LA SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA - Esercizi
Problema 1 Una lotteria assegna un solo premio di 500.000 Euro. Vi è un milione di potenziali
acquirenti di un biglietto, tutti neutrali rispetto al rischio, ognuno dei quali possiede una ricchezza
iniziale pari a W .
a) Indicando con p la probabilità di vincere e con t il prezzo del biglietto, dite qual è il valore atteso di
questa lotteria.
b) Qual è la probabilità di vincere se tutti i potenziali giocatori acquistano il biglietto ? Qual è il prezzo
massimo che il biglietto può assumere, se si vuole che questo avvenga?
c) Impostate la risposta alla domanda precedente supponendo che gli individui siano avversi al rischio,
per esempio con una funzione di utilità u ( x) x (non vi è richiesto di calcolare il prezzo massimo del
biglietto, ma di confrontare l’utilità derivante dal partecipare alla lotteria con quella derivante dal non
partecipare)
Problema 2. Un individuo possiede un edificio del valore di 160.000 di Euro , che si può incendiare
con una probabilità pari a 1/10. In caso di incendio, la casa subirebbe una perdita di valore per 150.000
Euro.
a) Qual è il valore atteso di questa casa ?
All’individuo viene offerta la possibilità di stipulare un’assicurazione che rimborsa interamente i danni ,
in cambio di un premio pari a 10.000 Euro.
b) Supponete che l’individuo in questione si rifiuti di assicurarsi. Come definireste il suo atteggiamento
verso il rischio, e perché?
c) Considerate un altro individuo che fronteggia esattamente lo stesso rischio, e per il quale l’utilità di
una qualsiasi somma M è pari a U ( M ) M , determinate l’utilità attesa dell’individuo
nell’ipotesi che non si assicuri.
d) Stabilite il massimo premio assicurativo che l’individuo di cui al punto precedente sarebbe disposto a
pagare.
Problema 3. Un'impresa produce vernice, il cui prezzo per barile è pari a 1. Per produrre, essa può
scegliere tra impiegare un chilo di pigmento A, che costa 10 e che consente di produrre 26 barili di
vernice con certezza, e un chilo di pigmento B il cui prezzo è p B e che consente di produrre produrre
45 barili con probabilità 1/3 e 18 barili con probabilità 2/3.
a. Qual è il profitto atteso che l'impresa otterebbe utilizzando B ?
b.Supponendo che l'impresa sia neutrale rispetto al rischio, calcolate il massimo prezzo essa sarebbe
disposta a pagare per il pigmento B
c. Supponete ora che p B abbia il valore 9 e che l'impresa sia avversa al rischio (essa massimizza l'utilità
attesa del profitto, e l'utilità di profitto è ) . Determinate l'utilità attesa dell'impresa nel caso
impieghi il pigmento B
d. Determinate, nel caso descritto al punto c., il massimo prezzo che l'impresa sarebbe disposta a
pagare per impiegare il pigmento A.
Problema 4. Un’impresa chimica deve decidere se acquistare un macchinario di nuovissima concezione
per la produzione di acido solforico, dalle caratteristiche ancora incerte. Il costo di acquisto del
macchinario è pari a 10.000 euro. Se si rivelasse valido, il nuovo macchinario permetterebbe all’impresa
di realizzare la sua produzione di acido solforico ad un costo di 20.000 euro, mentre se si rivelasse
scadente i costi di produzione sarebbero pari a 30.000 Euro
a) Definendo p la probabilità che il nuovo macchinario sia valido, scrivete l’espressione del valore
atteso dei costi di produzione dell’acido solforico (se l’impresa adottasse il nuovo macchinario)
b) Con i macchinari attualmente disponibili, l’impresa potrebbe realizzare lo stesso livello di produzione
di acido solforico per un costo pari a 35.000 euro (con certezza) e senza naturalmente dover sostenere
costi di investimento. Quali grandezze deve confrontare, per poter decidere, un’impresa che vuole
minimizzare i costi attesi di produzione ?
c) Determinate il valore massimo di p che rende conveniente per l’impresa scegliere di non adottare il
nuovo macchinario
d) Supponete che p 3 / 4 . Qual è il valore atteso dei costi per un’impresa che adotta il nuovo
macchinario ?
e) Supponete che, nella situazione di cui al punto d) una certa impresa dichiari che sarebbe disposta ad
acquistare il nuovo macchinario soltanto se il prezzo di acquisto del medesimo scendesse da 10.000 a
5000 Euro. Secondo voi l’impresa è avversa, neutrale o amante del rischio ?
Problema 5 In una certa zona, potrebbero esservi case pericolanti ed altre case “solide”. In quelle
pericolanti, la probabilità di un crollo sarebbe 0,7, mentre in quelle solide la probabilità di crollo è
soltanto 0,05 Se una casa crolla, la perdita per il proprietario è di 200.000 Euro (se non crolla, la perdita
è nulla). Solo il proprietario sa se la propria casa è pericolante oppure no. La ricchezza complessiva di
qualsiasi proprietario di casa è 500.000 Euro
a) Supponete che i proprietari di casa siano tutti neutrali al rischio. Qual è , per il proprietario di
una casa pericolante, il valore atteso di un’assicurazione contro i crolli che costa 150.000 euro e
che fornisce un rimborso completo dei danni? E per il proprietario di una casa solida?
b) Il fatto che, nelle condizioni descritte al punto a), nessun proprietario si sia assicurato, significa
che non vi sono case pericolanti ? Spiegate accuratamente la vostra risposta
c) Supponete ora che il prezzo dell’assicurazione scenda a 50.000 Euro. Vi aspettate che i proprietari di
case pericolanti prendano decisioni diverse, al riguarda, da quelle dei proprietari di case solide ?
LA SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA - Soluzioni
Problema 1 Una lotteria assegna un solo premio di 500.000 Euro. Vi è un milione di potenziali
acquirenti di un biglietto, tutti neutrali rispetto al rischio, ognuno dei quali possiede una ricchezza
iniziale pari a W .
a) EV p (W 500.000 t ) (1 p )(W t ) p500.000 W t
b) Se un milione di persone sceglie di partecipare alla lotteria, p
verifichi deve essere vero che :
1
. Affinchè questo si
1.000.000
1
1
, avremo t .
1.000.000
2
500.000 W t
999.999
c) EU p 500.000 W t (1 p) W t W =
W t W
1.000.000
1.000.000
p500.000 W t W e cioè p500.000 t . Dato p
Problema 2. Un individuo possiede un edificio del valore di 160.000 di Euro , che si può incendiare
con una probabilità pari a 1/10. In caso di incendio, la casa subirebbe una perdita di valore per 150.000
Euro.
a) 0.1 * (160.000 150.000) 0.9 *160.000 145.000
b) Se l’individuo si assicurasse, il valore atteso della sua casa sarebbe pari a :
0.1 * (160.000 10.000) 0.9 * (160.000 10.000) 150.000
Quindi l’individuo rifiuta di ottenere con certezza una valore di 150.000 e preferisce partecipare ad una
lotteria incerta il cui valore atteso è 145.000: evidentemente è amante del rischio.
c) 0.1 * 160.000 150.000 0.9 * 160.000 10 360 370
d) 160.000 R 370 ; ciò implica 160.000 (370) 2 23.100 R
Problema 3
1
2
a. * (45 p B ) (18 p B ) 27 p B
3
3
b. 27 p B 26 10 il che implica: 11 p B
c.
d.
1
2
45 9
18 9 4
3
3
26 p A 4 il che implica 10 p A .
Problema 4. Un’impresa chimica deve decidere se acquistare un macchinario di nuovissima concezione
per la produzione di acido solforico, dalle caratteristiche ancora incerte. Il costo di acquisto del
macchinario è pari a 10.000 euro. Se si rivelasse valido, il nuovo macchinario permetterebbe all’impresa
di realizzare la sua produzione di acido solforico ad un costo di 20.000 euro, mentre se si rivelasse
scadente i costi di produzione sarebbero pari a 30.000 Euro
a) p 2000 (1 p)30.000 30.000 10.000 p
b) Il valore atteso del costo del nuovo macchinario (costo di produzione + costo di investimento
) 30.000 10.000 p 10.000
va confrontato con 35.000 (costo di produzione con il vecchio
macchinario
1
c) 30.000 10.000 p 10.000 35.000 . Quindi p
2
3
d) 30.000 10.000 10.000 22.500 10.000
4
e) Se non adottasse la nuova tecnologia, il costo complessivo sarebbe di 35.000. Il costo atteso della
nuova è inferiore, ma questo non basta ad indurre l’impresa a lasciare la vecchia tecnologia. Quindi
l’impresa è avversa al rischio.
Problema 5 In una certa zona, potrebbero esservi case pericolanti ed altre case “solide”. In quelle
pericolanti, la probabilità di un crollo sarebbe 0,7, mentre in quelle solide la probabilità di crollo è
soltanto 0,05 Se una casa crolla, la perdita per il proprietario è di 200.000 Euro (se non crolla, la perdita
è nulla). Solo il proprietario sa se la propria casa è pericolante oppure no. La ricchezza complessiva di
qualsiasi proprietario di casa è 500.000 Euro
a. 0.7(500.000 150.000) 0.3(500.000 150.000) 350.000 (casa pericolante)
0.05(500.000 150.000) 0.95(500.000 150.000) 350.000 (casa solida)
b. Il valore atteso per chi non si assicura ed ha una casa pericolante è:
0.7(500.000 200.000) 0.3(500.000) 210.000 150.000 360.000
quindi non si assicurano nemmeno i proprietari di case pericolanti
c. Il valore atteso per chi si assicura ora è (con certezza) 450.000
Chi non si assicura ed ha una casa solida ha un valore atteso
0.05(500.000 200.000) 0.95(500.000) 15.000 475.000 490.000
Quindi si assicureranno solo i proprietari di case pericolanti.
