• + numeri reali
SEZ.
G
• Numeri decimali e periodici
• Estrazione di radice
• Numeri decimali e periodici
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1
⎡
⎛
1⎞ ⎛
2 ⎞⎤
2 − ⎢( 2 + 0, 5 ) − ⎜⎜1 − ⎟⎟− ⎜⎜1, 5 − ⎟⎟⎥ =
⎢
⎜⎝
7 ⎟⎠⎥⎦
7 ⎟⎠ ⎜⎝
⎣
5
15
e 1,5 =
10
10
Procediamo quindi svolgendo i calcoli
secondo la regola delle precedenze:
0,5 =
3,25 =
⎡⎛
5 ⎞ ⎛ 7 − 1 ⎞⎟ ⎜⎛ 15 2 ⎞⎟⎤⎥
= 2 − ⎢⎜⎜2 + ⎟⎟− ⎜⎜
⎟− ⎜ − ⎟ =
⎢⎜⎝
10 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 7 ⎟⎠⎥⎦
⎣
⎡⎛
1 ⎞ 6 ⎛ 3 2 ⎞⎤
= 2 − ⎢⎜⎜2 + ⎟⎟− − ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ =
⎢⎜⎝
2 ⎟⎠ 7 ⎜⎝ 2 7 ⎟⎠⎥⎦
⎣
0,7 =
7
10
0,157 =
157
1000
La frazione è detta generatrice perché eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore si
ottiene il numero decimale corrispondente.
⎡⎛ 4 + 1 ⎞ 6 ⎛ 21 − 4 ⎞⎤
⎟⎥ =
⎟− − ⎜
= 2 − ⎢⎜⎜
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 7 ⎜⎜⎝ 14 ⎟⎟⎠⎥
⎣
⎦
⎡ 5 6 17 ⎤
= 2− ⎢ − − ⎥ =
⎢⎣ 2 7 14 ⎥⎦
Le espressioni sono una sequenza di operazioni
che devono essere eseguite in un certo ordine
definito dalle seguenti regole:
• si risolvono le potenze, le moltiplicazioni e le
divisioni nell’ordine in cui si presentano, poi le
addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui si presentano;
• se ci sono le parentesi si risolvono prima le
parentesi tonde ( ), poi le quadre [ ] ed infine le
graffe { }.
⎡ 35 − 12 − 17 ⎤
⎥=
= 2− ⎢
⎢⎣
⎥⎦
14
6
3 14 − 3 11
=
= 2− = 2− =
7
7
14
7
2
325
100
Briciole di teoria
Un numero decimale limitato si trasforma in
una frazione che ha al numeratore il numero privato della virgola, al denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Ad
esempio:
Trasformiamo i numeri decimali nella
corrispondente frazione generatrice:
⎡⎛
⎤ ⎛
⎞
⎞
⎢⎜⎜0, 75 + 5 − 1,16 ⎟⎟ + ( 3 − 1, 6 + 1, 75 )⎥ − ⎜⎜2 + 5 ⎟⎟ =
⎢⎜⎝
⎥ ⎜⎝
⎟⎠
8 ⎟⎠
8
⎣
⎦
3, 5 =
35 − 3 32
=
9
9
3,15 =
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
315 − 31 284
=
90
90
3, 51=
1
351− 3 348
=
99
99
3,172 =
3172− 31 3141
=
990
990
Briciole di teoria
I numeri decimali illimitati periodici sono numeri decimali in cui una cifra o un gruppo di cifre
decimali si ripetono all’infinito.
–
Il numero 3,5555… = 3,5 è un numero decimale periodico semplice con periodo 5.
–
Il numero 3,15555… = 3,15 è un numero decimale periodico misto con periodo 5 e antiperiodo 1.
Anche i numeri periodici hanno una frazione generatrice: il numeratore si ottiene prendendo il
numero stesso (scritto però senza la virgola e senza il simbolo di periodo) e sottraendogli la parte
che sta prima del periodo (scritta senza la virgola); al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono
le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Osserva gli esempi:
Sezione G • + numeri reali
Trasformiamo i numeri decimali limitati e i numeri decimali illimitati periodici
nelle corrispondenti frazioni generatrici, quindi procediamo svolgendo i calcoli seguendo la regola delle precedenze:
⎡⎛ 75 5 116 − 11 ⎞ ⎛
⎞⎤ ⎛
⎞
⎟⎟ + ⎜⎜3 − 16 − 1 + 175 ⎟⎟⎥ − ⎜⎜ 16 + 5 ⎟⎟ =
= ⎢⎜⎜
+ −
⎢⎜⎝ 100 8
90 ⎟⎠ ⎜⎝
9
100 ⎟⎠⎥⎦ ⎜⎝ 8 ⎟⎠
⎣
⎡⎛ 3 5 105 ⎞ ⎛
⎞⎤
⎟⎟ + ⎜⎜3 − 15 + 7 ⎟⎟⎥ − 21 =
= ⎢⎜⎜ + −
⎢⎜⎝ 4 8 90 ⎟⎠ ⎜⎝
9 4 ⎟⎠⎥⎦ 8
⎣
⎡⎛ 3 5 7 ⎞ ⎛
5 7 ⎞⎤ 21
= ⎢⎜⎜ + − ⎟⎟ + ⎜⎜3 − + ⎟⎟⎥ − =
⎢⎜⎝ 4 8 6 ⎟⎠ ⎜⎝
3 4 ⎟⎠⎥⎦ 8
⎣
⎡⎛ 18 + 15 − 28 ⎞ ⎛ 36 − 20 + 211 ⎞⎤ 21
⎟⎟⎥ − =
⎟⎟ + ⎜⎜
= ⎢⎜⎜
⎢⎜⎝
⎟⎠⎥ 8
⎟⎠ ⎜⎝
12
24
⎣
⎦
⎡ 5 37 ⎤ 21
= ⎢ + ⎥− =
⎢⎣ 24 12 ⎥⎦ 8
=
3
5 + 74 21 79 21 79 − 63 16 2
− = − =
=
=
24
8
24 8
24
24 3
⎧⎪⎪ ⎡
8 1 ⎤ 1 1 ⎪⎪⎫ 6 1
⎨ ⎢⎢( 9, 25 − 3, 25 − 4, 2 ) : + ⎥⎥ ⋅ − ⎬ : + =
⎪⎪⎩ ⎣
3 3 ⎦ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
Trasformiamo i numeri decimali illimitati periodici nelle corrispondenti frazioni generatrici, quindi procediamo svolgendo i calcoli seguendo la regola delle precedenze:
⎪⎧ ⎡⎛ 925 − 92 325 − 32 42 − 4 ⎞⎟ 3 1 ⎤ 1 1 ⎪⎫⎪ 6 1
= ⎪⎨ ⎢⎜⎜
−
−
⎟⎟ ⋅ + ⎥⎥ ⋅ − ⎬ : + =
⎪⎪ ⎣⎢⎜⎝ 90
90
9
⎠ 8 3 ⎦ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
⎩
⎧⎪ ⎡⎛ 833 293 38 ⎞ 3 1 ⎤ 1 1 ⎫⎪ 6 1
− ⎟⎟ ⋅ + ⎥ ⋅ − ⎪⎬ : + =
= ⎪⎨ ⎢⎜⎜
−
⎪⎪ ⎢⎣⎜⎝ 90
90
9 ⎟⎠ 8 3 ⎥⎦ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
⎩
⎧⎪ ⎡⎛ 833 − 293 − 380 ⎞ 3 1 ⎤ 1 1 ⎫⎪ 6 1
⎟⎟ ⋅ + ⎥ ⋅ − ⎪⎬ : + =
= ⎪⎨ ⎢⎜⎜
⎟⎠ 8 3 ⎥ 5 6 ⎪ 90 2
⎪⎪ ⎢⎣⎜⎝
90
⎦
⎪⎭
⎩
⎪⎧ ⎡ 160 3 1 ⎤ 1 1 ⎪⎫⎪ 6 1
⋅ + ⎥⋅ − ⎬ : + =
= ⎪⎨ ⎢
⎪⎪⎩ ⎢⎣ 90 8 3 ⎥⎦ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
⎪⎧ ⎡ 2 1 ⎤ 1 1 ⎪⎫ 6 1
= ⎪⎨ ⎢ + ⎥ ⋅ − ⎪⎬ : + =
⎪⎪⎩ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
⎧⎪ 1 1 ⎫⎪ 6 1
= ⎨1 ⋅ − ⎬ : + =
⎪⎪⎩ 5 6 ⎪⎪⎭ 90 2
⎧⎪ 1 1 ⎪⎫ 90 1
= ⎨ − ⎬⋅ + =
⎪⎪⎩ 5 6 ⎪⎪⎭ 6 2
⎧⎪ 6 − 5 ⎫⎪ 15 1
=⎨
⎬⋅ + =
⎪⎪⎩ 30 ⎪⎪⎭ 1 2
1 15 1
⋅ + =
30 1 2
1 1
= + =1
2 2
=
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
2
Estrazione di radice
4
2
⎛
⎞
⎜⎜2, 5 − 3 : 1, 35 − 0, 85 ⎟⎟ ⋅ 11 − 3 =
⎜⎝
49 1, 35 − 0, 85 ⎟⎠ 22 − 2, 3 2
Trasformiamo i numeri decimali limitati e i numeri decimali illimitati periodici nelle corrispondenti frazioni generatrici.
⎛
135 − 13 85 − 8 ⎞⎟
⎜⎜
−
⎟
⎜⎜ 25 9
90
90 ⎟⎟ ⋅ 11 − 3 =
=⎜ − :
23 2
135 − 1 85 ⎟⎟
⎜⎜ 10 49
⎟⎟ 4 −
−
⎜⎝
⎠
10
99
99
⎛
⎞
122 77 ⎟
⎜⎜
−
11
3
⎜⎜ 5 9 90 90 ⎟⎟⎟
− =
=⎜ − :
⋅
⎟
⎜⎜ 2 49 134 85 ⎟⎟ 40 − 23 2
−
⎜⎝
99 99 ⎟⎠
10
⎛
122 − 77 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
5
9
⎜
90 ⎟⎟ ⋅ 11 − 3 =
= ⎜⎜ − :
⎜⎜ 2 49 134 − 85 ⎟⎟⎟ 17 2
⎜⎝
99 ⎠⎟ 10
⎛
45 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
10 3
⎜5 9
= ⎜⎜ − : 90 ⎟⎟ ⋅ 11 ⋅ − =
⎜⎜ 2 49 49 ⎟⎟
17 2
⎟
⎝⎜
⎠
99
⎡ 5 9 ⎛ 45 99 ⎞⎤
10 3
= ⎢ − : ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎥ ⋅ 11 ⋅ − =
⎢ 2 49 ⎜⎝ 90 49 ⎟⎠⎥
17 2
⎣
⎦
⎡ 5 9 99 ⎤
10 3
= ⎢ − : ⎥ ⋅ 11 ⋅ − =
⎢⎣ 2 49 98 ⎥⎦
17 2
⎡ 5 9 98 ⎤
10 3
= ⎢ − ⋅ ⎥ ⋅ 11 ⋅ − =
⎢⎣ 2 49 99 ⎥⎦
17 2
⎡5 2 ⎤
10 3
= ⎢ − ⎥ ⋅111 ⋅ − =
⎢⎣ 2 11 ⎥⎦
17 2
⎡ 55 − 4 ⎤
10 3
⎥ ⋅ 11 ⋅ − =
=⎢
⎢⎣ 22 ⎥⎦
17 2
10 3
51
⋅ 11 ⋅ − =
17 2
22
3 30 − 3 27
= 15 − =
=
2
2
2
=
• Estrazione di radice
•
•
•
•
•
L’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza e si indica con n a , dove
a è il radicando, n è l’indice della radice ed è sempre maggiore di 1.
Se n = 2 la radice si dice radice quadrata.
Se n = 3 la radice si dice radice cubica.
Se n = 4 la radice si dice radice quarta, e così via.
Solo l’indice 2 può non essere scritto, quindi 2 a = a (questa è la scrittura utilizzata normalmente).
Per calcolare la radice di un numero si possono seguire più strade:
3
a
L Uso delle tavole.
L Scomposizione del radicando in fattori primi e semplificazione.
L Uso della calcolatrice.
L Algoritmo di radice.
a
L Uso delle tavole.
L Scomposizione del radicando in fattori primi e semplificazione.
L Uso della calcolatrice.
n>3
•
a
L Scomposizione del radicando in fattori primi e semplificazione.
L Uso della calcolatrice.
Se a non è un quadrato perfetto, o il quadrato di un numero razionale, il risultato di
numero irrazionale.
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
3
a è un
Briciole di teoria
•
Sezione G • + numeri reali
Scegli la risposta esatta.
5
L’estrazione di radice è l’operazione inversa della potenza in cui:
a conoscendo l’esponente e la base, si cerca
la potenza.
b conoscendo la potenza e la base, si cerca
l’esponente.
c conoscendo l’esponente e la potenza, si
La risposta esatta è c .
2
Osserviamo l’esempio: se 3 = 9, allora la
radice quadrata di 9 è 3. La potenza è 9, l’esponente è 2, il risultato dell’estrazione di
radice è la base.
cerca la base.
6
L’indice della radice è:
a l’esponente della potenza corrispondente.
b la base della potenza corrispondente.
c il valore della potenza corrispondente.
7
La radice quinta di 732 è il numero:
a che moltiplicato per 5 dà come risultato 732.
b che elevato a 5 dà come risultato 732.
c il cui quintuplo è uguale a 732.
8
La risposta esatta è b : 5 32 = 2 perché il
numero 32, scomposto in fattori, diventa
5
2 e 5 25 = 2 .
Un quadrato perfetto è:
a un numero naturale ottenuto elevando a
potenza un numero naturale.
b un numero naturale che è il quadrato di un
numero naturale.
c un numero razionale che esprime l’area di
un quadrato.
9
La risposta esatta è a perché essendo l’operazione di estrazione di radice l’inversa dell’operazione di elevamento a potenza, abbiamo
che la radice quadrata
è l’inversa dell’elevamento al quadrato, la radice cubica 3 è
l’inversa dell’elevamento al cubo e così via.
La risposta esatta è b . Ad esempio l’ugua2
glianza 9 = 3 significa che il numero 9 è un
quadrato perfetto, ottenuto elevando il
numero naturale 3 al quadrato. Osserva
che 9 = 3 2 = 3 , quindi la radice quadrata di un quadrato perfetto è sempre un
numero naturale.
La radice quadrata di 41 è un numero compreso tra:
a 6 e 7.
b 4 e 5.
c 40 e 50.
Il numero 41 non è un quadrato perfetto; se cerchiamo sulle tavole
2
numeriche nella colonna n i quadrati perfetti più vicini, vediamo
che esso è compreso tra 36 e 49 e quindi possiamo scrivere:
36 < 41 < 49.
Estraiamo le rispettive radici quadrate ed otteniamo:
36 < 41 < 49
6 < 41 < 7
Quindi la risposta esatta è a .
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
4
Estrazione di radice
Risolvi le seguenti espressioni in cui figurano estrazioni di radici.
Proprietà dei radicali
a ⋅b = a ⋅ b
•
10
a + b ≠ a +b
a:b = a : b
a
a
=
b
b
a − b ≠ a −b
a 2n = a n
Sotto il segno di ciascuna radice i calcoli vanno eseguiti seguendo la regola delle precedenze; l’estrazione delle radici avviene partendo dalla più interna.
⎛ 2 3⎞
1
⎜⎜2 − ⎟⎟ ⋅
⎜⎝
⎟
2
4 ⎠ 12 + 5 2
⎛2⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜⎝ 5 ⎟⎠
2
12
49
+
4
⎛1 1 1⎞ 5
⎜⎜ + − ⎟⎟ :
=
⎝⎜ 4 3 6 ⎟⎠ 3
⎛
3⎞
1
4
= ⎜⎜4 − ⎟⎟ ⋅
⋅
=
⎜⎝
4 ⎟⎠ 144 + 25 25
=
7
+
2
⎛ 16 − 3 ⎞ 1
4
⎟⋅
⋅
=
= ⎜⎜
⎜⎝ 4 ⎟⎠⎟ 169 25
=
7
5
5
+
:
=
2
12
3
⎛3 + 4−2⎞ 5
⎜⎜
⎟:
=
⎜⎝ 12 ⎟⎟⎠ 3
=
13 1 4
⋅ ⋅
=
4 13 25
=
7
5 5
: =
+
2
12 3
=
1
1
=
25 5
=
7
5 3
+
⋅ =
2
12 5
7
1
+
=
2
4
7 1 8
= + = =4
2 2 2
=
3 ⎛⎜ 5 ⎞⎟
1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟
+⎜ ⎟ +
−⎜ ⎟ =
2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
2
11
2
13
⎛1 1 1⎞
⎜⎜ + − ⎟⎟ ⋅ 0, 6 +
⎜⎝ 4 3 6 ⎟⎠
=
3 25
1 1
+ +
− =
2 16
2 4
⎛3 + 4−2⎞ 6
⎟⋅ +
= ⎜⎜
⎜⎝ 12 ⎟⎟⎠ 10
=
24 + 25
2 −1
+
=
16
4
=
5 6
⋅ +
12 100
=
49
1
+
=
16
4
=
1
+
4
49 1
+ =
16 2
7 1
+ =
4 2
1
7 1
= +
+ =
2
4 2
=
7+2
=
4
1
7+2
=
= +
4
2
=
9 3
=
4 2
1
9
= +
=
2
4
1 3 4
= + = =2
2 2 2
5
2
25 3
2 −1
+ +
=
16 2
4
25 + 24
1
+
=
16
4
=
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
⎛5 ⎞ 3
⎜⎜ ⎟⎟ + + 1 − 1 =
⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2
2 4
Briciole di teoria
•
Sezione G • + numeri reali
14
2
2
⎤
11
7 11 ⎡⎢⎛⎜ 5 ⎞⎟
1
1 ⎤⎥ ⎡⎢⎛⎜ 5 ⎞⎟
−
+ + ⎢⎜ ⎟ ⋅
+ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ ⋅ 0, 4 − 0, 04 ⎥⎥ =
⎜
⎟
4
2 4 ⎢⎝ 2 ⎠
100 80 ⎥ ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎥⎦
⎦ ⎣
⎣
11
14 + 11 ⎡⎢ 25 8 + 10 ⎤⎥ ⎡⎢ 25
4
4 ⎤⎥
=
:
⋅
−
−
+⎢ ⋅
4
4
800 ⎥⎥⎦ ⎢⎢⎣ 4
10 100 ⎥⎥⎦
⎢⎣ 4
11
25 ⎡⎢ 25
18 ⎤⎥ ⎡⎢ 25 40 − 4 ⎤⎥
=
−
+⎢ ⋅
=
:
⋅
4
4
800 ⎥⎥⎦ ⎢⎢⎣ 4
100 ⎥⎥⎦
⎢⎣ 4
36 ⎤⎥
11 5 ⎡⎢ 25
9 ⎤⎥ ⎡⎢ 25
:
=
=
− +⎢ ⋅
⋅
100 ⎥⎥⎦
4 2 ⎢⎣ 4
400 ⎥⎥⎦ ⎢⎢⎣ 4
11 − 10 ⎡ 25 3 ⎤ ⎡ 25 6 ⎤
=
+⎢ ⋅ ⎥ : ⎢ ⋅ ⎥ =
⎢⎣ 4 200 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 10 ⎥⎦
4
=
1 15 15
+ :
=
4 16 4
1 15 4
1 1 2 +1 3
=
= + ⋅ = + =
2 16 15 2 4
4
4
=
⎛3⎞
5
1
⎜⎜ ⎟⎟ + 9
+
⎡⎛
⎤
⎞
⎛
⎞
16
9
9 + ⎢⎜⎜1 − 9 ⎟⎟ : ⎜⎜5 − 5 − 1 ⎟⎟⎥ ⋅ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
=
⎢⎜⎜
⎥
⎟
⎜
⎟
25 ⎟⎠ ⎜⎝
2 4 ⎠⎟⎥
25
4 ⎢⎣⎝
⎦ 2−
2+
16
9
2
15
=
=
=
=
5 1
9 3
+
+
⎡⎛
⎤
⎞
⎛
⎞
9 3 + ⎢⎜1 − 3 ⎟ : ⎜⎜5 − 10 − 1 ⎟⎟⎥ ⋅ 16 4 =
⎜
⎟
2 ⎢⎢⎜⎝
5
5 ⎟⎠ ⎜⎜⎝
4 ⎟⎟⎠⎥⎥
2+
⎣
⎦ 2−
3
4
5+3
9 + 12
⎡⎛ 5 − 3 ⎞ ⎛
⎞⎤
9
⎟⎟⎥ ⋅ 16 =
9 + ⎢⎜
⎟⎟ : ⎜⎜5 −
⎜
6 + 2 ⎢⎢⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎜⎝
4 ⎟⎟⎠⎥⎥ 8 − 5
⎣
⎦
3
4
8
21
⎡
⎤
⎛
⎞
2
3
9 + ⎢ : ⎜5 − ⎟⎥ ⋅ 16 =
⎜
⎟
8 ⎢⎣ 5 ⎜⎝
2 ⎟⎠⎥⎦ 3
3
4
8 3 ⎡⎢ 2 ⎛⎜ 10 − 3 ⎞⎟⎤⎥ 21 4
⋅ + :⎜
⎟⋅ ⋅ =
9 8 ⎢⎣ 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎥⎦ 16 3
1 ⎡2 7⎤ 7
+⎢ : ⎥⋅ =
3 ⎢⎣ 5 2 ⎥⎦ 4
1 ⎡2 2⎤ 7
= +⎢ ⋅ ⎥⋅ =
3 ⎢⎣ 5 7 ⎥⎦ 4
=
1 4 7
+ ⋅ =
3 35 4
1 1 5+3
8
= + =
=
3 5
15
15
=
A. Calvi - G. Panzera - ©2009 ELI - La Spiga
6
