Algebre di Vertice, moonshine, identita di
Rogers-Ramanujan: una breve panoramica.
Stefano Capparelli
Me.Mo.Mat.
SUNTO. Le algebre di vertice costituiscono un nuovo tipo di struttura algebrica
che puo essere pensata come un analogo algebrico della teoria sica dei campi
conformi in dimensione due. In matematica tale struttura e scaturita dalla teoria
delle rappresentazioni di algebre di Lie aÆni e svolge un ruolo importante nella
dimostrazione del fenomeno "moonshine" che mette in relazione forme modulari e il
piu grande gruppo semplice sporadico, il cosiddetto Mostro. E inoltre strettamente
collegata alla teoria di alcune identita combinatorie di cui il prototipo e la classica
identita di Rogers-Ramanujan.
Il tono di questa panoramica e, in alcuni punti, volutamente informale.
1. Rogers-Ramanujan. Una delle identita di Rogers e Ramanujan e la seguente
(1)
Y
(1 q
m1
m
5
4
) (1 q
1
5
m
1
)
1
X
2
qn
=
2
n
n0 (1 q )(1 q ) (1 q )
Se sviluppiamo in serie di potenze ambo i lati otteniamo qualcosa del tipo
X
(2)
j 0
aj q j =
X
j 0
bj q j
Allora l'identita e equivalente a dire che
aj = bj
(3)
per qualunque j
(1) e
(4)
0. E interessante capire chi sono aj e bj . Il primo membro di
(1 + q + q 2 + : : : )(1 + q 4 + q 8 + : : : )(1 + q 6 + q 12 + : : : ) 1
2
e il coeÆciente aj di q j e ottenuto prendendo alcune copie di 1, alcune copie di 4,
alcuni 6, etc.
Per esempio: a6 = 3 perche q 6 si puo ottenere come q 6 1 1 oppure q 2 q 4 1
oppure 1 1 q 6 .
Ovvero questo coeÆciente conta le partizioni di 6 ottenute prendendo 6 volte 1
oppure 1 volta 4 e 2 volte 1 oppure 1 volta 6. Ossia le partizioni di 6 le cui parti
sono congrue a 1,4 modulo 5.
La descrizione di bj e un po' piu laboriosa. Chiamiamo
(5)
X
qn
=
b qj
Cn (q ) =
(1 q )(1 q 2 ) (1 q n ) j 0 n;j
2
e osserviamo che
(6)
1
(1 q )(1 q 2 ) (1 q n )
"descrive" le partizioni di un intero in parti minori o uguali a n.
Per esempio: il coeÆciente di q 6 in
(7)
1
(1 q )(1 q 2 )
si ottiene contando le seguenti partizioni.
A ciascuna di queste partizioni di 6 aggiungiamo n2 = 4 = 1 + 3 nuove unita che
indichiamo con o
ooo
o
ooo
o
3
ooo
o
ooo
o
in modo da ottenere partizioni di 10 in cui le parti pi soddisfano
p2 p1 2
(8)
In generale dunque bn;j conta il numero delle partizioni di j in esattamente n parti
e tali che
pi pi
(9)
1
2
Se rimuoviamo la limitazione di n abbiamo che bj conta il numero delle partizioni
di j in cui le parti successive dieriscono di almeno 2.
Quindi il teorema di Rogers e Ramanujan si puo rienunciare come segue:
Teorema. RR. Il numero delle partizioni con una certa condizione di congruenza
sulle parti e uguale al numero delle partizioni con una condizione sulla dierenza
tra le parti.
Questo e un notevole teorema che il grande Ramanujan congetturo verso il 1913
ma che non riusc a dimostrare. Lo comunico ad Hardy a Cambridge ma ne lui ne
nessun altro a Cambridge ne trovo una dimostrazione. Fu dunque con enorme stupore che un giorno del 1917, mentre curiosava in biblioteca, Ramanujan si imbatte
in una oscura memoria del 1894 in cui Rogers aveva gia dimostrato il Teorema.
Segu una intensa collaborazione con Rogers.
2. Identita di Macdonald. Agli inizi degli anni '70 Macdonald ed indipendentemente il sico Dyson scoprirono varie identita per alcune potenze della funzione
eta di Dedekind
(10)
Per esempio
(11)
Y
1
( ) = q 24
( ) =
X
(1 q n )
n>0
3 n+1 2
( 1)n q 2 ( 6 )
n2Z
Questa e una identita che risale a Eulero scoperta mentre egli studiava la funzione
partizione p(n) che conta il numero di partizioni di un intero n. In eetti, ( ),
1
a parte il fattore q 24 , e sostanzialmente l'inversa della funzione generatrice della
funzione partizione
(12)
Y
(1 q n )
1
=
X
p(n)q n
inoltre il secondo membro di (11) e una funzione theta.
4
Le identita di Macdonald riguardano potenze ( )m in cui
m = 3; 8; 10; 14; 15; 21; 24; 26; 28; :::
(13)
Dyson si domando da dove venisse questa strana successione di interi. Il caso m = 3
riproduce sostanzialmente la famosa identita di triplo prodotto di Jacobi:
(14)
Y
n>0
(1 q 2n )(1 q 2n 1 z )(1 q 2n 1 z 1 ) =
X
2
( 1)n q n z n
n2Z
Macdonald scopr che queste identita corrispondono a cosiddetti sistemi aÆni di
radici: una generalizzazione di quei sistemi di radici che sono sostanzialmente degli
oggetti combinatori a cui si riduce la classicazione delle algebre di Lie semplici sui
complessi.
Macdonald: con un'unica eccezione, i numeri di quella successione sono le dimensioni delle algebre di Lie semplici sui complessi. L'eccezione e il numero 26:
per quanto ne so non se ne conosce una spiegazione in termini di algebre di Lie.
Tuttavia il numero 26 e un numero ricorrente in questa teoria.
3. Algebre di Lie. Data un'algebra di Lie semplice, per esempio sl(2; C) cioe
matrici 2 2 a traccia zero con prodotto
[x; y ] = xy
(15)
yx
esiste una cosiddetta formula del denominatore dovuta a H. Weyl
e
(16)
X
w2W
Y
det(w)e w() = (1 e )
>0
Anche senza entrare nei dettagli si vede ad occhio la somiglianza di questa formula
con quelle viste sopra. La somma ed il prodotto in (16) sono pero niti. Tuttavia, proprio in quegli stessi anni, ne anni '60 - inizio anni '70, Kac e Moody
indipendentemente, generalizzarono le algebre di Lie semplici ad algebre di Lie che
possono avere dimensione innita. Kac inoltre estese a queste algebre la formula
del carattere di Weyl. Cos abbiamo ora la cosiddetta formula del denominatore di
Weyl e Kac per algebre di Kac-Moody che appare cos:
(17)
e
X
w 2W
Y
det(w)e w() = (1 e )mult()
>0
Nel caso delle algebre classiche mult() = 1, ma ora, trattandosi di algebre di
dimensione innita, la somma e il prodotto sono inniti. Risulto che le identita
di Macdonald altro non sono che le formule del denominatore per queste nuove
algebre. Per esempio:
(18)
sl(2; C) = sl(2; C) C[t; t 1 ] Cc
Queste sono le matrici 2 2 a coeÆcienti nei polinomi di Laurent C[t; t 1] piu un
elemento centrale, cioe che commuta con ogni altro, detto c. Il prodotto e dato da
(19)
[x ti ; y tj ] = [x; y ] ti+j + iÆi+j;0 tr(xy )c
5
La formula del denominatore per l'algebra sl(2; C) e esattamente l'identita del
triplo prodotto di Jacobi.
Esiste una notevolissima rappresentazione di sl(2; C). Dati gli elementi
e=
(20)
f=
h=
la seguente e una base di sl(2; C):
0 1
0 0
0 0
1 0
1
0
0
1
(21)
Bj = e tj 1=2 + f tj +1=2 ; j 2 Z; j dispari
(22)
Xj = e tj 1=2 + f tj +1=2 ; j 2 Z; j dispari
(23)
Xj = h tj=2 ; j 2 Z; j 6= 0; j pari
(24)
1
c
2
X0 = h 1
Risulta che una rappresentazione irriducibile dell'algebra in questione si puo dare
su
(25)
V = C[x1 ; x3; x5 ; : : : ]
(polinomi in innite variabili) dove
c 7! id
(26)
Bj 7! j
@
@xj
B j 7! moltiplicazione per xj
con j dispari e positivo. (Questi sono i cosiddetti operatori di creazione e distruzione
in teoria quantistica dei campi)
Gli operatori Xj presi singolarmente hanno una espressione impossibile. Contro
l'intuizione, per semplicare occorre considerare tutti questi operatori allo stesso
tempo; conviene, infatti, introdurre una variabile formale e sommare tutti questi
operatori per ottenere
(27)
X ( ) =
X
j 2Z
Xj j
6
Risulta allora che X ( ) corrisponde a
(28)
1
E ( )E + ( )
2
dove
(29)
E ( ) = exp(
X 2 j
Bj )
j
j>0
j dispari
Il calcolo del commutatore di tali oggetti fa intervenire naturalmente un analogo
formale della funzione delta di Dirac
(30)
Æ ( ) =
X
n2Z
n
Qui troviamo un'altra notevolissima coincidenza: Nella teoria quantistica dei campi,
algebre come sl(2; C) erano usate per descrivere simmetrie di particelle elementari
ed erano chiamate "current algebras", d'altra parte operatori come E ( )E + ( )
erano usati per descrivere l'interazione di particelle ad alcuni vertici ed erano percio
detti "operatori di vertice". Pero questi due oggetti non erano mai stati messi in
diretta correlazione no a che essi non furono riscoperti in matematica nello studio
di identita combinatorie del tipo di Rogers-Ramanujan.
4. Teoria dei gruppi. Nel frattempo ...
L'inizio degli anni '80 vide il completamento del Teorema di classicazione dei
gruppi semplici. La lista denitiva e la seguente:
(1) Gruppi ciclici di ordine primo: Cp
(2) Gruppi alterni An ; n 5
(3) 16 famiglie innite di gruppi di tipo Lie (per esempio Gln (Fq ) = matrici
n n non singolari nel campo con q elementi)
(4) 26 gruppi semplici sporadici
I primi gruppi semplici sporadici (Burnside) furono scoperti nel 1861 da E. Mathieu: essi possono essere descritti in termini di automorsmi di alcuni codici correttori. Per oltre un secolo non se ne trovarono altri. Poi, durante la "guerra dei
trent'anni" (1950-1980) (Gorenstein) altri se ne aggiunsero. Il piu grande ha ordine
(31)
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
= 226 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71
circa 1054 ovvero all'incirca il numero di particelle elementari sulla Terra.
Per via di questo ordine il gruppo fu detto Mostro.
In eetti Fischer e Griess ne congetturarono soltanto l'esistenza. Solo in seguito
(1982) Griess ne dimostro l'esistenza come gruppo di automorsmi di una struttura creata ad hoc: l'algebra di Griess. Ancor prima che la sua esistenza fosse
dimostrata, Norton e Conway ne costruirono una tavola dei catatteri: le rappresentazioni irriducibili hanno dimensione 1, 196.883, 21.296.876, ...
7
5.Moonshine ovvero "sciocchezze". Fu McKay che si accorse durante un seminario di Tits, che la funzione modulare j ( ) ha uno sviluppo in serie di Laurent:
j ( ) = q
(32)
+ 744 + 196884q + 21493760q 2 + : : :
1
ove q = e2i (questa e la piu semplice funzione non costante che soddisfa j ( ) =
j ( + 1) = j ( 1 )
1=1
196884 = 196883 + 1
21493760 = 21296876 + 196883 + 1
(33)
Molti esperti pensarono che fosse talmente improbabile che ci fosse una relazione
tra il Mostro e le funzioni modulari che queste e varie estensioni di questa osservazione furono denite "moonshine" da Conway. (Cio non ha niente di romantico,
colloquialmente "moonshine" signica "sciocchezze, stupidaggini". Borcherds riporta la seguente citazione di Sir Ernest Rutherford, lo scopritore del nucleo dell'
atomo. Nel 1930 disse: "L'energia prodotta dalla ssione dell'atomo e ben poca
cosa. Chiunque si aspetti di ricavare una sorgente di energia dalla trasformazione
di questi atomi sta dicendo "moonshine"").
6.Forme modulari.
Il gruppo
= SL2 (Z)
(34)
agisce sulla meta superiore H del piano complesso C nel modo seguente
dove
(36)
a b
c d
Alcuni sottogruppi importanti sono
(37)
(N ) = f
a b
c d
2 SL2(Z)j
(38)
(39)
az + b
cz + d
z 7!
(35)
(N ) = f
0
1
(N ) = f
a b
c d
a b
c d
2 SL2(Z)
a b
c d
1 0
0 1
mod N g
2 SL2(Z)jc 0 mod N g
2 SL2(Z)j
a b
c d
1 0 1
mod N g
8
e inoltre
(40)
0
(N )+
il normalizzatore di 0 (N ). Una funzione modulare di peso zero per un sottogruppo
G < SL2 (Z) e una funzione meromorfa su H invariante per l'azione di G, cosicche
essa denisce una funzione sul quoziente H=G.
Nel caso dell'intero gruppo SL2 (Z) il dominio fondamentale e ben noto.
Ci possiamo domandare che tipo di spazio e questo H=G. Risulta che e una
supercie di Riemann compatta. Tali superci sono classicate, come e noto, dal
loro genere, cioe dal numero dei buchi. Quando otteniamo il genere zero?
Nel caso di 0 (N )+ risulta che si ottiene il genere zero quando N e uno dei
seguenti numeri primi:
(!!)
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 41; 47; 59; 71
Se H=G ha genere zero allora possiamo trovare una singola funzione f detta "Hauptmodul" in modo che tutte le altre forme modulari di peso zero sono funzioni razionali
di f .
Nel caso = SL2 (Z), l' Hauptmodul e proprio j . Inoltre si osservano i fenomeni
seguenti ("Monstrous Moonshine" o "Sciocchezze Mostruose"): McKay e Thompson suggerirono l'esistenza di una rappresentazione di dimensione innita, graduata
del mostro M:
(41)
V=
M
n2Z
Vn
tale che
(42)
dim Vn = c(n 1)
dove c(n 1) e il coeÆciente di q n 1 di j ( ) 744.
Conway and Norton osservarono che le serie
(43)
Tg ( ) =
X
n
T r(g jVn )q n
1
(cosicche T1 = j ( ) 744) sembravano essere un Huptmodul per opportuni sottogruppi di SL2 (Z)
7. Algebre di Vertice. Frenkel, Lepowsky e Murman costruirono tale raprresentazione naturale del Mostro V \ : essa e un esempio di algebra di vertice.
Le algebre di vertice sono alcuni oggetti di dimensione intrinsecamente innita.
L'esempio interessante piu semplice e quello che si ottiene riprendendo la rappresentazione di sl(2; C) accennata prima.
Lo spazio e
(44)
V = C[x1 ; x3; x5 ; : : : ]
In quel caso avevamo degli "operatori" X ( ) le cui regole di commutazione ci danno
una rappresentazione di sl(2; C). Ora e possibile associare a ciascun elemento
v 2 V un "operatore"
(45)
X (v; z )
9
e sono questi oggetti detti operatori di vertice, che per cos dire deniscono le
operazioni della nuova "algebra". Ad essere precisi queste algebre, algebre non
sono aatto. Si tratta di spazi vettoriali di dimensione innita graduati
V=
(46)
M
n2Z
V(n)
tali che dimV = +1 e dimV(n) < +1, dotati di una applicazione lineare
! V ((z))
Y :V
(47)
( dove V ((z )) e l'anello delle serie di Laurent formali a coeÆcienti in V ) soddisfacente vari assiomi tra i quali il principale e la cosiddetta Identita di Jacobi:
z z
z0 1 Æ ( 1 2 )Y (u; z1 )Y (v; z2 )
z0
z
z
z0 1 Æ ( 2 1 )Y (v; z2 )Y (u; z1 ) =
z0
z z
z2 1 Æ ( 1 0 )Y (Y (u; z0 )v; z2 )
(48)
z2
che e una identita incredibilmente compatta, contenente una grandissima quantita
di informazioni. Richiede inoltre molta attenzione per essere ben interpretata. Per
esempio:
z0 1 Æ (
(49)
Xz z
z1 z2
) = z0 1 ( 1 2 )n
z0
z0
n2Z
e, per convenzione, (z1 z2 )n deve essere sviluppato in potenze positive di z2 (questo
spiega lo strano modo di scrivere l'altro termine come
z z
(50)
z0 1 Æ ( 2 1 )
z0
Altrimenti si arriva a delle conclusioni palesemente assurde come la seguente
Æ (z ) =
(!!)
=
1
X
n2Z
1 z
zn =
+z
1
X
n0
1
1 z
zn +
1
X
n<0
=
zn
1 z 1+z 1 1
=0
(1 z )(1 z 1 )
Per esempio, se prendiamo Resz0 nell'identita di Jacobi otteniamo la formula del
commutatore di due qualunque operatori di vertice. Ora, e possibile costruire una
algebra di vertice a partire da un qualunque reticolo (cioe un gruppo abeliano libero
nitamente generato e dotato di una forma bilineare a valori interi). L'esempio
di prima corrisponde al reticolo Z. Questo non e l'unico modo di ottenere una
algebra di vertice. Una classicazione delle algebre di vertice e ancora lontana. In
particolare V \ e ottenuta incollando in maniera non banale due algebre di vertice
ottenute in due maniere dierenti a partire dallo stesso reticolo di Leech, un oggetto
interessante di per se: e l'unico reticolo pari unimodulare di rango 24 senza elementi
di lunghezza al quadrato 2 (ossia senza radici) (Leech 1965). Il Mostro e esattamente
il gruppo degli automorsmi di V \ una nuova specialissima struttura.
10
8.Il lavoro di Borcherds. Borcherds usa questa struttura su V \ insieme a metodi
di teoria delle stringhe (il cosiddetto teorema "no-ghost") per costruire una speciale
algebra di Lie su cui agisce il Mostro. Non sorprendentemente essa viene chiamata
algebra di Lie mostruosa. Si tratta di un nuovo tipo di algebra di Lie: e una
algebra di Kac-Moody generalizzata. Borcherds estende la formula di Weyl-Kac
a questa algebra e la usa per calcolare la "formula del denominatore" per essa.
Questo viene sfruttato per dimostrare che le serie di Thompson Tg ( ) sono funzioni
"completamente replicabili", il che signica, in particolare, che tutti i coeÆcienti del
loro sviluppo in serie possono essere calcolati a partire da pochi coeÆcienti iniziali.
Un risultato di Martin, Cummins, Gannon dimostra che le funzioni completamente
replicabili sono in eetti delle funzioni modulari e sono Hauptmoduls per gruppi di
genere zero. Questo permette di dimostrare le "congetture moonshine".
9.Commento. Le algebre di vertice sono dette dai sici teorie quantistiche di
campi conformi in dimensione 2. Si tratta di una parte della cosiddetta teoria delle
stringhe, che promette di unicare la gravita con le teorie quantistiche delle altre
tre forze fondamentali della Natura. Lo spazio degli stati di una stringa quantizzata
e a volte una algebra di Kac-Moody generalizzata o a volte un'algebra di vertice.
Una di queste algebre di Kac-Moody generalizzate porta alla dimostrazione delle
congetture di moonshine.
L'algebra di Lie mostruosa e l'esempio piu semplice di algebra di Lie degli stati
sici di una cosiddetta stringa chirale su un qualche "orbifold". Piu precisamente
si tratta di una stringa in moto su un opportuno quoziente (detto "orbifold") di un
toro di dimensione 26, la dimensione critica in cui sembra funzionare la teoria delle
stringhe.
Questo ci permette di parlare del Mostro come del gruppo delle simmetrie di
una particolare variante di questa teoria sica. Sarebbe veramente aascinante se
questo specialissimo gruppo fosse cos intimamente legato ad una teoria sica che
descrive la realta.
Bibliograa essenziale.
G. Andrews, The theory of partitions in: Encyclopedia of Mathematics and its
Applications, vol. 2, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1976.
I.B. Frenkel, J.Lepowsky, A. Meurman, Vertex operator algebras and the Monster
Academic Press, 1988
U. Ray Generalized Kac-Moody algebras and some related topics Bulletin of the
American Mathematical Society, 38 (1-42), 2001
