CAPITOLO 3
Parallelismo e perpendicolaritaÁ nel piano
1. L'UTILIZZO DEGLI SLIDER E IL PARALLELISMO CON GEOGEBRA
Uno slider eÁ un numero, oppure un angolo, il cui valore puoÁ variare in un fissato intervallo a, b assumendo valori
che, a partire da a, vengono incrementati di un passo costante fino a b.
Per esempio, se si fissa come intervallo 1,4 e il passo di incremento eÁ 0,5, i valori che lo slider assume sono
1
1,5
2
2,5
3 3,5
4
Uno slider viene usato quando si vuole far dipendere
una costruzione da un parametro variabile.
L'attivazione di questo strumento avviene con il comando 10-Slider che fa aprire una finestra di dialogo
come quella in figura.
In essa si deve:
l
l
l
specificare se il parametro variabile eÁ un numero
oppure un angolo
dare un nome al parametro
completare la scheda Intervallo indicando il valore
minimo e il valore massimo dell'intervallo e il passo di incremento.
L'aspetto grafico di uno slider eÁ un segmento con un punto mobile in evidenza; la sua posizione orizzontale o
verticale nella Vista Grafica puoÁ essere fissata dalla scheda Slider che si trova a fianco di quella Intervallo.
La scheda Animazione, quando eÁ attivata, consente di fissare le modalitaÁ di variazione automatica del parametro
in modo che sia Oscillante (da a a b e viceversa), Crescente (sempre da a verso b), Decrescente (sempre da b
verso a).
Facendo scorrere il punto mobile mediante trascinamento in avanti e indietro, si ottengono le variazioni programmate del parametro.
Esercitazione 1. Uso di uno slider applicato ai triangoli rettangoli
Vogliamo disegnare un triangolo rettangolo avente un angolo acuto di ampiezza variabile fra 0 e 90 e osservare
come si modifica la lunghezza del lato ad esso opposto.
Per disegnare il triangolo rettangolo costruiamo un segmento AB e una retta r ad esso perpendicolare passante
per A.
Supponiamo poi che l'angolo di ampiezza variabile sia quello di vertice B; costruiamo lo slider in questo modo:
± attiviamo lo strumento 10-Slider e clicchiamo in un punto della finestra grafica
± spuntiamo la casella Angolo
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Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
1
± nella casella Nome attribuiamo allo slider il nome (si puoÁ scegliere questo simbolo dalla casella a discesa
sulla destra)
± fissiamo come valori minimo e massimo dell'intervallo 0 e 90 e come incremento 10
± confermiamo le scelte fatte cliccando sul pulsante Applica.
Alla conferma, nella Vista Grafica viene disegnato un segmento orizzontale con il punto mobile che indica, ad ogni
spostamento, il valore di assunto in quella posizione.
Disegniamo adesso l'angolo variabile del triangolo con lo strumento 8-Angolo di data misura facendo clic prima
sul punto A, poi sul punto B e indicando come ampiezza (nella finestra di dialogo puoi anche scegliere l'orientamento orario oppure antiorario).
Completiamo il triangolo determinando il punto C di intersezione della retta r con il secondo lato dell'angolo e
ridisegnandolo con lo strumento 5-Poligono.
Nascondiamo tutti gli elementi che sono serviti alla costruzione e lasciamo solo il triangolo.
Muovendo il punto mobile verso destra, l'angolo aumenta la sua ampiezza di 10 ogni volta, muovendolo verso
sinistra diminuisce della stessa quantitaÁ.
In corrispondenza di ciascuna variazione, anche la lunghezza del lato opposto
a questo angolo si modifica; per renderla visibile, apriamo la scheda delle ProprietaÁ relativa al lato AC e, dalla scheda
Fondamentali, in corrispondenza della
voce Mostra etichetta, apriamo il menu
a discesa e scegliamo Nome e valore.
Casi particolari sono quelli estremi:
l
l
quando 0 il triangolo degenera
in due segmenti sovrapposti e la misura del segmento AC eÁ 0;
quando 90 il triangolo non esiste piuÁ perche l'ipotenusa diventa
parallela a uno dei cateti; il triangolo
non viene quindi mostrato e anche
la misura del segmento AC non viene
indicata in quanto questo segmento
non esiste piuÁ.
Esercitazione 2. Verifica del parallelismo
d un angolo convesso e sia P un punto della sua bisettrice; l'asse del segmento PB incontra la semiretta
Sia ABC
AB in D. Ci chiediamo se esiste qualche relazione fra il lato BC dell'angolo e la retta DP.
Costruiamo la figura secondo le indicazioni.
1 Disegniamo un angolo convesso di vertice B (strumento 8-Angolo) e completiamo il disegno rappresentando
le semirette BA e BC.
2 Con lo strumento 4-Bisettrice tracciamo la bisettrice dell'angolo cliccando nell'ordine sui punti A, B, C; viene
disegnata una retta che rappresenta la bisettrice sia dell'angolo convesso che dell'angolo concavo.
3 Usando lo strumento 3-Nuovo punto, prendiamo un punto sulla bisettrice dell'angolo convesso: clicchiamo in
un punto quando, avvicinando il puntatore alla bisettrice, questa cambia spessore. Attraverso la voce Rinomina del menu contestuale diamo nome P al punto.
4 Con lo strumento 3-Segmento tra due punti definiamo il segmento BP cliccando su B e su P.
5 Con lo strumento 4-Asse di un segmento tra due punti tracciamo l'asse di BP.
2
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6 Troviamo poi il punto di intersezione dell'asse con la semiretta BA (strumento 2-Intersezione tra due oggetti) e
chiamiamolo D.
7 Tracciamo infine la retta DP (strumento 3-Retta per due punti).
Per sapere se esiste qualche relazione fra la
retta DP e la semiretta BC usiamo lo strumento
10-Relazione tra due oggetti e clicchiamo sulle
due rette. Si apre a questo punto una finestra di
dialogo nella quale viene comunicato che le
due rette sono parallele.
In modalitaÁ 1-Muovi spostiamo adesso il punto
P lungo la bisettrice e riformuliamo il quesito;
d e, di
modifichiamo l'ampiezza dell'angolo ABC
nuovo, riformuliamo il quesito; le risposte sono
uguali alla precedente. Questo significa che il
fatto di aver trovato due rette parallele non dipende ne dalla posizione del punto P sulla bid
settrice, ne dall'ampiezza dell'angolo ABC.
Quello che abbiamo fatto con questa esercitazione eÁ peroÁ solo una verifica del parallelismo in qualche situazione, non abbiamo cioeÁ dimostrato che le rette BC
d e per qualunque punto P sulla bisettrice; la dimostrazione deve
e DP sono parallele per qualunque angolo ABC
essere condotta mediante un ragionamento rigoroso che puoÁ essere il seguente (dimostrazione della proprietaÁ):
l
l
l
l
4
avendo tracciato l'asse del segmento BP, i segmenti DB e DP sono congruenti e percioÁ DPB eÁ isoscele
d e DPB
d
di conseguenza sono congruenti gli angoli DBP
d e, per la proprietaÁ transitiva, anche DPB
d
d PBC
d PBC
essendo BP la bisettrice, DBP
poiche questi ultimi angoli sono alterni interni rispetto alle rette DP e BC con trasversale BP, possiamo concludere che DP k BC.
2. PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ CON CABRI
Gli strumenti Retta perpendicolare e Retta parallela dell'icona Costruisci
permettono di tracciare la retta perpendicolare oppure quella parallela a una
retta data passante per un punto assegnato.
Nella stessa icona trovi anche lo strumento Asse che permette di tracciare l'asse di un segmento quando eÁ assegnato il segmento oppure due punti che ne
sono gli estremi.
Altri interessanti strumenti di Cabri sono quelli che trovi nell'icona Verifica proprietaÁ rappresentata a lato.
E' immediato capire che cosa fanno questi strumenti; puoi comunque sempre
attivare la guida in linea con il tasto funzione F1 per vedere quali sono gli elementi da selezionare.
Proviamo ad usarli per individuare alcune proprietaÁ delle figure geometriche.
Esercitazione 1. L'asse di un segmento
Abbiamo dimostrato che l'asse di un segmento ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli
estremi del segmento; questa proprietaÁ puoÁ essere verificata con Cabri in questo modo:
l
disegna un segmento AB e traccia il suo asse con lo strumento Asse oppure con gli strumenti Punto medio e
poi Retta perpendicolare
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3
l
l
seleziona un punto qualsiasi P sull'asse con lo strumento Punto su un oggetto
attiva lo strumento Equidistante? e
indica nell'ordine: il punto P, il punto
A, il punto B.
Cliccando con il mouse nel riquadro che
si apre, compare la scritta I punti sono
equidistanti.
Se adesso provi a spostare il punto P lungo la retta asse del segmento, il messaggio non cambia perche i segmenti PA e
PB sono sempre congruenti fra loro; questo messaggio viene in realtaÁ aggiornato
ad ogni spostamento, ma non ce ne accorgiamo perche tutti i punti P hanno la
medesima caratteristica.
Esercitazione 2. Verifica delle proprietaÁ del triangolo isoscele
Disegniamo un triangolo isoscele ABC di base AB con una delle costruzioni che abbiamo imparato a fare nel
precedente capitolo e tracciamo la bisettrice dell'angolo di vertice C seguendo questa procedura:
l
l
attiva lo strumento Bisettrice dall'icona Costruisci
b del triangolo indicando nell'ordine un punto sul lato AC (per esempio il punto A), il vertice
seleziona l'angolo C
C, un punto sul lato BC (per esempio il punto B).
Trova adesso il punto H di intersezione
della bisettrice con la base AB del triangolo (strumento Intersezione di due oggetti). Usando gli strumenti di Verifica
proprietaÁ, puoi verificare che la bisettrice
eÁ perpendicolare alla base (strumento
Perpendicolare?) e che H ne eÁ il punto
medio (strumento Equidistante? indicando H come primo punto e successivamente A e B).
I due messaggi non cambiano anche se
modifichiamo il triangolo variando uno
dei suoi lati o dei suoi angoli (mantenendolo comunque isoscele); questo a conferma del teorema dimostrato che esprime una proprietaÁ di tutti i triangoli isosceli.
Puoi provare adesso a tracciare l'altezza
e chiedere se eÁ anche mediana e bisettrice, oppure a tracciare la mediana e chiedere se eÁ anche altezza e bisettrice.
Esercitazione 3. Riconoscere il parallelismo
Consideriamo un triangolo isoscele ABC di base AB e tracciamo la semiretta del lato AC in modo da prolungare
tale lato dalla parte di C; tracciamo poi la bisettrice dell'angolo esterno di vertice C.
Se osserviamo la figura ottenuta, sembra che la bisettrice cosõÁ costruita sia parallela alla base del triangolo (os-
4
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serva la figura); questa intuizione puoÁ essere verificata con Cabri con lo strumento
Parallelo? indicando come oggetti la base e la retta bisettrice.
Poiche il messaggio che viene comunicato eÁ Gli oggetti sono paralleli, troviamo
conferma alla nostra intuizione e anche
se modifichiamo il triangolo (mantenendolo isoscele) il messaggio non cambia.
La giustificazione di quello che abbiamo
trovato puoÁ essere data in questo modo
(dimostrazione della proprietaÁ):
l
l
d e ECB
d sono congruenti
gli angoli DCE
perche formati dalla bisettrice
d eÁ uguale alla somma di
l'angolo DCB
d con CBA
d per il teorema dell'angoCAB
lo esterno
l
d e CBA
d sono congruenti perche angoli alla base di un triangolo isoscele
gli angoli CAB
l
d CBA
d
quindi, per esempio, ECB
l
di conseguenza le rette CE e AB sono parallele perche formano una coppia di angoli alterni interni che sono
congruenti.
Le macro con Cabri
Gli strumenti fondamentali di Cabri sono sempre disponibili in linea, vale a dire che se vuoi tracciare la parallela o
la perpendicolare ad una retta oppure se vuoi disegnare un triangolo o un poligono, hai giaÁ a disposizione gli
strumenti per farlo.
Altri strumenti, come per esempio, quelli per il trasporto di un segmento e di un angolo devono invece essere
richiamati da una libreria di macroistruzioni che si trova nella cartella Macro di cui abbiamo giaÁ parlato nel primo
capitolo.
Una macroistruzione eÁ in sostanza una procedura per eseguire costruzioni particolari (per esempio per costruire
un triangolo isoscele) che viene memorizzata in un file e che, dopo essere stata richiamata, puoÁ essere utilizzata
come un qualsiasi altro strumento di Cabri.
Allora, visto che alcune costruzioni fondamentali sono sempre utili e che doverle rieseguire ogni volta puoÁ far perdere di vista l'obiettivo di un problema, vale la pena di memorizzarle in una macroistruzione in modo da costruire
pian piano una libreria personale di strumenti.
Riprendiamo allora alcune delle costruzioni che abbiamo giaÁ visto e facciamole diventare degli strumenti di lavoro.
Esercitazione 4. Una macro per costruire un triangolo isoscele
La situazione piuÁ semplice eÁ quella che del triangolo venga assegnata la semiretta della base (in modo che un estremo sia l'origine della semiretta) e il
vertice. Procediamo dunque in questo modo (puoi seguire la costruzione
nello schema della figura a lato):
l
l
l
disegniamo una semiretta di origine A (quella su cui vogliamo che si appoggi la base del triangolo)
disegniamo un punto C non appartenente alla semiretta (quello che vogliamo che sia il vertice del triangolo)
usiamo lo strumento Circonferenza e tracciamo la circonferenza che ha centro in C e passa per A
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Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
5
l
l
usiamo lo strumento Intersezione di due oggetti e troviamo l'ulteriore punto B di intersezione della circonferenza con la semiretta
disegniamo il triangolo che ha vertici nei punti A, B e C.
Il triangolo ottenuto eÁ isoscele perche CA CB; osserviamo che lo strumento Circonferenza ci eÁ servito solo
come strumento di trasporto per individuare il punto B sulla semiretta.
Dobbiamo adesso memorizzare questa procedura in una Macro:
n dall'icona Macro seleziona Oggetti iniziali e clicca prima sulla semiretta di origine A e poi sul punto C
Gli oggetti iniziali sono gli oggetti geometrici da cui si deve partire per fare la costruzione, nel nostro caso la semiretta della base e il vertice:
n sempre dall'icona Macro seleziona adesso Oggetti finali e clicca sul triangolo disegnato
Gli oggetti finali sono quelli che vogliamo vengano disegnati quando richiameremo la macro, nel nostro caso il
triangolo isoscele; gli elementi che sono serviti alla costruzione (la circonferenza ed il punto di intersezione)
non devono essere indicati fra gli oggetti finali a meno che non si voglia che compaiano.
n attiva adesso lo strumento Definizione della Macro; si apre una finestra nella quale si devono inserire alcune
informazioni:
l
l
l
l
Nome della costruzione: eÁ il nome che
viene attribuito allo strumento che stiamo
creando e che compariraÁ nell'icona Macro;
inserisci Triangolo isoscele
Nome per il primo oggetto finale: eÁ il
messaggio che compare sul foglio di lavoro
quando il puntatore si avvicina all'oggetto;
scrivi Questo triangolo isoscele
Messaggio di aiuto per questa macro:
eÁ il messaggio che viene riportato nella finestra di aiuto quando eÁ attiva; eÁ opportuno
dare indicazioni sull'utilizzo della macro,
scrivi quindi: Disegna un triangolo isoscele
assegnando la semiretta della base e il vertice
Devi poi spuntare la casella Salva come file per memorizzare la costruzione e poterla quindi riutilizzare in
successive sessioni di lavoro. La mancata spunta di questa casella consente di usare la macro solo nella
attuale sessione di lavoro; essa viene cancellata quando si esce da Cabri.
Si puoÁ anche associare una password alla macro in modo che solo gli utenti abilitati la possano usare, ma non
eÁ questo il nostro scopo.
Una volta completate queste operazioni devi cliccare sul pulsante OK e, visto che abbiamo scelto di salvare la
macro, dare un nome al file indicando eventualmente anche il percorso; conviene infatti creare una directory
nella quale salvare le macro che costruiremo man mano.
Vediamo adesso come utilizzare il nuovo strumento che abbiamo costruito.
Apri un nuovo foglio di lavoro (menu File/Apri) e accertati che lo strumento Triangolo isoscele sia attivo nel
gruppo dell'icona Macro (attiva anche la finestra di aiuto con il tasto F1); disegna quindi una semiretta e un punto,
seleziona lo strumento e clicca su di essi: nel foglio di lavoro viene disegnato un triangolo isoscele.
Muovendo l'origine della semiretta oppure il vertice puoi variare le dimensioni del triangolo; quello che non puoi
fare eÁ muovere l'altro estremo della base perche questo punto non eÁ libero.
6
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Esercitazione 5. Una macro per costruire un triangolo rettangolo
Costruiamo una macro per disegnare un triangolo rettangolo conoscendo i suoi cateti. Disegniamo dapprima i due cateti a e b e una semiretta r su cui deve giacere
uno dei cateti del triangolo (figura a lato); segui adesso questa procedura:
l
l
l
costruisci la retta perpendicolare a r passante per la sua origine
su tale perpendicolare definisci la semiretta su cui deve giacere il secondo cateto
del triangolo
trasporta i due segmenti sulle due semirette e disegna il triangolo rettangolo.
Per costruire la macro:
l
seleziona come oggetti iniziali i due segmenti a e b e la semiretta r
l
seleziona come oggetto finale il triangolo
l
completa la finestra di definizione della macro (dai il nome Triangolo rettangolo allo strumento) e ricorda di
spuntare la casella Salva come file.
ESERCIZI
1. Crea un nuovo strumento che tracci il segmento che rappresenta la distanza di un punto da una retta e
memorizzalo in modo permanente.
2. Usando lo strumento costruito all'esercizio precedente, verifica che i punti della bisettrice di un angolo sono
equidistanti dai lati dell'angolo.
3. Disegna un triangolo isoscele di base assegnata avente l'altezza variabile in uno specificato intervallo; risolvi
il problema con GeoGebra usando uno slider.
4. Utilizzando GeoGebra, disegna un triangolo con due lati di lunghezza assegnata e un terzo lato variabile tra
1 e 10. Rileva le variazioni dell'ampiezza dell'angolo ad esso opposto.
5. Disegna un triangolo isoscele ABC di base BC e traccia la retta del lato AB; disegna una circonferenza che ha
centro in A e che interseca il lato AC del triangolo in Q e la retta del lato AB in R (R appartiene al prolungamento
di AB dalla parte di A). Nascondi la circonferenza, che eÁ servita solo per disegnare i segmenti AR e AQ congruenti, e traccia la retta RQ. Verifica che tale retta eÁ perpendicolare alla base e spiega qual eÁ il motivo.
6. Usando anche i nuovi strumenti, costruisci un triangolo rettangolo e poi due triangoli isosceli sui cateti ed
esternamente al triangolo; traccia le rette delle altezze relative alla base di ciascuno dei due triangoli isosceli
e verifica che:
a. le rette delle due altezze sono fra loro perpendicolari e sono ciascuna parallela all'altro cateto del triangolo rettangolo
b. il loro punto di intersezione appartiene all'ipotenusa del triangolo.
7. Sono date due rette parallele a e b e una terza retta c; costruisci una procedura per trovare un punto su c
che sia equidistante da a e da b.
8. Dato un triangolo ABC costruisci le bisettrici degli angoli interni del triangolo di vertici B e C; dal vertice A traccia
9.
le parallele a tali bisettrici che incontrano la retta del lato BC nei punti D ed E. Verifica che il segmento DE ha la
stessa lunghezza del perimetro del triangolo e danne una giustificazione rigorosa mediante dimostrazione.
b eÁ il triplo dell'angolo Ab e stabilisci quali sono i limiti entro cui puoÁ
Costruisci un triangolo ABC dove l'angolo B
variare affincheÂ:
a. esista il triangolo;
b. il triangolo sia acutangolo.
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Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
7
1 Si consideri il poligono intrecciato in figura. La somma dei cinque
angoli indicati eÁ uguale a:
a. 90
b. 180
d. 150
e. 210
es. 1
c. 360
b:
b B,
b D,
b quanto vale la somma degli
b C,
2 Conoscendo i quattro angoli A,
b
angoli Eb ed F?
a. Ab Bb Cb Db
b. 1 Ab Bb Cb Db
2
c. 360
Ab
Bb
Cb
Db
d. 360 Ab Bb
Cb
Db
e. non eÁ determinata
a:
es. 2
d e
3 Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC
d e si intersecano in P. Sapendo che APC
d 140 , quanto midi BCA
sura l'angolo in B?
a. 90
d. 120
b. 100
e. 130
c. 110
b:
es. 4
4 Nella figura a fianco, quanto misura l'angolo ?
a. 70
b. 75
c. 80
e. non puoÁ essere determinato coi soli dati forniti
d. 90
c:
5 In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati
e la bisettrice dell'angolo formato dai due lati si incontrano in uno
stesso punto. Possiamo affermare che:
a. non esiste un triangolo con questa proprietaÁ
b. il triangolo eÁ equilatero
c. il triangolo ha un angolo di 30
d. il triangolo eÁ rettangolo
b:
e. il triangolo ha un angolo di 45
d 60 , AEB
d 20 , ACD
d 25 . I
6 Si sa che nella figura a fianco CAE
d
punti E, D, B sono allineati. Qual eÁ la misura di BDC?
a. 75
b. 85
e. le informazioni sono insufficienti
c. 90
d. 105
es. 6
es. 7
a:
7 I triangoli ABC e CDE rappresentati in figura sono equilateri. Se l'and
golo ACE misura 80 gradi, quanti gradi misura l'angolo ABE?
a. 25
d. 40
b. 30
e. 45
c. 35
d:
8 Sei diversi punti sono individuati su due rette parallele: quattro su una e due sull'altra. Quanti sono i
triangoli che hanno per vertici i punti in questione?
a. 18
8
b. 16
c. 12
d. 8
Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
e. 6
b:
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
9 Quanti angoli maggiori di 90 puoÁ avere un quadrilatero (non intrecciato)?
a. ne ha sempre almeno uno
b. ne ha al piuÁ uno
c. ne ha al piuÁ due
d. ne ha al piuÁ tre
e. puoÁ averne quattro
d:
10 In un triangolo ABC l'angolo in C eÁ il triplo dell'angolo in A e l'angolo in B eÁ il doppio dell'angolo in A.
Allora il triangolo eÁ:
a. equilatero
d. rettangolo
b. isoscele non equilatero
e. acutangolo non equilatero
c. ottusangolo
d:
11 In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC, CD sono uguali. Inoltre AC BD AD. Quanto mi72
sura l'angolo in D?
Il quinconce
EÁ domenica pomeriggio e stai percorrendo l'autostrada in auto con i tuoi genitori di ritorno da una giornata sugli
sci. Sei abbastanza stanco e guardi con aria assente fuori dal finestrino. Qualcosa peroÁ cattura la tua attenzione,
lo avrai visto almeno un migliaio di volte nella tua vita ma non ci avevi mai fatto caso. Gli alberi. Da qualunque
parte li guardi sembrano sempre allineati su file parallele, vedi il primo tronco e tutti gli altri sembrano scomparire dietro di lui. Che cosa strana, chissaÁ come avranno fatto a piantarli in modo da dare questo effetto e poi
chissaÁ perche li avranno piantati proprio in quel modo!
Per saperne di piuÁ puoi fare qualche ricerca in rete; quello che trovi eÁ che questo particolare tipo di disposizione
ha un nome: si chiama quinconce.
Questa parola deriva dal latino quincunx-uncis che letteralmente significa cinque once e veniva usata dagli anti5
chi Romani per rappresentare la parte pari ai
di un intero. Per esempio, in astrologia, ma piuÁ raramente in
12
5
astronomia, il quinconce corrisponde ai
di 360 , cioeÁ a un angolo equivalente a 150 che si viene a formare
12
fra due corpi celesti.
Una disposizione a quinconce eÁ rappresentata da un insieme di cinque oggetti, quattro dei
quali sono disposti ai vertici di un quadrato immaginario (oppure un rettangolo) e un quinto
al centro, come i cinque piccoli cerchi che formano il numero 5 sulla faccia di un dado.
Una successione di quinconce daÁ origine a file di oggetti che si dispongono lungo linee parallele diversamente orientate.
Marco Fabio Quintiliano, il maggiore maestro e teorico dell'eloquenza
nell'etaÁ imperiale, scrisse a questo proposito:
Quid [illo] quincunce speciosius, qui, in quamcumque partem
spectaveris, rectus est?
cioeÁ
che cosa c'eÁ di piuÁparticolare del quinconce che, da qualunque
parti lo guardi presenta linee rette?
Questa disposizione viene usata proprio per piantare filari di alberi, dalle viti ai pioppi alle betulle, perche eÁ la sistemazione che
permette di sfruttare al meglio gli spazi; il massimo numero di oggetti che si possono disporre in uno spazio limitato rispettando le
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Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
9
opportune distanze eÁ proprio quello di una disposizione a quinconce. Per questo motivo nelle aziende alimentari anche i biscotti vengono distribuiti a quinconce sulle piastre di cottura.
Nella illuminazione delle strade i lampioni vengono spesso disposti a quinconce sui lati opposti.
La macchina di Galton, un dispositivo statistico che si utilizza per studiare le
distribuzioni casuali di oggetti, usa uno schema a quinconce: una serie di palline vengono fatte scendere da un serbatoio e passano attraverso una serie di
ostacoli disposti nello schema del quinconce e si raggruppano in una serie di
raccoglitori che si trovano alla base; la distribuzione delle palline daÁ sempre
origine a una curva a campana tipica di molti fenomeni casuali.
1 Il triangolo di Tartaglia che viene costruito per determinare i coefficienti dello sviluppo della potenza nesima di un binomio ha uno schema a quinconce. Scrivi lo sviluppo del triangolo e evidenzia questa
caratteristica.
2 Quali fra i seguenti giochi utilizzano nella loro rappresentazione uno schema a quinconce?
a. la dama e gli scacchi
b. il tabellone della tombola
c. le carte da gioco.
3 Una maglia rettangolare eÁ formata da quattro file di sei quadrati ciascuno. In ciascuna delle maglie si
deve mettere un oggetto, rappresentato da un cerchio avente diametro uguale al lato della maglia in modo che nessun oggetto abbia punti in comune con un altro. Qual eÁ il maggior numero di oggetti che eÁ
possibile inserire nello schema? In che modo devono essere inseriti gli oggetti?
4 Inventiamo un gioco. Consideriamo uno schema di sei righe di sei caselle ciascuna, disposte a quinconce (in grigio nella figura) e distribuiamo a caso sulle caselle otto triangoli equilateri rossi e cinque triangoli equilateri neri.
Utilizziamo due dadi di colori diversi: quello bianco indica di quante righe ci si deve spostare in avanti
in un movimento ciclico (una volta arrivati in fondo si ricomincia dalla riga piuÁ in basso), quello nero
indica di quante caselle (quelle grigie) ci si deve spostare di lato verso destra in un movimento ciclico
(una volta arrivati in fondo alla riga si ricomincia dal bordo sinistro).
I due giocatori dispongono i loro segnali (per esempio due graffette o due gessetti colorati) ai due angoli
della riga piuÁ in basso e lanciano a turno i dadi muovendosi in avanti e di lato del numero di caselle
indicate da ciascuno di essi. Quando arrivano a una casella con un triangolo rosso lo acquisiscono come
patrimonio personale, quando arrivano su una casella con un triangolo nero lo lasciano sulla scacchiera
ma devono cedere al giocatore avversario un triangolo rosso. Il gioco termina quando un giocatore acquisisce un numero sufficiente di triangoli equilateri per costruire un esagono.
Costruisci lo schema e prova a giocare.
3 12 oggetti disposti a quinconce
Tema 1 - Cap. 3: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
2 a., c.
10
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