolo + Dipolo-dipolo indotto +
Dipolo indotto-dipolo indotto + Dipolo-quadrupolo + . . . )
U ≈ UQAQB + UQAµB + UQAµind + UQ θ + · · · +
A B
B
UµAµB + Uµ µind + Uµindµind + Uµ θ + . . .
A
B
A
B
A
B
JJ
II
J
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Carica-carica
E’ il termine più semplice, necessario ad esempio per descrivere
l’interazione tra due ioni. Le cariche hanno simmetria sferica, per
cui non è necessaria nessuna variabile angolare,
UQAQB (R) ≡< UQAQB > (R) =
QAQB 1
4πε0ε R
L’energia è positiva (e quindi di tipo repulsivo) se le cariche hanno
stesso segno, negativa (attrattiva) se il segno delle cariche è opposto.
JJ
II
J
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Carica-dipolo 1
Immaginiamo che la molecola B abbia un momento di dipolo elettrico permanente µB (come l’acqua) e che interagisca con uno ione
A dotato di carica QA.
Conviene calcolare prima il campo elettrico E generato da A e quindi
scrivere l’energia di interazione tra E e µB
E=
1 QA
uR
4πε0ε R2
uR vettore unitario lungo R
1
QAµB
cos θ
UQAµB (R, θ) = −µB · E = −µB E cos θ = −
4πε0ε
R2
L’energia è repulsiva o attrattiva in funzione di θ
JJ
II
J
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Carica-dipolo 2
Calcoliamo il valor medio dell’energia dalla statistica di Boltzmann
Rπ
sin θdθ (−µB E cos θ) eµB E cos θ/kB T
Rπ
< UQAµB > (R) =
µB E cos θ/kB T
0 sin dθ e
= −µB EL(x)
0
dove x =
µB E
kB T
e L(x) = coth x − x1 (funzione di Langevin)
Se x 1, cioè se l’energia termica kB T è molto più grande di U ,
si ha L(x) ≈ x/3 da cui
µ2B E 2
µ2B Q2A
1
1
< UQAµB > (R) = −
=−
3kB T
(4πε0ε)2 3kB T R4
L’energia media è sempre attrattiva e varia come R−4
JJ
II
J
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Funzione di Langevin
1
x
3
0.8
L(x)
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
x
30
35
40
45
50
JJ
II
J
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Esempio
T1
T2 > T1
•
•
JJ
II
J
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Dipolo-dipolo 1
In questo caso sia A che B hanno momenti di dipolo permanenti,
µA e µB . Ad esempio due molecole d’acqua. Per descrivere correttamente tutte le possibili posizioni abbiamo bisogno di due angoli
per ciascun dipolo: θA, φA e θB , φB
• L’energia potenziale si ricava dapprima calcolando il campo elettrico
E generato da µA e quindi applicando la nota relazione U = − µB · E.
Risulta
1
4πε0ε
µA µB
×[sin θA sin θB cos(φA − φB ) − 2 cos θA cos θB ] 3
R
UµAµB (R, θA, φA, θB , φB ) =
L’energia è repulsiva o attrattiva in funzione di θA, φA, θB , φB .
JJ
II
J
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Esempio
µB
θB
φB
z
θA
φA
x
µA
y
JJ
II
J
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Parte angolare 1
sin θA sin θB cos(φA − φB ) − 2 cos θA cos θB
φA = φ B
π
2
1
π
2
0
0
-1
-2
−π
− π2
− π2
0
θA
π
2
π
−π
θB
JJ
II
J
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Parte angolare 2
sin θA sin θB cos(φA − φB ) − 2 cos θA cos θB
φA − φ B =
π
2
1
π
2
0
0
-1
-2
−π
π
2
− π2
− π2
0
θA
π
2
π
−π
θB
JJ
II
J
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Dipolo-dipolo 2
Come nel caso carica-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell’energia
di interazione su tutte le variabili angolari. Tralasciando i passaggi
intermedi, si ricava
2µ2Aµ2B
1
1
< UµAµB > (R) = −
(4πε0ε)2 3kB T R6
L’energia media è sempre attrattiva e varia come R−6
JJ
II
J
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Carica-dipolo indotto
Ad esempio una molecola B (dotata di grande polarizzabilità scalare
αB ) e uno ione A con carica QA.
• Per calcolare il termine di energia conviene considerare il campo
elettrico E generato da A (E = QA/4πε0εR2) e quindi scrivere
l’energia di interazione tra E e µind
B .
Tuttavia, poichè µind
B dipende da E, occorre calcolare l’energia potenziale attraverso un integrale (cioè riprendendo la sua definizione),
Z r
Z E
Z E
Z E
E2
ind
UQA µind
= −
F (r)dr = −
E · dµB = −αB
E · dE = −αB
EdE = −αB
B
2
∞
0
0
0
UQAµind
B
Q2AαB 1
= −
2(4πε0ε)2 R4
L’energia è sempre attrattiva e varia come R−4
JJ
II
J
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Dipolo-dipolo indotto 1
Come esempio pensiamo ad un dipolo permanente A (come quello
di una molecola d’acqua) e una molecola B (dotata di grande polarizzabilità scalare αB )
Prendiamo in prestito un risultato dell’elettrostatica
ψ(R, θ) =
µB cos θ
4πε0 εR2
E(R, θ) = ER (R, θ) + Eθ (R, θ) =
µB
(2 cos θuR + sin θuθ )
4πε0 εR3
dove uR e uθ sono due vettori unitari il primo lungo R l’altro lungo µB
"Z
#
Z E
Z Eθ
ER
αB 2
UµA µind
= −αB
E · dE = −αB
ER dER +
Eθ dEθ = − (ER
+ Eθ2 )
B
2
0
0
0
µ2AαB
1
2
(3
cos
θ
+
1)
Uµ µind = −
A B
2(4πε0ε)2
R6
L’energia è sempre attrattiva e varia come R−6
JJ
II
J
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Dipolo-dipolo indotto 2
Eθ
µA
θ
ER
R
αB
JJ
II
J
I
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Dipolo-dipolo indotto 3
Come nel caso dipolo-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell’energia
di interazione su tutte i valori di θ. Tralasciando i passaggi intermedi,
per µ2AαB /[2(4πε0ε)2]R6 kB T si ha
µ2AαB 1
< Uµ µind > (R) = −
A B
(4πε0ε)2 R6
L’energia media è sempre attrattiva, varia come R−6 ed è sostanzialmente indipendente da T .
JJ
II
J
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Dipolo-quadrupolo
Per semplicità assumiamo che la matrice momento di quadrupolo
della molecole B abbia solo un valore isotropo θB . La molecola A
ha un momento di dipolo permanente µA
Tralasciamo tutti i passaggi intermedi e mostriamo soltanto l’espressione
finale, mediata su tutte le possibili variabili angolari
µ2AθB2
1 1
< Uµ θ > (R) = −
A B
(4πε0ε)2 kB T R8
L’energia media è sempre attrattiva e varia come R−8
JJ
II
J
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Quadrupolo-quadrupolo
Due molecole A e B con due valori isotropi del momento di quadrupolo
θA e θB
1
1
14θA2 θB2
< Uθ θ > (R) = −
A B
(4πε0ε)2 5kB T R10
L’energia media è sempre attrattiva e varia come R−10
JJ
II
J
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Dipolo indotto-Dipolo indotto
Deriva dalle fluttuazioni della carica (e quindi della densità elettronica) di una molecola A. Queste fluttuazioni creano un campo elettromagnetico che interagisce con la densità di carica della seconda
molecola B. Il risultato netto è un termine di energia attrattivo.
• L’espressione per l’energia potenziale si ricava attraverso un trattamento quantomeccanico dell’oscillatore armonico, in cui le frequenze
di oscillazione per A e B sono νA e νB (modello di Drude),
Uµindµind (R) = −
A
B
3hαAαB νAνB
1
2(ε0ε)2 (νA + νB ) R6
h è la costante di Planck.
L’energia media è sempre attrattiva e varia come R−6
JJ
II
J
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Tabella riassuntiva
Tipo di interazione
Carica-carica
U (R, Ω)
< U > (R)
QA QB 1
4πε0 ε R
µ2B Q2A
1
1
− (4πε
4
2
0 ε) 3kB T R
Dipolo-dipolo indotto
QA QB 1
4πε0 ε R
A µB
− 4πε1 0 ε cos θ QR
2
1
4πε0 ε [sin θA sin θB cos(φA − φB )
−2 cos θA cos θB ] µARµ3B
Q2A αB
1
− 2(4πε
4
2
0 ε) R
2
µA αB
− 2(4πε0 ε)2 (3 cos2 θ + 1) R16
Dipolo-quadrupolo
...
Carica-dipolo
Dipolo-dipolo
Carica-dipolo indotto
Quadrupolo-quadrupolo
...
νA νB
A αB
Dipolo indotto-Dipolo indotto − 3hα
2(ε0 ε)2 (νA +νB )
1
R6
2
2
2µA µB
− (4πε
2
0 ε)
1
1
3kB T R6
Q2A αB
1
− 2(4πε
4
2
0 ε) R
2
µA αB
− (4πε0 ε)2 R16
2
µ2A θB
1
1
− (4πε
8
2
0 ε) kB T R
2 2
14θA θB
− (4πε0 ε)2 5k1B T R110
νA νB
1
A αB
− 3hα
2(ε0 ε)2 (νA +νB ) R6
• Tutti i termini di dipo R−6 sono compresi nel cosiddetto termine “attrattivo” dell’interazione di van der Waals, e rappresentano la parte
sostanziale dell’interazione a corto raggio.
JJ
II
J
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Lunghezza di scala
0
-0.4
U ∝−
µ
¶
R0 n
R
-0.2
-0.6
-0.8
n > 3 Interazioni a corto raggio
n ≤ 3 Interazioni a lungo raggio
-1
1
1.5
2
(R0/R)n
n=1
n=2
n=3
n=4
n=6
n=8
n = 10
2.5
3
JJ
II
J
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Potenziale di interazione
tra due molecole “vicine”
• Quando due molecole sono molto vicine, prevale la repulsione elettrostatica tra gli orbitali elettronici
Il termine di energia potenziale diventa piuttosto complicato da descrivere, in quanto ciascuna delle due distribuzioni di carica è modificata dalla presenza dell’altra
• In genere vengono adottate espressioni parametriche del tipo
U (R) =
A
Rn
dove A è un parametro positivo aggiustabile, dipendente dal tipo di
molecola
JJ
II
J
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Potenziale di Lennard-Jones
E’ uno dei potenziali più frequentemente utilizzati per descrivere
l’interazione tra due molecole prive di carica.
ULJ (R) = 4
σ 12
R
−
σ 6 R
• E’ costituito da una parte repulsiva di tipo R−12 e una parte attrattiva di tipo van der Waals R−6. I due parametri che lo caratterizzano
sono la distanza σ che annulla ULJ e la profondità della buca . La
distanza d’equilibrio risulta 21/6σ ≈ 1.122σ.
Esempio: per H2O si ha σ = 3.1655Å e = 0.6502 kJ/mol
JJ
II
J
I
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Plot di ULJ (R)
2²
4²
µ
−4²
¶
σ 12
R
µ
¶
σ 6
R
ULJ (R)
²
0
−²
σ 21/6 σ
3
2σ
R
2σ
JJ
II
J
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Legame idrogeno 1
Il legame idrogeno è un caso particolare di interazione fra dipolodipolo fra dipoli permanenti.
X−H ··· A
→⊕ · · · →⊕
• X è un atomo molto elettronegativo come N, O, o F, che attrae
gli elettroni di valenza, acquisendo una parziale carica negativa δ−
lasciando l’idrogeno con una parziale carica positiva δ+. Il gruppo
X − H viene detto donatore D.
• Il legame idrogeno si forma quando la carica positiva su H viene in
contatto con un doppietto elettronico di un gruppo funzionale di un
altra molecola, il quale lega l’H e viene definito accettore A.
JJ
II
J
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Legame idrogeno 2
D
N−H
N−H
N−H
N−H
O−H
O−H
A
RAD (Å)
:: O =
2.90
: OH
2.90
:N=
3.10
:S
3.70
:: O =
2.75
: OH
2.75
L’energia del legame idrogeno UHB ' 40 kJ/mol è inferiore al
legame covalente (' 500 kJ/mol), ma superiore alla energia di
Van der Waals (' 1 kJ/mol).
Non c’è correlazione fra l’energia UHB e l’energia UµAµD e quindi
con RAD o con gli angoli θA, θD, φA − φD
JJ
II
J
I
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Legame idrogeno 3
• Una descrizione quantitativa di UHB si ha con un trattamento quantomeccanico
0
ψHB = aψA,D
+ bψA1 −D+
0
ψA,D
è la funzione d’onda di A e D separati, ψA1 −D+ quella di una
coppia ionica in cui un elettrone è passato da D a A. a e b sono
due parametri “aggiustabili”.
Una recente approssimazione dell’energia di interazione risulta
!
!
0
0
Bij
Aij
Bij
Aij
UHB = cos θ
−
−
+
(1
−
cos
θ)
12
6
12
6
Rij
Rij
Rij
Rij
θ è l’angolo DHA, le costanti A0ij , Bij0 , Aij e Bij dipendono dalla
coppia ij accettore/donatore.
JJ
II
J
I
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Geometria delle interazioni
“di legame”
|i − j| ≤ 4
“di non legame” |i − j| > 4
JJ
II
J
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Energia e conformazione
di una macromolecola
Si studia nel dettaglio l’energia potenziale conformazionale di una
macromolecola. Si distingue tra energia potenziale di legame (b) e
di non-legame (nb)
U = U b + U nb
• Il termine U b rappresenta l’energia conformazionale dovuta ai legami
chimici. Dipende:
1. Dalla distanza di legame r di ciascun legame
2. Dall’angolo di legame θ tra 3 atomi adiacenti
3. Dall’angolo diedro φ tra 4 atomi adiacenti
Si adotta una descrizione classica di U b
JJ
II
J
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Quattro atomi adiacenti
JJ
II
J
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Legame di valenza: distanza
Si assume il modello dell’oscillatore armonico semplice
U1b = K1(r − r0)2
K1 costante di forza, r0 distanza di equilibirio
Alcune costanti di forza e distanze di equilibrio usate dal programma
AMBER (http://amber.scripps.edu/)
legame
C−C
C=C
C−N
C=N
r0 (Å) K1 (kcal mol−1 Å−2)
1.507
317
1.336
570
1.449
337
1.273
570
JJ
II
J
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Esempio
U1 (kcal mol−1)
900
C−C
C=C
C−N
C=N
600
300
0
0.5
1
1.5
r (Å)
2
2.5
JJ
II
J
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Legame di valenza: angolo
Si assume il modello dell’oscillatore armonico di torsione
U2b = K2(θ − θ0)2
K2 costante di forza, θ0 angolo di equilibirio
Alcune costanti di forza e angoli di equilibrio usati dal programma
AMBER
angolo
C−C−C
C−N−C
C−C−N
θ0 (◦) K2 (kcal mol−1 rad−2)
112.4
63
121.9
50
111.2
80
JJ
II
J
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Esempio
C−C−C
C−N−C
C−C−N
U2 (kcal mol−1)
300
200
100
0
0
20
40
60
80 100
θ (◦ )
120
140
160
180
JJ
II
J
I
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Potenziale torsionale
Si assume la più semplice espressione trigonometrica,
U3b =
V
[1 + cos(nφ − γ)]
2
V barriera di energia conformazionale, n molteplicità, γ angolo di
fase.
Alcuni esempi (AMBER)
angolo
X−C−C−X
P − OS − P − OS
CT − OS − P − O2
n γ (◦) V /2 (kcal mol−1)
3 0.0
2
1 0.0
0.897
2 0.0
1.179
JJ
II
J
I
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Esempio
U3 (kcal mol−1)
V /2 = 2.0 kcal/mol n = 3 γ = 0
V /2 = 0.9 kcal/mol n = 1 γ = 0
V /2 = 1.2 kcal/mol n = 2 γ = 0
2
1
0
-1
-2
0
60
120
180
φ (◦ )
240
300
360
JJ
II
J
I
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Energia potenziale di non-legame
E’ dovuta a tutti gli gli altri effetti ad esclusione dei legami chimici.
Distinguiamo almeno tre termini
1. Interazione di Coulomb
U1nb =
qi qj 1
4πε0ε rij
2. Interazione di Lennard-Jones
" 6 #
12
σij
σij
U2nb = 4ij
−
rij
rij
3. Legami idrogeno
U3nb = cos θ
Bij0
rij12
−
A0ij
rij6
!
JJ
II
J
I
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Somma dei termini
U =
X
2
K1(r − r0) +
bonds
X
K2(θ − θ0)2
angles
X qi qj 1
V
+
[1 + cos(nφ − γ)] +
2
4πε0ε rij
i<j
dihedral angles
" 6 #
12
X
σij
σij
+
4ij
−
rij
rij
i<j
!
0
0
X
Bij Aij
+
cos θ
− 6
rij12
rij
X
hydrogen bonds
exp(−Ui/kB T )
pi = P
j exp(−Ui /kB T )
JJ
II
J
I
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Limiti
• Assegnazione delle cariche q: effetto del pH e della forza ionica,
coppie ioniche
• Assegnazione della costante dielettrica relativa ε
• Legami covalenti “non locali”, ponti disolfuro
JJ
II
J
I
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