MATEMATICA II SERIE NUMERICHE. Definizione ed esempi. Serie

MATEMATICA II
CdL in Chimica
A.A. 2013-2014
dott.ssa Vita Leonessa
SERIE NUMERICHE.
Definizione ed esempi. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie geometrica.
Serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza. Serie di Cauchy. Criterio di
convergenza di Cauchy. Serie armonica. Serie a termini di segno costante. Criterio del
confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio integrale ed applicazione alla
serie armonica generalizzata. Criterio del confronto asintotico. Serie a segno variabile.
Assoluta convergenza. Criterio della assoluta convergenza. Serie a segno alterno. Criterio
di Leibniz. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Dominio di convergenza.
INTEGRAZIONE.
Calcolo dell'area del settore parabolico. Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale
definito. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale definito (linearità, monotonia,
disuguaglianza fondamentale, spezzamento dell'integrale). Teorema della media. Il
problema della primitiva. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Integrali immediati. Metodo
di sostituzione. Integrali quasi immediati.
Metodo di integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali: formula di Hermite.
Calcolo dell'area di una regione di piano delimitata da curve.
Integrali in senso improprio. Definizioni ed esempi. Criteri per la convergenza e divergenza
si integrali in senso improprio per funzioni a segno costante. Integrali assolutamente
convergenti.
FUNZIONI DI 2 VARIABILI REALI
Richiami di geometria analitica. Funzioni reali a due variabili reali. Limiti di funzioni a due
variabili, proprietà. Coordinate polari. Funzioni continue. Discontinuità. Funzioni derivabili.
Funzioni differenziabili. Conseguenze della differenziabilità. Teorema del differenziale
totale. Derivate di ordine successivo. Lemma di Schwartz. Regole di derivazione. Massimi
e minimi relativi e assoluti. Punti critici. Condizione necessaria per la ricerca di estremi
liberi. Determinante hessiano e condizione sufficiente per la ricerca di estremi
liberi.Estremi vincolati.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE.
Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di Cauchy (di esistenza
ed unicità locale) e teorema di esistenza globale. Equazioni lineari del primo ordine.
Equazioni a variabili separabili.. Equazioni differenziali del secondo ordine in forma
normale. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti continui. Equazioni
differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee. Metodo di
variazione delle costanti e metodo di somiglianza per equazioni differenziali lineari del
secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee.
Testi di riferimento:
- P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno (versione
semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Editore
- M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw-Hill
- P. Marcellini. C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica (1° Vol., parte seconda,
Cap. 6; 2° Vol. parte prima, Par. 4A-4D, 5A, 5I; 2° Vol. parte seconda, Cap. 1),
Liguori Editore
CALCULUS II
(degree in Chemistry)
A.A. 2013-2014
dr. Vita Leonessa
SERIES
Definitions and examples. Geometric series. Mengoli's series. Necessary condition for
the convergence. Cauchy series and Cauchy condensation test. Harmonic series.
Non-negative series. Direct comparition test. Ratio test. Root test. Limit comparison
test. Absolute concergence and absolute convergence criterion. Alternating series and
Leibniz criterion. Power series. Radius of convergence. Laurent and Taylor series of
some elementary functions. Application to sum of series.
INTEGRATION THEORY.
The area of a parabolic sector. Riemann integrable functions and definite integral.
Classes of integrable functions.Properties of the definite integral (linearity,
monotonocity, fundamental integral inequality, additivity). Mean value theorem.
Primitive. Integral function. Fundamental integral of calculus. Indefinite integral.
Immediate integrals. Substitution rule. Integration by parts. Quotient rule: Hermite's
formula. The area of a plane region bounded by curves.
Improper intergals: definition and examples. Criteria for convergence or divergence.
CALCULUS OF TWO VARIABLES
Elements of analytic geometry. . Real-valued functions of two real variables. Limits and
proprierty. Polar coordinates. Continuous functions. Discontinuity. Derivable functions.
Differentiable functions. Differentiability and its conseguences. Second-order partial
derivatives. Schwartz's Lemma. Derivation rules. Relative and absolute maximum and
minimum. How to find relative extremes. Weierstrass Theorem and its applications.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
First order differential equations of normal type. Existence theorems. First order linear
equations. Second order differential equations of normal type. Second order linear
equations with continuous coefficients. Homogenous second order linear equations
with constant coefficients. Constant variation rule and similarity rule for nonhomogenous linear equations with constant coefficients.
References:
Robert A. Adams, Calculus. A complete course. Pearson Education Canada Inc.,
Toronto, Canada.