esercizi variabilità

ESERCIZI SULLA VARIABILITA’
1) Uno studente ha sostenuto 6 esami, riportando i seguenti voti:
21; 20; 24; 30; 28; 25.
Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza dei voti.
2) Uno studente ha sostenuto 10 esami, riportando i seguenti voti:
21; 20; 24; 30; 28; 30; 21; 26; 26; 28 .
Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza dei voti.
3) E’ stato rilevato il consumo annuo di energia elettrica per uso domestico di un gruppo di
famiglie; i dati sono riportati nella tabella :
consumo in kWh Numero di famiglie
1000-1400
10
1400-1800
18
1800-2200
12
2200-2600
12
2600-3000
8
totale
60
Calcolare lo scarto quadratico medio e la varianza .
4) È data una distribuzione X con varianza σ 2 ( X ) = 2. Calcolare la varianza delle variabili
:
a. Y = 3 − 5 ⋅ X ;
b. Y = 4 ⋅ X .
5) La tabella che segue illustra la distribuzione dei nuovi fabbricati residenziali secondo il
numero di stanze delle regioni Abruzzo e Veneto, anno 2007.
numero
stanze
1
2
3
4
5
6
Abitazioni Abitazioni
Abruzzo
Veneto
528
497
1.436
5.962
2.706
10.043
1.540
5.787
996
4.360
478
1.698
Calcolare la media del numero di stanze per abitazione, la varianza e il coefficiente di
variazione delle due regioni.
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FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33
STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
LEZIONI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI SULLA VARIABILITA’
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RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLA VARIABILITA’
1) Si tratta di una distribuzione semplice; dalla formula dello scarto quadratico medio si
imposta la relativa tabella :
voti
totale
media
varianza
s.q.m.
Scarti semplici
scarti quadratici
xi
xi − x
 x − x− 

 i


20
21
24
25
28
30
148
24,67
12,56
3,54
-4,67
-3,67
-0,67
0,33
3,33
5,33
0,00
21,78
13,44
0,44
0,11
11,11
28,44
75,33
−
2
2) Nella distribuzione alcune termini si ripetono, si tratta di una distribuzione di
frequenza. Si applicano le relative formule della media aritmetica e dello scarto
quadratico medio, organizzando opportunamente i dati nella tabella di frequenza.
voti
numero
studenti
xi
ni
20
21
24
26
28
30
totale
1
2
1
2
2
2
10
media =
varianza =
s.q.m. =
prodotti
Scarti
semplici
−
xi −x
xi ni
20
42
24
52
56
60
254
25,4
12,64
3,56
-5,4
-4,4
-1,4
0,6
2,6
4,6
scarti
quadratici
 x − x− 

 i


2
29,16
19,36
1,96
0,36
6,76
21,16
scarti quadratici
ponderati
2
 x − x−  ⋅ n
 i
 i


29,16
38,72
1,96
0,72
13,52
42,32
126,4
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3) È una distribuzione di frequenza con i valori distribuiti per classi; bisognerà calcolare i
valori centrali per ogni classe .
estremo
inferiore
estremo
superiore
valori
centrali
xi-1
xi
xi
1000
1400
1800
2200
2600
1400
1800
2200
2600
3000
media =
varianza=
s.q.m.=
numero
famiglie
prodotti
ni
xi ni
'
1200
1600
2000
2400
2800
totale
1933,33
267.556
517,26
10
18
12
12
8
60
scarti
quadratici
scarti
'
−
 ' −
 xi − x 


xi − x
'
12.000
28.800
24.000
28.800
22.400
116.000
-733,33
-333,33
66,67
466,67
866,67
2
537.777,78
111.111,11
4.444,44
217.777,78
751.111,11
scarti quadratici
ponderati
−

'

 xi − x 


2
⋅ ni
5.377.777,78
2.000.000,00
53.333,33
2.613.333,33
6.008.888,89
16.053.333,33
4) Risultati :
a. Y = 3 − 5 ⋅ X ; σ 2 (Y ) = σ 2 (3 − 5 ⋅ X ) = 0 + 25 ⋅ σ 2 ( X ) = 0 + 25 ⋅ 2 = +50
b. Y = 4 ⋅ X ;
σ 2 (Y ) = σ 2 ( 4 ⋅ X ) = 16 ⋅ σ 2 ( X ) = 16 ⋅ 2 = 32
5) È una distribuzione di frequenza , per il calcolo della varianza si è seguito il
procedimento abbreviato.
numero stanze
xi
1
2
3
4
5
6
totale
media
quadrato della media
varianza
scarto quadratico
medio
coefficiente di
variazione
abitazioni
ni
528
1.436
2.706
1.540
996
478
7.684
ABRUZZO
prodotti
xi ni
528
2872
8118
6160
4980
2868
25526
3,32
2
xi
1
4
9
16
25
36
2
xi ni
528
5744
24354
24640
24900
17208
97374
abitazioni
ni
497
5.962
10.043
5.787
4.360
1.698
28.347
11,04
1,64
1,44
1,20
1,28
11,88
38,5%
34,8%
VENETO
prodotti
2
xi ni
xi
497
1
11924
4
30129
9
23148 16
21800 25
10188 36
97686
3,45
2
xi ni
497
23848
90387
92592
109000
61128
377452
Il numero di stanze , rispetto alla media, hanno una variabilità maggiore in Abruzzo che in
Veneto.
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