Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
AHRS
La misura dell’assetto
La misura dell’assetto ..........................................................................................................................1
Sistemi per la misura dell’assetto.........................................................................................................1
1
Sistema ARS ............................................................................................................................3
2
Magnetometro ..........................................................................................................................5
2.1
Campo magnetico terrestre ..............................................................................................5
2.2
Campo Magnetico Terrestre (C.M.T) reale e strumentazioni.........................................7
2.3
Strumenti..........................................................................................................................9
2.4
Determinazione dell’angolo di prua...............................................................................10
2.4.1
Compensazione degli errori dei sensori. Procedura di inizializzazione.................12
2.5
Schema di impiego dati magnetometro..........................................................................14
Sistemi per la misura dell’assetto
La determinazione dell’assetto di un velivolo è molto importante per il controllo e la guida dello
stesso.
Benché la determinazione dell’assetto sia ottenibile con grande precisione mediante un sistema di
navigazione inerziale INS (sia strapdown che a piattaforma stabilizzata), tuttavia un sistema di
navigazione inerziale risulta in generale molto costoso.
Infatti un tale sistema è dotato di sensori inerziali di elevatissima qualità (in particolare giroscopi
laser) che misurano con ottima precisione anche la velocità di rotazione della Terra; inoltre un INS
esegue l’integrazione delle equazioni di navigazione standard che conto anche della curvatura
terrestre. Pertanto, su molti velivoli, soprattutto quelli di costo e dimensioni contenute, con
prestazioni ridotte, non sono disponibili sistemi INS ma sono usati dispositivi per la misura degli
angoli di assetto di costi molto più contenuti, anche se ovviamente di qualità inferiore rispetto ad un
INS.
Tali sistemi sono chiamati Attitude and Heading Reference Systems, indicati brevemente con
l’acronimo AHRS, e forniscono la misura degli angoli di assetto, cioè: angolo di inclinazione o
bank angle Φ , angolo di elevazione Θ , angolo di prua o heading Ψ . Uno schema di un dispositivo
AHRS è rappresentato in Figura 1. I blocchi presenti nella figura sono descritti nel seguito.
In particolare, quando si parla di assetto in senso stretto si intende l’orientamento del velivolo
rispetto al piano orizzontale; pertanto normalmente con assetto si indicano solo gli angoli Φ e Θ .
La prua Ψ è considerata una concettualmente distinta dagli altri due angoli e rappresenta la
direzione dell’asse longitudinale dell’aereo rispetto al Nord (più precisamente, la proiezione
dell’asse longitudinale dell’aereo sul piano orizzontale rispetto alla direzione Nord).
1
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AHRS
Attitude Reference
System (ARS)
P, Q , R
IMU
Ax , Ay , Az
Magnetometro
Heading Reference
System (HRS)
Filtro
Assetto
Hx , H y , H z
Θ ,Φ
Filtro
Prua
Coefficienti
Correzione
sensore
Ψ
Declinazione e
Inclinazione
magnetiche locali
Figura 1. Attitude and Heading Reference System (AHRS)
Anche dal punto di vista fisico il modo per determinare gli angoli di assetto Φ e Θ è diverso da
quello usato per determinare la prua.
Per calcolare l’assetto si fa riferimento alla verticale locale materializzata dalla direzione della forza
di gravità; invece, per materializzare la prua si usa come riferimento il campo magnetico terrestre
che fornisce indicazioni legate al polo Nord magnetico terrestre e da cui è possibile risalire al Nord
geografico.
In aggiunta, si dimostra che la conoscenza della prua è possibile a patto di conoscere l’assetto.
Quindi nella stima dei tre angoli di Eulero Φ , Θ e Ψ bisogna per prima cosa determinare i primi
due, cioè l’assetto propriamente detto, e poi si può ricavare il terzo angolo.
L’assetto è determinato impiegando come sensori una terna ortogonale di accelerometri e una terna
ortogonale di giroscopi. Queste due terne di sensori sono montati su un dispositivo, chiamato
Inertial Measurement Unit (IMU), installato a bordo e fissato alla struttura del velivolo. Pertanto la
IMU ruota e si muovo solidalmente al velivolo.
I giroscopi forniscono le tre componenti P, Q, R in assi corpo della velocità di rotazione del
velivolo attorno al baricentro. Gli accelerometri forniscono le tre componenti Ax, Ay, Az del vettore
accelerazione, anch’esse in assi corpo.
Lo scopo degli accelerometri è quello di “sentire” il vettore accelerazione di gravità e quindi aiutare
il sistema a stimare la direzione della verticale locale (o, equivalentemente, del piano orizzontale).
Lo scopo dei giroscopi è quello di fornire la misura della rotazione del velivolo, e quindi di
permettere la determinazione istante per istante della variazione dell’orientamento.
La IMU, unitamente ad un sistema di calcolo che ne elabora i dati implementando la funzionalità di
un filtro osservatore, fornisce la stima dell’assetto: l’insieme di IMU e filtro osservatore costituisce
un Attitude Reference System (ARS), il cui scopo è quello di fornire Φ e Θ .
La prua invece è ottenuta impiegando un magnetometro, che misura le tre componenti Hx, Hy, Hz
del vettore campo magnetico locale in assi corpo. Il magnetometro, unitamente ad un dispositivo di
calcolo che ne elabora le misure sulla base anche di informazioni di correzione opportune,
2
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AHRS
costituisce un Heading Reference System (HRS), il cui scopo è quello di fornire una misura della
prua Ψ .
Pertanto, un AHRS è dato da ARS + HRS.
Prima di descrivere più in dettaglio il funzionamento di ARS e di HRS nelle prossime sezioni, è
opportuno citare che gli AHRS sono sistemi relativamente recenti. In precedenza, tradizionalmente,
al posto di un ARS si utilizzava un Vertical Gyro, un dispositivo basato su un giroscopio meccanico.
L’Orizzonte Artificiale, strumento che visualizza per il pilota i due angoli di assetto di inclinazione
ed elevazione, può essere alimentato o da un Vertical Gyro, o da un AHRS, dipendentemente da
quale sistema è installato a bordo.
Prima dell’impiego delle IMU e dei magnetometri, per la determinazione della prua si impiegava un
Directional Gyro, in cui la direzione della prua del velivolo è materializzata dall’asse di spin di un
giroscopio meccanico, orizzontale, che è asservito ad una bussola magnetica.
1
Sistema ARS
Lo schema tipico di un ARS è rappresentato in Figura 2. In essa è indicato il velivolo di cui si vuole
stimare l’assetto ed il sistema ARS all’interno del bordo tratteggiato.
I blocchi ombreggiati rappresentano la IMU. La parte di elaborazione dei dati IMU ha la struttura
tipica di un filtro osservatore dello stato, in cui K è la matrice dei guadagni, da progettare.
Le due equazioni differenziali presenti nel modello del processo sono le prime due equazioni di
propagazione dell’assetto di Eulero, che forniscono l’evoluzione degli angoli Φ e Θ in funzione
dei valori precedenti e delle velocità angolari, misurate dai giroscopi.
Gli accelerometri forniscono le tre componenti in assi corpo del vettore accelerazione che, in
assenza di manovre o virate del velivolo, coincide con il vettore accelerazione di gravità. Così è
possibile confrontare le misure fornite dagli accelerometri con quelle calcolate internamente
all’osservatore in base alla stima precedente degli angoli e ricavare stime corrette ed aggiornate.
Come si vede gli accelerometri permettono di generare l’innovazione.
Il punto debole di questo sistema AHRS sta nel fatto che, come si è detto, gli accelerometri non
forniscono unicamente il vettore accelerazione di gravità, ma un vettore che è la somma di questo e
delle accelerazioni (ab, non note) dovute alle manovre del velivolo. Pertanto durante le manovre
l’innovazione non è una misura attendibile e produce errori nella stima degli angoli.
Così, durante le manovre, è prevista l’apertura di un interruttore (Cut-Off) che interrompe la
correzione della stima degli angoli mediante l’innovazione. Durante questi periodi, la stima degli
angoli di assetto è quindi ottenuta semplicemente dal modello del processo, cioè propagando le
equazioni di Eulero tramite la misura delle velocità angolari. A causa degli errori, anche se piccoli,
presenti nelle misure dei giroscopi, questa propagazione causa una deriva della stima e cioè un
errore crescente nel tempo. Pertanto l’intervallo di tempo in cui l’interruttore di Cut-Off resta aperto
non deve essere eccessivo. D’altra parte, poiché le manovre del velivolo hanno una durata limitata e
sono ad accelerazioni mediamente nulle, tale sistema ha un comportamento spesso più che
accettabile.
3
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AHRS
ab
Accelerometri
Veicolo
P, Q, R
Θ, Φ
Θɺ = Q cos Φ − R sin Φ
Φɺ = P + Q sin Φ tan Θ + R cos Φ tan Θ
Giroscopi
g sin Θ
b
a = − g sin Φ cos Θ + a
− g cos Φ cos Θ
b
m
abm
i1
i
2
Cut-Off
abm − aˆ bm
K
g sin Θˆ
b
aˆ m = − g sin Φˆ cos Θˆ
ˆ
ˆ
− g cos Φ cos Θ
Θɺˆ = Q cos Φˆ − R sinΦˆ + i1
Φɺˆ = P + Q sinΦˆ tanΘˆ + R cos Φˆ tan Θˆ + i2
Θˆ , Φˆ
Attitude Reference System (ARS)
Figura 2. Stima di angoli di elevazione ed inclinazione
4
+
−
aˆ bm
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2
AHRS
Magnetometro
Il magnetometro è un sensore che, come la bussola (compass), sfrutta la misura del campo
magnetico terrestre per fornire informazioni prua, cioè la direzione dell’asse longitudinale X di un
velivolo rispetto al Nord magnetico (più precisamente, la direzione rispetto al Nord magnetico della
proiezione dell’asse longitudinale sul piano orizzontale Nord-Est).
2.1
Campo magnetico terrestre
Il campo geomagnetico è un fenomeno naturale presente sul pianeta Terra e comune a molti altri
corpi celesti, come, ad esempio, il Sole. Esso è assimilabile ad un dipolo magnetico (vedi Figura 3)
con poli non coincidenti con quelli geografici e con un asse inclinato attualmente di 11.3° rispetto
all’asse di rotazione terrestre. Nonostante le numerose ipotesi sulla presenza di questo campo, le
teorie si sono orientate verso un modello analogo a quello di una dinamo ad autoeccitazione.
L'intensita del campo magnetico terrestre non è costante nel tempo, ma subisce notevoli variazioni
sia in termini direzionali che di intensità. Esse hanno portato, nel corso delle ere geologiche, alla
deriva dei poli magnetici e a ripetuti fenomeni di inversione del campo, con scambio reciproco dei
poli magnetici Nord e Sud. Il magnetismo terrestre ha una notevole importanza per la vita sulla
Terra. Infatti esso si estende per svariate decine di migliaia di chilometri nello spazio, formando una
zona chiamata magnetosfera, la cui presenza genera una sorta di "scudo" elettromagnetico che devia
e riduce il numero di raggi cosmici. È proprio dall' iterazione tra essi (vento solare) e la
magnetosfera che viene originato lo splendido fenomeno detto aurora polare. Il campo
geomagnetico è stato il primo campo terrestre ad essere identificato e descritto, prima ancora di
quello gravitazionale (1260 il primo, 1600 il secondo). L' unità di misura del campo geomagnetico
nel sistema internazionale (SI) è il Tesla (T), ma essendo i valori del campo terrestre molto piccoli,
in pratica si utilizza il suo sottomultiplo, il nano-Tesla (nT), pari a 10-9 T. Dall'equatore ai poli, sulla
superficie terrestre, il valore del campo varia da circa poco più di 20000 nT all' equatore ai circa
70000 nT delle zone polari.
Per definizione il polo magnetico è il punto dove il campo geomagnetico, generato nel nucleo
terrestre, ha una direzione verticale (+ o -90°). Tuttavia la nomenclatura che definisce il polo
magnetico Nord e quello Sud è solo una convenzione; infatti le linee di forza del campo magnetico
terrestre entrano nell' emisfero nord (emisfero boreale) ed escono dall' emisfero sud (emisfero
5
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AHRS
australe). Pertanto dal punto di vista magnetico, nella Terra, il polo Nord magnetico è quello posto
a Sud e viceversa in quanto il nord magnetico corrisponde al dove escono le linee di forza e il sud a
dove entrano.
Figura 3: dipolo magnetico
Come si è detto, l'asse geografico e l' asse magnetico non sono coincidenti (Figura 4): anzi, la retta
congiungente i due poli magnetici non passa nemmeno per il centro della Terra. L'asse magnetico,
infatti, si scosta da quello geografico in base alla posizione e al momento della sua rilevazione:
mentre i poli geografici sono fissi, quelli magnetici sono soggetti ad un continuo, seppur lento,
spostamento, non costante e non uguale per ognuno di essi lungo una circonferenza di circa 160 km.
Figura 4. Assi terrestri magnetico e geografico
Pertanto i poli geografici possono distare dai poli magnetici rispettivi anche fino a quasi 3000 km ed
il polo magnetico Sud si trova maggiormente discostato rispetto al polo magnetico Nord dal proprio
polo geografico (Figura 5). Dato che l'ago della bussola non indica il polo Nord geografico e la sua
misurazione ha sempre un fattore di imprecisione, la sua rilevazione viene corretta ricorrendo alla
declinazione magnetica, che è l'angolo compreso tra la direzione indicata dalla bussola e la
direzione del nord geografico. Il suo valore dipende dal punto di osservazione sulla superficie
6
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AHRS
terrestre e dal momento di osservazione. In talune zone la declinazione magnetica è tutt'altro che
trascurabile, come non lo è se si deve seguire una rotta piuttosto lunga; ad esempio nell' Atlantico
centrale essa raggiunge anche i 20° ed è, ovviamente, molto elevata in prossimità dei poli.
Figura 5. Posizione poli magnetici terrestri
2.2
Campo Magnetico Terrestre (C.M.T) reale e strumentazioni
Il campo magnetico terrestre è inclinato rispetto all’orizzonte. Questo angolo è infatti conosciuto
come angolo di inclinazione e dipende dalla latitudine (0° all’equatore e 90° ai poli dove le linee di
forza entrano verticalmente). Si veda anche la Figura 6 e la Figura 7.
La prua magnetica è determinata grazie alla misura della componente orizzontale del campo
magnetico. Se pensiamo al campo magnetico come un vettore, esso avrà due componenti (verticale
e orizzontale rispetto al un piano orizzontale Nord-Est, e una intensità). Nella misura della angolo di
prua è molto importante misurare in maniera precisa la componente verticale perché la componente
orizzontale è calcolata moltiplicando la prima per la tangente dell’angolo di inclinazione. Di
conseguenza è di fondamentale importanza avere un buon riferimento verticale e si può notare come
alle alte latitudini (dove il vettore è quasi verticale) la componete orizzontale diventa molto piccola
(impossibile misurare la prua magnetica).
Riassumendo, l’angolo di declinazione è l’angolo fra la componente orizzontale e il versore N
(nord geografico), mentre l’angolo di inclinazione è l’angolo tra una linea di forza del campo
magnetico e il piano orizzontale.
Per esempio, a Forlì corrispondono i seguenti valori:
=1°49’ , ε = 60°29’
Sempre per Forlì le tre componenti del campo magnetico rispetto ad un sistema Nord Est Down
(NED) sono: HN = 23091 nT; HE = 731 nT e HD = 40804 nT. Il C.M.T. subisce comunque delle
variazioni che possono essere a breve e lungo termine. Per fare un esempio nei millenni c’è stata un
inversione dei poli e l’asse magnetico si sposta di circa 6’ all’anno.
7
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AHRS
Figura 6. Declinazione e Inclinazione magnetica
Un altro problema è la presenza di materiali ferromagnetici nel velivolo stesso: essi influenzano la
misura perché producono una variazione delle linee di forza del campo magnetico all’interno del
velivolo stesso. Per compensare questo problema si fanno dei “giri di bussola”. I giri bussola
vengono fatti mettendo l’aereo in una orientamento conosciuto e confrontando tale posizione con
quella indicata sulla bussola; ripentendo l’operazione in corrispondenza di orientamenti angolari
orizzontali intervallati di un passo opportunamente piccolo si risolve il problema. Per esempio se
l’aereo è posto a 45° e la bussola segna 40° ci sono 5° di differenza; ripentendo l’operazione per
tutti i 360 gradi è possibile “mappare” gli errori corrispondenti a ciascun angolo: Per compensare
tali errori si può procedere ponendo dei piccoli magneti sulla bussola per correggere ciascun errore.
Figura 7. Linea di campo magnetico non orizzontale
8
Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
2.3
AHRS
Strumenti
Per determinare la prua si possono impiegare i seguenti strumenti.
Bussola:è composta da un ago magnetizzato e da un quadrante: l’ago tende a disporsi nella
direzione delle linee di forza del campo magnetico terrestre puntando al nord magnetico e non a
quello geografico.
In aeronautica nasce la necessita di trasformare (trasdurre) in modo elettrico l’informazione sul nord
magnetico in modo tale da essere leggibile e manipolabile dagli strumenti di bordo. Abbiamo:
MAD: (Magnetic Azimuthal Detector)
Figura 8. MAD
Funziona sul piano orizzontale. E’ composto (vedi Figura 8) da tre nuclei di ferrite che formano una
“stella” con tre “colonnette”. Ogni colonnetta forma con le altre due un angolo di 120 gradi. Su ogni
colonnetta ci sono due avvolgimenti, uno primario e uno secondario. Il primario, alimentato da un
segnale sinusoidale, genera un campo magnetico che produce sul secondario una corrente elettrica
per induzione. Tuttavia il campo magnetico terrestre, che si aggiunge a quello creato per induzione,
è diverso in ciascun avvolgimento (maggiore sulla colonnetta orientata maggiormente verso il nord
magnetico) e causa correnti elettriche differenti sui tre avvolgimenti secondari. Con una
composizione vettoriale si determina il campo magnetico totale e quindi la direzione della prua
dell’aereo. Tale sensore si basa quindi sullo squilibrio di accoppiamento magnetico sui tre nuclei
per determinare la direzione della prua.
P-MAD: (Permalloy Magnetic Azimuthal Director), Figura 9.
9
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AHRS
Figura 9. P-MAD
Composto da una piastrina di permalloy (una lega metallica di Nichel e Ferro) percorsa da una
corrente I. La resistenza è funzione dell’angolo α tra la direzione della corrente che percorre la
piastrina e il vettore locale del campo magnetico terrestre. Questo strumento, composto da tre
piastrine a formare una terna ortogonale x, y, z coincidente con quella degli assi corpo dell’aereo,
permette di ottenere le tre componenti del campo magnetico H x , H y , H z nel punto considerato.
2.4
Determinazione dell’angolo di prua
Si esamina ora come dalla conoscenza delle tre componenti del campo magnetico sia possibile
ricostruire la misura della prua.
Si indichi con H il vettore campo magnetico terrestre in un punto della Terra, e con H = H il suo
modulo.
Il vettore campo magnetico si può rappresentare con componenti in assi corpo (Body) nel modo
seguente,
H Body = ( H x
Hy
Hz )
HE
HD )
T
oppure espresso con componenti in assi NED,
H NED = ( H N
T
In particolare, tenendo conto degli angoli di declinazione e inclinazione
Figura 6, si può scrivere
magnetica, e della
H N = H cos ε cos δ
H E = H cos ε sin δ
H D = H sin ε
I valori di H, e in corrispondenza di griglie sufficientemente fitte di punti della superficie
terretre sono noti in quanto presenti in numerosi database aggiornati disponibili al pubblico.
10
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AHRS
Indicando con Cba (Ψ ,Θ ,Φ ) la matrice di rotazione dipendente dagli angoli di Eulero Ψ ,Θ ,Φ che
definiscono l’orientamento di un sistema di riferimento b rispetto ad un sistema di riferimento a, la
trasformazione delle componenti di un vettore da a a b, si ha:
NED
H Body = C Body
NED (Ψ ,Θ ,Φ ) H
(1)
dove
cos Θ cosΨ
C Body
NED (Ψ ,Θ ,Φ ) = sin Θ sin Φ cosΨ − cos Φ sin Ψ
sin Θ cos Φ cosΨ + sin Φ sin Ψ
cos Θ sin Ψ
sin Θ sin Φ sin Ψ + cos Φ cosΨ
sin Θ cos Φ sin Ψ − sin Φ cosΨ
− sin Θ
sin Φ cos Θ
cos Φ cos Θ
Le componenti del vettore H Body sono le tre misure del campo magnetico che vengono fornite da un
magnetometro triassiale installato a bordo di un veicolo, a meno degli errori di misura.
In particolare si suppone di allineare l’asse longitudinale del veicolo con l’asse x del magnetometro,
l’asse trasversale del veicolo con l’asse y, e l’asse z del magnetometro in modo da essere ortogonale
ai primi due.
Poiché l’angolo di prua è l’angolo che esprime la rotazione del veicolo rispetto al Nord attorno ad
un asse verticale, è opportuno definire un terzo sistema di riferimento, chiamato orizzontale e
indicato con Hor, che coincide con il NED a meno di una rotazione attorno all’asse Down di un
angolo pari a (vedi Figura 10). Pertanto, l’orientamento del sistema Body rispetto ad Hor è
definito unicamente dagli angoli di assetto Φ e Θ .
Nord
1
Ψ
Est
Down
2
Figura 10. Sistema orizzontale
Si può scrivere dunque:
Body
Hor
C Body
NED (Ψ ,Θ ,Φ ) = C Hor (Θ ,Φ ) C NED (Ψ
in cui
11
)
(2)
Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
AHRS
cosΨ
C Hor
NED ( Ψ ) = − sin Ψ
0
sin Ψ
cosΨ
0
0
0
1
e
C
Body
Hor
0
− sin Θ
cos Θ
( Θ, Φ ) = sin Θ sin Φ cos Φ sin Φ cos Θ
sin Θ cos Φ − sin Φ cos Φ cos Θ
La (2), sostituita nella (1) fornisce
Body
NED
C Hor
= C Hor
Body (Θ ,Φ ) H
NED (Ψ ) H
(3)
Indicando con
Hor
H Hor = C Body
(Θ ,Φ ) H Body
H1
= H2
H
3
(4)
dalla (3), scritta per esteso, si ha
H1 = H N cosΨ + H E sinΨ
H 2 = − H N sinΨ + H E cosΨ
H = H
D
3
Dalle prime due si ottengono, dopo alcuni passaggi,
sinΨ =
H1 H E − H 2 H N
H N2 + H E2
H H + H2HE
cosΨ = 1 N2
H N + H E2
(5)
e infine,
Ψ = arctan 2 ( sinΨ ,cosΨ ) = arctan 2 ( H1H E − H 2 H N , H1H N + H 2 H E )
in cui si è fatto uso dell’arcotangente a quattro quadranti per ottenere una prua che spazia su tutto
l’angolo giro.
2.4.1
Compensazione degli errori dei sensori. Procedura di
inizializzazione
Il magnetometro triassiale è caratterizzato da errori causati da numerosi fattori tra cui: non esatta
ortogonalità dei tre assi, fattori di scala, offset nelle misure.
12
(6)
Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
AHRS
Si può ipotizzare che, indicando con H mBody = ( H mx
dal magnetometro e con H Body = ( H x
Hy
H my
H mz ) il vettore delle tre misure fornite
T
H z ) il vettore privo di errori corrispondente, tra le
T
due grandezze ci sia una relazione lineare affine del tipo
H x = a1 H mx + b1H my + c1H mz + d1
H y = a2 H mx + b2 H my + c2 H mz + d 2
H = a H + b H + c H + d
3 mx
3 my
3 mz
3
z
(7)
in cui i coefficienti
, i = 1, 2,3, 4
ai , bi , ci , d i
(8)
sono parametri determinare legati al tipo di sensore ed al modo in cui esso è installato a bordo del
veicolo; pertanto la (7) tiene anche conto dell’alterazione che il campo magnetico terrestre subisce
all’interno del veicolo a causa della distribuzione varia delle masse ferrose presenti.
La (7) si può scrivere in modo compatto
H Body
H Body = M m
1
(9)
in cui si è definita la matrice M contenente i coefficienti da determinare come:
a1
M = a2
a3
b1
c1
b2
b3
c2
c3
d1
d 2
d3
(10)
Per determinare i valori dei parametri (8) occorre disporre di diverse ed indipendenti insiemi di
misure di H mBody e di H Body ottenute in corrispondenza di valori di assetto differenti. Queste misure
devono essere quindi acquisite in una fase di inizializzazione del sensore, prima del suo impiego
operativo, in una situazione in cui si conosce esattamente l’assetto in termini di angoli Ψ ,Θ ,Φ .
Più precisamente, per determinare i coefficienti presenti nella relazione (7) si può procedere nel
modo seguente.
Procedura di inizializzazione del magnetometro.
1. Effettuazione dei “giri bussola”: in corrispondenza a diversi valori di prua Ψ i da zero a
360°, intervallati tra loro di un passo fisso (es: 45°), ed a valori noti e prefissati Θ , Φ
degli angoli di assetto, si effettuano registrazioni del vettore delle misure H mBody (i ) del
campo magnetico ottenuto dal magnetometro e quelle vere corrispondenti H Body (i ) ,
queste ultime calcolate dalla relazione (1) che si riporta
NED
H Body (i ) = C Body
NED (Ψ i ,Θ ,Φ ) H
13
Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
AHRS
2. si ripete il punto 1. almeno per un altro valore di Θ o di Φ , allo scopo di ottenere
misure indipendenti del campo magnetico in assi corpo, cioè vettori non giacenti sullo
stesso piano;
3. si raccolgono i vettori registrati in due matrici A e B con un numero di colonne pari al
numero di registrazioni fatte nei due passi precedenti; il numero di righe di A è pari a tre,
quello di B e quattro:
A = H Body (1) H Body (2) ⋯ H Body (i ) ⋯
H Body (1) H mBody (2) ⋯ H mBody (i ) ⋯
B= m
1
⋯
1
⋯
1
4. l’equazione (9), scritta per ognuna delle registrazione fatte, diventa ora
A = MB
da cui si può determinare M semplicemente moltiplicando entrambi i membri a sinistra
per BT e calcolando l’inversa di BBT (che è una matrice 4x4 non singolare se B ha
almeno rango 4, e questo è vero dopo aver eseguito il passo 2.), ottenendo
M = ABT ( BBT )
−1
(11)
5. La matrice M si può partizionare secondo il modo seguente:
M = [ M1 d ]
in cui M1 è una matrice quadrata di ottenuta prendendo le prime tre colonne di M,
mentre d è un vettore colonna costituito dall’ultima colonna di M.
Pertanto, dall’equazione (9) si ottiene:
H Body = M1H mBody + d
2.5
Schema di impiego dati magnetometro
In base a quanto esaminato nelle due sezioni precedenti, uno schema a blocchi per il
processamento dei dati del magnetometro è rappresentato in Figura 11.
14
(12)
Matteo Zanzi - 27/03/2015 11:13:00
AHRS
Inizializzazione:
calcolo parametri sensore
M1 , d
H Body
m
Magnetometro
Θ ,Φ
C Hor
Θ ,Φ )
Body (
H Body = M 1H mBo dy + d
H1
H = CHor Θ , Φ H Body
)
Body (
2
H
3
H N = H cos ε cos δ δ ,ε
H E = H cos ε sin δ
Ψ = arctan 2 ( H 1H E − H 2 H N , H 1H N + H 2 H E )
Figura 11. Schema di calcolo della prua utilizzando un magnetometro
15
Data-Base
Declinazione
Inclinazione
magnetiche
