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Programma di Analisi Matematica I- Prof. Luisa Toscano
a.a. 2009-2010
Ingegneria elettrica-gestionale logistica e produzione
Capitolo 1. Il campo reale
Cenni della teoria degli insiemi. Gli insiemi N, N0, Z, Q. L’insieme R dei numeri reali. Il
campo reale: operazioni usuali, valore assoluto di un numero reale. Intervalli
numerici. L’insieme ampliato dei numeri reali. Estremi di un insieme numerico.
Insiemi separati, insiemi contigui.
Capitolo 2. Funzioni
Generalità sulle funzioni: restrizione e prolungamento di una funzione; funzioni
invertibili e funzioni inverse; funzioni composte. Funzioni reali:estremi di una
funzione reale, operazioni con le funzioni. Funzioni reali di una variabile reale:
diagramma, funzioni monotone; funzioni pari, dispari e periodiche. Le funzioni
elementari nel campo reale: la funzione potenza con esponente intero positivo,
intero negativo, reale; la funzione radice; la funzione esponenziale; la funzione
logaritmica. Le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Le
funzioni arcoseno, arcocoseno, arctangente, arcotangente. Le funzioni iperboliche.
Esercizi relativi a disequazioni coinvolgenti le funzioni elementari. Esercizi sulla
ricerca del dominio di una funzione reale di una variabile reale. Successioni. Insiemi
numerabili.
Capitolo 3. Limiti delle funzioni reali di una variabile reale
Intorni di un punto di 𝑅̅ . Punti di accumulazione. Definizione di limite. Osservazioni
sui limiti. Limite destro e sinistro. Limiti delle funzioni monotone. Funzioni continue.
Teoremi sui limiti: teoremi di confronto, teoremi di regolarità per confronto,
teorema del limite di una funzione composta. Algebra dei limiti. Limite della somma,
del prodotto e del rapporto. Forme indeterminate. Il caso delle successioni reali.
Limiti notevoli. Punti di discontinuità. Esercizi sui limiti.
Capitolo 4. Confronto locale tra funzioni
La relazione di “o piccolo”: caratterizzazione e proprietà. La relazione di asintoticità:
caratterizzazione, proprietà, asintoticità notevoli, l’asintoticità nello studio dei limiti.
Esercizi sul calcolo di limiti con il confronto asintotico.
Capitolo 5. Calcolo differenziale
Definizione di derivata di una funzione in punto. La funzione derivata I, derivate di
ordine superiore. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e
delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico
della derivata. Retta tangente. Esercizi: Ricerca dell’insieme di derivabilità; calcolo di
derivate, determinazione di punti angolosi e cuspidi.
Capitolo 6. Applicazioni del calcolo differenziale.
Massimi e minimi locali: condizione necessaria. Teorema di Rolle, teorema di
Lagrange e conseguenze. Condizioni sufficienti per la ricerca dei punti di massimo e
minimo locale. I teoremi di L’Hospital. La formula di Taylor: proprietà, resto di
Peano, resto di Lagrange. Esercizi sull’ uso della formula di Taylor nel calcolo dei
limiti. Esercizi riguardanti la determinazione degli estremi locali, dei flessi, della
monotonia, il disegno del grafico di una funzione reale. Esercizi sull’applicazione dei
teoremi di Rolle e Lagrange.
Capitolo 7. L’integrale
La teoria della misura secondo Peano-Jordan. L’integrale definito: definizione,
proprietà, teorema della media. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Funzioni
Lipschitziane. Integrabilità delle funzioni continue. L’integrale indefinito: il teorema
fondamentale del calcolo integrale; primitive;formula fondamentale del calcolo
integrale. Integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni
razionali, integrazione per parti e per sostituzione. Esercizi. Integrali impropri:criteri
di integrabilità. Funzioni integrali. Esercizi
Capitolo 8 Serie numeriche
Serie numeriche. Serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie
armonica. Criteri di convergenza. Serie alternate. Convergenza assoluta. Esercizi.
Capitolo 9. I numeri complessi
Definizione. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica. Radici n-esime. Esercizi
Materiale didattico
Appunti delle lezioni ed esercizi svolti durante il corso
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