PROGRAMMA
ELETTROTECNICA
(Settore Scientifico Disciplinare ING-IND-31)
n. 6 Crediti Formativi Universitari (CFU)
A.A. 2011/2012
Proff. Claudio SERPICO
1 Introduzione alla Teoria dei Circuiti e al modello circuitale
1.1 Introduzione
Importanza dei circuiti nella tecnologia contemporanea: circuiti elettronici, informatica,
telecomunicazioni, circuiti di potenza.
1.2 Il modello circuitale: definizioni, rappresentazione, equazioni delle
connessioni e relazioni costitutive.
Gli elementi costitutivi del circuito: dispositivi (o elementi circuitali) e le connessioni.
Generalità sulla rappresentazione di un circuito: grafo di un circuito di elementi a due o più
terminali. Elementi del grafo: dispositivi, lati (insieme dei terminali dei dispositivi), nodi
(punti di giunzione di terminali) e maglie (come sequenza ciclica di coppie di nodi)
Grandezze fondamentali relative al modello circuitale: ), correnti di lato, potenziali di nodo,
e tensioni (differenze di potenziali di nodo).
Versi di riferimento per le correnti e le tensioni.
Introduzione alle equazioni delle connessioni: la somma algebrica delle tensioni di una
maglia è zero, la somma algebrica delle corrente uscenti da un nodo o da un dispositivo è
zero.
Introduzione al concetto di relazioni costitutive dei dispositivi: per ogni dispositivo sono
definite delle relazioni matematiche tra tensioni e le correnti relative ai terminali del
dispositivo.
1.3 Circuiti di Bipoli.
Circuiti costituiti da soli elementi a due terminali. Grafi dei circuiti di bipoli: ogni lato del
grafo può essere associato ad un dispositivo, ovvero ad un bipolo.
Concetto di tensione di lato: differenza dei potenziali dei nodo nei quali il lato incide.
Relazioni costitutive dei bipoli: legame tra tensione e corrente. Esempi preliminari: il
resistore e il bipolo adinamico generico. Rappresentazione grafica della relazione
costitutiva di un bipolo adinamico. Cenni sul modello matematico completo di un circuito di
bipoli: leggi delle connessioni ai nodi e alla maglie, e relazioni costitutive. Problema della
ridondanza delle equazioni delle connessioni.
1.3 Potenza e convenzioni.
Versi di riferimento delle tensioni e delle correnti di lato. Convenzione dell’utilizzatore e del
generatore. Considerazione preliminare sul cambiamento della equazione descrivente la
relazione costitutiva in funzione della convenzione: esempio del resistore.
Definizione di potenza assorbita ed erogata da un bipolo. Formule della potenza assorbita
ed erogata per le convenzioni dell’utilizzatore e del generatore. Esempio preliminare:
potenza assorbita ed erogata da un resistore. Definizione di energia assorbita ed erogata
da un bipolo e legame con la potenze assorbite ed erogate.
1.4 Unità di misura.
Unità di misura delle principali grandezze elettriche: Ampère, Volt, Watt, Joule, Ohm e
mho.
2 Topologia dei circuiti di bipoli e leggi di Kirchhoff
2.1 Introduzione
Topologia ovvero studio sistematico delle connessioni in un circuito mediante metodi
topologici. Problema principale: la selezione di equazioni per le connessioni che siano
linearmente indipendenti.
2.2 Elementi di teoria dei grafi.
Definizione di Grafo e sottografo. Grafi connessi e non connessi. Nodi semplici e nodi non
semplici. Ordine del nodo.
Definizione di maglia per grafi di circuiti di bipoli: sottografo connesso costituito da lati e
nodi in cui tutti i nodi sono semplici. Definizione di insieme di taglio come insieme di lati
selezionato mediante un “taglio” del grafo.
Albero e coalbero.
Maglie fondamentali e insiemi di taglio fondamentali.
Grafi planari ed anelli come maglie elementari.
Insiemi di taglio associati ai nodi.
Orientazione delle maglie e degli insiemi di taglio.
Leggi di composizione (somma) delle maglie e degli anelli
Specificazione del grafo per via algebrica: matrice di incidenza di nodo e matrice di
incidenza di nodo ridotta. Matrice di incidenza delle maglie. Matrice di incidenza maglie
fondamentali e matrice di incidenza degli anelli per i grafi planari.
Dualità nella teoria dei grafi.
2.3 Leggi di Kirchhoff (LK)
Legge di Kirchhoff alle correnti (LKC): la somma algebrica delle correnti dei lati di un
insieme di taglio è nulla.
Legge di Kirchhoff alle tensioni (LKT): la somma algebrica delle tensioni dei lati di una
maglia è zero.
Indipendenza delle LK. Il numero di LKC linearmente indipendenti è n-1. Il numero delle
LKT linearmente indipendenti è b-(n-1) , dove b è il numero di lati (bipoli) del circuito.
LKT linearmente indipendenti sono quelle agli insiemi di taglio fondamentali.
Scrittura pratica delle LKC indipendenti: LKC ai nodi eccetto uno.
Uso della matrice di incidenza di nodo ridotta.
LKT linearmente indipendenti sono quelle alle maglie fondamentali.
Scrittura pratica delle LKT indipendenti per grafi planari: LKT a tutti gli anelli tranne quello
esterno.
Dualità nelle LKT e LKC.
Bipoli in serie e Bipoli in parallelo. Semplificazioni in presenza di bipoli in serie e parallelo
(nodi semplici e maglie composte da soli due lati).
Correnti di maglia e potenziali di nodo e loro legame topologico e algebrico con le tensioni
di lato e le correnti di lato.
Teorema di Tellegen. Principio di conservazione delle potenze virtuali.
3 Caratterizzazione e classificazione dei bipoli
3.1 Classificazione dei bipoli
Bipoli adinamici e dinamici.
Bipoli lineari e non lineari.
Bipoli controllati in tensione e controllati in corrente.
Bipoli tempo-varianti e tempo-invarianti
Bipoli passivi e bipoli attivi
Esempi.
3.3 Bipoli adinamici
Funzione caratteristica di un bipolo adinamico e sua rappresentazione grafica.
Studio delle proprietà del Bipolo in base alla rappresentazione grafica.
Condizioni per la passività di un bipolo adinamico: potenza assorbita sempre non negativa.
Esempio di bipolo adinamico, non lineare, passivo e tempo invariante: il diodo.
Bipoli adinamici lineari: resistore (resistenza e conduttanza), generatore ideale di tensione
e di corrente, corto circuito e circuito aperto, bipolo interruttore. Simboli dei bipoli lineari
adinamici e rappresentazioni grafiche delle loro relazioni costitutive.
Studio mediante la rappresentazione grafica della relazione costitutiva della controllabilità
in tensione e corrente dei bipoli lineari adinamici
3.4 Bipoli dinamici
Relazione costitutiva dei bipoli dinamici: condensatori e induttori.
Simboli grafici. Passività dei bipoli dinamici. Bipoli conservativi. Energia immagazzinata e
legame con l’energia assorbita.
3.5 Strumenti di misura ideali per reti adinamiche
Misurazione della tensione, della corrente e della potenza.
Voltmetri, Amperometri e Wattmetri ideali.
4 Reti di bipoli lineari adinamici.
4.1 Equazioni algebriche lineari associate a circuiti di bipoli lineari adinamici.
Equazioni lineari della rete: sistema lineare costituito dai b equazioni lineari date dalle LKC
e LKT più b equazioni lineari date dalle relazioni costitutive. Risoluzione del sistema
mediante il metodo di sostituzione gaussiana. Cenni sui metodi numerici di risoluzione.
Considerazioni preliminari sui i metodi di risoluzione basati sulla suddivisione della rete in
sottoreti e sulla semplificazione. Concetto di equivalenza tra bipoli. Teorema di
sostituzione.
4.2 Resistenze in serie e parallelo
Resistenza equivalente di resistenze in serie e partitore di tensione.
Resistenza equivalente a resistenze in parallelo e partitore di corrente.
Formule in termini di resistenze e formule in termini di conduttanze e loro dualità.
4.3 Principio di Sovrapposizione degli effetti e teoremi di Thevenin/Norton
Principio di sovrapposizione degli effetti.
Teorema del generatore equivalente di Thevenin. Tensione a vuoto e resistenza
equivalente.
Teorema del generatore equivalente di Norton. Corrente di corto circuito e resistenza
equivalente.
Equivalenza di un generatore tipo Thevenin ed un genetore tipo Norton. Esempi di
applicazioni.
Rappresentazione grafica delle relazioni costitutive dei generatori tipo Thevenin e Norton.
4.4 Risoluzioni reti con topologia elementare
Reti lineari con una sola maglia: formula risolutiva.
Reti lineari con un solo insieme di taglio. Formula di Millman. Generalizzazioni della
formula di Millmann
4.5 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali.
Metodo dei potenziali di nodo. Imposizione automatica della LKT. Scrittura equazioni
lineari con potenziali di nodo. Struttura matrice dei coefficienti. Analisi di nodo modificata
in presenza di rami che contengono solo generatori di tensione.
Metodo delle correnti di maglia o di anello. Imposizione automatica della LKC. Scrittura
equazioni lineari in termini delle correnti di maglia. Struttura matrice dei coefficienti.
4.6 Principio di conservazione delle potenze
Applicazioni del teorema di Tellegen alle reti di bipoli lineari. Bilancio delle potenze: la
somma delle potenze erogate coincide con la somma delle potenze assorbite.
4.7 Proprietà di non amplificazione
Teoremi di non amplificazioni delle correnti e delle tensioni.
5 Introduzione alle reti lineari dinamiche e concetti di regime e transitorio.
5.1 Modello matematico dei circuiti dinamici lineari
Variabili di stato e loro continuità. Ordine del circuito. Considerazioni generali
sull’equazione differenziale che deve soddisfare una qualsiasi tra tensioni e correnti del
circuito.
5.2 Richiami della teoria delle equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti.
Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti di ordine N.
Decomposizione della soluzione: integrale particolare ed integrale dell’equazione
omogenea associata. Derivazione dell’integrale dell’equazione differenziale omogenea
associata. Polinomio caratteristico e frequenze naturali.
5.3 Definizione di regime e transitorio
Se le frequenze naturali hanno tutte parte reale negativa la parte della soluzione relativa
all’equazione omogenea associata tendono a zero: questo permette di associare
all’integrale particolare il significato di soluzione di regime e alla soluzione generale
dell’equazione omogenea associata il significato di transitorio. Esempi di regimi: regime
stazionario e regime sinusoidale.
6 Reti lineari in regime sinusoidale
6.1 Nozioni preliminari e richiami sui numeri complessi
Funzioni periodiche: periodo, valore medio e valore efficace. Caso delle funzioni
sinusoidali.
Numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Forma cartesiana. Ampiezza e fase di
un numero complesso. Forma polare. Formule passaggio dalla forma cartesiana a quella
polare. Piano di Gauss. Esponenziale di un numero complesso. Esponenziale di un numero
immaginario puro e formula di Eulero. Forma esponenziale di un numero complesso.
Regole di De Moivre. Rappresentazione sul cerchio unitario nel piano di Gauss. Moto
circolare uniforme nel piano di Gauss mediante formula di Eulero. Moto armonici come
proiezioni dei moti circolare uniformi. Coniugato di un numero complesso e sua
interpretazione geometrica. Parte reale e parte immaginaria del prodotto di un numero
complesso per il coniugato di un secondo numero complesso. Intepretazione in termini di
prodotto scalare e vettoriale.
6.2 Metodo dei fasori
Corrispondenza biunivoca dello spazio vettoriale delle funzioni sinusoidali di data frequenza
con ampiezza e fase arbitrarie, con il piano di Gauss. Fasore come numero complesso
rappresentativo di una funzione sinusoidale. Proprietà della rappresentazione fasoriale:
biunivocità, linearità, regola di derivazione. Diagrammi fasoriali e somma dei fasori con la
regola del parallelepipedo.
6.3 Circuito simbolico e suo modello matematico. Impedenze
Riscrittura in termini di fasori del modello matematico di una rete dinamica composta da
bipoli passivi lineari tempo invarianti (resistori, condensatori, induttori) e da generatori
ideali di tensione e corrente sinusoidali con la stessa frequenza. LKT ed LKC in termini di
fasori. Relazione costitutiva in termini di fasori dei bipoli dinamici passivi tempo invarianti.
Concetto di impedenza e di ammettenza. Impedenza ed ammettenze del resistore, del
condensatore e dell’induttore. Reattanza. Impedenze generiche. Angolo di sfasamento tra
tensione e corrente associati ad una impedenza generica. Diagramma fasoriale di tensione
e corrente associate ad una impedenza.
Estensione dei risultati validi per reti adinamiche ai circuiti simbolici. Topologia dei circuiti
simbolici. Serie e parallelo di impedenze e di ammettenze. Trasformazione triangolo-stella
per le impedenze. Teorema di sovrapposizione degli effetti, teorema di Thevenin-Norton.
Formula di Millman. Metodi di risoluzione basati su potenziali nodali e correnti di maglia.
Strumenti di misura ideale in regime sinusoidale. Voltmetri amperometri a valore efficace e
Wattmetri.
6.4 Risonanza
Circuito risonante RLC serie e parallelo. Analogia con la risonanza in un sistema
meccanico. Risposta in frequenza. Frequenza di risonanza, fattore di qualità, larghezza di
banda e legame con fattore di qualità. Cenni sul concetto di banda passante. Cenni sullo
studio degli effetti del circuito su un segnale periodico mediante la serie di Fuorier e la
sovrapposizione degli effetti. Studio del circuito in condizioni di risonanza. Non validità
della non amplificazione dei valori efficaci di tensioni e correnti nei circuiti in regime
sinusoidali. Bipoli equivalenti a reattanze in risonanza serie e parallelo. Diagramma
fasoriale circuiti risonanti. Studio nel dominio del tempo del circuito risonante non
dissipativo: soluzione particolare divergente linearmente.
6.5 Potenza in regime sinusoidale
Potenza istantanea assorbita da un bipolo in regime sinusoidale. Potenza media.
Definizione di potenza complessa assorbita. Potenza attiva (coincidente con la Potenza
media) e potenza reattiva. Fattore di potenza. Potenza apparente. Potenza complessa
assorbita dai bipoli passivi fondamentali.
Teorema di Tellegen per circuiti simbolici.
Principio di conservazione delle potenze attive e reattive.
6.6 Rifasamento
Problema dei carichi con basso fattore di potenza. Rifasamento del carico e
determinazione del valore della capacità del condensatore di rifasamento per ottenere un
dato fattore di potenza.
7 Reti trifase
7.1 Introduzione
Introduzione alle applicazioni delle reti trifase nella rete di generazione e distribuzione
dell’energia elettrica. Cenni sulla generazione di tensioni trifase simmetriche mediante l’uso
dell’alternatore. Principio di funzionamento dell’alternatore.
Triangolo delle tensioni. Tensioni stellate (o di fase) e concatenate (o di linea).
Cenni sul sistema elettrico di generazione e distribuzione dell’energia elettrica: bassa,
media e alta tensione.
7.2 Rete trifase semplice
Rete trifase a tre fili composta da generatore trifase simmetrico collegato a tre impedenze
a stella o triangolo. Risoluzione mediante la formula di Millman. Spostamento del centro
stella. Problematiche relative allo spostamento del centro stella. Reti trifase a quattro fili.
Reti trifase semplici con carichi equilibrati. Riduzione a rete monofase equivalente.
7.3 Rete trifasi generali a tre fili con carichi equilibrati
Reti trifase con carichi equilibrati con due o più carichi. Unicità del centro stella e riduzione
al monofase equivalente. Carichi trifase in serie e in parallelo.
7.4 Potenza nelle reti trifase
Potenza attiva e reattiva nelle reti trifase. Misurazione delle potenze mediante inserzione
Aron per carichi generici. Inserzione Aron nel caso di carichi equilibrati: misurazione
simultanea di potenza attiva e reattiva. Wattmetri in quadratura.
8 Elementi a più terminali e Doppi bipoli
8.1 Generalità e definizioni preliminari
Elementi a più di due terminali, n-poli. Variabili descrittive di un n-polo. Condizioni di porta
e definizione di M-porte o M-bipolo. Doppi bipoli. Importanza dei doppi bipoli nelle
applicazioni.
8.2 Trasformatore ideale
Doppio bipolo trasformatori ideale. Relazioni costitutive, primario e secondario.
Cenni sulla realizzazione fisica di un trasformatore: avvolgimenti accoppiati su un nucleo
ferromagnetico. Condizioni di idealità: accoppiamento perfetto e permeabilità infinita.
Proprietà fondamentali: trasparenza alle potenze e trasporto di impendeza. Trasporto dal
primario al secondario (o viceversa) di generatori Thevenin-Norton. Uso del trasformatore
per ridurre influenza impendeza di linea nelle reti di distribuzione.
8.3 Doppi bipoli adinamici lineari.
Doppi bipoli costituiti da resistenze, generatori di tensione e generatori di corrente.
Teorema di Thevenin-Norton per i doppi bipoli.
Doppi bipoli adinamici lineari controllati in tensione. Matrice delle conduttanze e sue
proprietà. Correnti di corto circuito
Doppi bipoli adinamici lineari controllati in corrente. Matrice delle resistenze e sue
proprietà. Tensioni a vuoto.
Doppi bipoli adinamici lineari controllati da un corrente e da una tensione. Matrici ibride e
loro proprietà.
Esempi.
9 Reti dinamiche del I e del II ordine
9.1 Reti del primo ordine.
Riduzione a forma semplice mediante equivalente di Thevenin/Norton della sottorete
adinamica collegata al bipolo dinamico. Circuiti RL ed RC. Costanti di tempo nei circuit RL
ed RC.
9.2 Reti del secondo ordine.
Schematizzazione della rete come un doppio bipolo adinamico lineare con le due porte
collegate con i due bipoli dinamici.
Derivazione delle equazioni di stato mediante scrittura della relazione costitutiva del
doppio bipolo adinamico. Circuiti del secondo ordine RLL, RCC ed RLC. Forma generale
dell’equazione di stato. Circuito resistivo associato. Risoluzione dell’equazione omogenea
associata. Frequenze naturali, costanti di tempo e diversi comportamenti qualitativi del
transitorio. Dimostrazione che le frequenze naturali hanno sempre parte reale negativa.
Scrittura della soluzione generale della rete. Determinazione condizioni iniziali di tutte le
tensioni e le correnti della rete mediante continuità delle variabili di stato e circuito
resistivo associato. Determinazione constanti incognite nell’integrale generale mediante
imposizione condizioni iniziali.
Testi di riferimento
Massimiliano De Magistris, Giovanni Miano, ‘Circuiti’, Springer Verlag 2007
Giulio Fabricatore, ‘Elettrotecnica e applicazioni’, Liguori 1995
Modalità di Esame
L'esame consiste in una prova scritta ed una orale.
Nella prova scritta, che ha una durata di 3 ore e nella quale non è consentito consultare
alcun testo nè utilizzare alcun dispositivo eccetto la calcolatrice, viene richiesto alla
studente di risolvere obbligatoriamente tre esercizi e facoltativamente un quarto. Gli
esercizi obbligatori sono del seguento tipo: circuito in regime stazionario, circuito in regime
sinusoidale e rete trifase. L'esercizio facoltativo è sul calcolo del transitorio in un circuito
del primo o del secondo ordine.
Il punteggio che il docente assegna al compito scritto dopo la correzione si basa solo sulla
risoluzione dei primi tre esercizi. Ad ognuno di questi viene dato un punteggio da 0 ad 8, e
quindi il punteggio massimo al compito è 24. I compiti sufficienti sono quelli a cui è
assegnato un punteggio di almeno 18.
La prova orale si svolge generalmente il giorno stesso o il giorno successivo alla prova
scritta. Nella prima parte della prova orale verranno chiesti allo studente argomenti di base
del corso al fine di verificare che lo studente abbia la capacità di applicare i concetti e le
definizioni necessari a svolgere la prova scritta. Se lo studente passa questa preliminare
verifica, gli verrà proposto un voto dal 18 al 24 in base al punteggio del compito e
all'andamento della prima parte dell'orale. A questo punto lo studente può accettare il voto
o chiedere di proseguire l'esame per accedere ad una valutazione superiore a 24. In
questa seconda fase verranno fatte domande inerenti sia ad eventuali parti non svolte nel
compito scritto (compreso il quarto esercizio) sia ad argomenti di teoria. Se lo studente ha
già svolto il quarto esercizio questo verrò discusso e valutato in questa seconda fase
dell'orale.
