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Richiami sui polinomi ortogonali
Sia ω(x) una funzione peso sull’intervallo (a, b) tale che:
Z
b
ω(x) ≥ 0,
ω(x)dx < +∞.
a
Indichiamo con {ϕk , k = 0, 1, ...} una famiglia di polinomi algebrici, con
grado(ϕk ) = k.
• Definizione.
Diciamo che {ϕk , k = 0, 1, ...} è una famiglia di polinomi ortogonali su (a, b)
rispetto al peso ω(x) se:
Z
b
ϕm (x)ϕn (x)ω(x)dx = 0,
m 6= n.
a
• Teorema.
Se {ϕk , k = 0, 1, ...} è una famiglia di polinomi ortogonali su (a, b) rispetto
al peso ω(x), allora il polinomio ϕk ha k radici reali e distinte appartenenti
all’intervallo aperto (a, b).
• Polinomi di Legendre.
ω(x) = 1,
(a, b) = (−1, 1).
Formula ricorsiva:
P0 = 1, P1 (x) = x,
n ≥ 1 : (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x).
Proprietà di ortogonalità
Z
1
Pk (x)Pn (x) dx = 0,
se k 6= n
−1
Z
1
Pn (x)Pn (x) dx =
−1
• Polinomi di Chebyshev.
√
ω(x) = 1/ 1 − x2 ,
Tk (x) = cos kθ,
(a, b) = (−1, 1).
θ = arccos x, k ≥ 0
1
n+
1
2
Formula ricorsiva:
T0 = 1, T1 (x) = x,
n ≥ 1 : Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x).
La formula ricorsiva si ottiene osservando che:
Tn+1 (x) = cos(n + 1)θ
Tn−1 (x) = cos(n − 1)θ
Sommando membro a membro e applicando la formula di addizione
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
si ha:
Tn+1 (x) + Tn−1 (x) = cos nθ cos θ − sin nθ sin θ + cos nθ cos θ + sin nθ sin θ ⇒
Tn+1 (x) = 2 cos nθ cos θ − Tn−1 (x)
da cui si ottiene la formula ricorsiva sfruttando la definizione implicita di Tn (x)
e osservando banalmente che cos θ = x.
Proprietà di ortogonalità
Z
1
Tk (x)Tn (x) √
1
dx = 0,
1 − x2
se k 6= n
Tn (x)Tn (x) √
1
dx = π,
1 − x2
se n = 0
π
1
dx = ,
2
1 − x2
se n > 0
−1
Z 1
Z
−1
1
Tn (x)Tn (x) √
−1
Consideriamo il problema della costruzione di formule di quadratura in tre casi
diversi.
1. Una formula di quadratura interpolatoria
Z b
n
X
˜ )=
I(f ) =
f (x)dx ≈ I(f
αj f (xj )
a
j=1
che utilizza n punti distinti ha grado di precisione ≥ n − 1.
Vale anche il viceversa.
Una formula di quadratura che ha grado di precisione ≥ n − 1 è necessariamente interpolatoria, cioè dati i nodi x1 , x2 ,...,xn deve essere
Z b
αj =
Lj (x)dx
a
dove Lj (x) è il j−esimo polinomio di Lagrange di grado n − 1.
˜ k ), 0 ≤ k ≤ n − 1 ⇒
Infatti: I(xk ) = I(x
n
X
ÃZ
αj xkj
b
=
!
k
x dx
=
a
j=1
bk+1 − ak+1
,0 ≤ k ≤ n − 1
k+1
Il sistema Aα = f , con
Akj = xkj , 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ n − 1, fk =
bk+1 − ak+1
, 0≤k ≤n−1
k+1
ha per matrice A la matrice trasposta della matrice di Vandermonde ed
ha pertanto determinante diverso da zero, essendo i nodi tutti xj distinti
e quindi il sistema ammette una ed una sola soluzione α. Dunque
Z
b
αj =
Lj (x)dx,
a
essendo una soluzione che verifica il sistema, cioè tale per cui la formula di
quadratura ha grado di precisione ≥ n − 1, è l’unica soluzione del sistema
Aα = f . Infatti, se per assurdo la soluzione fosse
Z
b
αj 6=
Lj (x)dx
a
esisterebbero due soluzioni distinte in corrispondenza delle quali si verifi˜ k ), 0 ≤ k ≤ n − 1, e dunque la soluzione del sistema
cherebbe I(xk ) = I(x
con matrice A non singolare non sarebbe unica.
2. Nel caso 1. abbiamo considerato il problema di come determinare i pesi
αj , j = 1, ..., n di una formula di quadratura, una volta fissati i nodi
xj , j = 1, ..., n , in modo che la formula di quadratura abbia grado di
precisione massimo.
Ci si può porre il problema inverso: dati i pesi (per semplificare si considerino i pesi tutti uguali: α = αj , j = 1, ..., n), determinare i nodi
xj , j = 1, ..., n , in modo che la formula di quadratura abbia grado di
precisione massimo.
Pn
Fissato α = αj = (b − a)/n in modo che j=1 αj = b − a e che quindi la
formula di quadratura abbia grado di precisione almeno zero, si impongono
le relazioni
˜ k ), 1 ≤ k ≤ n
I(xk ) = I(x
α
n
X
j=1
xkj =
bk+1 − ak+1
, 1≤k≤n
k+1
che è un SISTEMA NON LINEARE di n equazioni in n incognite.
3. Nel caso più generale ci si pone il problema di come determinare i pesi
αj , j = 1, ..., n e i nodi xj , j = 1, ..., n di una formula di quadratura
in modo che la formula di quadratura abbia grado di precisione massimo.
Poichè si pretende che il grado di precisione sia il massimo possibile, dovrà
essere almeno ≥ n−1, dunque la formula dovrà esere di tipo interpolatorio,
cioè, dati i nodi xj i pesi si dovranno calcolare mediante le formule
Z b
Lj (x)dx.
αj =
a
Consideriamo per semplicità il caso (a, b) = (−1, 1).
Ci si chiede quale è il massimo intero m per cui si ha
˜ n+m ),
I(pn+m ) = I(p
∀pn+m ∈ Pn+m .
Qn
Dividendo il generico polinomio pn+m (x) per w(x) = j=1 (x − xj ) si ha
pn+m (x) = w(x)pm (x) + qn−1 (x),
dove pm (x) è il generico quoziente di grado m e qn−1 (x) è il generico resto
di grado n − 1.
Si osservi in particolare che pn+m (xj ) = qn−1 (xj ), j = 1, ..., n, essendo
w(xj ) = 0.
E’ noto inoltre che, considerando una formula di quadratura di tipo interpolatorio, si ha
˜
I(g) = I(g),
∀g ∈ Pn−1
Dunque si ottiene:
Z 1
Z 1
Z 1
I(pn+m ) =
pn+m (x)dx =
w(x)pm (x)dx +
qn−1 (x)dx =
| {z }
−1
−1
−1
Z
1
w(x)pm (x)dx +
−1
Z
n
X
αj qn−1 (xj ) =
j=1
1
w(x)pm (x)dx +
−1
n
X
αj [w(xj )pm (xj ) + qn−1 (xj )] =
j=1
Z
1
−1
˜ n+m )
w(x)pm (x)dx + I(p
| {z }
Avremmo quindi
˜ n+m ),
I(pn+m ) = I(p
∀pn+m ∈ Pn+m
se w(x) fosse scelto in modo tale per cui
Z 1
w(x)pm (x)dx = 0, ∀pm ∈ Pm .
−1
Si osservi che il massimo valore di m per cui l’integrale definito può annullarsi è n − 1. Infatti, se per assurdo fosse m = n, potremmo scegliere
in particolare pm = w ed avere
Z 1
w(x)w(x)dx = 0,
−1
ma essendo gli xj tutti distinti questa conclusione sarebbe assurda.
Resta quindi da stabilire come scegliere i nodi xj in modo che
Z
1
w(x)pm (x)dx = 0, ∀pm ∈ Pm , m = 0, 1, ..., n − 1.
−1
Se i nodi xj , j = 1, ..., n sono gli zeri del polinomio di Legendre di grado n,
e dunque w(x) è il polinomio di Legendre Pn di grado n (definito a meno
di una costante moltiplicativa), e se si considera lo sviluppo del generico
polinomio pm nella base dei polinomi di Legendre
pm (x) =
m
X
ck Pk (x), ck ∈ R, m ≤ n − 1
k=0
si ha:
Z
Z
1
1
w(x)pm (x)dx =
−1
Pn (x)
−1
m
X
Z
m
X
ck Pk (x)dx =
k=0
1
ck
Pn (x)Pk (x)dx = 0
−1
k=0
per l’ortogonalità dei polinomi di Legendre Pn e Pk , ∀k < n. Poichè
quanto detto è vero per ogni m < n, si ha infine che il grado di precisione
della formula di quadratura cosı̀ ottenuta, detta di Gauss-Legendre, è
n + m = n + n − 1 = 2n − 1.
• CASI PARTICOLARI.
n = 1: x1 = 0, α1 = 2.
p
n = 2: x1,2 = ± 1/3, α1,2 = 1.
p
n = 3: x1,3 = ± 3/5, x2 = 0, α1,3 = 8/9, α2 = 5/9.
• OSSERVAZIONE. La formula di quadratura di Gauss-Legendre può essere
generalizzata per approssimare un integrale definito su un intervallo (a, b) qualsiasi. A tale scopo basta considerare la sostituzione
t=
b+a
b−a
x+
.
2
2
• Integrazione di Gauss-Chebyshev.
Z
n
X
1
f (x) √
dx =
αj f (xj )
1 − x2
−1
j=1
µ
¶
π
2j − 1
xj = cos
π , αj = , j = 1, ..., n
2n
n
1
• ESERCIZIO. Approssimare il valore dell’integrale definito
Z 2
log(x + 2)dx
0
mediante la formula di Gauss-Legendre a due punti e calcolare l’errore commesso.
• ESERCIZIO. Calcolare il valore esatto dell’integrale definito
Z 1
1
dx
x4 √
1 − x2
−1
mediante la formula di Gauss-Chebyshev a tre punti.