ESERCIZI SULLA VARIABILITA’ 1) Uno studente ha sostenuto 6 esami, riportando i seguenti voti: 21; 20; 24; 30; 28; 25. Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza dei voti. 2) Uno studente ha sostenuto 10 esami, riportando i seguenti voti: 21; 20; 24; 30; 28; 30; 21; 26; 26; 28 . Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza dei voti. 3) E’ stato rilevato il consumo annuo di energia elettrica per uso domestico di un gruppo di famiglie; i dati sono riportati nella tabella : consumo in kWh Numero di famiglie 1000-1400 10 1400-1800 18 1800-2200 12 2200-2600 12 2600-3000 8 totale 60 Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza . 4) È data una distribuzione X con varianza σ 2 ( X ) = 2. Calcolare la varianza delle variabili : a. Y = 3 − 5 ⋅ X ; b. Y = 4 ⋅ X . 5) La tabella che segue illustra la distribuzione dei nuovi fabbricati residenziali secondo il numero di stanze delle regioni Abruzzo e Veneto, anno 2007. numero stanze 1 2 3 4 5 6 Abitazioni Abitazioni Abruzzo Veneto 528 497 1.436 5.962 2.706 10.043 1.540 5.787 996 4.360 478 1.698 Calcolare la media del numero di stanze per abitazione, la varianza e il coefficiente di variazione delle due regioni. --------------- FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO LEZIONI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI SULLA VARIABILITA’ Pagina 1 di 3 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLA VARIABILITA’ 1) Si tratta di una distribuzione semplice; dalla formula dello scarto quadratico medio si imposta la relativa tabella : voti totale media varianza s.q.m. Scarti semplici scarti quadratici xi xi − x x − x− i 20 21 24 25 28 30 148 24,67 12,56 3,54 -4,67 -3,67 -0,67 0,33 3,33 5,33 0,00 21,78 13,44 0,44 0,11 11,11 28,44 75,33 − 2 2) Nella distribuzione alcune termini si ripetono, si tratta di una distribuzione di frequenza. Si applicano le relative formule della media aritmetica e dello scarto quadratico medio, organizzando opportunamente i dati nella tabella di frequenza. voti numero studenti xi ni 20 21 24 26 28 30 totale 1 2 1 2 2 2 10 media = varianza = s.q.m. = prodotti Scarti semplici − xi −x xi ni 20 42 24 52 56 60 254 25,4 12,64 3,56 -5,4 -4,4 -1,4 0,6 2,6 4,6 scarti quadratici x − x− i 2 29,16 19,36 1,96 0,36 6,76 21,16 scarti quadratici ponderati 2 x − x− ⋅ n i i 29,16 38,72 1,96 0,72 13,52 42,32 126,4 FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO LEZIONI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI SULLA VARIABILITA’ Pagina 2 di 3 3) È una distribuzione di frequenza con i valori distribuiti per classi; bisognerà calcolare i valori centrali per ogni classe . estremo inferiore estremo superiore valori centrali xi-1 xi xi 1000 1400 1800 2200 2600 1400 1800 2200 2600 3000 media = varianza= s.q.m.= numero famiglie prodotti ni xi ni ' 1200 1600 2000 2400 2800 totale 1933,33 267.556 517,26 10 18 12 12 8 60 scarti quadratici scarti ' − ' − xi − x xi − x ' 12.000 28.800 24.000 28.800 22.400 116.000 -733,33 -333,33 66,67 466,67 866,67 2 537.777,78 111.111,11 4.444,44 217.777,78 751.111,11 scarti quadratici ponderati − ' xi − x 2 ⋅ ni 5.377.777,78 2.000.000,00 53.333,33 2.613.333,33 6.008.888,89 16.053.333,33 4) Risultati : a. Y = 3 − 5 ⋅ X ; σ 2 (Y ) = σ 2 (3 − 5 ⋅ X ) = 0 + 25 ⋅ σ 2 ( X ) = 0 + 25 ⋅ 2 = +50 b. Y = 4 ⋅ X ; σ 2 (Y ) = σ 2 ( 4 ⋅ X ) = 16 ⋅ σ 2 ( X ) = 16 ⋅ 2 = 32 5) È una distribuzione di frequenza , per il calcolo della varianza si è seguito il procedimento abbreviato. numero stanze xi 1 2 3 4 5 6 totale media quadrato della media varianza scarto quadratico medio coefficiente di variazione abitazioni ni 528 1.436 2.706 1.540 996 478 7.684 ABRUZZO prodotti xi ni 528 2872 8118 6160 4980 2868 25526 3,32 2 xi 1 4 9 16 25 36 2 xi ni 528 5744 24354 24640 24900 17208 97374 abitazioni ni 497 5.962 10.043 5.787 4.360 1.698 28.347 11,04 1,64 1,44 1,20 1,28 11,88 38,5% 34,8% VENETO prodotti 2 xi ni xi 497 1 11924 4 30129 9 23148 16 21800 25 10188 36 97686 3,45 2 xi ni 497 23848 90387 92592 109000 61128 377452 Il numero di stanze , rispetto alla media, hanno una variabilità maggiore in Abruzzo che in Veneto. FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO LEZIONI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI SULLA VARIABILITA’ Pagina 3 di 3