Programma del corso di:
CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE B
Corso di Laurea in Fisica 1° livello a.a. 2008-09
Docente: Gianluca Garello
Esercitazioni: Alessandro Oliaro
Dipartimento di Matematica, Via Carlo Alberto 10, 10123 Torino,
tel. 011 670 28 03, e-mail [email protected] , [email protected]
Libro di testo: C.Canuto, A.Tabacco, ANALISI MATEMATICA I, Teoria ed esercizi
con complementi in rete, 2 (3) edizione, ed. Springer
Resta inteso come programma dell’esame di Calcolo Differenziale e Integrale
tutto quanto svolto durante le lezioni e le esercitazioni.
Per agevolare il candidato viene fornito il seguente elenco dettagliato di argomenti,
facente riferimento alla numerazione di capitoli e paragrafi del libro di testo, o alla
pagina web di riferimento del testo stesso http://calvino.polito.it/canutotabacco/analisi_1
E’ facoltà del candidato presentare gli enunciati e le dimostrazioni nella modalità che
ritiene più opportuna.
I Teoremi di cui si richiede la dimostrazione sono esplicitamente indicati, negli altri
casi è richiesto l’enunciato preciso.
Sono parte integrante del programma gli esempi matematici notevoli, i
controesempi.
Per gli esercizi, oltre al libro di testo utilizzare il materiale sulla pagina web del corso
presente su CampusNet
Cap. 1 Nozioni di base: tutto. Fare anche principio di induzione su pag. web.
Cap 2 Funzioni: tutto.
Cap 3 Limiti e continuità I: tutto tranne § 3.3.4 limiti di funzioni monotone (leggerli
per completezza).
Cap 4 Limiti e continuità II: tutto.
Cap 5 Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche: § 5.1 tutto ; § 5.2
tutto; § 5.3 tutto; § 5.4 tutto tranne Teorema 5.19 “criterio del rapporto per
successioni”; 5.5 Serie numeriche: tutto (aggiungere anche: Criterio di confronto tra
convergenza di serie ed integrali impropri fatto a lezione).
Cap 6 Calcolo differenziale: tutto.
Cap 7 Sviluppi di Taylor e applicazioni: tutto, tranne Teoremi 7.16, 7.18 (leggerli per
completezza).
Cap 8 Rappresentazioni del piano e dello spazio: § 8.1 solo coordinate polari; § 8.2
no; § 8.3 Numeri complessi, tutto; § 8.4 no; § 8.5 no .
Cap 9 Calcolo integrale I: tutto tranne § 9.4 Integrale secondo Cauchy.
Cap 10 Integrali impropri: tutto tranne §10.2 altri integrali impropri, § 10.3 integrali
curvilinei, § 10.4 integrali di linea.
Cap 11 Equazioni differenziali ordinarie: tutto tranne §11.2.3 equazioni omogenee; §
11.3 il problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine.
Sono esplicitamente richieste le dimostrazioni dei seguenti teoremi e proprietà:
-
Irrazionalità della radice quadrata di 2: Prop. 1.1;
Limite di successioni monotone: Teorema 3.9 (su pag web testo)
-
Unicità del limite: Teorema 4.1 (dimostrata per successioni);
Permanenza del segno: Teorema 4.2, Corollario 4.3 (dimostrata per
successioni);
Limite fondamentale sin x/x per x->o: Esempio 4.6;
Limite fondamentale (1-cos x)/x^2 per x->0: Esempio iv pag 103;
Limiti notevoli riquadro pag. 104 (quelli svolti a lezione o esercitazione) dim.
Su pag web testo;
Limiti notevoli riquadro pag. 109;
Teorema esistenza degli zeri: Teorema 4.23;
Teorema dei valori intermedi: Teorema 4.29;
Limiti di funzioni equivalenti: Proposizione 5.5, Corollario 5.6;
Convergenza serie di Mengoli: Esempio 5.24;
Condizione necessaria di convergenza: Proprietà 5.25;
Carattere serie geometrica: Esempio 5.27;
Regolarità serie a termini positivi: Proposizione 5.28;
Criterio della radice: Teorema 5.34 (su pag. web o come fatto a lezione);
Assoluta convergenza implica convergenza: Teorema 5.40 (dimostrazione fatta
a lezione);
Derivabilità implica continuità: Proposizione 6.3;
Derivata del prodotto: Teorema 6.4 (formula 6.4) dim. su pag. web;
Derivate di funzioni pari (dispari): Proprietà 6.12;
Derivate notevoli: riquadro pag. 180;
Teorema di Fermat per massimi e minimi relativi: Teorema 6.21;
Teorema di Rolle: Teorema 6.22;
Teorema del valor medio di Lagrange: Teorema 6.23;
Funzioni con derivata nulla: Proprietà 6.25;
Derivata e funzioni monotone: Teorema 6.26;
Calcolo radice n-esima in campo complesso: § 8.3.4
Caratterizzazione delle primitive: Proposizione 9.3, Teorema 9.4;
Proprietà di linearità dell’integrale indefinito: Teorema 9.8;
Regola integrazione per parti: Teorema 9.10;
Regola integrazione per sostituzione: Teorema 9.12;
Integrabilità funzioni monotone: Teorema 9.31 d) (su pag. web);
Teorema della media integrale: Teorema 9.34;
Teorema fondamentale del calcolo integrale: Teorema 9.37;
Metodo risolutivo per equazioni differenziali a variabili separabili: §11.2.1;
Formula risolutiva per equazioni differenziali lineari del primo ordine:
§11.2.2
L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale.
La prova scritta ha durata di 3 ore e consiste nella risoluzione di esercizi. E' consentito
tenere solo un foglio A4 (fronte retro) ad uso formulario. Non è consentito tenere
calcolatrici tascabili né appunti personali, né libri.
La prova scritta e quella orale devono essere superate positivamente (voto>=18)
nell’ordine, durante la stessa sessione d’esame (limitatamente alla sessione invernale
lo scritto superato nell’appello di dicembre è valido per l’appello di gennaio).
La prova orale verte su:
- discussione della prova scritta sostenuta dallo studente,
- esposizione di argomenti e dimostrazione di teoremi trattati nel corso.
Si può liberamente accedere alla prova scritta e conseguente orale in ogni appello
d’esame.
