trappole per numeri primi

TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we focus attention on a new primality test, based on forms p = 4n+1 and
p= 4n+3 of odd numbers of form 6n + 1, and if p or p2 is a sum of two squares
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Index:
1. TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI ..............................................................................3
2. TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI ......................... 13
3. RIFERIMENTI ........................................................................................................... 28
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1. TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI
In questo lavoro mostreremo un nostro test di primalità semplificato (ma senza
fattorizzazione) , rispetto al test di Guido Carolla, descritto in Rif. 1 e Rif.2
Basta vedere semplicemente se p, numero da testare, è di forma 4n+1 e 4n +3, e se p
o p2 è somma di due quadrati, Dalle possibili e diverse combinazioni delle tre risposte,
si stabilisce se p è primo oppure no, con altissima percentuale di certezza, poiché sono
presenti alcune eccezioni.
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nei riferimenti 1 e 2 è descritto il test di primalità con fattorizzazione del Prof. Guido
Carolla, basato su sue e anche su nostre precedenti considerazioni sulle forme 6k + 1,
che qui trascureremo per maggiore semplicità e ci limiteremo soltanto alle forme
4n + 1 e 4n +3, con la prima legata a ipotenusa e cateti interi di un triangolo rettangolo
e quindi alla possibilità che p possa o no essere una somma di due quadrati.
Dalle possibili combinazioni delle risposte sulla forma aritmetica 4n+1 o 4n +3
e di p come somma oppure no di due quadrati perfetti, abbiamo individuate due
sequenze diverse di risposte per p primo o composto. Le tre risposte sono facilmente
calcolabili con (p-1)/4 e (p-3)/4, e dalla soluzione dell’equazione p = a2+b2 oppure p2
= a2 + b2 : le diverse combinazioni di sì e di no ottenute, individuano subito se p è
primo oppure composto, con alte percentuali di certezza, per via di alcune rare e
possibili eccezioni.
Riportiamo alcune nostre tabelle numeriche con gli esempi riportati dal Prof. Guido
Carolla in Rif.2, e relative nostre osservazioni e conclusioni
TABELLA 1
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Esempi
(p
+1)/6 (p -1)/4
tratti dal sempre una intero o no
libro
di soluzione
Guido
intera
Carolla
(p -3)/4
intero o no
p o q = p2 Numero
somma di primo
due
si o no
quadrati
no
Si p
q
no
No p
?
q
1) 989
2) 941
-
247 intero
235 intero
246,5
234,5
3) 839
4) 49
5) 121
+
+
209,5
12 intero
30 intero
209 intero
11,5
29,5
6) 169
+
42
41,5
7)221
55
54,5
8)289
+
72 intero
71,5
9) 47
-
11,5
11
10) 65437
+
11) 157
+
16539
intero
39 intero
38,5
p
No =11*89
si si
si
no q no
No no
Si
No=132
(eccezione)
no
(eccezione
No poiché
221
=
13*17
No =172
q
Si
si
221=52+142
2212 = 212
+ 2202
Si p Si q
=152 + 82
No p
no si
q
Si p, si q
si
q
si
si
12) 817
+
204
203,5
no = 19*43
No q
13) 127
+
31,5
31
si
No q
14) 1861
-
465
464,5
Si
si
q
15) 1321
+
330
329,5
Si si
q
16) 17129
-
4282
4281,5
No q
17) 17029
+
4257
4256,5
No
7*2477
Si si
q
18) 131
-
32,5
32
si
No q
=
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TABELLA 2
Esempi
(p
+1)/6 (p -1)/4
tratti dal sempre una intero o no
libro
di soluzione
Guido
intera
Carolla
(p -3)/4
intero o no
p o q = p2 Numero p
somma di due primo
quadrati
si o no
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no
Si p
no
No p
?
1) 989
2) 941
3) 839
4) 49
5) 121
6) 169
247 intero
235 intero
209,5
12 intero
30 intero
42
246,5
234,5
209 intero
11,5
29,5
41,5
7)221
55
54,5
si q
no q
No q
Si q
No =11*89
si
si
no
no
No
=13
(eccezione)
ESEMPI
CON
I
SOLI
NUMERI
PRIMI
2) 941
3) 839
-
235 intero
209,5
234,5
209 intero
6) 169
+
42
41,5
7)221
-
55
54,5
9) 47
-
11,5
11
10) 65437
+
11) 157
+
16539
intero
39 intero
38,5
q si
13) 127
14) 1861
15) 1321
+
+
31,5
465
330
31
464,5
329,5
No q si
Si q Si x ecc.
Si q Si x ecc.
17) 17029
+
4257
4256,5
Si q si
Si p
No
si q
si
si
Si q
No =13^2
(eccezione)
Si
si no
221=5^2+14^2 (eccezione
221^2 = 21^2 poiché 221
+ 220^2
= 13*17
No p
no q
Si p, si q
si
si
si
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Osservazioni : ne ricaviamo la seguente REGOLA provvisoria :
Si hanno numeri primi per ( p-1)/4 intero e si p e/ o si q ( cioè p o il suo quadrato q
sono somme di due quadrati), oppure per (p-4)/3 intero e no p, e/o no q, con qualche
eccezione , contrassegnata con x
Su 12 numeri testati, la Regola vale solo per otto numeri testati, circa i due terzi
Vediamo ora per i numeri composti se c’è una regola simile
TABELLA 3
p
(p-1)/4 intero, (p-3/4 intero
p somma quadrati
primo o no
989
si
no
no
no
49
si
no
no
no
121
si
no
no
no
no
Si
no eccez.
169 Q =13^2 si
221 = 13*17 si
no
Si
no eccez.
289 Q =17^2 si
no
Si
no eccez.
817
si
no
no
no
17129
si
no
no
no
(le eccezioni si verificano, almeno negli esempi riportati, solo per 13 e 17)
Un numero p testato è composto se ha si nella seconda colonna, e si oppure no nella
quarta
colonna, cioè se è di forma 4k+1, ma p
e/o p2 possono essere
(eccezionalmente) o no, somma di due quadrati.
Quindi sequenze
si no no (non consideriamo il no finale in quarta colonna, essendo tutti composti)
si no Si ( il Si finale, per p somma quadrati, per eventuali eccezioni)
in entrambi i casi con il primo si sempre nella seconda colonna, per p di forma 4k +1
Riepilogo per numeri primi
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TABELLA 4
p
941
839
47
65437
157
127
1861
1321
17029
131
(p-1)/4 intero, (p-3/4 intero
si
no
no
si
si
no
si
si
si
no
no
Si
Si
no
no
Si
no
no
no
Si
p = somma quadrati
Si
no
no
Si
Si
no
Si
Si
Si
no
primo o no
si
si
si
si
si
si
si
si .
si
si
Regola generale per i numeri primi, salvo eventuali eccezioni
Un numero p testato è primo (il terzo si) solo se :
p è di forma 4k +1 e quindi p(-1)/4 è intero
( il primo si in seconda colonna )
2
p o p sono somme di due quadrati (il secondo si)
p è di forma 4k+3 e quindi (p-3)/4 è intero (il primo Si in terza colonna)
p o p2 non sono somme di due quadrati (e quindi la risposta “no in quarta colonna, solo
per Si in terza colonna)
La quinta colonna è di tutti si, tutti primi i numeri che rispettano questa regola
Sequenze (non considerando quindi i si finali, essendo tutti numeri primi) :
si no Si
con il primo si nella seconda colonna (p di forma 4n +1)
no Si no
con il Si centrale della terza colonna (p di forma 4n +3)
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Esempi non riportati dal prof. Carolla
p
4p +1
4p+3
somma quadrati
13 = 4*3 + 1
4*3 +3
9
+ 4
Seq:
si
no
no
29 = 4*7 + 1 4*3 +3
25 + 4
Seq:
si
no
Si
95
4*7 + 1 4*3 +3
Seq:
no
Si
103 4*7 + 1 4*3 +3
no
Si
Seq:
77 = 4*19 + 1 4*3 +3
Seq:
si
no
primo o composto
13, primo
29
no
no
no
primo
composto, 95=5*19
103
primo
composto, 77=7*11
Conclusioni provvisorie
Per testare un numero p di forma generale 6k+1 e di forma particolare 4k +1 e
4k +3 è primo o no, occorre :
1)stabilire la forma particolare, dividendo (p-1) /4 : se il risultato è intero, p è di forma
4k +1 (risposta si nella seconda colonna) e quindi si, altrimenti è di forma 4k +3 (e
quindi no)o, infatti (p-3)/4 è intero ( risposta si nella terza colonna).
2) vedere se p e/o p2 è somma di due quadrati (risposta Si o no nella quarta colonna)
Confrontare la sequenza ottenuta con le sequenze si no Si e no Si no con il primo
si nella seconda colonna ; si no Si con il Si della terza colonna, per i numeri primi
e con le sequenze si no no, e si no Si per i numeri composti.
Tali sequenze sono diverse (attenti alla s minuscola o maiuscola) per i due tipi di
numeri, e quindi individuano sia un numero primo (il caso che ci interessa come test
di primalità), o, altrimenti , sia un numero composto, pur senza fattorizzazione.
Per le somme di due quadrati, basta risolvere l’equazione p = a2 +b2, oppure
p2 = a2+ b2.
Se essa ha soluzione per a e b la risposta ovviamente è Si in quarta colonna, (terzo Si
nelle sequenze) altrimenti è no.
Ricordiamo che le forme 4n + 1 hanno a che fare con la congettura di Girard (Nota
1), in quanto somme di due quadrati, con le terne pitagoriche (il numero più grande è
l’ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti interi, Nota 2), e forse anche con i
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numeri congruenti (aree di triangoli con cateti razionali), importanti nella
congettura di Birch e Swinnerton – Dyer, uno dei Problemi del Millennio, Nota 3
Riferimenti (dal 3 in poi sul nostro sito
1) “TEOREMA SU UN TEST DI PRIMALITÀ CON FATTORIZZAZIONE”
Guido Carolla sul sito https://elvira.univr.it/bscwsci/pub/bscw.cgi/d3462092/n.174.pdfi
2) Libro di Guido Carolla “Primi, progressioni e medie”, Casa Editrice Kimerik,
Prima parte, dedicata ai numeri primi, con esempi e listati vari.
3) “ La congettura di Polignac”, parte finale dedicata alla fattorizzazione di prodotti
tra due numeri consecutivi
4) “La congettura percentuale”
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Nota 1 Congettura di Girard:
Tabella dei numeri primi di forma 4n +1, somma di due quadrati, da cui la
risposta si alla forma N = 4n+1, no alla forma 4n +3 e Si alla somma di quadrati
perfetti, cioè la sequenza si no Si se p è numero primo
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
…
N = 4n + 1
5 =
9 =
13 =
17 =
21 =
4*1 + 1
4*2 + 1
4*3 + 1
4*4 + 1
4*5 + 1
25 =
29 =
33 =
37 =
41 =
45 =
49 =
53 =
57 =
61 =
65 =
69 =
73 =
77 =
81 =
85 =
89 =
93 =
97 =
101 =
105 =
109 =
4*6 + 1
4*7 + 1
4*8 + 1
4*9 + 1
4*10 +1
4*11 +1
4*12 +1
4*13 +1
4*14 +1
4*15 +1
4*16 +1
4*17 +1
4*18 +1
4*19+1
4*20*1
4*21+1
4*22+1
4*23+1
4*24+1
4*25+1
4*26+1
4*27+1
…
a^2 + b^2
4
9
9
16
+ 1
+ 0
+ 4
+ 1
25
25
+ 0
+ 4
36
25
+ 1
+ 16
49
49
+ 0
+ 4
36
64+1
notazione : N =
primo
multiplo di 3
primo
primo
multiplo di 3 (*)
primo
multiplo di 3
primo
primo
multiplo di 3 (*)
non primo
primo
multiplo di 3
+ 25
= 49+16
multiplo di 3
64
+ 9
non primo
81
81
64
+ 0
+ 4
+ 25
(*)
multiplo di 3
81 + 16
100 + 1
100 + 9
…
multiplo di 3
primo
…
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Si nota che un terzo dei numeri di forma 4n+1 sono multipli di 3, e
i multipli di 3 non sono mai somme di due quadrati, e quindi per essi
la congettura non vale; essa vale invece solo per tutti i numeri di forma 4n+1 ,
non multipli di 3, da cui poi la sequenza si no SI per i numeri primi del nostro
test di primalità. Anche alcuni numeri composti , come 65 e 85, subito
riconoscibili come composti a causa della cifra 5 finale, sono anch’essi somma di
due quadrati, ma per questi abbiamo la sequenza si no Si per le eccezioni,
come per :
169 Q =13^2 si
221 = 13*17 si
289 Q =17^2 si
no
no
no
Si 12^2+ 5^2
Si 14^2 + 5^2
Si 15^2 + 8^2
no eccez.
no eccez.
no eccez.
(5, 12, 13) la terna pitagorica per 169
(8, 15, 17) la terna pitagorica per 289
Per 221 non esiste invece terna pitagorica di interi, poiché 221 non è un quadrato
perfetto, essendo 14,862, ma fa eccezione ugualmente, come 169 e 289
Mentre per la generalità dei numeri composti si ha la sequenza si no no
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2. TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI
Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si
può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4,
in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4.
p = x2 + y2 ,
p ≡1
(mod 4) .
Per esempio:
5 = 12 + 2 2 ,
13 = 2 2 + 32 ,
17 = 12 + 4 2 ,
29 = 2 2 + 5 2 ,
37 = 12 + 6 2 ,
41 = 4 2 + 5 2 .
Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto
come somma di due quadrati però uguali: 2 = 12 + 12 .
Si osservi che il numero primo p che si genera ha sempre come somma un multiplo
di 4 della forma (2n)2 con n = intero positivo ≥ 1
Quindi possiamo affermare che se un numero primo è dato dalla somma di 2
quadrati di cui un termine è un multiplo di 4 della forma (2n)2 con n ≥ 1 allora
sicuramente si ha anche che p≡1 (mod 4).
L’altro termine è di tipo (2m+1)2 con m intero positivo ≥ 0 e quindi è dato da tutti i
quadrati dispari, così la somma del termine pari della forma (2n)2 e di quello
dispari dà un numero dispari che è ovviamente primo.
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Si ha:
per (2n)2 :
4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400,…..
per (2m+1)2 :
1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361,….
Sommando un termine della 1° serie con uno della 2° serie si può anche ottenere un
numero primo p. Ad es:
4+49 = 53
Ma ad esempio: 100+25 = 125 non è primo. Abbiamo infatti
1+4=5
1+16=17
1+36=37
1+64=65 multiplo di 5
1+100=101
1+144=145 multiplo di 5
1+196=197
1+256=257
1+324=325 multiplo di 5
1+400=401
9+4=13
9+16=25 multiplo di 5
9+36=45 multiplo di 5
9+64=73
9+100=109
9+144=153 multiplo di 3
9+196=205 multiplo di 5
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9+256=265 multiplo di 5
9+324=333 multiplo di 3
9+400=409
25+4=29
25+16=41
25+36=61
25+64=89
25+100=125 multiplo di 5
25+144=169 multiplo di 13
25+196=221 multiplo di 13
25+256=281
25+324=349
25+400=425 multiplo di 5
49+4=53
49+16=65 multiplo di 5
49+36=85 multiplo di 5
49+64=113
49+100=149
49+144=193
49+196=245 multiplo di 5
49+256=305 multiplo di 5
49+324=373
49+400=449
81+4=85 multiplo di 5
81+16=97
81+36=117 multiplo di 3 e di 13
81+64=145 multiplo di 5
81+100=181
81+144=225 multiplo di 5
81+196=277
81+256=337
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81+324=405 multiplo di 5
81+400=481 multiplo di 13
Vediamo che i numeri che non sono primi sono tutti multipli di 3, 5 o 13, tutti
numeri di Fibonacci, con maggiore frequenza per il 5. Notiamo, inoltre, che i
numeri della 1° serie: 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400,….. sono tutti
divisibili per 4 e/o per 8 (6 su 10, contrassegnati in rosso), dove 8 è un numero di
Fibonacci ed è connesso con i “modi” che corrispondono alle vibrazioni fisiche
delle superstringhe attraverso la seguente funzione di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
e
dx 
∫0 cosh πx

142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

e 4 φw' (itw') 
1 
8=
. (1)
3
  10 + 11 2 

 10 + 7 2 
+ 

log  



4
4
 




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Terna pitagorica
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome
viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati
interi corrisponde una terna pitagorica, e viceversa.
Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale
qualsiasi; il numero d è quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc. Una terna
pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da
terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente
terna primitiva.
Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule
sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):
a = m2 – n2; b = 2mn; c = m2 + n2
Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se m e n sono
coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia n che m sono dispari a, b e c sono
pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive
si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi m > n, mentre
le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna
primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di
generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:
a = k · (m2 – n2); b = k · (2mn); c = k · (m2 + n2)
Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite,
in quanto sono infinite le possibili scelte di m e n.
Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di a per b (dei due cateti) è sempre divisibile
per 12, mentre il prodotto abc (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre
divisibile per 60. (60 = 3×4×5)
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Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c < 100:
(3, 4, 5)
(9, 40, 41)
(16, 63, 65)
(36, 77, 85)
(5, 12, 13)
(11, 60, 61)
(20, 21, 29)
(39, 80, 89)
(7, 24, 25)
(12, 35, 37)
(28, 45, 53)
(48, 55, 73)
(8, 15, 17)
(13, 84, 85)
(33, 56, 65)
(65, 72, 97)
…”
Le due terne sono in grassetto per evidenziare la loro importanza ai fini del nostro
scopo.
Il caso delle terne pitagoriche , nel nostro test, interessa solo i casi di
p2 = c2, quando la risposta è Si , e quindi anche nella sequenza si no Si per i numeri
primi , insieme alla sequenza no Si no. Per i numeri composti, ricordiamo, abbiamo si
no no in genere e si no Si per le poche eccezioni.
Nota 3
I numeri congruenti, da Wikipedia:
“Numero congruente”
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica un numero congruente è un numero naturale che rappresenta l'area di un
triangolo rettangolo che ha per lati tre numeri razionali.
Il 5, per esempio, è un numero congruente, poiché è l'area di un triangolo rettangolo di
lato 20/3, 3/2, 41/6.
La sequenza dei numeri congruenti inizia con
5,6,7,13,14,15,20,21,22,23,24,28,29,30,31,34,37,38,39,41,45,46,47,52,53,54,55,56,60
… (sequenza A003273 in OEIS).
Se q è un numero congruente, allora s2q è ancora congruente ∀s ∈ R (poiché si
moltiplicano tutte le misure dei lati del triangolo per uno stesso numero).
Problema dei numeri congruenti
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Dato un numero p, stabilire se esso è congruente.
Questo problema non ha ancora trovato una soluzione. Il teorema di Tunnell fornisce un
facile algoritmo per stabilire se un numero è congruente, tuttavia questo teorema si rifà
alla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che è ancora non dimostrata.
Il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, dal nome del matematico Pierre de Fermat,
afferma che nessun quadrato perfetto può essere un numero congruente….”
Alcuni numeri primi congruenti sono
5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103 , 109. Vediamo di che forma
sono e se c’è una relazione con le forme 4n +1 o 4 n +3
p
5
7
13
23
29
31
37
41
47
53
61
71
79
101
103
109
4n+1, e quindi (p -1=/4 = 4n+3 quindi (p -3)/4 =
intero
intero
1
0,25
1,5
1
3
2,5
5,5
5
7
6,5
7,5
7
9
8,5
10
9,5
11,5
11
13
12,5
15
14,5
17,5
17
19,5
19
25
24,5
25,5
25
27
26,5
Non emerge niente di importante e che non si sappia , i numeri primi congruenti
non hanno “preferenze” per l’una o l’altra forma numerica, e nemmeno per una
delle forme 6n-1 oppure 6n +1 dei numeri primi. Quindi, nessuna apparente
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relazione tra i numeri primi in generale e i numeri primi congruenti, sottoinsieme
dei numeri primi, come invece sospettato all’inizio.
Solo quelli di forma 4n +1 sono somma di due quadrati, e rientrano nella sequenza
per numeri primi si no Si.
Ma vediamo come con tali aree possiamo risalire ai cateti , (base * altezza)/2,
fattorizzando il risultato
5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103 , 109
Numero congruente n
5
7
13
29
31
37
41
47
53
61
79
101
103
109
n*2
10
14
26
58
62
74
82
94
106
122
158
202
206
218
Fattori di n^2 (cateri)
2*5
2*7
2*13
2*29
2*31
2*37
2*41
2*47
2*53
2*61
2*79
2*101
2*103
2*109
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Notiamo che i triangoli rettangoli cosi costruiti sui numeri primi congruenti hanno
cateti 2 e p, cosicché la loro ipotenusa i = √22 + p2
Esempi per
13
i = √ 4 + 169 = √173 = 13,15
41
i = √4 + 1681 = √ 1685 = 41,04
103
i = √4 + 10609 = √10613 = 103,01
109
i = √4 + 11881 = √11885 = 109,01
Come notiamo, la parte decimale della radice quadrata è sempre molto bassa
essendo il quadrato dell’ipotenusa subito dopo un quadrato, il che significa fattori
numeri primi molto lontani tra loro (se fossero vicini, la parte decimale sarebbe
molto alta, tipo 0, 8; 0,9; 0,99 ecc., vedi Rif. 4)
Fattorizzando , avremo:
173 primo di forma 4n+1, poiché (173-1)/4 = 43 e somma di quadrati 22 + 132, e
quindi 173 primo
1685 = 5*337 numeri primi lontani tra loro
10613 primo, poiché di forma 4n +1 poichè (10613-1) /4 = 2653 e anche, come tale,
somma dei quadrati 22 e 1032
Vediamo ora la fattorizzazione dei numeri doppi dei composti congruenti (in
neretto)
5,6,7,13,14,15,20,21,22,23,24,28,29,30,31,34,37,38,39,41,45,46,47,52,53,54,55,56,60
n congruenti composti
(aree
di
triangoli
rettangoli con cateti
fattori)
6
14
15
20
21
22
24
28
30
2n
Fattori di 2n
(più cateti possibili)
12
28
30
40
42
44
48
56
60
2*2*3 = 4*3
2*2*7 = 4 *7
2*3*5 = 6*5
2*2*2*5 = 8*5
2*3*7= 6*7
2*2*11 =4*11
2^4 *3 = 16*3
2^3 *7 =8*7
2^2*3*5 = 4*15
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34
38
39
45
46
52
55
56
60
68
76
78
90
92
104
110
112
120
2^2*17 = 4*17
2^2*19=4*19
2*3*13 = 6*13
2*3^2*5 = 9*10
2*2*23 = 4*23
2^3*13= 8*13
2*5*11= 10*11
2^4*7= 16*7
2^3*3*5= 24*5
Qui osserviamo, per i numeri congruenti composti, che hanno fattori comuni
molto piccoli o loro piccole potenze, ed un numero primo un po’ più grande, con
rapporti piccoli tra i fattori maggiori e quelli minori, contrariamente ai rapporti,
grandi, tra 2n /2 dei numeri primi congruenti.
Anche queste osservazioni potrebbero essere utili ai fini del nostro nuovo test di
primalità, sebbene a prima vista meno utili rispetto alle terne pitagoriche.
Una curiosità:
I triangoli equilateri (con are doppie di un triangolo rettangolo) sono connessi
anche alla serie numerica di Padovan (detta anche figlia della serie di Fibonacci, in
quanto molto simile, formula x3 – x - 1 anziché x2 – n - 1)
Vedi link blog.edidablog.it/files/File/...PADOVAN/successione_di_Padovan.html
“I primi quattordici numeri della successione di Padovan”
Nel libro La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart
vengono presentati i numeri di Padovan: ogni numero della successione è la
somma del penultimo numero e di quello ancora precedente. Ad esempio:
2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1;
5 = 3 +2; 7 = 4 + 3 ecc.
I numeri di Padovan generano un sistema di triangoli equilateri disposti a spirale
in senso orario.
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Puoi fermare l'animazione (e, poi, riattivarla!) cliccando nell'angolo in basso a
sinistra dell'applet.”
Solo che il plughin è disabilitato
Ma possiamo vederlo alla fine del testo del link
areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/.../Successione-Padovan.htm
“…Sono numeri dalle proprietà straordinarie, sui quali sono stati scritti tanti volumi.
Ma non è di questo che vogliamo occuparci. Vogliamo invece segnalare una nuova
successione, figlia anch’essa della successione di Fibonacci, scoperta di recente da
Richard Padovan, un architetto inglese che, per la verità, ne attribuisce la paternità a
Hans van der Laan (1904-1991), un originale architetto e monaco benedettino olandese.
Padovan la presentò in un suo saggio del 1994 e il matematico Ian Stewart la riprese
nella sua rubrica su Scientific American nel 1996. Vediamo come si costruisce.
Ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti, saltandone però sempre uno,
prima di scrivere il risultato.
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, ...
Ad esempio, il settimo termine, 4 è la somma del quinto e del quarto termine, 2 + 2. Il
decimo termine, 9 è la somma dell’ottavo e del settimo termine, 5 + 4.
Se indichiamo il termine generico della successione di Padovan con P(n), abbiamo:
P(n + 1) = P(n - 1) + P(n - 2),
con P(0) = P(1) = P(2) =1.
Questa di Padovan, non è una successione così famosa come quella di Fibonacci, anche
perché la sua scoperta risale a meno di vent’anni fa, ma, come il numero d’oro, ha
importanti applicazioni in architettura e le sue proprietà sono già numerose e molto
interessanti.
Osserviamo innanzitutto che il rapporto tra due numeri successivi di Padovan tende a un
numero ben preciso. In analogia con la successione di Fibonacci, per la quale il rapporto
di due numeri successivi tende al numero d’oro, in questo caso tende al “numero
plastico” che indichiamo con r: 1,32471795724474602596...
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Che cos’è il “numero plastico”? ... E’ un po’ più difficile da spiegare del numero d’oro.
Mentre quest’ultimo è la radice positiva della seguente equazione di secondo grado
x 2– x – 1 = 0
E se indichiamo il numero d’oro con φ, abbiamo
φ = (1 + √5)/2
Il numero plastico è l’unica soluzione reale della seguente equazione di terzo grado ( si
osservi l’analogia, una delle tante, con l’equazione relativa al numero d’oro).
x3 – x – 1 = 0
Come si ricava? Ecco la formula applicata a questa equazione:
3
1 1 23 3 1 1 23
+
+
−
2 6 3
2 6 3
Se indichiamo con r la soluzione reale dell’equazione precedente possiamo scrivere:
lim
n =∞
P(n )
=r
P(n − 1)
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Ma, come per il numero d’oro, ci sono modi più semplici per ricavare il numero
plastico. Ad esempio, questa bellissima espressione:
r = 3 1 + 3 1 + 3 1 + ... .
I numeri primi nella successione di Padovan sono molto rari. Il dodicesimo numero
primo è già enorme:
1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180
630185566719
e prima di questo ci sono soltanto:
2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057,
1363005552434666078217421284621279933627102780881053358473, ...
Una formula ci consente di trovare la somma dei primi n numeri della successione di
Padovan:
n
∑ P(m ) = P(n + 5) − 2
m =0
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Possiamo costruire un a spirale di triangoli equilateri per i quali la lunghezza dei lati
segue la successione di Padovan. Ad esempio, il triangolo equilatero di lato 9 è la
somma dei lati di due triangoli equilateri: 7 + 2. In questo modo abbiamo un’altra
formula per la determinazione dei numeri di Padovan:
P(n) = P(n − 1) + P(n − 5)
Dobbiamo dire che una successione simile a quella di Padovan in realtà era già stata
studiata da Edouard Lucas, con tre numeri iniziali diversi: P(0) = 3, P(1) = 0 e P(2) = 2.
Questa idea venne poi sviluppata, alla fine dell’Ottocento, da R. Perrin.
I primi termini di questa successione, che vi invitiamo ad approfondire (e che riserverà
grandi sorprese), sono:
3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, ... “
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Alla fin fine, questi triangoli equilateri, di area doppia rispetto ai triangoli rettangoli,
e quindi con cateti e ipotenuse connesse ai triangoli basati sulle terne pitagoriche o ai
triangoli rettangoli connessi ai numeri primi di forma 4n + 1 come somme di due
quadrati, potrebbero essere anche essere utili per l’approfondimento, ove occorresse,
del nostro test di primalità semplificato, esposto in questo lavoro.
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3. RIFERIMENTI
(dal 2 in poi tutti sul nostro sito)
1) da Wikipedia, “Numero primo fattoriale”
2) “ PROBLEMI DI LANDAU Congettura e infinità dei Numeri di Landau di
forma n^2+1 (dimostrazione ed estensione a forme numeriche simili”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
3) “I NUMERI PRIMI EUCLIDEI e le forme 6k + 1 dei numeri primi”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
4) “DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC”
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
5) “Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
6) Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero
7) ”NOTIZIA CIRCA UNA NUOVA DIMOSTRAZIONE
RIGUARDANTE I NUMERI PRIMI GEMELLI “
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
8)” PROOF OF THAT THE MAXIMUN GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE
PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln^2”
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Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
9)” MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI“
Ing. Pier Francesco Roggero
10) “INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E DEI NUMERI
PRIMI GEMELLI”
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardell
11) “Le quadruple di numeri primi”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto