FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott)
Flatlandia 10-22 Dicembre 2012 - Commento alle soluzioni ricevute
Il testo del problema
È dato un quadrato ABCD e sia P il punto medio del lato AB. Si tracci il segmento PC come
indicato in figura. Si mandi poi da D la perpendicolare a PC e sia Q il piede di tale perpendicolare.
a) Che particolarità ha il quadrilatero di vertici A, P, Q, D?
b) Dimostrare che AQ = AD.
Giustificare tutte le risposte.
Commento
Sono giunte dieci risposte così suddivise: cinque da classi seconde di Licei Scientifici, quattro
risposte provenienti da classi terze e una da una classe seconda di Scuola Media (ossia Scuola
Secondaria di I grado) tutte facenti parte dello stesso Istituto Comprensivo.
Il problema poneva due quesiti relativi a una stessa figura costituita da un quadrato contenente al
suo interno due segmenti tra loro perpendicolari e disposti in modo tale da formare un particolare
quadrilatero: nel primo si chiedeva di individuare una particolarità di tale quadrilatero; nel secondo
di dimostrare la congruenza di una diagonale del quadrilatero e del lato del quadrato.
Un buon numero di studenti risponde in modo sostanzialmente corretto al primo quesito,
riconoscendo che il quadrilatero è ciclico, cioè inscrivibile in una circonferenza. Per quanto
riguarda il secondo quesito, abbiamo dovuto rilevare che alcuni basano le loro affermazioni su un
semplice esame della figura, senza fornire le opportune giustificazioni.
Inoltre, come spesso accaduto in passato, molti continuano a confondere un angolo con la sua
ampiezza e un segmento con la sua lunghezza.
Sono pervenute risposte dalle seguenti scuole:
LS “Pitagora”, Rende (CS)
LS “C. Cafiero”, Barletta (BA)
LS “Archimede”, sez. associata di Aci Bonaccorsi (CT)
LS “Aristosseno”, Taranto (TA)
Ist. Comp. “G. Deledda”, Ginosa (TA)
NOTA. Nelle soluzioni riportate, le correzioni, le aggiunte o i commenti sono scritti fra parentesi
quadre. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.
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Soluzioni
Asia Cosentino, Carmela Perri, Debora Saullo, Classe 2A
Liceo Scientifico “Pitagora”, Rende (CS)
a)
Il quadrilatero APQD è inscrittibile in una circonferenza poiché la somma [delle ampiezze] degli
e B AD misura [vale] 180° in quanto:
angoli opposti PQD
≅ π [l’ampiezza di PQD
vale 90°] perché DQ ⊥ PC [è opportuno decidere inizialmente se le
PQD
2
ampiezze sono espresse in gradi o radianti]
B
AD ≅ π [l’ampiezza di B AD ] perché [ B AD è un] angolo retto del quadrato ABCD.
2
b)
Consideriamo i triangoli
e
. Essi hanno:
perché è il punto medio di
perché lati del quadrato
perché angoli retti del quadrato
I due triangoli sono dunque congruenti per il primo criterio di congruenza. Di conseguenza:
Inoltre in riferimento alla circonferenza di centro :
perché sono angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco e per la proprietà
≅ C PB
]
transitiva [della relazione di congruenza fra angoli]
[ AQD
perché sono angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco
perché sono angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco
per il teorema dell’angolo esterno
2
Poiché
,
e
è isoscele perché ha gli angoli alla base
sono congruenti.
allora
e
, di conseguenza il triangolo
congruenti, quindi i segmenti
e
Michele Arcangelo Damato, Michele Montatore, Classe 2C
Liceo Scientifico Statale “Carlo Cafiero”, Barletta (BA)
a)
Il quadrilatero APQD è inscrivibile in una circonferenza, perché gli angoli α e β sono entrambi retti,
poiché ABCD è un quadrato e quindi α è retto, mentre QD è la perpendicolare al segmento PC,
perciò anche β è retto. La somma [delle ampiezze] dei due angoli è 180°, quindi anche la somma
[delle ampiezze] degli altri due angoli interni del quadrilatero APQD sarà 180°. Tutto ciò, per la
condizione di inscrivibilità di un quadrilatero, implica che APQD è inscrivibile in una
circonferenza.
b)
[[…]]
Angelo Dimalta, Giuseppe Giannini, Tommaso Monopoli, Marcello Santoro, Classe 2C
Liceo Scientifico Statale “Carlo Cafiero”, Barletta (BA)
3
a)
Ipotesi: ABCD quadrato, AP ≅ PB, ampiezza PQD = 90°
{ampiezza angolo BAD = 90° (per definizione di quadrato); ampiezza angolo DQP = 90° (per
ipotesi)} ⇒ ampiezza angolo PAD + ampiezza DQP = 180° ⇒ quadrilatero APQD inscrivibile in
una circonferenza (perché avente angoli opposti supplementari).
b)
Ipotesi: ABCD quadrato, BP ≅ PA, ampiezza PQD = 90°, APQD inscrivibile in una circonferenza.
Tesi: AQ ≅ AD.
Dimostrazione:
{angolo DPC angolo DAQ (α), angolo APD angolo AQD (β), angolo PAQ angolo PDQ
(X), angolo ADP angolo AQP (Y)} (perché angoli alla circonferenza che insistono su archi
congruenti)
Considero i triangoli PBC e PAD
{AD BC (perché lati del quadrato ABCD); AP PB (per ipotesi); angolo ABC angolo BAD
(perché angoli retti) }⇒ (per primo criterio di congruenza) triangolo PCB triangolo PDA ⇒
4
PC PD (perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti) ⇒ triangolo DPC isoscele e
angolo PCB angolo PDA (Y)
Ampiezza angolo PDC = ampiezza angolo PCD (perché angoli alla base del triangolo isoscele
DPC) ed anche uguali a β perché complementari di angoli congruenti, cioè Y
Ampiezza angolo PDC = 180° − (α+β) (poiché la somma [delle ampiezze] degli angoli interni di un
triangolo è uguale a 180° e l’ampiezza di qualsiasi angolo è uguale alla differenza fra 180° e le
ampiezze degli altri due) ed uguale a β (perché angoli alla base di un triangolo isoscele)
Ampiezza angolo ADQ = 180° − (α+β) (poiché la somma [delle ampiezze] degli angoli interni di un
triangolo è uguale a 180° e l’ampiezza di qualsiasi angolo è uguale alla differenza fra 180° e le
ampiezze degli altri due) ⇒ ampiezza angolo ADQ = ampiezza angolo PDC (perché uguali a
180° − (α+β), ovvero β)
{Ampiezza angolo AQD = β (per dimostrazione), ampiezza angolo ADQ = β (per dimostrazione) }
⇒ triangolo ADQ isoscele ⇒ AD AQ (per definizione di triangolo isoscele)
c.v.d.
Raffaele Sessa, Classe 2BA
Liceo Scientifico “Archimede”, sez. associata Aci Bonaccorsi (CT)
a)
[[….]]
b)
[[…]]
Classe 2H, Liceo Scientifico “Aristosseno”, Taranto (TA)
a)
Effettuata la costruzione della figura, osserviamo che il quadrilatero APQD è inscrittibile in una
circonferenza in quanto ha gli angoli opposti supplementari .
Infatti i due angoli opposti PAD e PQD sono retti e quindi supplementari; ne segue che anche gli
altri due angoli APQ e ADQ sono supplementari, in quanto la somma [delle ampiezze] degli angoli
interni di un quadrilatero è pari a 360°. Il diametro della circonferenza circoscritta al quadrilatero è
la diagonale PD del quadrilatero, in quanto i due suddetti angoli retti sono inscritti ciascuno in una
semicirconferenza, ed il suo centro è ovviamente il punto medio di PD.
5
b)
Osserviamo anzitutto che, essendo P il punto medio del lato AB del quadrato, i triangoli rettangoli
PAD e PBC sono congruenti, avendo congruenti i due cateti. Indichiamo con a e b [le ampiezze
degli] gli angoli acuti (complementari) di questi due triangoli e notiamo che [per le ampiezze degli]
gli angoli [risulta]:
[ampiezza] AQD = [ampiezza] APD = b e [ampiezza] ADP = [ampiezza] PQA = a
in quanto sono angoli alla circonferenza che insistono i primi sull’arco AD e i secondi sull’arco AP.
Dalla congruenza delle ipotenuse dei triangoli rettangoli PAD e PBC segue inoltre che il triangolo
CPD è isoscele sulla base DC. Poiché l’angolo PCD è complementare [di PCB] di [ampiezza] a,
esso [[è congruente]] [ha ampiezza pari] a b ([ampiezza] PCD = b) ed essendo il triangolo CPD
isoscele anche [ampiezza] PDC = b. Ma allora [ampiezza] AQD = [ampiezza] PDC = b e ciò
implica che il triangolo AQD è isoscele sulla base DQ, ovvero AQ =AD [ AQ = AD ]. [Questa
affermazione andrebbe giustificata meglio].
Maria Federica Catania, Simona Mongelli, Classe 2A
Istituto Comprensivo “G. Deledda”, Ginosa (TA)
a)
[[…]]
b)
[[…]]
Classe 3A, Istituto Comprensivo “G. Deledda”, Ginosa (TA)
a)
[[…]]
b)
[[…]]
6
Classe 3B, Istituto Comprensivo “G. Deledda”, Ginosa (TA)
a)
Il quadrilatero APQD risulta inscrivibile in una circonferenza in quanto la somma [delle ampiezze]
degli angoli interni opposti risulta di [pari a] 180°; infatti [ampiezza] P D + [ampiezza] P D =
180° e [ampiezza]A Q + [ampiezza] A Q = 180° (Ricordiamo che la somma [delle ampiezze]
degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360°).
b)
Tracciamo il segmento
[AF] parallelo al segmento
[PC]. [F sta sul quadrato? AF è un
diametro?]
Poiché l’angolo alla circonferenza A F misura 90° (angolo interno del quadrato) è un angolo che
insiste sulla semicirconferenza il cui diametro corrisponde al segmento
anche l’angolo A F, che sottende la stessa corda
[AF]. Di conseguenza
[AF], misura 90°.
7
Essendo
⁄⁄
[AF PC], poiché
[DQ ⊥ PC] ne consegue che
[DQ ⊥ AF]. L’angolo A Q misura 90° e il [la retta sostegno del] segmento
⊥
[AF] rappresenta
l’asse della corda
[DQ] [perché?] per cui
=
.
I triangoli ADG e AGQ sono congruenti per il II principio [criterio] di congruenza dei triangoli:
hanno infatti il cateto
[AG] in comune, il cateto
[GQ] congruente al cateto
[GD] e
l’angolo tra essi compreso congruente, cioè [ampiezza] A Q = [ampiezza] A
Si può pertanto concludere che
=
= 90°.
.
Classe 3C, Istituto Comprensivo “G. Deledda”, Ginosa (TA)
a)
Consideriamo il quadrilatero APQD, di cui sappiamo che
e [ampiezza]
per
costruzione. Possiamo subito osservare che il quadrilatero APQD ha due angoli opposti
sono pari a
supplementari, infatti le ampiezze degli angoli [[
]] [ P AD e PQD
90°], allora anche gli altri due angoli opposti
saranno supplementari, perché la somma
[delle ampiezze] degli angoli interni di un quadrilatero è sempre 360°.
Pertanto il quadrilatero APQD sarà inscrivibile in una circonferenza, il cui centro O sarà il
circocentro, ottenuto tracciando gli assi relativi ai quattro lati del quadrilatero APQD.
b)
Abbiamo pensato di utilizzare il compasso per verificare che
puntato sul punto A e abbiamo tracciato una circonferenza di raggio
punto Q è appartenente alla circonferenza, quindi
.
. Il compasso lo abbiamo
. Abbiamo notato che il
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Dobbiamo ora dimostrare quanto detto sopra.
Se
, allora il triangolo AQD è un triangolo isoscele e quindi le ampiezze degli angoli alla
= ampiezza QDA
].
base dovranno essere congruenti [uguali]:
[ampiezza AQD
Se
[intesa come uguaglianza delle ampiezze], allora
[intesa come
uguaglianza delle ampiezze] (perché
[intesa come somma e
uguaglianza delle ampiezze]).
Per dimostrare questo abbiamo tracciato una retta parallela a AD e passante per il punto P, abbiamo
chiamato F il punto di intersezione tra la retta r e l’asse relativo al segmento PQ e il e M il punto di
intersezione tra la retta r e il segmento CD. [QF passa per A?]
Notiamo che il triangolo PQF è un triangolo isoscele, infatti
perché ogni punto dell’asse è
equidistante dagli estremi del segmento PQ. Possiamo pertanto affermare che le ampiezze degli
angoli
sono congruenti [uguali], perché angoli alla base di un triangolo isoscele.
Inoltre
e
[intese come uguaglianze delle ampiezze] perché alterni
interni rispetto ai segmenti [BC//PM e] BP//CM [alle rette sostegno dei segmenti BP e CM] tagliati
[tagliate] dalla trasversale PC.
Consideriamo i triangoli rettangoli PCM e DQC, retti rispettivamente in M e in Q; questi due
triangoli hanno in comune l’angolo
e di conseguenza le ampiezze
[degli angoli
C PM e QDC sono uguali].
Possiamo concludere che:
, quindi
[intese come uguaglianze delle ampiezze]
pertanto
. c.v.d.
9
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Classe 3D, Istituto Comprensivo “G. Deledda”, Ginosa (TA)
a)
Per dimostrare questo punto abbiamo effettuato osservazioni sulle ampiezze degli angoli del
quadrilatero APQD.
Abbiamo constatato che l’angolo [gli angoli] PAˆ D e DQˆ P sono entrambi retti, perché il primo
corrisponde ad un angolo al vertice del quadrato ABCD (dato dal problema) e il secondo è stato
ottenuto tracciando la perpendicolare a PC (dato del problema).
Sulla base di queste informazioni risulta che se gli angoli opposti (nel vertice A e nel vertice Q)
sono supplementari (cioè la somma [delle ampiezze] è pari a 180°), allora anche gli altri due angoli
opposti (nel vertice D e nel vertice P) saranno supplementari (pertanto [in quanto] la somma [delle
ampiezze] degli angoli interni di un quadrilatero risulterà [risulta] pari a 360°). Quando ciò si
verifica un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza.
Pertanto, la particolarità che abbiamo osservato per il quadrilatero di vertici A, P, Q, D, è che risulta
inscrivibile in una circonferenza.
Successivamente, per confermare [verificare] le nostre osservazioni [e deduzioni], abbiamo
costruito la circonferenza circoscritta al quadrilatero APQD, ottenuta individuando il centro O della
circonferenza, tracciando gli assi dei lati del quadrilatero (che si incontrano nel circocentro del
poligono che coincide con il centro della circonferenza).
b)
[[…]]
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