Serie di funzioni (1) Studiare la convergenza della seguente

Serie di funzioni
(1) Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni
fn (x) =
nx
.
(1 + nx)(x + 1)
(2) Determinare l’insieme di convergenza della serie di funzioni
+∞
X
n=1
1
(n + 1)(2 − x2 )n
e studiarne la convergenza uniforme.
(3) Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze
+∞
X
n=0
n x n
.
n+1 3
(4) Determinare l’insieme di convergenza e la somma della seguente serie di potenze
+∞
X
x2n
.
n+1
n=0
(5) Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni al variare del parametro
reale α
p
fn (x) = 1 + x2 + nα .
(6) Determinare gli insiemi di convergenza delle serie di funzioni
+∞
X
1 + 2n
n
n=1
xn
e
+∞
X
1 + 2n
n
n=1
(log x)n
e studiarne la convergenza totale.
(7) Studiare la convergenza totale della seguente serie di funzioni
+∞
X
2n sin
n=0
x
.
3n
(8) Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni
+∞
X
n=1
(−1)n
(2n − 1)2n 2
(x − 1)n.
(4n − 1)2n
1
2
(9) Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di funzioni
+∞
X
arctan(xn )
n=1
n2
e studiarne la convergenza totale.
(10) Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di funzioni
+∞
X
x nx
e .
n
n=1
(11) Dimostrare che
+∞
X
n=0
xn+2
= (1 − x) log(1 − x) + x,
(n + 1)(n + 2)
−1 < x < 1.
3
Calcolo differenziale
(1) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
f (x, y) = ex−y (x2 − 2y 2)
e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme
T = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.
(2) Determinare le direzioni di massima e minima pendenza della funzione f (x, y) = y 4 +2xy 3
nel punto (0, 1). Calcolare la rapidità di variazione di f (x, y) in (0, 1) nella direzione del
vettore v = (1, 2).
(3) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
f (x, y) = x2y 2 − 1 − 6xy.
(4) Determinare gli estremi assoluti della funzione
f (x, y) = x2ye−x−y
nell’insieme
T = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4}.
(5) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
f (x, y) = x2 + 2xy − y 3 .
Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto di coordinate (0, 1, −1).
(6) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
f (x, y, z) = x2 y + y 2 z + z 2 − 2x.
(7) Determinare gli estremi assoluti della funzione
f (x, y) = y 2 − x2 (x − 1)
nel cerchio di centro l’origine e raggio 1.
(8) Determinare gli estremi asoluti della funzione
2p
f (x, y) = e−x 9 − x2 − y 2
nel suo insieme di definizione.
(9) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
2
f (x, y) = y 2 + (ex − 1)y + 1.
(10) Determinare gli estremi assoluti della funzione
f (x, y) = 2xy − x2 − y 4
nel quadrato Q = [0, 1] × [0, 1].
(11) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione f (x, y) = x sin xy nel
π
π
punto di coordinate
, 1,
.
2
2
4
(12) Classificare i punti stazionari della funzione
f (x, y) = xy(x2 + y 2 − 4)2
e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4}.
(13) Determinare gli estremi assoluti di
p
f (x, y) = log(1 + x + y + y 2 − x)
√
nell’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2.
(14) Classificare gli eventuali punti critici della funzione
f (x, y) = (x4 + y 4 )e−
x2 +y 2
2
.
5
Equazioni differenziali
(1) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 00 + y = 6 sin 2x.
(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy

2
 0
e−x /2
y + xy = 2
x +1

y(0) = 1
(3) Risolvere il seguente problema di Cauchy


 y 00 + 4y =
1
1 + sin 2x
y(0) = 0

 0
y (0) = 0.
(4) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 00 + 2y 0 + y = xe−x .
(5) Dato il problema di Cauchy


1
y − x2
 y(0) = a,
y0 =
provare che esso ammette un’unica soluzione y(x) in un intorno del punto x = 0. Calcolare y 0 (0) e y 00 (0).
(6) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 0 = y log y tan x.
(7) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 00 + y 0 − 2y = 10 sin x + 3ex.
(8) Risolvere il seguente problema di Cauchy

1


y 00 − y = x


e +1

1
y(0) = −

2



 y 0(0) = − 1 .
2
(9) Risolvere il seguente problema di Cauchy
(
y
y0 +
=0
x+1
y(1) = 1.
(10) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
√
y
y0 + 2
= x + 1.
x −1
6
(11) Assegnato il problema di Cauchy
p
y 0 = 1 + x2 + y 2
y(0) = 1
si può dire che la soluzione è definita in tutto R?
(12) Calcolare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
2x
y0 +
y = (1 − x2 ) cos x.
1 − x2
(13) Risolvere il seguente problema di Cauchy
 0 00
 2y y + (1 + y 02 )2 = 0
y(0) = 1
 0
y (0) = 1.
7
Curve e forme differenziali lineari
(1) Studiare la forma differenziale
x
y
dx + 2 2
dy
ω= 2 2
x y +4
x y +4
e calcolarne l’integrale lungo la curva γ = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0, x2 +y 2 = 1}.
(2) Studiare la forma differenziale
!
!
x
y
ω= p
dy
− 1 dx + 2y − p
x2 − y 2
x2 − y 2
e, se possibile, determinare una sua primitiva.
(3) Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale
ω = −ydx + xdy
lungo la curva di equazioni parametriche
x(t) = cos t(1 + sin t)
y(t) = 1 + sin t,
t ∈ [0, 2π]
orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
(4) Studiare al variare dei parametri reali a, b, c, d la seguente forma differenziale
ax + by
cx + dy
ω=p
dx + p
dy.
2
2
4−x y
4 − x2 y 2
(5) Studiare la seguente forma differenzilae
ω=
p
!
4x
4x2
−
y2
+ 1 dx − p
y
4x2
− y2
dy,
e calcolarne l’integrale lungo l’arco di circonferenza γ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, x2 +y 2 = 3},
orientato in senso antiorario.
(6) i) Studiare la forma differenziale
ω=
y − 2x
2y + x
dx − 2
dy.
2
2
x +y
x + y2
ii) Mostrare che ω è esatta in A = {(x, y) ∈ R2 : y < |x|}.
(7) Studiare la forma differenziale
ω=
xy 2
x2 y
dx
−
dy
x4 + y 4
x4 + y 4
e, se possibile, calcolarne la primitiva che si annulla in (1, 0).
(8) Posto ω = ydx − xdy e γα = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y = xα }, con α > 0, verificare che
Z
−1 <
ω < 1.
+γα
8
(9) Studiare la forma differenziale
s
r
1
1 1 + x2
y
ω=
dx +
+x
dy.
2
x
1+x
2
y
Calcolarne l’integrale curvilineo lungo l’arco di parabola di equazione y = x2 , x ∈ [1, 2],
orientato nel verso crescente delle x.
(10) Data la forma differenziale
xk
yk
dx
+
dy
x2 + y 2
x2 + y 2
i) determinare eventuali valori di k in corrispondenza dei quali ωk è chiusa;
ii) dire se le seguenti implicazioni sono vere o false:
ωk chiusa ⇒ ωk esatta in R2 − {(0, 0)};
ωk chiusa ⇒ ωk esatta in {x > 0, y > 0}.
iii) verificare che ωk è esatta in R2 − {(0, 0)} e calcolarne una primitiva.
(11) Calcolare la lunghezza della curva
x(t) = 1 − cos t + (2 − t) sin t
y(t) = sin t + (2 − t) cos t,
t ∈ [0, 2].
ωk =
(12) Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale
√
ω = zdx + xdy + ydz
lungo la curva γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t, t2 ), t ∈ [0, π/2].
x
−x
(13) Determinare le coordinate del baricentro dell’arco di curva y = e +e
, x ∈] − 1, 1[.
2
(14) Dire per quali valori di α ∈ R la forma differenziale
yz y2
α2 y
α
ω = αxz +
dx + z log x −
log z dy + x + y log x −
dz
x
2
z
è esatta; calcolare per tali valori di α la primitiva di ω che si annulla nel punto (1, 1, 1).
(15) Calcolare le coordinate del baricentro della curva y = (72/3 − x2/3)3/2 con 0 ≤ x ≤ 7.
9
Integrazione multipla
(1) Calcolare la misura dell’insieme
π
2ϑ
D = (ρ, ϑ) : 0 < ϑ < , 0 < ρ < −ϑ log
2
π
essendo (ρ, ϑ) le coordinate polari di un punto del piano.
(2) Mostrare che le porzioni delle superfici z = 2xy e z = x2 + y 2 che si trovano nello stesso
cilindro circolare verticale hanno la stessa area e calcolare tale area.
(3) Calcolare
Z Z
x
dxdy,
(x
+
y)2
T
dove T = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, 1 + x2 ≤ y ≤ 3 − x}.
(4) Calcolare
Z Z
x3 y
dxdy,
2
2
T x +y
√
√
dove T = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 33 x ≤ y ≤ 3x}.
(5) Sia Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ f (x)}, con f ∈ C 1 (0, 1), f (0) = 0 e f (1) = 1.
Verificare che
Z Z
1
yf 0 (x)dxdy = .
6
Ω
(6) Calcolare
Z Z 2
x
dxdy
y
T
dove T = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2y}.
(7) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = (x3, y 3, z) uscente dalla superficie
della sfera x2 + y 2 + z 2 ≤ 4.
(8) Calcolare l’area della porzione di superficie di equazione z = 1 + x2 + y che si proietta
nella regione T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x3 ≤ 1}.
(9) Sia (u, v) ∈ A → (x(u, v), y(u, v)) ∈ B una trasformazione biettiva con x(u, v), y(u, v)
funzioni di classe C 1 e jacobiano non nullo. Cosa rappresenta il seguente integrale doppio
Z Z ∂(x, y) dudv?
A ∂(u, v)
(10) Calcolare l’area della superficie di rotazione
ottenuta facendo ruotare intorno all’asse x
√
il grafico della funzione f (x) = 1 + 1 − x2 , x ∈ [0, 1].
(11) Calcolare
Z
z
p
dσ
x2 + y 2
S
dove S è la porzione di superficie di equazione z = (x2 + y 2)3/2 che si proietta nel
semicerchio D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}.
10
(12) Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
F (x, y, z) =
p
y2
x2 + y 2
,p
x2
x2 + y 2
,p
xz
!
x2 + y 2
attraverso la porzione di superficie sferica di centro l’origine e raggio 1 compresa tra i
piani z = 0 e z = 1/2, orientata in modo che la normale positiva sia quella esterna alla
sfera.
(13) Sia T il solido racchiuso tra la superficie di equazione z = x2 + (y − 1)2 ed il piano di
equazione z = 1. Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = (xy, z, y) uscente
dalla frontiera di T .
(14) Calcolare l’area dell’insieme
D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, (x2 + y 2)3 ≤ 4x2 y 2}.
(15) i) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = (z, 0, x2) uscente dalla porzione di
superficie di equazione z = x2 + y 2 che si proietta nel quadrato [−1, 1] × [−1, 1].
ii) Calcolare il flusso dello stesso campo uscente dalla superficie sferica centrata nell’origine
e di raggio 1.
(16) Calcolare l’area della superficie S di equazioni parametriche

 x = u+v
y =u−v

z = v2
con (u, v) ∈ D = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ 1v .