Simulazione prova di recupero 1 ⋆ Quale di questi diagrammi di

Simulazione prova di recupero
Ogni risposta esatta vale un punto, ogni risposta errata comporta una penalizzazione di 0,25 punti. La prova
è superata con un punteggio di almeno 7,5 punti.
1 ? Quale di questi diagrammi di Eulero-Venn rappresenta 10 ? Determinare il dominio A della funzione
√
la relazione fra gli insiemi Z, R − Q e S = {−2, 0, 3.5}?
2x + ln(x + 1)
f (x) =
−x + 2
¬ A = (1, 2) ∪ (2, +∞)
® A = [0, 2) ∪ (2, +∞)
­ A = (1, +∞)
¯ A = (0, 2) ∪ (2, +∞)
11 ? Determinare il grafico della funzione f (x) = (x + 1)7 .
¬A
­B
®C
¯D
2 ? I grafici delle funzioni
f (x) = x2 − 2x + 2 ,
¬
­
®
¯
g(x) = 2x
non si intersecano
si intersecano in un solo punto
si intersecano in due punti
si intersecano in tre punti
3 ? Il polinomio 5x2 − 17x + 6 può essere fattorizzato come
segue:
¬ (x − 2/5)(x − 3)
­ 5(x − 2/5)(x − 3)
® (x − 13/5)(x + 13/5)
¯ 5(x − 13/5)(x + 13/5)
4 ? Calcolare
√
1
3
9 2
1
27 9
¬1
®3
­ 1/3
√
¯ 33
­B
®C
¯D
12 ? La soluzione della disequazione log(−x) > log(1 + x)
è:
¬ −1 < x < 1/2
­ −1 < x < −1/2
® x < 0 o x > 1/2 ¯ x 6= 0 e x 6= −1
13 ? L’equazione |x| − 2 = −1 ha...
¬ nessuna soluzione x ∈ R
­ una sola soluzione x ∈ R
® esattamente due soluzioni x ∈ R
¯ infinite soluzioni x ∈ R
14 ? Il numero cos(π) è uguale a:
¬ 0 ­ 1 ® −1 ¯ −π.
5 ? Determinare le soluzioni della disequazione
5
4
3
x − 6x + 5x ≥ 0
¬
­
®
¯
¬A
x ∈ [0, +∞)
x ∈ [0, 1] ∪ [5, +∞)
x ∈ (−∞, 0] ∪ [1, 5]
x ∈ (−∞, 1] ∪ [5, +∞)
6 ? Considera i punti A(3, −5) e B(−1, 0) nel piano carte¯
siano xOy.
Determinare
√
√ la lunghezza del segmento AB
¬ 29 ­ 3 ® 41 ¯ 5.
7 ? A cosa è uguale log1/2 (8)?
¬ 13 ­ 3 ® −3 ¯ non ha senso
8 ? Determinare l’equazione della retta passante per i punti
P (1, 1) e Q(−2, 0).
¬ x − 3y + 2 = 0 ­ y = x + 2
® 3x − y − 2 = 0 ¯ y = 3x + 2
9 ? Fra(i seguenti sistemi quale(è impossibile?
x+2>3
(x + 1)2 > 7
¬
­
(x + 2)2 > 1
x2 + 1 + 2x < 7
(
(
x+1<1
x2 + 4x + 4 > 0
®
¯
−(x + 1)2 < 1
(x + 2)2 > 0
15 ? Sia R l’insieme cosı̀ definito:
R = {r ∈ R tali che x2 + y 2 − r + 1 = 0 rappresenta
nel piano cartesiano xOy una circonferenza non degenere}
Allora il più piccolo elemento di R che sia anche intero
naturale vale:
¬ 0 ­ 1 ® 2 ¯ non esiste
Soluzione degli esercizi
:::::::::::::::: Esercizio 1 ::::::::::::::::
I numeri interi e decimali periodici sono certamente razionali. Ciò significa che S e Z sono sottoinsiemi di Q. Allora
l’insieme R − Q deve essere disgiunto sia da S che da Z.
Per trovare la relazione tra S e Z, si nota che S contiene elementi che appartengono anche a Z (ovvero −2 e 0) e
elementi che non vi appartengono (ovvero 3.5). Questi due insiemi devono perciò essere rappresentati da due cerchi
che si intersecano.
In conclusione la risposta corretta è ­ in cui, dall’alto verso il basso, sono rappresentati Z, S e R − Q.
:::::::::::::::: Esercizio 2 ::::::::::::::::
I grafici di due funzioni f e g si intersecano se esiste qualche x nel loro dominio che verifica f (x) = g(x). Nel caso
specifico ciò significa
x2 − 2x + 2 = 2x.
Tale equazione equivale a x2 − 4x + 2 = 0 che ammette due soluzioni x distinte dal momento che il discriminante
∆ = (−4)2 − 4 · 2 = 8
è strettamente positivo. Ciò equivale a dire che i grafici di f e g si intersecano in due punti distinti perciò la risposta
corretta è ® .
:::::::::::::::: Esercizio 3 ::::::::::::::::
Tra le risposte proposte le uniche che, moltiplicando i termini in x portano ad un coefficiente di x2 uguale a 5 sono
­ e ¯ . Moltiplicando tra loro i termini noti di ciascun polinomio in parentesi (e moltiplicando poi per 5) si deve
ottenere il termine noto del polinomio del testo, ovvero +6. Ciò è possibile solo con la decomposizione data da ­ la
quale dunque è la risposta corretta.
Alternativamente si può ragionare come segue: se un polinomio P (x) è divisibile per (x − a) ovvero è decomponibile
in una forma del tipo P (x) = (x − a)(. . . ) allora a deve annullarlo. Poiché 5x2 − 17x + 6 si annulla per x = 2/5 o
x = 3, le uniche candidate per la decomposizione sono ¬ e ­ . Ragionando come prima in modo da ottenere un grado
massimo pari a 5x2 si sceglie la risposta ­ .
:::::::::::::::: Esercizio 4 ::::::::::::::::
Scriviamo innanzitutto 9 = 32 e 27 = 33 . Ora è sufficiente usare le identità
√
n
a = a1/n e (ab )c = abc
per concludere
√ 12
3
32
(33 )
1
9
=
32
· 1/3 · 1/2
33
· 1/9
=
31/3
=1
31/3
La risposta corretta è pertanto ¬ .
:::::::::::::::: Esercizio 5 ::::::::::::::::
Decomponiamo il polinomio nel prodotto di polinomi al più di grado due (oppure potenze del tipo xn che sono
facili da trattare). In questo caso è sufficiente raccogliere x3 :
x3 (x2 − 6x + 5) ≥ 0
Ora che abbiamo ottenuto una forma del tipo
(1◦ f attore)(2◦ f attore) ≥ 0
procediamo come segue:
• Risolviamo (1◦ f attore) ≥ 0 ovvero x3 ≥ 0 che ha come soluzione x ≥ 0.
• Risolviamo (2◦ f attore) ≥ 0 ovvero x2 − 6x + 5 ≥ 0. Troviamo prima le soluzioni dell’equazione associata:
√
6 ± 62 − 4 · 5
2
x − 6x + 5 = 0 ⇒ x =
⇒ x = 5 oppure x = 1
2
Essendo il segno del coefficiente di grado massimo (1) e il segno della disequazione concordi (entrambi maggiori
o uguali a zero) la soluzione della disequazione si ottiene dai valori esterni all’intervallo avente come estremi le
soluzioni dell’equazione associata ovvero:
x ≤ 1 oppure x ≥ 5
2
Fatto ciò si costruisce la tabella seguente
in cui con la linea continua sono indicati gli intervalli in cui ciascun fattore è positivo, mentre si è usata la linea
tratteggiata per gli intervalli in cui i fattori sono negativi.
Ora si guarda la disequazione originaria che chiedeva gli intervalli in cui il prodotto di tutti i fattori è positivo.
Dalla tabella si legge che ciò accade per
0 ≤ x ≤ 1 oppure x ≥ 5
la risposta corretta è pertanto ­ .
:::::::::::::::: Esercizio 6 ::::::::::::::::
Dati due punti di coordinate (xA , yA ) e (xB , yB ) la loro distanza è pari a
p
(xA − xB )2 + (yA − yB )2
Applicando la formula ai punti in questione:
p
√
√
distanza = (3 − (−1))2 + (−5 − 0)2 = 16 + 25 = 41
che è la risposta ® .
:::::::::::::::: Esercizio 7 ::::::::::::::::
log1/2 8 è quel numero c che verifica (1/2)c = 8. Ovvero c = −3 infatti
(1/2)−3 =
1
1
=
=8
(1/2)3
1/8
La risposta è perciò ® .
:::::::::::::::: Esercizio 8 ::::::::::::::::
Si potrebbe provare, per ciascuna delle quattro risposte a verificare se i punti dati appartengono alle rette. In questo
caso già il primo tentativo sarebbe fortunato. Infatti sostituendo prima x = 1, y = 1 e poi x = −2, y = 0 nell’equazione
della prima retta x − 3y + 2 = 0 si ottengono due identità:
1−3·1+2=0
e −2−3·0+2=0
la risposta ¬ è pertanto corretta.
Alternativamente per trovare la retta passante per due punti dati la si scrive nella forma più generale
ax + by + c = 0
e si impone che le coordinate di entrambi i punti soddisfino l’equazione, ottenendo in questo caso il sistema
(
(
(
(
1a + 1b + c = 0
c = −a − b
c = −a − b
c = −a − b
⇒
sostitendo c:
⇒
⇒
−2a + 0b + c = 0
c = 2a
−a − b = 2a
b = −3a
ovvero, calcolato c = −a − (−3a) = 2a, la soluzione generale ha la forma


a = a
b = −3a


c = 2a
si può scegliere ora un qualsiasi valore per a, purchè diverso da zero. Scegliamo a = 1 ottenendo a = 1, b = −3, c = 2
che sostituiti nell’equazione originaria portano alla retta
x − 3y + 2 = 0
che è per l’appunto la risposta ¬ .
3
:::::::::::::::: Esercizio 9 ::::::::::::::::
L’attenzione deve cadere sul sistema ­ : il termine tra parentesi è identico al polinomio della seconda disequazione:
(
x2 + 1 + 2x > 7
x2 + 1 + 2x < 7
Poiché è impossibile che una stessa quantità sia contemporaneamente maggiore e minore di 7, il sistema è impossibile
e ­ è la risposta corretta.
:::::::::::::::: Esercizio 10 ::::::::::::::::
Si hanno tre punti critici nell’espressione esplicita della funzione f : l’esistenza della radice, l’esistenza del logaritmo
e l’esistenza della frazione:
√
• 2x ha senso solo se 2x ≥ 0 ovvero x ≥ 0.
• ln(x + 1) ha senso solo se x + 1 > 0 ovvero x > −1.
•
1
−x+2
ha senso solo se il denominatore non è nullo ovvero se x 6= 2
I numeri x del dominio di f possono essere soltanto quelli che soddisfano il sistema (ovvero tutte e tre le condizioni
contemporaneamente)

x ≥ 0

x > −1


x 6= 2
La prima condizione implica la seconda; dall’intervallo [0, +∞) si deve poi escludere il valore 2 affinché anche la terza
condizione sia vera. La risposta corretta è pertanto ® .
:::::::::::::::: Esercizio 11 ::::::::::::::::
Noto il grafico di una funzione g, il grafico delle funzione che ha come espressione g(x + a) (a positivo) si ottiene
traslando a sinistra il grafico di g di una quantità pari ad a. In questo caso possiamo costruire la funzione g(x) = x7
che come deve essere noto ha il grafico seguente
Allora la funzione data nel testo è la funzione g(x + 1) = (x + 1)7 . Perciò il suo grafico è pari a quello della figura,
traslato a sinistra di 1: la risposta corretta è ­ .
:::::::::::::::: Esercizio 12 ::::::::::::::::
Dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza del logaritmo: ln(−x) ha senso solo se −x > 0 ovvero
x < 0 cosı̀ come ln(1 + x) ha senso solo se 1 + x > 0 ovvero x > −1. Le soluzioni emergenti dai passaggi seguenti
saranno perciò accettate solo se verificano entrambe le condizioni.
Detto questo, se la base dei logaritmi in questione è > 1, si ha che ln(a) > ln(b) se e solo se a > b. Nel nostro
caso ciò significa −x > x + 1 ovvero x < −1/2. Come detto prima si deve mettere a sistema questa soluzione con le
condizioni x < 0 e x > −1 ottenendo la tabella
L’unico intervallo che verifica le tre condizioni contemporaneamente è (−1, −1/2) perciò la risposta esatta è ­ .
4
:::::::::::::::: Esercizio 13 ::::::::::::::::
L’equazione equivale a |x| = 1 che ha come soluzioni x = 1 e x = −1: ® è la risposta corretta.
:::::::::::::::: Esercizio 14 ::::::::::::::::
Partendo dal punto del piano (1, 0) e muovendosi sulla circonferenza unitaria di centro l’origine in senso antiorario
di un angolo pari a π radianti (180◦ ) si arriva al punto (−1, 0): le coordinate di questo punto sono rispettivamente il
coseno e il seno dell’angolo tracciato, perciò la risposta corretta è ® .
:::::::::::::::: Esercizio 15 ::::::::::::::::
L’equazione x2 + y 2 − r + 1 = 0 rappresenta una circonferenza solo se ci sono infinite coppie (x, y) che la soddisfano.
Riscrivendo x2 + y 2 = r − 1 si vede subito che ciò è vero per r − 1 > 0 (infatti al primo membro si ha la somma di due
quadrati perciò al secondo membro deve esserci una quantità positiva). Perciò possiamo riscrivere l’insieme come
R = {r ∈ R t.c. r − 1 > 0}
r − 1 > 0 significa r > 1 e il più piccolo numero maggiore di 1 che sia anche intero è 2. Perciò la risposta esatta è ® .
5